Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
601
9.2.24.
0
z
є істотно особливою точкою функції
(
)
zf ,
якщо ряд Лорана функції в околі цієї точки :
а) не містить головної частини.
б) не містить правильної частини;
в) містить нескінченну кількість членів з від’ємними
показниками
0
zz
−
;
г) містить скінченну кількість членів з додатними пока-
зниками
0
zz
−
;
д) інша відповідь.
9.2.25. Лишком функції
(
)
zf відносно ізольованої особ-
ливої точки називається коефіцієнт ___ в роз-
кладі функції в ряд Лорана в околі цієї точки.
а)
1
c
−
; б)
2
c
−
; в)
0
c ; г)
1
c ; д) інша відповідь.
9.2.26. Якщо
L- замкнений контур, всередині якого
знаходиться одна особлива точка
0
z функції
()
zf , то справедлива рівність:
а)
()
[]
(
)
dzzfzzfs
L
∫
=
0
;Re
; б)
()
[]
()
dzzf
i
zzfs
L
∫
=
π
2
1
;Re
0
;
в)
()
[]
(
)
dz
zz
zf
i
zzfs
L
∫
−
=
0
0
2
1
;Re
π
;
г)
()
[]
()()
dzzfzz
i
zzfs
L
∫
−=
00
2
1
;Re
π
; д) інша відповідь.
9.2.27. Лишок функції
(
)
zf відносно простого полюса
0
z обчислюється за формулою:
а)
()
[]
(
)
zfzzfs
zz
0
lim;Re
0
→
=
; б)
()
[]
(
)
0
0
0
lim;Re
zz
zf
zzfs
zz
−
=
→
;
602
в)
(
)
[
]
(
)
(
)
zfzzzzfs
zz
00
0
lim;Re −
=
→
;
г)
()
[]
()
zf
zz
zzfs
zz
0
0
0
lim;Re
−
=
→
; д) інша відповідь.
9.2.28. Лишок функції
(
)
zf
відносно полюса
0
z порядку
m обчислюється за формулою:
а)
()
[]
()()
(
)
zfzz
dz
d
zzfs
m
m
m
zz
0
1
1
0
0
lim;Re −=
−
−
→
;
б)
(
)
[
]
(
)
(
)
zfzzzzfs
m
zz
00
0
lim;Re −=
→
;
в)
()
[]
()
()()
zfzz
m
zzfs
m
zz
00
0
lim
!1
1
;Re −
−
=
→
;
г)
()
[]
()
()()
(
)
zfzz
dz
d
m
zzfs
m
m
m
zz
0
1
1
0
0
lim
!1
1
;Re −
−
=
−
−
→
;
д) інша відповідь.
9.2.29. Лишок функції
(
)
zf відносно усувної особливої
точки дорівнює:
а)
0 ; б) i
π
2 ; в)
(
)
zf
zz
0
lim
→
; г)
()
zf
i
zz
0
lim
2
1
→
π
;
д) інша відповідь.
9.2.30. Якщо
L- замкнений контур, всередині якого
знаходиться одна особлива точка
0
z функції
()
zf , то:
1)
()
[]
(
)
dzzfzzfs
L
∫
=
0
;Re
; 2)
(
)
(
)
[
]
0
;Re2 zzfsidzzf
L
π
=
∫
;
3)
()
[]
()
dz
zz
zf
i
zzfs
L
∫
−
=
0
0
2
1
;Re
π
;
4)
()
[]
()
dzzf
i
zzfs
L
∫
=
π
2
1
;Re
0
.
603
Із наведених рівностей вірними є:
а) 2 і 3; б) 2, 3 і 4; в) 2 і 4;
г) 1 і 3; д) інша відповідь.
9.2.31. Якщо функція
(
)
zf аналітична на межі L одно-
зв’язної області
D і в самій області D за виня-
тком ізольованих особливих точок
n
zzz ,,,
21
… ,
то:
а)
() ()
[]
∑
∫
=
=
n
k
k
L
zzfsdzzf
1
;Re ; б)
() ()
[]
∑
∫
=
=
n
k
k
L
zzfs
i
dzzf
1
;Re
2
1
π
;
в)
() ()
[]
∑
∫
=
=
n
k
k
L
zzfs
n
i
dzzf
1
;Re
2
π
;
г)
() ()
[]
∑
∫
=
=
n
k
k
L
zzfsidzzf
1
;Re2
π
; д) інша відповідь.
9.2.32. Якщо функція
(
)
zf
аналітична на дійсній осі, а
також у всій комплексній площині за винятком
скінченного числа ізольованих особливих точок
і при деякому
0>R
для z таких, що
()
m
z
M
zfRz
≤> , де
M
і m - додатні константи,
причому
2≥m , то
() ()
[]
∑
∫
=
+∞
∞−
=
n
k
k
zzfsidxzf
1
;Re2
π
, де
n
zzz ,,,
21
… - особливі точки функції
(
)
zf розта-
шовані:
а) у нижній півплощині; б) у верхній півплощині;
в) у всій площині; г) у правій півплощині;
д) інша відповідь.
604
9.2.33. Якщо функція
(
)
zf аналітична у верхній пів-
площині, включаючи дійсну вісь, за винятком
скінченного числа особливих точок
n
zzz ,,,
21
…
і
()
0lim
=
∞→
zf
z
рівномірно відносно zarg , то:
а)
() ()
1
2Re ;
n
ix iz
k
k
f
xedx i sfze z
π
+∞
=
−∞
⎡⎤
=
⎣⎦
∑
∫
;
б)
() ()
[]
∑
∫
=
+∞
∞−
=
n
k
k
izix
zezfsdxexf
1
;Re ;
в)
() ()
1
2Re ;
n
ix iz
k
k
f
xedx i sfz e z
π
+∞
−
=
−∞
⎡
⎤
=
⎣
⎦
∑
∫
;
г)
() ()
[]
∑
∫
=
+∞
∞−
=
n
k
k
ix
zzfsidxexf
1
;Re2
π
; д) інша відповідь.
9.2.34. Яка з наведених нижче рівностей невірна:
а) zshiiz
=
sin ; б) zizch cos
=
;
в)
zizsh sin=
; г)
zchiz
=
cos
; д) інша відповідь.
9.2.35. Яка з наведених нижче рівностей невірна:
а)
()
zshzsh
−
=
−
; б) zchiiz
=
cos ;
в)
ziizsh sin= ; г)
(
)
zchzch
=
−
; д) інша відповідь.
9.2.36. Яка з наведених нижче рівностей невірна:
а)
()
212121
sincoscossinsin zzzzzz
⋅
+
⋅
=
+
;
б)
()
212121
sinsincoscoscos zzzzzz
⋅
−
⋅
=
+
;
в)
()
212121
zshzshzchzchzzch
⋅
−
⋅
=
+
;
г)
()
212121
zshzchzchzshzzsh
⋅
+
⋅
=+ ; д) інша відповідь.
9.2.37. Які з наведених нижче рівностей вірні
()
iyxz +=
:
1) yshxiychxz
⋅
+
⋅
=
cossinsin ;
605
2) yshxiychxz
⋅
−
⋅
=
cossinsin ;
3)
yshxiychxz
⋅
−
⋅
=
sincoscos ;
4) yshxiychxz
⋅
+
⋅
=
sincoscos .
а) 1 і 4; б) 1 і 3; в) 2 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
9.2.38. Які з наведених нижче рівностей вірні
()
iyxz
+
= :
1) yxchiyxshzsh sincos
⋅
−
⋅
=
;
2)
yxchiyxshzsh sincos
⋅
+
⋅
=
;
3) yxshiyxchzch sincos
⋅
+
⋅
=
;
4)
yxshiyxchzch sincos
⋅
−
⋅
=
.
а) 1 і 3; б) 2 і 4; в) 1 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
9.2.39. Встановити відповідність між періодичними фу-
нкціями комплексної змінної і їх періодами:
1)
z
e ; 1)
π
2 ;
2)
zsin ; 2)
π
;
3)
ztg . 3) i
π
2.
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
9.2.40. Встановити відповідність між періодичними фу-
нкціями комплексної змінної і їх періодами:
1)
zcos ; 1) i
π
2 ;
2) zsh ; 2)
π
2
;
3)
zth . 3) i
π
.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
606
9.2.41. Зображенням Лапласа функції
(
)
tf є функція
комплексної змінної
(
)
pF , яка визначається рів-
ністю:
а)
() ()
∫
+∞
=
0
dtetfpF
pt
; б)
() ()
∫
+∞
−
=
0
dtetfpF
pt
;
в)
() ()
∫
+∞
=
0
dtetfpF
ipt
; г)
() ()
∫
+∞
−
=
0
dtetfpF
ipt
;
д) інша відповідь.
9.2.42. Якщо
(
){}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
(){}
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
p
FatfL ; б)
(){} ()
pF
a
atfL
1
= ;
в)
(){}
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
p
aFatfL ; г)
(){}
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
p
F
a
atfL
1
;
д) інша відповідь.
9.2.43. Якщо
(
){}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
()
{
}
(
)
α
α
−=
−
pFtfeL
t
; б)
(
)
{
}
(
)
pFtfeL
t
α
α
=
−
;
в)
()
{
}
(
)
α
α
+=
−
pFtfeL
t
; г)
(
)
{
}
(
)
αα
α
+−=
−
pFtfeL
t
;
д) інша відповідь.
9.2.44. Якщо
(
){}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
(){}
(
)
(
)
ο
fppFtfL
+
=
′
; б)
(
){}
(
)
(
)
ο
fppFtfL
−
=
′
;
в)
(){}
(
)
ppFtfL =
′
; г)
()
{
}
(
)
(
)
ο
pfpFtfL
−
=
′
;
д) інша відповідь.
9.2.45. Якщо
(
){}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
(
)
{
}
(
)()
(
)
ofpfpFptfL
′
−−=
′′
ο
2
;
б)
(
)
{
}
(
)()
(
)
ofpfpFptfL
′
+−=
′′
ο
2
;
в)
(
)
{
}
(
)()
(
)
ofpfpFptfL
′
−+=
′′
ο
2
;
607
г)
(){}
(
)
(
)
(
)
ofpfpFptfL
′
++=
′′
ο
2
; д) інша відповідь.
9.2.46. Якщо
(
)
{
}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
(){}
(
)
pFettfL
t
0
0
−
=− ; б)
(
)
{
}
(
)
00
tpFttfL
−
=
−
;
в)
(){}
(
)
pFettfL
pt
0
0
−
=− ; г)
(
)
{
}
(
)
pFettfL
pt
0
0
=− ;
д) інша відповідь.
9.2.47. Якщо
(
)
{
}
(
)
pFtfL
=
, то
а)
(
)
{
}
(
)
(
)
pFtftL
nn
= ; б)
(
)
{
}
(
)
(
)
pFtftL
nn
−= ;
в)
(
)
{}
(
)
(
)
(
)
pFtftL
n
n
n
1−= ; г)
(
)
{
}
(
)
pFptftL
nn
= ;
д) інша відповідь.
9.2.48. Встановити відповідність між оригіналами і зо-
браженнями:
1)
atsin
; 1)
1
p
a
+
;
2)
atcos ; 2)
22
ap
a
+
;
3)
at
e
−
. 3)
22
ap
p
+
.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
9.2.49. Встановити відповідність між оригіналами і зо-
браженнями:
1)
ate
t
sin
α
−
; 1)
()
2
2
ap
p
++
+
α
α
;
2)
ate
t
cos
α
−
; 2)
1
!
+n
p
n
;
3)
n
t . 3)
()
2
2
ap
a
++
α
.
608
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
9.2.50. Встановити відповідність між оригіналами і зо-
браженнями:
1)
attsin ; 1)
()
2
1
ap +
;
2)
attcos ; 2)
()
2
22
2
ap
pa
+
;
3)
at
te
−
. 3)
()
2
22
22
ap
ap
+
−
.
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
9.3 Тестові практичні завдання
9.3.1. Записати комплексне число
i
i
z
−
+
=
3
1
в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
5
1
5
2
− ; б) i
5
2
5
1
− ; в) i
5
2
5
1
+ ; г) i
5
1
5
2
+ ;
д) інша відповідь.
9.3.2. Записати комплексне число
i
i
z
+
−
=
3
21
в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
10
7
10
1
− ; б) i
10
7
10
1
+ ; в) i
10
7
10
1
−− ; в) i
10
7
10
3
+ ;
д) інша відповідь.
609
9.3.3. Записати комплексне число
i
i
z
21
2
−
+
=
в алгеб-
раїчній формі.
а)
i
5
4
5
1
+ ; б) i ; в) i
5
3
5
2
− ; г) i
5
2
5
3
+ ;
д) інша відповідь.
9.3.4. Записати комплексне число
i
i
z
+
−
=
2
23
в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
5
7
5
4
−−
; б)
i
5
7
5
4
+
; в)
i
5
4
5
7
−
; г)
i
5
7
5
4
−
;
д) інша відповідь.
9.3.5. Записати комплексне число
i
i
z
24
5
−
+
= в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
10
7
10
9
+ ; б) i
10
9
10
7
− ; в) i
10
7
10
9
− ; г) i
10
3
10
11
+ ;
д) інша відповідь.
9.3.6. Записати комплексне число
i
i
z
−
−
=
3
25
в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
10
1
10
13
− ; б) i
10
13
10
1
+ ; в) i
10
1
10
17
+ ; г) i
10
1
10
17
− ;
д) інша відповідь.
9.3.7. Записати комплексне число
i
i
z
42
3
+
+
= в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
2
1
2
1
+
; б)
i
2
1
2
1
−
; в)
i
2
1
2
3
−
; г)
i
2
3
2
1
+
;
д) інша відповідь.
610
9.3.8. Записати комплексне число
i
i
z
24
3
+
−
=
в алгеб-
раїчній формі.
а)
i
2
1
2
1
+− ; б) i
2
3
2
1
− ; в) i
2
1
2
1
− ; г) i
2
1
2
3
+− ;
д) інша відповідь.
9.3.9. Записати комплексне число
23
13
i
z
i
+
=
−
в алгебраїч-
ній формі.
а)
i
10
7
10
9
+
; б)
79
10 10
i+
; в)
i
10
9
10
7
−
; г)
79
10 10
i−+
;
д) інша відповідь.
9.3.10. Записати комплексне число
i
i
z
31
2
+
−
= в алгебраї-
чній формі.
а)
i
10
7
10
1
− ; б) i
10
7
10
1
−− ; в) i
10
7
10
3
+ ; г) i
10
1
10
7
+ ;
д) інша відповідь.
9.3.11. Знайти модуль
r
та аргумент
ϕ
комплексного
числа
i
z
+
=
1
22
.
а)
2,
4
r
π
ϕ
==; б)
4
,2
π
ϕ
−==r ; в)
4
3
,2
π
ϕ
==r ;
г)
4
,22
π
ϕ
==r ; д) інша відповідь.
9.3.12. Знайти модуль
r
та аргумент
ϕ
комплексного
числа
i
z
−
−=
1
22
.