Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
591
8.3.55. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
sin,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
sin,
2
2
R
Ar
ru =
; б)
()
ϕϕ
sin,
R
Ar
ru = ;
в)
(
)
ϕ
ϕ
sin, Aru
=
; г)
()
ϕϕ
sin,
r
AR
ru =
;
д) інша відповідь.
8.3.56. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
2cos,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
2cos,
R
Ar
ru = ; б)
(
)
ϕ
ϕ
2cos, Aru
=
;
в)
()
ϕϕ
2cos,
2
2
R
Ar
ru = ; г)
()
ϕϕ
2cos,
2
2
r
AR
ru = ;
д) інша відповідь.
8.3.57. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
2sin,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
2sin,
2
2
r
AR
ru = ; б)
()
ϕϕ
2sin,
2
2
R
Ar
ru = ;
в)
(
)
ϕ
ϕ
2sin, Aru
=
; г)
()
ϕϕ
2sin,
R
Ar
ru = ;
д) інша відповідь.
592
8.3.58. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
2
2
2
2
2
sin,0 Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
2cos
22
,
2
2
R
ArA
ru −= ; б)
()
ϕϕ
2cos
22
,
R
ArA
ru −=
;
в)
()
ϕϕ
2cos
22
,
2
2
2
2
R
Ar
R
Ar
ru −= ; г)
(
)
ϕϕ
2
sin, Aru = ;
д) інша відповідь.
8.3.59. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
3cos,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
3cos,
2
2
R
Ar
ru = ; б)
()
ϕ
ϕ
3cos, Aru
=
;
в)
()
ϕϕ
3cos,
R
Ar
ru = ; г)
()
ϕϕ
3cos,
3
3
R
Ar
ru = ;
д) інша відповідь.
8.3.60. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
3sin,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕ
ϕ
3sin, Aru
=
; б)
()
ϕϕ
3sin,
R
Ar
ru = ;
в)
()
ϕϕ
3sin,
3
3
R
Ar
ru = ; г)
()
ϕϕ
3sin,
3
3
r
AR
ru = ;
д) інша відповідь.
593
9 Теорія функцій комплексної змінної.
Операційне числення
9.1 Теоретичні питання
9.1.1. Комплексні числа. Різні форми подання
комплексних чисел. Дії над комплексними числа-
ми в алгебраїчній, тригонометричній та показни-
ковій формах.
9.1.2. Поняття функції комплексної змінної. Границя і
неперервність функції комплексної змінної.
9.1.3. Похідна функції комплексної змінної. Правила
диференціювання. Геометричний зміст модуля і
аргумента похідної.
9.1.4. Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції. Гармо-
нічні функції.
9.1.5. Функції
n
z (
n
- ціле ),
z
e .
9.1.6. Функції
sin , cos , , , , , ,z z tgz ctgz shz chz thz cthz
.
9.1.7. Деякі багатозначні функції комплексної змінної:
,sin,cos, ,
L
nz Arc z Arc z Arctgz
,,,
A
rcct
g
zArshzArchz
,
n
A
rthz z ( n - натуральне ).
9.1.8. Інтеграл від функції комплексної змінної: озна-
чення, властивості, обчислення.
9.1.9. Теорема Коші для простого і складного контура.
9.1.10. Інтегральна формула Коші.
594
9.1.11. Ряд Тейлора функції комплексної змінної.
Розклад в ряд за степенями
z функцій
1
,sin ,cos , , ,
1
z
ezzshzchz
z
−
.
9.1.12. Ряд Лорана функції комплексної змінної.
9.1.13. Ізольовані особливі точки функцій, їх класифі-
кація.
9.1.14. Лишки функцій, їх обчислення. Основна теорема
про лишки.
9.1.15. Застосування лишків до обчислення деяких не-
власних інтегралів і інтегралів від тригономет-
ричних функцій дійсної змінної.
9.1.16. Перетворення Лапласа, його властивості. Зобра-
ження одиничної функції, функцій
sin , costt.
9.1.17. Теореми подібності і зміщення. Зображення фу-
нкцій sin , cos , ,
t
at at e
α
−
sin , cos
tt
eateat
αα
−−
.
9.1.18. Диференціювання зображення. Зображення фун-
кцій ,sin ,cos ,
nt
tt att atte
α
−
.
9.1.19. Диференціювання оригіналу, застосування опе-
раційного числення до розв’язування диферен-
ціальних рівнянь та їх систем.
9.1.20. Теорема про згортку.
9.2 Тестові теоретичні завдання
9.2.1. Встановити відповідність між виразами:
1)
32
i ; 1) 1
−
;
2)
57
i ; 2) 1;
3)
62
i
; 3)
i
;
595
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-2, 2-3, 3-
1;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
9.2.2. Встановити відповідність між виразами:
1)
63
i
; 1)
i
;
2)
73
i ; 2) –1;
3)
34
i ; 3) i
−
;
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-3, 2-2, 3-1;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
9.2.3. При множенні комплексних чисел у показниковій
формі:
1) аргументи множаться; 2) модулі множаться;
3) аргументи додаються; 4) модулі додаються.
Із наведених тверджень вірними є:
а) 1 і 4; б) 1 і 2; в) 2 і 3;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
9.2.4. При діленні комплексних чисел у показниковій
формі:
1) модулі віднімаються; 2) модулі
діляться;
3) аргументи діляться; 4) аргументи віднімаються.
Із наведених тверджень вірними є:
а) 1 і 3; б) 1 і 4; в) 2 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
9.2.5. Число
a є границею послідовності
{
}
n
z , якщо:
а)
az
n
n
=
∞→
lim ; б) 1lim =
∞→
a
z
n
n
; в) 0lim =−
∞→
az
n
n
;
г)
0lim =−
∞→
az
n
n
; д) інша відповідь.
596
9.2.6. Якщо існує таке
0>R , що для всіх членів по-
слідовності
{
}
n
z Rz
n
< , то така послідовність
називається:
а) збіжною; б) обмеженою; в) розбіжною;
г) необмеженою; д) інша відповідь.
9.2.7. Умови Коші-Рімана для функції
() ( )
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
(
)
iyxz
+
=
мають вид:
а)
,
uvuv
x
yyx
∂∂∂∂
=− =
∂∂∂∂
; б) ,
uvuv
x
xyy
∂∂∂∂
==
∂∂ ∂∂
;
в)
,
uvuv
x
yyx
∂∂∂∂
==
∂∂ ∂∂
; г) ,
uvu v
x
yy x
∂
∂∂ ∂
==−
∂
∂∂ ∂
;
д) інша відповідь.
9.2.8. Яка з наведених нижче формул для похідної ана-
літичної функції
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzf ,, +
=
є невірною:
1)
()
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
; 2)
()
vv
f
zi
y
x
∂
∂
′
=−
∂
∂
;
3)
()
y
u
i
y
v
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
; 4)
()
y
u
i
x
u
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
;
а) 2 і 3; б) тільки 2; в) 3 і 4;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
9.2.9. Функція
(
)
yxu ,
називається гармонічною, якщо:
а)
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
; б) 0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
; в) 0
2
2
2
=
∂∂
∂
+
∂
∂
yx
u
x
u
;
г)
0
2
2
2
=
∂∂
∂
+
∂
∂
yx
u
y
u
; д) інша відповідь.
9.2.10. Функція
(
)
zfw
=
буде аналітичною в деякій об-
ласті, якщо в цій області вона:
а) неперервна; б) має неперервну похідну;
597
в) обмежена; г) гармонічна; д) інша відповідь.
9.2.11. Встановити відповідність
(
)
iyxz
+
=
:
1)
z
e ; 1)
i
ee
iziz
2
−
−
;
2)
zsin
; 2)
2
iziz
ee
−
+
;
3)
zcos . 3)
(
)
yiye
x
sincos + .
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
9.2.12. Встановити відповідність:
1)
zsh ; 1)
2
zz
ee
−
+
;
2) ln
z ; 2) ziz argln + ;
3)
zch . 3)
2
zz
ee
−
−
.
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
9.2.13. Встановити відповідність:
1)
a
z ; 1) ziz argln + ;
2)
z
a ; 2)
za
e
ln
;
3) ln
z . 3)
az
e
ln
.
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
9.2.14. Встановити відповідність:
1)
zArcsin ; 1)
(
)
2
1iLn iz z−+−;
2)
zArccos ; 2)
2
iiz
Ln
iz
−
−
+
;
598
3)
zArctg . 3)
(
)
2
1iLn z z
−
+−.
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
9.2.15. Встановити відповідність:
1) zArsh ; 1)
1
21
iz
Ln
z
+
−
;
2)
zArch
; 2)
(
)
2
1Ln z z
+
+
;
3)
zArth . 3)
(
)
2
1Ln z z
+
− .
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
9.2.16. Інтеграл від функції комплексної змінної
() ( )
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
(
)
iyxz
+
=
вздовж кривої L
дорівнює:
а)
∫∫
+++
LL
udyvdxivdyudx ; б)
∫∫
++−
LL
udyvdxivdyudx ;
в)
∫∫
−++
LL
udyvdxivdyudx ; г)
∫∫
−+−
LL
udyvdxivdyudx ;
д) інша відповідь.
9.2.17. Якщо функція
(
)
zf аналітична в області D, об-
меженій контуром
L
і на самому контурі, то для
Dz ∈
0
:
1)
()
(
)
dz
zz
zf
i
zf
L
∫
−
=
0
0
2
1
π
; 2)
()
(
)
()
dz
zz
zf
i
zf
L
∫
−
=
′
2
0
0
1
π
;
3)
()
(
)
()
dz
zz
zf
i
zf
L
∫
−
=
′′
3
0
0
1
π
; 4)
()
(
)
()
dz
zz
zf
i
zf
L
∫
−
=
′′′
4
0
0
1
π
.
Із наведених рівностей вірними є:
а) 1, 2, 4; б) 2, 3, 4; в) 1, 3, 4;
599
г) 1, 2, 3; д) інша відповідь.
9.2.18. Встановити відповідність:
1)
z
e ; 1)
∑
∞
=0
!
n
n
n
z
;
2)
zsin
; 2)
()
∑
∞
=
+
+
0
12
!12
n
n
n
z
;
3)
zsh . 3)
()
()
∑
∞
=
+
+
−
0
12
!12
1
n
n
n
n
z
.
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-3, 3-2, 2-1;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
9.2.19. Встановити відповідність:
1)
z−1
1
; 1)
()
2
0
2!
n
n
z
n
∞
=
∑
;
2)
zcos ; 2)
∑
∞
=
0n
n
z ,
1<z
;
3) zch . 3)
()
()
∑
∞
=
−
0
2
!2
1
n
n
n
n
z
.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
9.2.20. Встановити відповідність:
1)
z+1
1
; 1)
()
∑
∞
=
+
+
−
0
1
1
1
n
n
n
n
z
, 1<z ;
2)
(
)
z
+
1ln ; 2)
()
∑
∞
=
−
0
1
n
n
n
z , 1<z ;
3)
z−1
1
. 3)
∑
∞
=
0n
n
z
,
1<z .
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
600
9.2.21. Встановити відповідність:
1) для функції
(
)
zf
0
z є усув- 1) в точці
0
z функція має
ною особливою точкою; нескінченну границю;
2) для функції
(
)
zf
0
z є 2) в точці
0
z функція має
полюсом; скінченну границю;
3) для функції
(
)
zf
0
z є іс- 3) в точці
0
z функція
тотно особливою точкою. не має границі.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
9.2.22.
0
z є усувною особливою точкою функції
(
)
zf ,
якщо ряд Лорана функції в околі цієї точки :
а) містить нескінченну кількість членів з від’ємними
показниками
0
zz
−
;
б) не містить правильної частини;
в) містить скінченну кількість членів з додатними пока-
зниками
0
zz − ;
г) не містить головної частини; д) інша відповідь.
9.2.23.
0
z є полюсом функції
()
zf , якщо ряд Лорана
функції в околі цієї точки:
а) не містить правильної частини;
б) містить скінченну кількість членів з від’ємними по-
казниками
0
zz − ;
в) містить скінченну кількість членів з додатними пока-
зниками
0
zz − ;
г) містить нескінченну кількість членів з від’ємними
показниками
0
zz
−
;
д) інша відповідь.