Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
571
г)
() ()
∫
∑
=⋅=
∞
=
−
l
n
n
tna
n
dxx
l
n
xf
l
Ax
l
n
eAtxu
0
1
sin
2
,sin,
22
ππ
;
д) інша відповідь.
8.2.19. Рівняння Лапласа в полярних координатах має вид:
а)
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
u
r
u
; б)
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
u
r
u
r
r
u
r
;
в)
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
u
r
u
r
r
u
r
; г)
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
u
r
r
u
r
r
u
;
д) інша відповідь.
8.2.20. Розв’язок задачі Діріхле для круга
,0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
(
)
ϕ
fu
R
r
=
=
має вид:
а)
() ( )
,sincos,
1
0
∑
∞
=
++=
n
n
nn
rnBnAAru
ϕϕϕ
() ()
∫∫
−−
==
π
π
π
π
ππ
dtnttfBdtnttfA
nn
sin
1
,cos
1
;
б)
() ()
,sincos
2
,
1
0
∑
∞
=
++=
n
n
nn
rnBnA
A
ru
ϕϕϕ
() ()
∫∫
−−
==
π
π
π
π
ππ
dtnttf
R
Bdtnttf
R
A
n
n
n
n
sin
1
,cos
1
;
в)
() ()
,sincos
2
,
1
0
∑
∞
=
++=
n
n
nn
rnBnA
A
ru
ϕϕϕ
() ()
∫∫
−−
==
π
π
π
π
ππ
dtnttf
R
Bdtnttf
R
A
nn
sin
1
,cos
1
;
572
г)
() ( )
,sincos,
1
0
∑
∞
=
++=
n
n
nn
rnBnAAru
ϕϕϕ
() ()
∫∫
−−
==
π
π
π
π
ππ
dtnttf
R
Bdtnttf
R
A
n
n
n
n
sin
1
,cos
1
;
д) інша відповідь.
8.3 Тестові практичні завдання
8.3.1. Вказати тип рівняння
032
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
y
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.2. Вказати тип рівняння
03106
2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.3. Вказати тип рівняння
0244
2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.4. Вказати тип рівняння
042
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.5. Вказати тип рівняння
032
2
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
y
u
x
u
yx
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
573
8.3.6. Вказати тип рівняння
02
2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.7. Вказати тип рівняння
06
2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.8. Вказати тип рівняння
0242
2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.9. Вказати тип рівняння
0342
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.10. Вказати тип рівняння
02
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂
∂
x
u
y
u
yx
u
x
u
.
а) еліптичний; б) гіперболічний; в) параболічний;
г) сферичний; д) інша відповідь.
8.3.11. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умова-
ми
()
(
)
xxxu
−
=
20, ,
(
)
x
t
exu =
′
0,
є функція:
а)
()
atshe
a
taxxtxu
x
⋅+−−=
−
1
2,
222
;
б)
()
atche
a
taxxtxu
x−
+−+=
1
2,
222
;
574
в)
()
atshe
a
taxxtxu
x−
++−=
1
2,
22
2
;
г)
()
atche
a
taxxtxu
x−
+++=
1
2,
222
;
д) інша відповідь.
8.3.12. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умо-
вами
()
2
0, xxu =
,
(
)
xxu
t
sin0,
=
′
є функція:
а)
()
atx
a
taxtxu sincos
1
,
222
⋅+−=
;
б)
()
atx
a
taxtxu sincos
1
,
222
⋅++=
;
в)
()
atx
a
taxtxu cossin
1
,
222
⋅+−=
;
г)
()
atx
a
taxtxu sinsin
1
,
222
⋅++= ; д) інша відповідь.
8.3.13. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умова-
ми
()
x
exu =0,
,
(
)
xxu
t
ω
=
′
0, є функція:
а)
()
txatshetxu
x
ω
+=,
; б)
(
)
txatchetxu
x
ω
+=,
;
в)
(
)
txatchetxu
x
ω
−=,
;
г)
()
txatshetxu
x
ω
−=,
; д) інша відповідь.
8.3.14. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умова-
ми
()
xxu cos0, =
,
(
)
xxu
t
ω
=
′
0, є функція:
а)
()
txatxtxu
ω
+
⋅= cossin,
; б)
(
)
txatxtxu
ω
+
⋅
=
sincos,
;
в)
()
txatxtxu
ω
+
⋅= coscos,
; г)
(
)
txatxtxu
ω
−
⋅
=
coscos,
;
575
д) інша відповідь.
8.3.15. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умова-
ми
()
xxu sin0,
=
,
(
)
0
0, vxu
t
=
′
є функція:
а)
()
tvatxtxu
0
cossin,
+
⋅
=
; б)
(
)
tvatxtxu
0
coscos,
+
⋅
=
;
в)
()
tvatxtxu
0
sinsin,
+
⋅
=
; г)
(
)
tvatxtxu
0
cossin,
−
⋅
=
;
д) інша відповідь.
8.3.16. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умо-
вами
(
)
xxu
=
0,
,
(
)
xxu
t
cos0,
=
′
є функція:
а)
()
atx
a
xtxu sincos
1
, ⋅−=
; б)
()
atx
a
xtxu sinsin
1
, ⋅+=
;
в)
()
atx
a
xtxu sincos
1
, ⋅+=
; г)
()
atx
a
xtxu coscos
1
, ⋅−= ;
д) інша відповідь.
8.3.17. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умо-
вами
(
)
xxu sin0,
=
,
(
)
xxu
t
cos0,
=
′
є функція:
а)
()
atx
a
atxtxu sincos
1
coscos, ⋅+⋅=
;
б)
()
atx
a
atxtxu sincos
1
cossin, ⋅+⋅=
;
в)
()
atx
a
atxtxu coscos
1
sinsin, ⋅+⋅=
;
г)
()
atx
a
atxtxu sincos
1
cossin, ⋅−⋅=
;
д) інша відповідь.
576
8.3.18. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими
умовами
()
(
)
20,
−
=
xxxu
,
(
)
x
t
exu =
′
0, є функція:
а)
()
atshe
a
xtaxtxu
x
⋅++−=
1
2,
222
;
б)
()
atche
a
xtaxtxu
x
⋅−++=
1
2,
222
;
в)
()
atche
a
xtaxtxu
x
⋅+−+=
1
2,
222
;
г)
()
atshe
a
xtaxtxu
x
⋅+−+=
1
2,
222
; д) інша відповідь.
8.3.19. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умо-
вами
()
xxu cos0,
=
,
(
)
xxu
t
sin0,
=
′
є функція:
а)
()
atx
a
atxtxu sinsin
1
coscos, ⋅−⋅=
;
б)
()
atx
a
atxtxu sinsin
1
coscos, ⋅+⋅=
;
в)
()
atx
a
atxtxu sincos
1
cossin, ⋅+⋅=
;
г)
()
atx
a
atxtxu sincos
1
cossin, ⋅−⋅=
; д) інша відповідь.
8.3.20. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
з початковими умо-
вами
()
x
exu
−
=0,
,
(
)
0
0, vxu
t
=
′
є функція:
а)
()
tvatshetxu
x
0
, +⋅=
−
; б)
(
)
tvatchetxu
x
0
, −⋅=
−
;
в)
()
tvatchetxu
x
0
, +⋅=
−
; г)
(
)
tvatshetxu
x
0
, −⋅=
−
;
д) інша відповідь.
577
8.3.21. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,20 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,2,0
=
=
tutu
() ()
00,,
2
3
sin0, =
′
= xuxxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
cos,
π
π
⋅= ; б)
()
xttxu
2
3
sin
3
2
cos,
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
2
3
sin3cos2,
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
cos4,
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.22. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,30 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,3,0
=
=
tutu
() ()
00,,
3
sin0, =
′
= xuxxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
3
sin
3
2
cos2,
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
3
sin
3
cos,
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
3
sin
3
4
cos,
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
3
sin
3
2
cos,
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.23. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,20 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,2,0
=
=
tutu
()
(
)
00,,sin0,
=
′
=
xuxxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
π
π
sin
2
3
cos, ⋅=
; б)
(
)
xttxu
π
π
sin3cos,
⋅
=
;
в)
()
xttxu
π
π
sin
3
2
cos, ⋅=
; г)
(
)
xttxu
π
π
sin3cos3,
⋅
=
;
д) інша відповідь.
578
8.3.24. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,4,0
=
=
tutu
() () ()
00,,2
4
cos0, =
′
−= xuxxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
4
sin
4
cos,
π
π
⋅−=
; б)
()
xttxu
4
sin
2
cos,
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
4
sin
4
cos,
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
4
sin
4
3
cos,
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.25. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,6,0
=
=
tutu
() () ()
00,,3
6
cos0, =
′
−= xuxxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
6
sin
3
cos,
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
6
sin
3
cos2,
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
6
sin
3
2
cos,
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
6
sin
6
cos,
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.26. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,20 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,2,0
=
=
tutu
() ()
xxuxu
t
2
3
sin0,,00,
π
=
′
=
, є функція:
а)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
cos,
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
2
3
sin
2
3
sin,
π
π
⋅=
;
579
д) інша відповідь.
8.3.27. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
( 0,30
≥
≤
≤
tx ),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,3,0
=
=
tutu
() ()
xxuxu
t
3
sin0,,00,
π
=
′
=
, є функція:
а)
()
xttxu
3
sin
2
3
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
3
sin
3
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
3
sin
3
2
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
3
sin
3
2
sin,
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.28. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,4,0
=
=
tutu
() ()
xxuxu
t
2
sin0,,00,
π
=
′
=
, є функція:
а)
()
xttxu
2
sin
2
3
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
2
sin
2
3
cos
2
3
,
π
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
2
sin
2
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
2
sin
2
3
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.29. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,6,0
=
=
tutu
() () ()
3
6
cos0,,00, −=
′
= xxuxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
6
sin
3
sin
3
,
π
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
3
sin
3
sin
3
,
π
π
π
⋅=
;
580
в)
()
xttxu
6
sin
3
sin
2
3
,
π
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
6
sin
3
2
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.30. Розв’язком рівняння
2
2
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
( 0,40 ≥
≤
≤
tx ),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,4,0
=
=
tutu
() () ()
2
4
cos0,,00, −=
′
= xxuxu
t
π
, є функція:
а)
()
xttxu
4
sin
4
3
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
; б)
()
xttxu
4
sin
3
sin
3
,
π
π
π
⋅=
;
в)
()
xttxu
4
sin
4
3
sin
3
4
,
π
π
π
⋅=
; г)
()
xttxu
4
sin
2
3
sin
3
2
,
π
π
π
⋅=
;
д) інша відповідь.
8.3.31. Розв’язком рівняння
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
( 0,20 ≥
≤
≤
tx ), який
задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,2,0
=
=
tutu
(
)
xxu
π
sin0,
=
, є
функція:
а)
()
xetxu
t
π
π
sin,
−
=
; б)
()
xetxu
t
π
π
sin,
4
2
−
=
;
в)
()
xetxu
t
π
π
sin,
2
2−
=
; г)
(
)
xetxu
t
π
π
sin,
2
−
= ;
д) інша відповідь.
8.3.32. Розв’язком рівняння
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,30 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( )
xxututu
3
2
sin0,,0,3,0
π
===
,
є функція: