Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
581
а)
()
xetxu
t
3
2
sin,
9
4
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
3
2
sin,
9
16
2
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
3
2
sin,
16
9
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
3
2
sin,
9
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.33. Розв’язком рівняння
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,20 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( )
xxututu
2
sin0,,0,2,0
π
===
,
є функція:
а)
()
xetxu
t
2
sin,
4
9
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
π
π
sin,
4
2
−
=
;
в)
()
xetxu
t
2
sin,
9
4
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
2
sin,
2
9
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.34. Розв’язком рівняння
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
),який
задовольняє умовам
()() ( ) ()
2
4
cos0,,0,4,0 −=== xxututu
π
,
є функція:
а)
()
xetxu
t
4
sin,
4
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
4
sin,
2
4
π
π
−
= ;
в)
()
xetxu
t
4
sin,
16
2
π
π
−
= ;
582
г)
()
xetxu
t
4
sin,
8
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.35. Розв’язком рівняння
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( ) ()
3
6
cos0,,0,6,0 −=== xxututu
π
,
є функція:
а)
()
xetxu
t
6
sin,
4
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
6
sin,
2
9
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
6
sin,
9
4
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
6
sin,
36
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.36. Розв’язком рівняння
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( ) ()
3
6
cos0,,0,6,0 −=== xxututu
π
, є
функція:
а)
()
xetxu
t
6
sin,
9
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
6
sin,
4
2
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
6
sin,
9
4
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
6
sin,
18
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
583
8.3.37. Роз’язком рівняння
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,80 ≥
≤
≤
tx
),
який задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,8,0 == tutu
() ()
4
8
cos0, −= xxu
π
, є функція:
а)
()
xetxu
t
8
sin,
64
9
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
8
sin,
2
9
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
8
sin,
16
9
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
8
sin,
9
16
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.38. Розв’язком рівняння
2
2
16
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
(
)
(
)
,0,4,0
=
=
tutu
() ()
2
4
cos0, −= xxu
π
, є функція:
а)
()
xetxu
t
4
sin,
4
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
4
sin,
2
16
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
4
sin,
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
4
sin,
16
2
π
π
−
= ; д) інша відповідь.
8.3.39. Розв’язком рівняння
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,20 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( )
xxututu
2
3
sin0,,0,2,0
π
===
,
є функція:
584
а)
()
xetxu
t
2
3
sin,
9
4
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
2
3
sin,
9
2
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
2
3
sin,
4
9
2
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
2
3
sin,
2
9
π
π
−
=
; д) інша відповідь.
8.3.40. Розв’язком рівняння
2
2
16
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,30 ≥
≤
≤
tx
), який
задовольняє умовам
()() ( )
xxututu
3
sin0,,0,3,0
π
===
, є
функція:
а)
()
xetxu
t
3
sin,
16
9
2
π
π
−
= ; б)
()
xetxu
t
3
sin,
9
16
2
π
π
−
=
;
в)
()
xetxu
t
3
sin,
2
16
π
π
−
= ;
г)
()
xetxu
t
3
sin,
9
2
π
π
−
=
; д) інша відповідь.
8.3.41. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,50 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
()() ( ) ()()
00,,5
25
4
0,,0,5,0 =
′
−=== xuxxxututu
t
.
а)
()
x
k
t
k
k
txu
k
5
sin
5
cos
132
,
1
33
ππ
π
⋅=
∑
∞
=
;
б)
()
()
(
)
(
)
x
k
t
k
k
txu
k
5
12
sin
5
12
cos
12
132
,
0
3
3
ππ
π
+
⋅
+
+
=
∑
∞
=
;
в)
()
()
(
)
(
)
x
k
t
k
k
txu
k
5
12
sin
5
12
sin
12
132
,
0
3
3
ππ
π
+
⋅
+
+
=
∑
∞
=
;
585
г)
()
x
k
t
k
k
txu
k
5
sin
5
sin
132
,
1
33
ππ
π
⋅=
∑
∞
=
; д) інша відповідь.
8.3.42. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤ tx
) при умовах:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
00,,40,,0,4,0
=
′
−
=
=
=
xuxxxututu
t
.
а)
()
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
3
3
4
12
sin
4
12
cos
12
1128
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
б)
()
∑
∞
=
⋅=
1
33
4
sin
2
cos
1128
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
в)
()
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
3
3
4
12
sin
2
12
cos
12
1128
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
г)
()
∑
∞
=
⋅=
1
33
4
cos
2
cos
1128
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
; д) інша відповідь.
8.3.43. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥≤
≤
tx
) при умовах:
()() ( )
()
()
00,
,63,6
3
1
,30,
3
1
0,,0,6,0
=
′
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
===
xu
xx
xx
xututu
t
.
а)
()
(
)
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
−
=
0
2
2
6
12
sin
3
12
cos
12
18
,
k
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
б)
()
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
2
2
6
12
sin
3
12
cos
12
18
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
в)
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
−
=
1
2
1
2
6
sin
3
cos
18
,
k
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
586
г)
()
∑
∞
=
⋅=
1
22
6
sin
6
sin
18
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
; д) інша відповідь.
8.3.44. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
4
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,50 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
() ()
(
)
(
)
0
0,,00,,0,5,0 vxuxututu
t
=
′
=
=
= .
а)
()
∑
∞
=
⋅=
1
22
0
5
sin
5
2
sin
110
,
k
x
k
t
k
k
v
txu
ππ
π
;
б)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
2
2
0
5
12
sin
5
122
cos
12
110
,
k
x
k
t
k
k
v
txu
ππ
π
в)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
2
2
0
5
12
sin
5
122
sin
12
1
2
5
,
k
x
k
t
k
k
v
txu
ππ
π
;
г)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
2
2
0
5
12
sin
5
122
sin
12
110
,
k
x
k
t
k
k
v
txu
ππ
π
;
д) інша відповідь.
8.3.45. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
9
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
()()
(
)
(
)
(
)
xxxuxututu
t
−
=
′
=
=
= 40,,00,,0,4,0 .
а)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
3
3
4
12
sin
4
123
sin
12
1
3
128
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
б)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
4
4
4
12
sin
4
123
cos
12
1
3
256
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
в)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
4
4
4
12
sin
4
123
sin
12
1
3
512
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
г)
()
()
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
3
3
4
12
sin
4
123
cos
12
1192
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
д) інша відповідь.
587
8.3.46. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння коливань
струни
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,80 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
()() () ()
()
⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
=
′
===
.84,82
,40,2
0,,00,,0,8,0
xx
xx
xuxututu
t
а)
()
(
)
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
−
=
0
3
3
8
12
sin
8
12
sin
12
1512
,
k
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
б)
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
−
=
1
3
1
3
8
sin
8
sin
1512
,
k
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
в)
()
(
)
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
−
=
0
3
3
8
12
sin
8
12
cos
12
1256
,
k
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
г)
()
()
()
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
+
=
0
3
3
8
12
sin
8
12
sin
12
1512
,
k
x
k
t
k
k
txu
ππ
π
;
д) інша відповідь.
8.3.47. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння теплопровід-
ності
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(0,60 ≥≤
≤
tx ) при умовах:
()
(
)
(
)
(
)
xxxututu
−
=
=
=
620,,0,6,0 .
а)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
36
12
3
3
6
12
sin
12
1288
,
2
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
б)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
36
12
3
3
6
12
sin
12
1576
,
2
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
в)
()
∑
∞
=
−
⋅=
1
36
33
6
sin
1576
,
22
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
г)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
36
12
2
2
6
12
sin
12
1288
,
2
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
588
д) інша відповідь.
8.3.48. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння теплопровід-
ності
2
2
4
t
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,40 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
() () ( ) ()
xxxututu −=== 4
2
1
0,,0,4,0
.
а)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
16
12
3
3
4
12
sin
12
1128
,
2
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
б)
()
∑
∞
=
−
⋅=
1
16
33
4
sin
132
,
22
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
в)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
4
12
3
3
4
12
sin
12
164
,
2
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
г)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
4
12
2
2
4
12
sin
12
116
,
2
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
д) інша відповідь.
8.3.49. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння теплопровід-
ності
2
2
4
t
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,60 ≥
≤
≤
tx
) при умовах:
() () ( )
()
⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
===
.63,63
,30,3
0,,0,6,0
xx
xx
xututu
а)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
9
12
2
2
6
12
sin
12
172
,
2
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
б)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
18
12
3
3
6
12
sin
12
136
,
2
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
в)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
36
12
2
2
6
12
sin
12
154
,
2
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
589
г)
()
()
∑
∞
=
−
+
⋅
−
=
1
36
2
1
2
6
sin
118
,
22
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
д) інша відповідь.
8.3.50. Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння теплопровід-
ності
2
2
9
t
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
0,80 ≥≤
≤
tx
) при умовах:
()() ( )
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
===
.84,8
4
1
,40,
4
1
0,,0,8,0
xx
xx
xututu
а)
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
=
0
64
129
2
2
8
12
sin
12
132
,
2
k
t
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
б)
()
()
∑
∞
=
−
+
⋅
−
=
1
64
9
2
1
2
8
sin
116
,
22
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
в)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
16
129
3
3
8
12
sin
12
18
,
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
г)
()
()
()
()
()
∑
∞
=
+
−
+
⋅
+
−
=
0
64
129
2
2
8
12
sin
12
18
,
2
k
t
k
k
x
k
e
k
txu
π
π
π
;
д) інша відповідь.
8.3.51. Розв’язком задачі Діріхле для круга
2
2
2
2
2
,0 Axu
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
( RconstA ,
=
- радіус кру-
га) є функція:
а)
()
ϕϕ
2sin
22
,
22
ArAR
ru += ; б)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAR
ru += ;
в)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAR
ru −= ; г)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAr
ru += ;
590
д) інша відповідь.
8.3.52. Розв’язком задачі Діріхле для круга
2
2
2
2
2
,0 Ayu
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,=
- радіус кру-
га) є функція:
а)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAR
ru −= б)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAR
ru += ;
в)
()
ϕϕ
2cos
22
,
22
ArAr
ru −= ; г)
()
ϕϕ
2sin
22
,
22
ArAR
ru += ;
д) інша відповідь.
8.3.53. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
cos,0
2
2
2
2
Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга) є функція:
а)
()
ϕϕ
cos,
2
2
R
Ar
ru =
; б)
(
)
ϕ
ϕ
cos, Aru
=
;
в)
()
ϕϕ
cos,
R
Ar
ru =
; г)
()
ϕϕ
cos,
r
AR
ru =
;
д) інша відповідь.
8.3.54. Розв’язком задачі Діріхле для круга
ϕ
2
2
2
2
2
cos,0 Au
y
u
x
u
Rr
==
∂
∂
+
∂
∂
=
(
RconstA ,
=
- радіус
круга)є функція:
а)
()
ϕϕ
2cos
22
,
2
2
2
2
R
Ar
R
Ar
ru += ; б)
()
ϕϕ
2sin
22
,
2
2
R
ArA
ru −= ;
в)
()
ϕϕ
2cos
22
,
R
Ar
R
Ar
ru += ; г)
()
ϕϕ
2cos
22
,
2
2
R
ArA
ru +=
;
д) інша відповідь.