Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
561
7.3.189. Знайти довжину дуги кривої, заданої рівняннями
⎩
⎨
⎧
−=
−=
,)cos1(5
,)sin(5
ty
ttx
π
≤
≤
t0 .
а)15; б)20; в)10; г)30; д) інша відповідь.
7.3.190. Знайти довжину дуги кривої, заданої рівнянням
22
,2
π
ϕ
π
ρ
ϕ
≤≤−= e
.
а)
2
4
π
she ; б)
2
π
she ; в) she ; г)
2
4
π
e ; д) інша відповідь.
7.3.191. Знайти довжину дуги кривої
3
0,cos6
π
ϕϕρ
≤≤= .
а)
π
; б)
π
2 ; в)
π
3 ; г)
π
4 ; д) інша відповідь.
7.3.192. Знайти роботу сили
F
G
при переміщенні вздовж лінії L
від точки
M
до точки N : jxyiyxF )2()2(
22
−+−= ,
L – відрізок прямої MN , )2;0(),0;4( NM
−
.
а)30; б)24; в)40; г)14; д) інша відповідь.
7.3.193. Знайти площу частини площини
6
632
=++
zyx
, вирізаної
координатними площинами.
а)
14 ; б)108; в) 14108 ; г)6; д) інша відповідь.
7.3.194. Обчислити потік векторного поля
(
)
MFF
G
G
= через
зовнішню сторону замкненої поверхні
σ
.
kyjyxizF +++= )(
G
;
0,0,0,222:
=
=
=
=
+
+ zyxzyx
σ
.
а)1; б)
3
2
; в)
3
1
− ; г)
3
1
; д) інша відповідь.
7.3.195. Знайти потік векторного поля
kzjyixF )1( −++=
G
через повну поверхню конуса )0(
222
Hzzyx ≤≤=+ ,
застосувавши формулу Остроградського.
562
а)
3
3
H
π
; б)
3
33
H
π
; в)
6
3
H
π
; г)
3
H
π
; д) інша
відповідь.
7.3.196. Знайти площу частини площини 6632
=
+
+
zyx ,
вирізаної координатними площинами.
а)
14 ; б)3; в) 143 ; г)6; д) інша відповідь.
7.3.197. Задано векторне поле
kzxjzyixF )()(3 −+++=
G
і
площина
33
=
+
+
zyx
(
P
), яка разом з координатними
площинами утворює піраміду V. Нехай
σ
– основа
піраміди, яка належить площині (
P
);
L
– контур, який
обмежує
σ
, n – зовнішня нормаль до
σ
. Обчислити
циркуляцію векторного поля
F
G
вздовж замкненого
контура
L
, застосувавши формулу Стокса до контура
L
і обмеженої ним поверхні
σ
з нормаллю n .
а)
3
10
; б)
3
11
; в)
3
10
−
; г)
6
−
; д) інша відповідь.
7.3.198. Задано векторне поле
kzyxjyizxF )(2)( −++++=
G
і
площина 22
=
+
+
zyx (
P
), яка разом з координатними
площинами утворює піраміду V. Нехай
σ
– основа
піраміди, яка належить площині (
P
); L – контур, який
обмежує
σ
, n – зовнішня нормаль до
σ
. Обчислити
циркуляцію векторного поля
F
G
вздовж замкненого
контура
L , застосувавши формулу Стокса до контура L
і обмеженої ним поверхні
σ
з нормаллю n .
а)-2; б)-1; в)1; г)2; д) інша відповідь.
563
7.3.199. Обчислити дивергенцію поля
kxzjzyiyxMF )()()()(
222
+++++=
G
в точці )3;2;1(
0
−
M .
а) 4; б) 2; в) -4; г) 3; д) інша відповідь.
7.3.200. Обчислити ротор векторного поля
kxyjzxiyzMF )()()()( −+−+−=
G
.
а) (-2;2;2); б) (2;2;2); в) (2;-2;-2);
г) (2;2;-2); д) інша відповідь.
564
8 Елементи теорії рівнянь
математичної фізики
8.1 Теоретичні питання
8.1.1. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь в частин-
них похідних. Класифікація лінійних рівнянь другого по-
рядку, їх зведення до канонічного виду. Постановка кра-
йових задач для рівнянь математичної фізики.
8.1.2. Поперечні коливання нескінченної струни. Формула Да-
ламбера.
8.1.3. Вільні коливання скінченної струни. Метод Фур’є.
8.1.4. Вимушені коливання струни, коливання струни в середо-
вищі з опором.
8.1.5. Поздовжні коливання стержня.
8.1.6. Рівняння теплопровідності в стержні. Метод Фур’є.
8.1.7. Теплопровідність в нескінченному стержні.
8.1.8. Задачі, що приводять до рівняння Лапласа. Постановка
крайових задач. Рівняння Лапласа в полярних координа-
тах.
8.1.9. Внутрішня та зовнішня задачі Діріхле для круга. Метод
Фур’є.
8.1.10. Задача Діріхле для півплощини.
8.2 Тестові теоретичні завдання
8.2.1. Вказати загальний розв’язок рівняння 0
2
2
=
∂
∂
x
u
(
ϕ
,f -
довільні функції).
565
а)
()
(
)
(
)
yyxfyxu
ϕ
+
=
, ; б)
(
)
(
)
(
)
yxyfyxu
ϕ
+
=
, ;
в)
(
)()
(
)
yfxxyxu
+
=
ϕ
,
;
г)
(
)
(
)
(
)
xyxfyxu
ϕ
+
=
,
; д) інша відповідь.
8.2.2. Вказати загальний розв’язок рівняння
0
2
=
∂∂
∂
yx
u
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
yxxfyxu
ϕ
+
=
,
; б)
(
)
(
)
(
)
yxyfyxu
ϕ
+
=
,
;
в)
(
)()
(
)
yxfyxu
ϕ
+
=
,
;
г)
()
(
)
(
)
yxxyfyxu
ϕ
+
=
,
; д) інша відповідь.
8.2.3. Вказати загальний розв’язок рівняння
0
2
2
=
∂
∂
y
u
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
xyyfyxu
ϕ
+
=
,
; б)
(
)
(
)
(
)
xxyfyxu
ϕ
+
=
,
;
в)
(
)()
(
)
xyxfyxu
ϕ
+
=
,
;
г)
()
(
)
(
)
yyxfyxu
ϕ
+
=
,
; д) інша відповідь.
8.2.4. Вказати загальний розв’язок рівняння
1
2
2
=
∂
∂
x
u
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
yxyfxyxu
ϕ
++=
2
,
; б)
() () ()
yxxfxyxu
ϕ
+−=
2
2
1
,
;
в)
(
)
(
)
(
)
yxyfxyxu
ϕ
+−−=
2
,
;
г)
() () ()
yyxfxyxu
ϕ
++=
2
2
1
,
; д) інша відповідь.
8.2.5. Вказати загальний розв’язок рівняння
1
2
=
∂∂
∂
yx
u
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
566
а)
(
)
(
)
(
)
yxxfxyyxu
ϕ
+
+
=
2,
; б)
(
)
(
)
(
)
yxfxyyxu
ϕ
+
+
=
,
;
в)
()
(
)
(
)
yxyfxyyxu
ϕ
+
+=,
; г)
(
)
(
)
(
)
yxxfxyyxu
ϕ
+
+
=
,
;
д) інша відповідь.
8.2.6. Вказати загальний розв’язок рівняння
1
2
2
=
∂
∂
y
u
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
xyxfyyxu
ϕ
++=
2
,
; б)
() () ()
xyyxfyyxu
ϕ
++=
2
2
1
,
;
в)
() () ()
xxyfyyxu
ϕ
++=
2
2
1
,
;
г)
()
(
)
(
)
yxyfyyxu
ϕ
++−=
2
,
; д) інша відповідь.
8.2.7. Вказати загальний розв’язок рівняння
x
x
u
6
2
2
=
∂
∂
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
yyxfxyxu
ϕ
++=
3
,
; б)
(
)
(
)
(
)
yyxfyyxu
ϕ
++=
3
,
;
в)
()
(
)
(
)
yxyfyxyxu
ϕ
++=
3
,
; г)
(
)
(
)
(
)
yxyfxyxu
ϕ
++=
3
,
;
д) інша відповідь.
8.2.8. Вказати загальний розв’язок рівняння
y
y
u
6
2
2
=
∂
∂
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
а)
()
(
)
(
)
xyxfyyxu
ϕ
++=
3
,
; б)
(
)
(
)
(
)
yxyfyyxu
ϕ
++−=
3
,
;
в)
()
(
)
(
)
yxyfyyxu
ϕ
++=
3
,
; г)
(
)
(
)
(
)
xxyfyyxu
ϕ
++=
3
,
;
д) інша відповідь.
8.2.9. Вказати загальний розв’язок рівняння
xy
yx
u
4
2
=
∂∂
∂
(
ϕ
,f
-
довільні функції).
567
а)
(
)()
(
)
yxfyxyxu
ϕ
+++=
22
,
; б)
(
)
(
)
(
)
yxfyxyxu
ϕ
++=
22
,
;
в)
(
)
(
)
(
)
yxxyfyxyxu
ϕ
++=
22
,
;
г)
()
(
)
(
)
yxfxyyxu
ϕ
+
+
=
4,
; д) інша відповідь.
8.2.10. Вказати загальний розв’язок рівняння
yx
yx
u
+=
∂∂
∂
2
(
ϕ
,f
- довільні функції).
а)
() ()()()
yxfyxxyyxu
ϕ
++−=
2
1
,
;
б)
(
)
(
)
(
)
(
)
yxfyxxyyxu
ϕ
+
+
+
=
2,
;
в)
() ()()()
yxfyxxyyxu
ϕ
+++=
2
1
,
;
г)
() ()()()
yxxyfyxxyyxu
ϕ
+++=
2
1
,
;
д) інша відповідь.
8.2.11. Рівняння вільних коливань струни має вид:
а)
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
; б)
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
; в)
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
;
г)
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
+=
∂
∂
; д) інша відповідь.
8.2.12. Рівняння теплопровідності в стержні має вид:
а)
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
2
; б)
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
; в)
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
;
г)
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
; д) інша відповідь.
8.2.13. Рівняння Лапласа має вид:
568
а)
0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
; б) 0
2
2
2
2
=
∂
∂
⋅
∂
∂
y
u
x
u
; в) 0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
;
г)
2
2
2
2
2
a
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
; д) інша відповідь.
8.2.14. Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої
на кінцях
()()
,0,,0,
2
2
2
2
2
==
∂
∂
=
∂
∂
tlutu
x
u
a
t
u
()()
,0, xfxu =
(
)
00,
=
′
xu
t
має вид:
а)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sincos,
n
l
nn
dxx
l
n
xf
l
Ax
l
n
t
l
an
Atxu
πππ
;
б)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sinsin,
n
l
nn
dxx
l
n
xf
l
Ax
l
n
t
l
an
Atxu
πππ
;
в)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sinsin,
n
l
nn
dxx
l
n
xf
an
Ax
l
n
t
l
an
Atxu
π
π
ππ
;
г)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sincos,
n
l
nn
dxx
l
n
xf
an
Ax
l
n
t
l
an
Atxu
π
π
ππ
;
д) інша відповідь.
8.2.15. Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої
на кінцях
()()
,0,,0,
2
2
2
2
2
==
∂
∂
=
∂
∂
tlutu
x
u
a
t
u
()
(
)
(
)
xxuxu
t
ϕ
=
′
= 0,,00, має вид:
а)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sinsin,
n
l
nn
dxx
l
n
x
l
Bx
l
n
t
l
an
Btxu
π
ϕ
ππ
;
б)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sinsin,
n
l
nn
dxx
l
n
x
an
Bx
l
n
t
l
an
Btxu
π
ϕ
π
ππ
;
569
в)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sincos,
n
l
nn
dxx
l
n
x
l
Bx
l
n
t
l
an
Btxu
π
ϕ
ππ
;
г)
() ()
∑
∫
∞
=
=⋅=
1
0
sin
2
,sincos,
n
l
nn
dxx
l
n
x
an
Bx
l
n
t
l
an
Btxu
π
ϕ
π
ππ
;
д) інша відповідь.
8.2.16. Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої
на кінцях
()()
,0,,0,
2
2
2
2
2
==
∂
∂
=
∂
∂
tlutu
x
u
a
t
u
()
(
)
(
)()
xxuxfxu
t
ϕ
=
′
=
0,,0, має вид:
а)
()
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
sinsincos,
n
nn
x
l
n
t
l
an
Bt
l
an
Atxu
πππ
,
() ()
∫∫
==
l
n
l
n
dxx
l
n
xf
an
Bdxx
l
n
x
l
A
00
sin
2
,sin
2
π
π
π
ϕ
;
б)
()
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
sinsincos,
n
nn
x
l
n
t
l
an
Bt
l
an
Atxu
πππ
,
() ()
∫∫
==
l
n
l
n
dxx
l
n
x
l
Bdxx
l
n
xf
l
A
00
sin
2
,sin
2
π
ϕ
π
;
в)
()
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
sinsincos,
n
nn
x
l
n
t
l
an
Bt
l
an
Atxu
πππ
,
() ()
∫∫
==
l
n
l
n
dxx
l
n
x
an
Bdxx
l
n
xf
l
A
00
sin
2
,sin
2
π
ϕ
π
π
;
г)
()
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
sinsincos,
n
nn
x
l
n
t
l
an
Bt
l
an
Atxu
πππ
,
570
() ()
∫∫
==
l
n
l
n
dxx
l
n
x
l
Bdxx
l
n
xf
an
A
00
sin
2
,sin
2
π
ϕ
π
π
;
д) інша відповідь.
8.2.17. Розв’язок задачі про вільні коливання нескінченної стру-
ни
()()()()
xxuxfxu
x
u
a
t
u
t
ϕ
=
′
=
∂
∂
=
∂
∂
0,,0,,
2
2
2
2
2
має вид:
а)
()
(
)
(
)
()
∫
+
−
+
−−+
=
atx
atx
dyy
a
atxfatxf
txu
ϕ
2
1
2
,
;
б)
()
(
)
(
)
()
∫
+
−
+
++−
=
atx
atx
dyy
atxfatxf
txu
ϕ
2
1
2
,
;
в)
()
(
)
(
)
()
∫
+
−
+
++−
=
atx
atx
dyy
a
atxfatxf
txu
ϕ
1
2
,
;
г)
()
(
)
(
)
()
∫
+
−
+
++−
=
atx
atx
dyy
a
atxfatxf
txu
ϕ
2
1
2
,
;
д) інша відповідь.
8.2.18. Розв’язок задачі теплопровідності в стержні
() () ( ) ()
xfxutlutu
x
u
a
t
u
===
∂
∂
=
∂
∂
0,,0,,0,
2
2
2
має
вид:
а)
() ()
∫
∑
=⋅=
∞
=
−
l
n
n
t
l
na
n
dxx
l
an
xf
l
Ax
l
an
eAtxu
0
1
sin
2
,sin,
2
222
ππ
π
;
б)
() ()
∫
∑
=⋅=
∞
=
−
l
n
n
t
l
na
n
dxx
l
n
xf
l
Ax
l
n
eAtxu
0
1
sin
2
,sin,
2
222
ππ
π
;
в)
() ()
∫
∑
=⋅=
∞
=
−
l
n
n
t
l
na
n
dxx
l
n
xf
an
Ax
l
n
eAtxu
0
1
sin
2
,sin,
2
222
π
π
π
π
;