Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
521
а)
()
(
)
(
)
,,
xyz
I
yzd I xz d I xyd
σσσ
γ
σγσγσ
=+ =+ =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
б)
222
,,
xyz
I
xd I yd I zd
σσσ
γ
σγσγσ
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
22 22 22
,,
xyz
IxydIyzdIzxd
σσσ
γ
σγσγσ
=+ =+ =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
г)
(
)
(
)
(
)
22 22 2 2
,,
xyz
I
y
zd I xzd I x
y
d
σσσ
γ
σγσγσ
=+ =+ =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.59. Момент інерції відносно початку координат ма-
теріальної поверхні
σ
, поверхнева густина якої
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знаходиться за формулою:
а)
(
)
222
0
I
xyzd
σ
γ
σ
=++
∫∫
; б)
(
)
0
I
xyzd
σ
γ
σ
=++
∫∫
;
в)
222
0
I
xyzd
σ
γ
σ
=++
∫∫
;
г)
()
2222
0
I
xyz d
σ
γ
σ
=++
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.60. Зв’язок між поверхневими інтегралами першого
і другого роду. Якщо
(
)
,, ,PPxyz=
(
)
,, ,QQxyz=
(
)
,,
R
Rxyz= - функції, задані в точках поверхні
σ
, ,,
α
βγ
- кути між нормаллю до вибраної сто-
рони поверхні
σ
та осями
,,Ox Oy Oz
відповідно,
то має місце рівність:
а)
(
)
cos cos cosP dydz Q dzdx R dxdy P Q R d
σσ
α
βγ σ
++=++
∫∫ ∫∫
;
б)
(
)
cos cos cosPdydz Qdzdx Rdxdy P Q R d
σσ
α
βγσ
++= + +
∫∫ ∫∫
;
в)
(
)
222
cos cos cos
P
d
y
dz Qdzdx Rdxd
y
PQ Rd
σσ
α
βγσ
++= + +
∫∫ ∫∫
;
522
г)
cos cos cos
PQR
Pdydz Qdzdx Rdxdy d
σσ
σ
αβγ
⎛⎞
++= ++
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.61. Формула Остроградського-Гаусса встановлює
зв’язок між:
а) поверхневими інтегралами першого і другого родів;
б) подвійними і поверхневими інтегралами;
в) криволінійними і поверхневими інтегралами;
г) потрійними і поверхневими інтегралами;
д) інша відповідь.
7.2.62. Формула Остроградського-Гаусса має вид
(
()
(
)
,, , ,, ,PPxyzQQxyz==
(
)
,,
R
Rxyz= ,
σ
- за-
мкнена поверхня, що обмежує область
V ):
а)
V
PQR
dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy
xyz
σ
⎛⎞
∂∂∂
++ = + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∫∫∫ ∫∫
;
б)
()
V
PQR
P Q R dxdydz dydz dzdx dxdy
xyz
σ
∂
∂∂
++ = + +
∂∂∂
∫∫∫ ∫∫
;
в)
V
PQR
dxdydz Pdxdy Qdydz Rdzdx
xyz
σ
⎛⎞
∂∂∂
++ = + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∫∫∫ ∫∫
;
г)
222
222
V
PQR
dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy
xyz
σ
⎛⎞
∂∂∂
++ = + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∫∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.63. Формула Стокса встановлює зв’язок між:
а) криволінійними і поверхневими інтегралами;
б) криволінійними і потрійними інтегралами;
в) подвійними і криволінійними інтегралами;
г) подвійними і потрійними інтегралами;
д) інша відповідь.
523
7.2.64. Формула Стокса має вид (
(
)
,, ,PPxyz=
(
)
,, ,QQxyz=
(
)
,,
R
Rxyz= , L - замкнений контур,
що обмежує поверхню
σ
):
а)
L
RQ PR QP
Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy
yz zx xy
σ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
++= + ++ + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
;
б)
L
RQ PR QP
Pdx Qdy Rdz dydz dzdx d xdy
zy xz yx
σ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
++= − +− + −
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
;
в)
L
RQ PR QP
Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy
yz zx xy
σ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
++= − +− + −
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
;
г)
L
RQ PR QP
Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy
xy yz zx
σ
⎛⎞⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
++= − +− + −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.65. Робота сили
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,
F
Pxyzi Qxyz j Rxyzk=++
по
переміщенню матеріальної точки вздовж кривої
L
дорівнює:
а)
(
)
L
PQRdl++
∫
; б)
L
Pdx Qdy Rdz++
∫
;
в)
L
Pdy Qdz Rdx++
∫
;
г)
222
L
Pdx Qdy Rdz++
∫
; д) інша відповідь.
7.2.66. Потік вектора
()
(
)
(
)
,, ,, ,,
F
Pxyzi Qxyz j Rxyzk=++
через поверхню
σ
знаходиться за формулою:
а) П Pdxdy Qdydz Rdzdx
σ
=++
∫∫
;
б) П
(
)
PQRd
σ
σ
=++
∫∫
;
в) П Pdydz Qdzdx Rdxdy
σ
=++
∫∫
;
524
г) П
PQR
dydz dzdx dxdy
xyz
σ
∂∂∂
=++
∂∂∂
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.67. Циркуляція вектора
(
)
(
)
,, ,,FPxyziQxyzj
=
++
()
,,
R
xyzk+
вздовж замкненого контура L знахо-
диться за формулою:
а) Ц
L
Pdy Qdz Rdx=++
∫
; б) Ц
(
)
L
PQRdl=++
∫
;
в) Ц
L
PQR
dx dy dz
x
yz
∂
∂∂
=++
∂∂∂
∫
;
г) Ц
L
Pdx Qdy Rdz=++
∫
; д) інша відповідь.
7.2.68. Градієнтом скалярного поля
(
)
,,uuxyz= назива-
ється:
а) скаляр
uuu
grad u
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
;
б) вектор
uuu
grad u i j k
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
;
в) вектор
22 2
22 2
uuu
grad u i j k
x
yz
∂∂∂
=++
∂∂∂
;
г) скаляр
2
22
uuu
grad u
x
yz
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=++
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
;
д) інша відповідь.
7.2.69. Дивергенцією векторного поля
()
(
)()
,, ,, ,,F Pxyzi Qxyz j Rxyzk=++
називається:
а) вектор
PQR
div F i j k
x
yz
∂
∂∂
=+ +
∂∂∂
;
525
б) скаляр
222
222
PQR
divF
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
;
в) вектор
22 2
22 2
PQ R
div F i j k
x
yz
∂∂ ∂
=++
∂∂∂
;
г) скаляр
PQR
divF
x
yz
∂∂∂
=++
∂∂∂
;
д) інша відповідь.
7.2.70. Ротором векторного поля
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,F Pxyzi Qxyz j Rxyzk=++
називається:
а) вектор
RQ PR QP
rot F i j k
yz zx xy
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
;
б) вектор
RQ PR QP
rot F i j k
zy xz yx
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
;
в) вектор
QR RP PQ
rot F i j k
zy xz yx
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
= − +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
;
г) скаляр
22
2
R
QPRQP
rotF
y
zzxxy
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
;
д) інша відповідь.
7.2.71. Векторне поле
(
)
(
)
,, ,,FPxyziQxyzj
=
++
()
,,
R
xyzk+
називається соленоїдальним, якщо:
а)
0rot F
=
; б) 0PQR
+
+=; в) 0divF
=
;
г) 0gradF
=
; д) інша відповідь.
7.2.72. Векторне поле
(
)
(
)
,, ,,FPxyziQxyzj
=
++
()
,,
R
xyzk+
буде потенціальним, якщо:
526
1)
0divF =
; 2) 0rot F
=
; 3) P Q R const
+
+= ;
4) Існує таке скалярне поле
(
)
,,uuxyz= , що Fgradu=
.
З наведених тверджень правильними є:
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 2 і 3;
г) тільки 2; д) інша відповідь.
7.2.73. Які з наведених нижче рівностей є правильними
(
()
,,uuxyz=
,
(
)()
(
)
,, ,, ,,F Pxyzi Qxyz j Rxyzk=++
)?
1)
(
)
0grad rot F
=
; 2) ugradu∇=
;
3)
()
0div rot F
=
; 4)
uuu
u
x
yz
∂∂∂
Δ= + +
∂∂∂
.
а) 1 і 2; б) 3 і 4; в) 1, 2 і 3;
г) тільки 2; д) інша відповідь.
7.2.74. Які з наведених нижче рівностей є правильними
(
()
,,uuxyz=
,
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,FPx
y
zi Qx
y
z
j
Rx
y
zk=++
)?
1)
F
divF∇=
; 2)
()
0rot di vF
=
;
3)
()
div divF F
=
Δ
; 4)
()
0rot grad u
=
.
а) 1 і 2; б) 3 і 4; в) тільки 1;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
7.2.75. Які з наведених нижче рівностей є правильними
(
()
,,uuxyz=
,
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,FPx
y
zi Qx
y
z
j
Rx
y
zk=++
)?
1) FrotF∇× =
; 2)
()
rot grad u u
=
Δ
;
3)
()
div grad u u
=
Δ
; 4)
()
rot rot F F
=
Δ
.
а) 1 і 2; б) 1 і 3; в) 3 і 4;
г) тільки 1; д) інша відповідь.
527
7.3 Тестові практичні завдання
7.3.1. Змінити порядок інтегрування:
()
2
11
00
,
x
dx f x y dy
−
∫∫
.
а)
()
2
1
1
00
,
y
dy f x y dx
−
∫∫
; б)
()
2
1
1
10
,
y
dy f x y dx
−
−
∫∫
;
в)
()
2
2
1
0
1
1
,
y
y
dy f x y dx
−
−
−−
∫∫
; г)
()
2
10
0
1
,
y
dy f x y dx
−−
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.3.2. Змінити порядок інтегрування:
()
11
00
,
x
dx f x y dy
−
∫∫
.
а)
()
1
1
10
,
y
dy f x y dx
−
−
∫∫
; б)
()
1
1
00
,
y
dy f x y dx
−
∫∫
;
в)
()
11
00
,dy f x y dx
∫∫
; г)
()
10
01
,
y
dy f x y dx
−
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.3.3. Змінити порядок інтегрування:
()
2
11
0
,
x
dx f x y dy
∫∫
.
а)
()
2
1
00
,
y
dy f x y dx
∫∫
; б)
()
1
00
,
y
dy f x y dx
∫∫
;
в)
()
2
1
01
,
y
dy f x y dx
∫∫
; г)
()
11
0
,
y
dy f x y dx
∫∫
;
д) інша відповідь.
528
7.3.4. Змінити порядок інтегрування:
()
2
1
1
10
,
y
dy f x y dx
−
−
∫∫
.
а)
()
2
11
00
,
x
dx f x y dy
−
∫∫
; б)
()
2
11
01
,
x
dx f x y dy
−
−
∫∫
;
в)
()
2
2
11
0
1
,
x
x
dx f x y dy
−
−−
∫∫
; г)
()
2
2
11
1
1
,
x
x
dx f x y dy
−
−
−−
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.3.5. Обчислити
∫∫
D
ydxdy , якщо D задана нерівностями:
22
1, 0, 0xy x y+≤ ≥ ≥.
а)
3
2
; б)
2
1
; в)
3
1
; г)
3
1
−
;
д) інша відповідь.
7.3.6. Обчислити
D
x
dxdy
∫∫
, якщо D задана нерівностями:
22
1, 0, 0xy x y+≤ ≥ ≥.
а)
3
1
; б)
3
1
−
; в)
2
1
; г)
2
1
−
; д) інша відповідь.
7.3.7. Обчислити
∫∫
D
xydxdy , якщо D обмежена лініями
2
,
y
xyx==.
а)
20
1
; б)
24
1
; в)
2
1
; г)
2
1
− ; д) інша відповідь.
7.3.8.
Обчислити
∫∫
D
xydxdy , якщо D обмежена лініями
2
,
y
xy x==.
529
а)
6
1
−
; б)
6
1
; в)
12
1
; г)
10
1
; д) інша
відповідь.
7.3.9. Обчислити
∫∫
D
dxdyxy
2
, якщо D обмежена лініями
2
,
y
xy x==−.
а)
3
1
; б)
3
1
−
; в)
40
13
; г)
120
1
; д) інша відповідь.
7.3.10. Обчислити
∫∫
−
D
dxdyxx )2(
3
, якщо D обмежена
лінією
22
2
x
yy+=.
а)
3
1
; б) -1; в) 0; г) 1; д) інша відповідь.
7.3.11. Обчислити
∫∫
D
xdxdyysin , якщо D – прямокутник
,0 1
2
x
y
π
π
≤≤ ≤≤.
а) 1; б) 0; в)
2
1
; г)
2
1
− ; д) інша відповідь.
7.3.12. Обчислити
∫∫
+
D
dxdyyx )( , якщо D – трикутник з
вершинами О (0;0), А(1;0), B(0;1).
а)
0
; б)
3
1
; в)
6
1
; г)
2
1
; д) інша відповідь.
7.3.13. Обчислити
∫∫
+
D
dxdyyx )( , якщо D – трикутник з
вершинами О (0;0), А(1;0), B(1;1).
а)
2
1
; б)
2
1
− ; в) 1; г) 0; д) інша відповідь.
530
7.3.14. Обчислити
∫∫
+
D
dxdyyx )( , якщо D – трикутник
з вершинами О (0;0), А(1;1), B(2;0).
а)
3
4
; б)
3
1
; в) 1; г) 0; д) інша відповідь.
7.3.15. Обчислити
∫∫
+
D
dxdyyx )(
, якщо D – паралелограм
з вершинами А(-1;0), B(0;1), C(2;1), D(1;0).
а) 0; б) -2; в) 2; г) 0; д) інша відповідь.
7.3.16. Обчислити
∫∫
+
D
dxdyyx )( , якщо D – прямокутник
510,2 4xy≤≤ ≤≤.
а) 10; б) 100; в) 105; г) 0; д) інша відповідь.
7.3.17. Обчислити
∫∫
D
dxdyxy
2
, якщо D обмежена лініями
2
,1
y
xx==.
а) 1; б)
3
2
; в)
21
4
; г)
120
1
; д) інша відповідь.
7.3.18. Обчислити
∫∫
D
dxdyxy
2
, якщо D обмежена лініями
0, 1,
y
xyx===.
а) 1; б)
3
2
; в)
21
2
; г)
2
3
; д) інша відповідь.
7.3.19. Обчислити
∫∫
D
dxdyxy
2
, якщо D обмежена лініями
0, 1,yxyx===−
.
а) 1; б)
3
2
; в)
2
3
; г)
21
2
; д) інша відповідь.