Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
501
7.2.10. Які з наведених нижче формул не можуть
бути правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
d
Dyc
f
x y dxdy dx f x y dy
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,,
xy
Dxy
f
x y dxdy dx f x y dy
ϕψ
ϕψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dax
f
x y dxdy dx f x y dy
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dxa
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
.
а) 1 і 2; б) 2, 3 і 4; в) 2 і 4;
г) всі; д) інша відповідь.
7.2.11. Які з наведених нижче формул не можуть бути
правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
b
Dya
f
x y dxdy dy f x y dx
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
2)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
d
Dxc
f
x y dxdy dx f x y dy
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,,
yx
Dyx
f
x y dxdy dx f x y dy
ψϕ
ψϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
d
Dcy
f
x y dxdy dy f x y dx
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
.
а) 1, 2 і 3; б) 1, 2 і 4; в) 1 і 3;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
7.2.12. Які з наведених нижче формул є правильними ?
502
1)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
b
Day
f
x y dxdy dx f x y dy
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
2)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
d
Dcy
f
x y dxdy dy f x y dx
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dax
f
x y dxdy dx f x y dy
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dxa
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
.
а) 1, 2 і 3; б) тільки 3; в) 2 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
7.2.13. Які з наведених нижче формул є правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
b
Day
f
x y dxdy dx f x y dy
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,,
xy
Dxy
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕψ
ϕψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
d
Dcx
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dax
f
x y dxdy dx f x y dy
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) 2 і 4;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
7.2.14. Які з наведених нижче формул є правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
b
Dxa
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
;
503
2)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
b
Day
f
x y dxdy dx f x y dy
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
2
1
,,
y
y
d
Dc
f
x y dxdy dy f x y dx
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,,
x
d
Dcx
f
x y dxdy dy f x y dx
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
.
а) 2 і 3; б) 1 і 4; в) 3 і 4;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
7.2.15. Подвійний інтеграл
(
)
,
D
I
fxydxdy=
∫∫
в полярних
координатах
,
ρ
ϕ
набуває виду:
а)
(
)
cos , sin
D
I
fdd
ρ
ϕρ ϕ ρϕ
∗
=
∫∫
;
б)
(
)
cos , sin
D
I
fdd
ρ
ϕρ ϕρ ρϕ
∗
=
∫∫
;
в)
(
)
2
cos , sin sin
D
I
fdd
ρ
ϕρ ϕ ρ ϕ ρϕ
∗
=
∫∫
;
г)
(
)
,
D
I
fdd
ρ
ϕρρϕ
∗
=
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.16. Якщо поверхня
σ
задана рівнянням
(
)
,zfxy= і
проектується на площину
Oxy
в область
D
, то її
площа
S знаходиться за формулою:
а)
() ()
22
,,
xy
D
Sfxyfxydxdy
′′
=+
∫∫
;
б)
()
2
1,
D
S f x y dxdy=+
∫∫
;
в)
() ()
22
1, ,
xy
D
Sfxyfxydxdy
′′
=+ +
∫∫
;
504
г)
()
(
)
()
22
,,
xy
D
Sfxyfxydxdy
′′
=+
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.17. Маса матеріальної пластини, яка займає область
D на площині і поверхнева густина якої
()
,
x
y
γγ
= , обчислюється за формулою:
а)
()
,
D
mxyxydxdy
γ
=
∫∫
; б)
()
(
)
,
D
mxyxydxdy
γ
=+
∫∫
;
в)
()
(
)
22
,
D
mxyxydxdy
γ
=+
∫∫
; г)
(
)
,
D
mxydxdy
γ
=
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.18. Координати центра ваги матеріальної пластини,
яка займає область
D
на площині і поверхнева
густина якої
(
)
,
x
y
γγ
=
, знаходяться за формула-
ми:
а)
(
)
()
(
)
()
,,
,
,,
DD
cc
DD
y
x y dxdy x x y dxdy
xy
x
ydxdy xydxdy
γγ
γγ
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
;
б)
(
)
()
(
)
()
,,
,
,,
DD
cc
DD
x
x y dxdy y x y dxdy
xy
x
ydxdy xydxdy
γγ
γγ
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
;
в)
(
)
()
(
)
()
22
,,
,
,,
DD
cc
DD
x
x y dxdy y x y dxdy
xy
x
ydxdy xydxdy
γγ
γγ
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
;
г)
(
)
(
)
,,
,
DD
cc
DD
x
x y dxdy y x y dxdy
xy
dxdy dxdy
γγ
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
505
7.2.19. Моменти інерції матеріальної пластини, яка
займає область
D
на площині і поверхнева гус-
тина якої
(
)
,
x
y
γγ
=
, відносно координатних
осей і відносно початку координат обчислюють-
ся за формулами:
а)
(
)
(
)
(
)
(
)
22 22
0
,, ,, ,
xy
DDD
I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdy
γγ γ
===+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
б)
(
)
(
)
(
)
(
)
22 22
0
,, ,, ,
xy
DDD
I x xydxdy I y xydxdy I x y xydxdy
γγ γ
===+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
(
)
0
,, ,, ,
xy
DDD
I
x xydxdy I y xydxdy I x y xydxdy
γγ γ
===+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
г)
() () ()
22
0
,, ,, ,
xy
DDD
I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdy
γγ γ
===+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.20. Які з наведених нижче рівностей справедливі
для потрійного інтеграла?
1)
((,,) (,,)) (,,) (,,)
VVV
f
x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz±= ±
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
2)
(,,) (,,)) (,,) (,,)
VVV
f
x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz⋅= ⋅
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
3)
()
()
(
)
()
,,
,,
,,
,,
V
V
V
f
x y z dxdydz
fxyz
dxdydz
gxyz
g
x y z dxdydz
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
;
4)
()
(
)
(
)
,, ,,
VV
C
f
x
y
zdxd
y
dz C
f
x
y
zdxd
y
dz C const==
∫∫∫ ∫∫∫
.
а) 1 і 2; б) тільки 4; в) 1 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
7.2.21. Які з наведених нижче формул не можуть бути
правильними ?
1)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
xxy
b
Vaxxy
f
xyzdxdydz dx dy f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
506
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
yxy
d
Vycxy
f
xyzdxdydz dx dy f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
yxy
d
Vcyxy
f
xyzdxdydz dy dx f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,, ,,
zy
b
Vazy
f
xyzdxdydz dx dy f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
а) тільки 2; б) 2 і 4; в) 3 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
7.2.22. Які з наведених нижче формул не можуть бути
правильними ?
1)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
xxz
b
Vaxxz
f
xyzdxdydz dx dz f xyzdy
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
yxy
b
Vayxy
f
xyzdxdydz dx dz f xyzdy
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,, ,,
zx
d
Vczx
f
xyzdxdydz dy dx f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
yyz
d
Vcyyz
f
xyzdxdydz dy dz f xyzdx
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
а) тільки 3; б) 1 і 2; в) 2 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
7.2.23. Які з наведених нижче формул є правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,
,
,, ,
xy
VDxy
f
x y z dxdydz dxdy f x y dz
ψ
ψ
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
(D - проекція
V на площину Oxy );
507
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
zxy
d
Vzcxy
f
x y z dxdydz dx dy f x y z dz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
zxz
l
Vkzxz
f
xyzdxdydz dz dx f xyzdy
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,, ,,
x
VDx
f
x y z dxdydz dydz f x y z dx
ϕ
ϕ
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
( D - проекція
V на площину Oyz ).
а) 1 і 4; б) тільки 3; в) 1 і 3;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
7.2.24. Які з наведених нижче формул є правильними ?
1)
() ()
()
(
)
2
1
,
,
,, ,,
xz
VDxz
f
x y z dxdydz dxdz f x y z dy
ψ
ψ
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
( D - проекція
V на площину Oxz );
2)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
zyz
l
Vkzyz
f
x y z dxdydz dz dy f x y z dx
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
3)
() ()
()
(
)
()
(
)
22
11
,
,
,, ,,
yxy
b
Vyaxy
f
xyzdxdydz dy dx f xyzdz
ϕψ
ϕψ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
;
4)
() ()
()
(
)
2
1
,, ,,
z
VDz
f
x y z dxdydz dxdy f x y z dz
ϕ
ϕ
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
( D - проекція
V на площину Oxy ).
а) 1 і 4; б) тільки 1; в) 2 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
7.2.25. Потрійний інтеграл
(
)
,,
V
I
f x y z dxdydz=
∫∫∫
в цилі-
ндричних координатах
,,z
ρ
ϕ
набуває виду:
508
а)
(
)
cos , sin ,
V
I
fzdddz
ρ
ϕρ ϕ ρϕ
∗
=
∫∫∫
;
б)
(
)
cos , sin ,
V
I
fzdddz
ρ
ϕρ ϕ ρ ρϕ
∗
=
∫∫∫
;
в)
(
)
2
cos , sin , sin
V
I
fzdddz
ρ
ϕρ ϕ ρ ϕ ρϕ
∗
=
∫∫∫
;
г)
(
)
sin , cos ,
V
I
fzdddz
ρ
ϕρ ϕ ρ ρϕ
∗
=
∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.26. Потрійний інтеграл
()
,,
V
I
f x y z dxdydz=
∫∫∫
в сфе-
ричних координатах
,,
ρ
ϕθ
набуває виду:
а)
()
2
sin cos , sin sin , cos sin
V
I
fddd
ρ
θϕρθϕρθρ θρϕθ
∗
=
∫∫∫
;
б)
()
2
cos cos , cos sin , sin sin
V
I
fddd
ρ
θϕρθϕρθρ θρϕθ
∗
=
∫∫∫
;
в)
()
2
sin cos , sin sin , cos
V
I
fddd
ρ
θϕρθϕρθρρϕθ
∗
=
∫∫∫
;
г)
()
sin cos , sin sin , cos
V
I
fddd
ρ
θϕρθϕρθρϕθ
∗
=
∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.27. Маса тіла
V , густина якого
(
)
,,
x
yz
γγ
=
, обчис-
люється за формулою:
а)
()
,,
V
m xyz x y z dxdydz
γ
=
∫∫∫
; б)
(
)
,,
V
m x y z dxdydz
γ
=
∫∫∫
;
в)
(
)
(
)
,,
V
mxyzxyzdxdydz
γ
=++
∫∫∫
;
г)
(
)
(
)
222
,,
V
mxyzxyzdxdydz
γ
=++
∫∫∫
;
д) інша відповідь.
509
7.2.28. Координати центра ваги тіла
V
, густина яко-
го
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знаходяться за формулами (m -
маса тіла):
а)
(
)
(
)
(
)
222
,, ,, ,,
,,;
VVV
ccc
x
x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz
xyz
mmm
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
б)
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,
,,
VV V
cc c
yz x y z dxdydz xz x y z dxdydz xy x y z dxdydz
xy z
mm m
γγ γ
== =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
,, ,, ,,
,,
VVV
ccc
x
x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz
xyz
mmm
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
г)
(
)
(
)
(
)
222
,, ,, ,,
,,
VVV
ccc
x
x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz
xyz
mmm
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.29. Моменти інерції відносно координатних осей
тіла
V , густина якого
(
)
,,
x
yz
γγ
=
, знаходяться
за формулами:
а)
222
,,
xyz
VVV
I
xdxd
y
dz I
y
dxd
y
dz I z dxd
y
dz
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
б)
22 22 2 2
,,
xyz
VVV
I
y z dxdydz I x z dxdydz I x y dxdydz
γγγ
=+ =+ =+
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
222 222 2 22
,,
xyz
VVV
I
y z dxdydz I x z dxdydz I x y dxdydz
γγγ
=+ =+ =+
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
г)
(
)
(
)
(
)
22 22 2 2
,,
xyz
VVV
I
y z dxdydz I x z dxdydz I x y dxdydz
γγγ
=+ =+ =+
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.30. Моменти інерції відносно координатних площин
тіла
V , густина якого
(
)
,,
x
yz
γγ
=
, знаходяться
за формулами:
а)
222
,,
xy yz zx
VVV
I
z dxdydz I x dxdydz I y dxdydz
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
510
б)
22 22 22
,,
xy yz zx
VVV
I x y dxdydz I y z dxdydz I z x dxdydz
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
в)
22 22 22
,,
xy yz zx
VVV
I
zdxd
y
dz I x dxd
y
dz I
y
dxd
y
dz
γγγ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
г)
22 22 22
,,
xy yz zx
VVV
I x y dxdydz I y z dxdydz I z x dxdydz
γγγ
=+ =+ =+
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.31. Момент інерції відносно початку координат тіла
V , густина якого
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знаходиться за
формулою:
а)
222
0
V
I
xyzdxdydz
γ
=++
∫∫∫
; б)
222
0
V
I
xyz dxdydz
γ
=
∫∫∫
;
в)
(
)
222
0
V
I
xyzdxdydz
γ
=++
∫∫∫
;
г)
()
2222
0
V
I
xyz dxdydz
γ
=++
∫∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.32. Які з наведених нижче рівностей справедливі
для криволінійного інтеграла першого роду ?
1)
(
)()
,,
AB AB
Cf xydl C f xydl=
∫∫
;
2)
(
)()
,,
AB BA
f
xydl f xydl=−
∫∫
;
3)
()
(
)
(
)
(
)
,, , ,
AB AB AB
f
xy gxydl f xydl gxydl⋅= ⋅
∫∫∫
;
4)
()
(
)
()
(
)
(
)
,, , ,
AB AB AB
f
xy g xy dl f xydl g xydl±= ±
∫∫∫
.
а) 3 і 4; б) 1, 2, і 4; в) тільки 1;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.