Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
511
7.2.33. Які з наведених нижче рівностей справедливі
для криволінійного інтеграла першого роду ?
1)
(
)
(
)
,,
AB BA
f
xydl f xydl=−
∫∫
;
2)
(
)
(
)
,,
AB BA
f
xydl f xydl=
∫∫
;
3)
(
)
(
)
(
)
,,,
ACB AC CB
f
x y dl f x y dl f x y dl=+
∫∫∫
;
4)
(
)
(
)
,,
AB AB
Cf xydl C f xydl=
∫∫
;
а) 1 і 3; б) 2 і 3; в) 1, 3 і 4 ;
г) тільки 2; д) інша відповідь.
7.2.34. Якщо крива AB задана рівнянням
(
)
,
y
yx a x b=≤≤, то для обчислення криволіній-
ного інтеграла першого роду має місце формула:
а)
() ()
()
()
2
,,1
b
AB a
f
x y dl f x y x y x dx
′
=+
∫∫
;
б)
() ()
()
,,
b
AB a
f
x y dl f x y x dx=
∫∫
;
в)
() ()
()
()
,,
b
AB a
f
x y dl f x y x y x dx
′
=
∫∫
;
г)
() ()
()
()
2
,,1
b
AB a
f
x y dl f x y x y x dx=+
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.35. Якщо крива
A
B
задана рівнянням
(
)
,
x
xy c y d=≤≤
, то для обчислення криволіній-
ного інтеграла першого роду має місце формула:
512
а)
() ()
()
()
,,
d
AB c
f
x y dl f x y y x y dy
′
=
∫∫
;
б)
() ()
()
()
()
2
,,1
d
AB c
f
x y dl f x y y x y dy
′
=+
∫∫
;
в)
() ()
()
()
2
,,1
d
AB c
f
x y dl f x y y x y dy
′
=+
∫∫
;
г)
() ()
()
,,
d
AB c
f
x y dl f x y y dy=
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.36. Якщо крива
A
B задана параметричними рівнян-
нями
(
)
(
)
,,xxt yyt t
α
β
== ≤≤, то для обчислен-
ня криволінійного інтеграла першого роду має
місце формула:
а)
( ) () ()
()
() ()
,,
AB
f
xydl f xt yt x t y tdt
β
α
′′
=
∫∫
;
б)
( ) () ()
()
,,
AB
f
xydl f xt yt dt
β
α
=
∫∫
;
в)
( ) () ()
()
()
()
2
,,1
AB
yt
f
xydl f xt yt dt
xt
β
α
⎛⎞
′
=+
⎜⎟
⎜⎟
′
⎝⎠
∫∫
;
г)
( ) () ()
()
() ()
22
,,
AB
f
xydl f xt yt x t y t dt
β
α
′′
=+
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.37. Якщо просторова крива AB задана параметрич-
ними рівняннями
(
)
(
)
,,
x
xt y yt==
()
,zzt t
α
β
=≤≤, то для обчислення криволіній-
ного інтеграла першого роду має місце формула:
513
а)
( ) () () ()
()
() () ()
222
,, , ,
AB
f
xyzdl f xt yt zt x t y t z t dt
β
α
′′′
=++
∫∫
;
б)
( ) () () ()
()
,, , ,
AB
f
xyzdl f xt yt zt dt
β
α
=
∫∫
;
в)
( ) () () ()
()
() () ()
,, , ,
AB
f
xyzdl f xt yt zt x t y t z tdt
β
α
′′′
=
∫∫
;
г)
( ) () () ()
()
() () ()
()
222
,, , ,
AB
f
xyzdl f xt yt zt x t y t z t dt
β
α
′′′
=++
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.38. Довжина кривої AB обчислюється за формулою:
а)
22
AB
Lxydl=+
∫
; б)
AB
L
dl
π
=
∫
; в)
AB
L
dl=
∫
;
г)
()
22
1
2
AB
Lxydl=+
∫
; д) інша відповідь.
7.2.39. Маса плоскої матеріальної кривої
A
B , лінійна
густина якої
(
)
,
x
y
γγ
= , обчислюється за форму-
лою:
а)
(
)
,
AB
mxyxydl
γ
=
∫
; б)
(
)
,
AB
mxydl
γ
=
∫
;
в)
()
22
,
AB
mxyxydl
γ
=+
∫
; г)
()
2
1,
AB
mxydl
γ
=+
∫
;
д) інша відповідь.
7.2.40. Координати центра ваги плоскої матеріальної
кривої AB , лінійна густина якої
(
)
,
x
y
γγ
= , зна-
ходяться за формулами:
514
а)
(
)
()
(
)
()
22
,,
,
,,
AB AB
cc
AB AB
x
xydl y xydl
xy
x
ydl xydl
γγ
γγ
==
∫∫
∫∫
;
б)
(
)
()
(
)
()
,,
,
,,
AB AB
cc
AB AB
x
xydl y xydl
xy
x
ydl xydl
γγ
γγ
==
∫∫
∫∫
;
в)
(
)
(
)
,,
,
AB AB
cc
AB AB
x
xydl y xydl
xy
dl dl
γγ
==
∫∫
∫∫
;
г)
(
)
()
(
)
()
,,
,
,,
AB AB
cc
AB AB
y
xydl x xydl
xy
x
ydl xydl
γγ
γγ
==
∫∫
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.41. Моменти інерції відносно координатних осей і
відносно початку координат плоскої матеріаль-
ної кривої
A
B , лінійна густина якої
(
)
,
x
y
γγ
= ,
знаходяться за формулами:
а)
()
(
)
(
)
(
)
22 22
0
,, ,, ,
xy
AB AB AB
I x xydl I y xydl I x y xydl
γγ γ
===+
∫∫∫
;
б)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,, ,, ,
xy
AB AB AB
I y xydl I x xydl I x y xydl
γγ γ
===+
∫∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
(
)
22 22
0
,, ,, ,
xy
AB AB AB
IyxydlIxxydlI xyxydl
γγ γ
===+
∫∫∫
;
г)
() () ()
22 22
0
,, ,, ,
xy
AB AB AB
I y xydl I x xydl I x y xydl
γγ γ
===+
∫∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.42. Які з наведених нижче рівностей справедливі
для криволінійного інтеграла другого роду?
515
1)
()
(
)
(
)
(
)
,, ,,
AB AB
CPxydx Qxydy C Pxydx Qxydy+= +
∫∫
(
C const
=
);
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,
ACB AC CB
P
xydx Qxydy Pxydx Qxydy Pxydx Qxydy+= ++ +
∫∫∫
;
3)
(
)
(
)
(
)
(
)
,, ,,
AB BA
Pxydx Qxydy Pxydx Qxydy+= +
∫∫
;
4)
()
(
)
(
)
(
)
,, ,,
AB BA
Pxydx Qxydy Pxydx Qxydy+=− +
∫∫
.
а) 1 і 2; б) 1, 2 і 4; в) 2 і 3;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
7.2.43. Якщо крива AB задана рівнянням
(
)
,yyx axb=≤≤, то для обчислення криволіній-
ного інтеграла другого роду має місце формула:
а)
() () ()
()
()
()
,, , ,
b
AB a
Pxydx Qxydy Pxyx Qxyx dx
⎡
⎤
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
б)
() () ()
()
()
()
()
,, , ,
b
AB a
Pxydx Qxydy Pxyx Qxyx y x dx
⎡
⎤
′
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
в)
() () ()
()
()
()
()
,, , ,
b
AB a
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx
⎡⎤
′
+= +
⎣⎦
∫∫
;
г)
() () ()
()
()
()
()
2
,, , ,
b
AB a
P
xydx Qxydy P xy x Qxy x y x dx
⎡
⎤
′
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.44. Якщо крива
A
B
задана рівнянням
(
)
,
x
xy c y d=≤≤
, то для обчислення криволіній-
ного інтеграла другого роду має місце формула:
а)
() () ()
()
()
()
,, , ,
d
AB c
P x y dx Q x y dy P x y y Q x y y dy
⎡
⎤
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
516
б)
() () ()
()
()
()
()
,, , ,
d
AB c
P
xydx Qxydy Pxy y Qxy y x ydy
⎡⎤
′
+= +
⎣⎦
∫∫
;
в)
() () ()
()
()
()
()
2
,, , ,1
d
AB c
P
xydx Qxydy Pxy y Qxy y x ydy
⎡⎤
′
+= + +
⎣⎦
∫∫
;
г)
() () ()
()
() ()
()
,, , ,
d
AB c
P
xydx Q xydy Px y y x y Qx y y dy
⎡
⎤
′
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.45. Якщо крива
A
B задана параметричними рівнян-
нями
(
)
(
)
,,xxt yyt t
αβ
==≤≤, то для обчислен-
ня криволінійного інтеграла другого роду має
місце формула:
а)
() () ()()
()
() () ()
()
()
,, , ,
AB
P
xydx Qxydy Pxt yt x t Qxt yt y t dt
β
α
⎡
⎤
′′
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
б)
() () ()()
()
() ()
()
,, , ,
AB
P x y dx Q x y dy P x t y t Q x t y t dt
β
α
⎡
⎤
+= +
⎣
⎦
∫∫
;
в)
() () ()()
()
() ()
()
() ()
,, , ,
AB
P
xydx Qxydy Pxt yt Qxt yt x ty tdt
β
α
⎡⎤
′′
+= +
⎣⎦
∫∫
;
г)
() () ()()
()
() ()
()
() ()
22
,, , ,
AB
Pxydx Qxydy Pxt yt Qxt yt x t y tdt
β
α
⎡⎤
′′
+= + +
⎣⎦
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.46. Зв’язок між криволінійними інтегралами першо-
го і другого роду. Якщо
α
і
β
- кути, які скла-
дає напрямна дотична до кривої
A
B
з осями від-
повідно
Ox і Oy , то має місце рівність:
а)
()
(
)
(
)
(
)
()
,cos ,cos , ,
AB AB
Pxy dx Qxy dy Pxy Qxy dl
αβ
+=+
∫∫
;
517
б)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
,, ,cos,cos
AB AB
P
xydx Q xydy Pxy Qxy dl
βα
+= +
∫∫
;
в)
()
(
)()
(
)
(
)
, , ,cos ,cos
AB AB
Pxydx Qxydy Pxy Qxy dl
αβ
+= +
∫∫
;
г)
()
(
)()
(
)
(
)
, , ,sin ,sin
AB AB
Pxydx Qxydy Pxy Qxy dl
αβ
+= +
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.47. Формула Гріна встановлює зв’язок між:
а) криволінійними інтегралами першого і другого роду;
б) подвійними і криволінійними інтегралами;
в) криволінійними і поверхневими інтегралами;
г) подвійними і потрійними інтегралами;
д) інша відповідь.
7.2.48. Формула Гріна має вид (
(
)
(
)
,, ,,PPxyQQxy==L -
замкнений контур, що обмежує область D і об-
ходиться в додатному напрямі):
а)
DL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
⎛⎞
∂∂
+=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫
;
б)
DL
PQ
dxdy Pdx Qdy
xy
⎛⎞
∂∂
−=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫
;
в)
DL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
⎛⎞
∂∂
−=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫
;
г)
DL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
⎛⎞
∂∂
+=−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫
;
д) інша відповідь.
7.2.49. Яка з формул для обчислення площі області D ,
обмеженої контуром
L не є правильною ?
а)
1
2
L
Sydxxdy=+
∫
; б)
L
Sxdy=
∫
; в)
1
2
L
Sxdyydx=−
∫
;
518
г)
L
Sydx=−
∫
; д) інша відповідь.
7.2.50. Інтеграл
(
)
(
)
,,
AB
Pxydx Qxydy+
∫
не залежить від
форми шляху інтегрування, якщо виконана умо-
ва:
а)
QP
x
y
∂∂
=−
∂∂
; б)
QP
x
x
∂
∂
=
∂
∂
; в)
PQ
x
y
∂
∂
=
∂
∂
; г)
PQ
y
x
∂
∂
=
∂
∂
;
д) інша відповідь.
7.2.51. Інтеграл
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,
AB
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz++
∫
не
залежить від форми шляху інтегрування, якщо
виконані умови:
а)
,,
PQQRRP
x
yy zzx
∂
∂∂ ∂∂∂
===
∂
∂∂∂∂∂
;
б)
,,
PQQRRP
y
xz yxz
∂
∂∂ ∂∂∂
===
∂
∂∂∂∂∂
;
в)
,,
PQQRRP
x
xyyzz
∂
∂∂ ∂∂∂
===
∂
∂∂∂∂∂
;
г)
,,
PQQRRP
y
zzxxy
∂
∂∂ ∂∂∂
===
∂
∂∂∂∂∂
;
д) інша відповідь.
7.2.52. Якщо поверхня
σ
задана рівнянням
(
)
,zzxy= і
проектується на площину
Oxy
в область
D
, то
для обчислення поверхневого інтеграла першого
роду має місце формула:
а)
() ()
(
)
() ()
,, ,, , 1 , ,
xy
D
f
xyzd f xyzxy z xy z xy dxdy
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
б)
() ()
(
)
() ()
22
,, ,, , , ,
xy
D
f
xyzd f xyz xy z xy z xy dxdy
σ
σ
′′
=+
∫∫ ∫∫
;
519
в)
() ()
(
)
() ()
22
,, ,, , 1 , ,
xy
D
f
xyzd f xyz xy z xy z xy dxdy
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
г)
(
)
(
)
()
,, ,, ,
D
f
x y z d f x y z x y dxdy
σ
σ
=
∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.53. Якщо поверхня
σ
задана рівнянням
(
)
,
x
xyz= і
проектується на площину Oyz в область D , то
для обчислення поверхневого інтеграла першого
роду має місце формула:
а)
() ()
(
)
() ()
22
,, , ,, 1 , ,
yz
D
f
x
y
zd
f
x
y
z
y
zx
y
zxx
y
d
y
dz
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
б)
() ()
(
)
() ()
,, , ,, 1 , ,
yz
D
f
x
y
zd
f
x
y
z
y
zx
y
zxx
y
d
y
dz
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
в)
() ()
(
)
() ()
22
,, , ,, , ,
yz
D
f
x y z d f x y z y z x y z x x y dydz
σ
σ
′′
=+
∫∫ ∫∫
;
г)
() ()
(
)
() ()
22
,, , ,, 1 , ,
D
f
xyzd f x yz yz x yz x xy dydz
σ
σ
=++
∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.54. Якщо поверхня
σ
задана рівнянням
(
)
,yyxz=
і
проектується на площину
Oxz
в область
D
, то
для обчислення поверхневого інтеграла першого
роду має місце формула:
а)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
,, , , , 1 , ,
xz
D
f
xyzd f xy xz z y xz y xz dxdz
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
б)
() ()
(
)
() ()
22
,, , , , 1 , ,
xz
D
f
x y z d f x y x z z y x z y x z dxdz
σ
σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
;
в)
() ()
(
)
() ()
22
,, , , , , ,
xz
D
f
x
y
zd
f
x
y
xz z
y
xz
y
x z dxdz
σ
σ
′′
=+
∫∫ ∫∫
;
г)
()
(
)
(
)
,, , , ,
D
f
x y z d f x y x z z dxdz
σ
σ
=
∫∫ ∫∫
; д) інша відповідь.
520
7.2.55. Площу поверхні
σ
можна обчислити за фор-
мулою:
а) Sxyzd
σ
σ
=
∫∫
; б) Sd
σ
σ
=
∫
∫
; в)
(
)
Sxyzd
σ
σ
=++
∫∫
;
г)
()
222
Sxyzd
σ
σ
=++
∫∫
; д) інша відповідь.
7.2.56. Маса матеріальної поверхні
σ
, поверхнева гус-
тина якої
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знаходиться за формулою:
а)
(
)
,,mxxyzd
σ
γ
σ
=
∫∫
; б)
(
)
,,myxyzd
σ
γ
σ
=
∫∫
;
в)
()
,,mxyzd
σ
γ
σ
=
∫∫
; г)
(
)
,,mxyzxyzd
σ
γ
σ
=
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.57. Координати центра ваги матеріальної поверхні
σ
, поверхнева густина якої
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знахо-
дяться за формулами (
m - маса поверхні):
а)
111
,,
ccc
x
yz d y xz d z xy d
mmm
σσσ
γ
σγσγσ
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
б)
222
111
,,
ccc
x
xd y yd z zd
mmm
σσσ
γ
σγσγσ
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
в)
111
,,
ccc
x
xd y yd z zd
mmm
σσσ
γ
σγσγσ
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
г)
222
222
111
,,
ccc
x
xd y yd z zd
mmm
σσσ
γ
σγσγσ
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.58. Моменти інерції відносно координатних осей
матеріальної поверхні
σ
, поверхнева густина
якої
(
)
,,
x
yz
γγ
= , знаходяться за формулами: