Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
491
розкладено в неповний ряд Фур’є за косинусами.
Знайти суму цього ряду в точці
π
4
11
−=
x .
а)
2
2
− ; б)
2
2
; в) 0; г) 1; д) інша відповідь.
6.3.228. Періодичну функцію
(
)
2
xxf = з періодом
π
2
=
T ,
задану на проміжку
()
π
;0
∈
x
, розкладено в неповний
ряд Фур’є за косинусами. Знайти суму цього ряду в
точці
π
5
−
=
x .
а)
2
25
π
− ; б)
2
25
π
; в)
2
π
; г)
2
4
π
; д) інша відповідь.
6.3.229. Періодичну функцію
(
)
xf з періодом
2
=
T
, задану на
проміжку
(
)
1;0
∈
x :
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∈−
∈
=
1;5,0,3,0
5,0;0,3,0
x
x
xf
,
розкладено в неповний ряд Фур’є за косинусами.
Знайти суму цього ряду в точці 5,2
−
=
x .
а) 0; б) 0,3; в) –0,3; г) 0,15; д) інша відповідь.
6.3.230. Періодичну з періодом 2=
T
функцію
(
)
xf задану на
проміжку
(
)
1;0
∈
x :
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∉−
∈
=
5;0,3,0
5;0,3,0
x
x
xf
розкладено в
неповний ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього
ряду в точці 75,0
−
=
x .
а) 0; б) –0,3; в) 0,3; г) –0,15; д) інша відповідь.
6.3.231. Періодичну функцію
(
)
(
)
xxxf
−
= 2 з періодом 4=
T
,
задану на проміжку
()
2;0
∈
x розкладено в неповний
ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього ряду в точці
5,2
−
=x .
а) 0,75; б) –11,25; в) –0,5; г) 0,5; д) інша відповідь.
492
6.3.232. Періодичну функцію
(
)
xxf = з періодом 6
=
T ,
задану на проміжку
(
)
3;0
∈
x розкладено в неповний
ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього ряду в точці
3−=x
.
а) –3; б) 0; в) 3; г) 1,5; д) інша відповідь.
6.3.233. Періодичну функцію
(
)
2+
=
xxf з періодом 4
=
T
,
задану на проміжку
(
)
2;0
∈
x , розкладено в неповний
ряд Фур’є за косинусами. Знайти суму цього ряду в
точці
5
−
=x .
а) 3; б) 1; в) –3; г) 2; д) інша відповідь.
6.3.234. Періодичну функцію
(
)
xf з періодом
π
2
=
T
, задану
на проміжку
(
)
π
;0
∈
x :
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈+−
=
π
π
π
;
2
,0
2
;0,1
x
xx
xf
,
розкладено в неповний ряд Фур’є за косинусами.
Знайти суму цього ряду в точці
4
π
−=x
.
а)
4
5
π
; б)
4
3
π
; в)
4
π
− ; г) 0; д) інша відповідь.
6.3.235. Періодичну функцію
(
)
(
)
xxxf
−
=
π
з періодом
π
2=T , задану на проміжку
(
)
π
;0
∈
x , розкладено в
неповний ряд Фур’є за косинусами. Знайти суму цього
ряду в точці
4
5
π
−=x .
а)
16
3
2
π
; б)
16
3
2
π
− ; в)
16
5
2
π
; г)
16
5
2
π
− ; д) інша відповідь.
493
6.3.236. Періодичну функцію
(
)
xf з періодом
4
=
T
, задану
на проміжку
(
)
2;0
∈
x :
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∈
∈
=
2;1,
1;0,2
xx
x
xf
, розкладено
в неповний ряд Фур’є за косинусами. Знайти суму
цього ряду в точці
3
−
=
x .
а) –2; б) 1; в) 1,5; г) 2; д) інша відповідь.
6.3.237. Періодичну функцію
(
)
xf з періодом 4
=
T
, задану на
проміжку
(
)
2;0
∈
x
:
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∈
∈
=
2;1,1
1;0,
x
xx
xf
, розкладено в
неповний ряд Фур’є за косинусами. Знайти суму цього
ряду в точці
4
−
=
x .
а) 0; б) 1; в) –4; г) –1; д) інша відповідь.
6.3.238. Періодичну функцію
()
xxf −=
4
π
з періодом
π
2
=
T ,
задану на проміжку
()
π
;0
∈
x , розкладено в неповний
ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього ряду в точці
π
2
−
=x .
а) 0; б)
4
π
; в)
4
7
π
; г)
4
π
− ; д) інша відповідь.
6.3.239. Періодичну функцію
()
2
π
+= xxf з періодом
π
2
=
T ,
задану на проміжку
()
π
;0
∈
x , розкладено в неповний
ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього ряду в точці
2
5
π
−=x .
а)
π
; б)
π
2
−
; в)
2
π
; г) 0; д) інша відповідь.
494
6.3.240. Періодичну функцію
(
)
52
−
= xxf з періодом
4=
T
, задану на проміжку
(
)
2;0
∈
x розкладено в
неповний ряд Фур’є за синусами. Знайти суму цього
ряду в точці
5
−
=
x
.
а) 5; б) 1; в) 3; г) –3; д) інша відповідь.
495
7 Інтегральне числення функцій
декількох змінних. Елементи теорії поля
7.1 Теоретичні питання
7.1.1. Подвійний інтеграл. Означення та властивості.
7.1.2. Обчислення подвійних інтегралів в декартових
координатах.
7.1.3. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвій-
ний інтеграл в полярних координатах.
7.1.4. Геометричні та фізичні застосування подвійних
інтегралів.
7.1.5. Потрійний інтеграл. Означення та властивості.
7.1.6. Обчислення потрійних інтегралів в декартових
координатах.
7.1.7. Заміна змінних у потрійному інтегралі. Потрій-
ний інтеграл в циліндричних та сферичних коор-
динатах.
7.1.8. Застосування потрійних інтегралів.
7.1.9. Криволінійний інтеграл першого роду. Означення
та властивості.
7.1.10. Обчислення криволінійних інтегралів першого
роду.
7.1.11. Криволінійний інтеграл другого роду. Означен-
ня та властивості.
7.1.12. Обчислення криволінійних інтегралів другого
роду.
7.1.13. Застосування криволінійних інтегралів першого
і другого роду.
496
7.1.14. Поверхневий інтеграл першого роду. Озна-
чення та властивості.
7.1.15. Обчислення поверхневих інтегралів першого ро-
ду.
7.1.16. Поверхневий інтеграл другого роду. Означення
та властивості.
7.1.17. Обчислення поверхневих інтегралів другого ро-
ду.
7.1.18. Взаємозв’язок між криволінійними інтегралами
першого та другого роду та між поверхневими
інтегралами першого та другого роду.
7.1.19. Застосування поверхневих інтегралів першого і
другого роду.
7.1.20. Формула Гріна.
7.1.21. Умови незалежності криволінійного інтеграла
від форми шляху інтегрування.
7.1.22. Формула Стокса.
7.1.23. Формула Остроградського-Гаусса.
7.1.24. Потік векторного поля через поверхню. Дивер-
генція.
7.1.25. Циркуляція векторного поля. Ротор.
7.1.26. Потенціальне поле.
7.2 Тестові теоретичні завдання
7.2.1. Які з наведених нижче тверджень є правильними?
1) Обмеженість функції
(
)
,
f
xy в обмеженій за-
мкненій області D є достатньою умовою її ін-
тегровності в цій області.
497
2) Неперервність функції
(
)
,
f
xy в обмеженій
замкненій області
D є достатньою умовою її
інтегровності в цій області.
3) Обмеженість функції
(
)
,
f
xy в обмеженій за-
мкненій області D є необхідною умовою її ін-
тегровності в цій області.
4) Неперервність функції
(
)
,
f
xy
в обмеженій за-
мкненій області D є необхідною умовою її ін-
тегровності в цій області.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) тільки 3;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
7.2.2. Які з наведених нижче тверджень є правильними?
1) Якщо функція
(
)
,
f
xy
інтегровна в області D ,
то вона неперервна в цій області.
2) Якщо функція
(
)
,
f
xy
інтегровна в обмеженій
замкненій області
D
, то вона обмежена в цій
області.
3) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy була інтегров-
ною в області D необхідно і достатньо, щоб
область була обмеженою і замкненою, а функ-
ція – обмеженою в цій області.
4) Якщо функція неперервна в обмеженій замкне-
ній області
D
, то вона інтегровна в цій облас-
ті.
а) тільки 2; б) тільки 3; в) 2 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
7.2.3. Які з наведених нижче тверджень не є правиль-
ними ?
498
1) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy була інтегровною в
області
D необхідно, щоб вона була непере-
рвною в цій області.
2) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy була інтегровною
в області D необхідно, щоб вона була обмеже-
ною в цій області.
3) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy
була інтегровною
в області D достатньо, щоб вона була обмеже-
ною в цій області.
4) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy була інтегровною
в області D достатньо, щоб область була обме-
женою і замкненою, а функція була непере-
рвною в цій області.
а) 2 і 3; б) тільки 1; в) 1 і 3;
г) тільки 2; д) інша відповідь.
7.2.4. Які з наведених нижче тверджень не є правиль-
ними ?
1) Для того, щоб функція
()
,
f
xy була інтегров-
ною в обмеженій замкненій області D необ-
хідно і достатньо, щоб функція була непере-
рвною в цій області.
2) Для того, щоб функція
()
,
f
xy
була інтегров-
ною в обмеженій замкненій області
D
необ-
хідно, щоб функція була обмеженою в цій об-
ласті.
3) Для того, щоб функція
()
,
f
xy була інтегров-
ною в обмеженій замкненій області D достат-
ньо, щоб вона була неперервною в цій області.
499
4) Для того, щоб функція
(
)
,
f
xy була інтег-
ровною в обмеженій замкненій області
D до-
статньо, щоб вона була обмеженою в цій обла-
сті.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) тільки 1;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
7.2.5. Які з наведених нижче рівностей справедливі для
подвійного інтеграла ?
1)
()
(
)
,,
DD
f
x y dxdy f x y dydx=−
∫∫ ∫∫
;
2)
()
(
)()
(
)
,, , ,
DDD
f
xy g xydxdy f xydxdy g xydxdy⋅= ⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
3)
()
(
)
()
(
)
(
)
,, , ,
DDD
f
xy g xy dxdy f xydxdy g xydxdy±= ±
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
4)
()
(
)
,,
DD
Cf x y dxdy C f x y dxdy=
∫∫ ∫∫
( C const
=
).
а) 2 і 3; б) тільки 3; в) 2 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
7.2.6. Які з наведених нижче тверджень справедливі для
подвійного інтеграла ?
1) Якщо в області D функція
(
)
,0fxy≥
, то
(
)
,0
D
fxydxdy≥
∫∫
;
2) Якщо область
12
DD D
=
∪ , причому
1
D і
2
D не
мають спільних внутрішніх точок, то
(
)
(
)
(
)
12
,,,
DDD
f
x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
;
500
3)
Для довільних обмежених замкнених обла-
стей
1
D і
2
D справедлива рівність
()
(
)
(
)
12 1 2
,,,
DD D D
f
x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
∩
;
4)
D
x
dxdy S
=
∫∫
, де
S
- площа області D .
а) 1, 2 і 4; б) 1, 2 і 3; в) 1 і 2;
г) всі; д) інша відповідь.
7.2.7. Якщо
m і
M
- відповідно найменше і найбільше
значення функції
(
)
,
f
xy
в області D , а S - пло-
ща цієї області, то має місце оцінка подвійного
інтеграла:
а)
()
,
D
SS
fxydxdy
M
m
≤≤
∫∫
; б)
(
)
,
D
mS f x y dxdy MS≤≤
∫∫
;
в)
()
,
D
mM
fxydxdy
SS
≤≤
∫∫
; г)
() ()
,
D
f
x y dxdy M m S≤−
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.8. Середнім значенням функції
(
)
,
f
xy в області D
називається величина (
S
- площа області D ):
а)
(
)
,
D
S f x y dxdy
∫∫
; б)
()
1
,
D
f
x y dxdy
S
∫∫
;
в)
()
2
1
,
D
f
x y dxdy
S
∫∫
; г)
()
1
,
D
f
x y dxdy
S
∫∫
;
д) інша відповідь.
7.2.9. За якою формулою можна обчислити площу плос-
кої фігури
D ?
а)
D
x
dxdy
∫∫
; б)
D
y
dxdy
∫∫
; в)
D
x
ydxdy
∫∫
; г)
D
dxdy
∫
∫
;
д) інша відповідь.