Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
211
3.2.46. В інтегралі
(
)
sin , cos
R
xxdx
∫
використовується
підстановка виду:
а)
tgx t
=
; б)
2
x
tg t= ; в)
tgt x
=
;
г)
2
t
tg x
=
; д) інша відповідь.
3.2.47. Яка з вказаних задач не приводить до поняття
визначеного інтеграла:
а) задача про площу криволінійної трапеції;
б)
задача про кутовий коефіцієнт дотичної до кривої;
в)
задача про масу неоднорідного лінійного стержня;
г) задача про роботу змінної сили; д) інша відповідь.
3.2.48. Інтеграл
()
a
a
f
xdx
∫
дорівнює:
а) 1;
б)
a
; в)
∞
; г) 0; д) інша відповідь.
3.2.49. Якщо функція
(
)
f
x є неперервною на
[
]
;ab, то
функція
() ()
x
a
Fx ftdt=
∫
є диференційованою в
кожній точці цього відрізка і похідна
(
)
F
x
′
до-
рівнює:
а)
()
f
x
′
; б)
(
)
f
a ; в)
(
)
f
x ; г) 0; д) інша відповідь.
3.2.50. Невласний інтеграл 1-го роду
()
f
xdx
+∞
−∞
∫
буде
збіжним, якщо буде збіжним:
а) кожний з інтегралів
() ()
,,
c
c
fxdx fxdx c
+∞
−∞
−
∞< <+∞
∫∫
;
212
б) хоча б один з інтегралів
() ()
,
c
c
f
xdx f xdx
+∞
−∞
∫∫
;
в)
()
c
f
xdx
−∞
∫
; г)
()
c
f
xdx
+∞
∫
; д) інша відповідь.
3.2.51. Щоб інтеграл
()
b
a
f
xdx
∫
був невласним 2-го роду
підінтегральна функція
(
)
f
x
на
[
]
;ab
має бути:
а) обмеженою; б) необмеженою; в) визначеною;
г) неперервною; д) інша відповідь.
3.2.52. Яка з наведених формул не належить до формул
наближеного обчислення визначеного інтеграла:
а) формула прямокутників; б) формула трапецій;
в) формула Ньютона-Лейбніца;
г) формула Симпсона; д) інша відповідь.
3.2.53. Функція
(
)
Fx називається первісною для функ-
ції
()
f
x на множині
X
, якщо для всіх
x
X
∈
ви-
конується рівність:
а)
() ()
Fx fx
′
=
; б)
(
)
(
)
f
xFx
′
=
; в)
(
)
(
)
f
xFx
′
′
=
;
г)
()
(
)
f
x F x const−=; д) інша відповідь.
3.2.54. Нехай
(
)
Fx і
(
)
x
Φ - первісні для функції
(
)
f
x
на
()
;ab
. Тоді на
(
)
;ab
:
а)
() ()
x
FxΦ= ; б)
(
)
(
)
x
Fx C
Φ
=+; в)
(
)
(
)
x
Fx
′
Φ= ;
г)
()
(
)
x
Fx
′
Φ=
; д) інша відповідь.
3.2.55. Інтегрування частинами у невизначеному інтег-
ралі відбувається за формулою:
213
а) udv uv udu
=−
∫∫
; б) udv uv vdv=−
∫∫
;
в) udv uv vdu
=−
∫
∫
;
г) udv vdu uv
=
−
∫∫
; д) інша відповідь.
3.2.56. Якщо поміняти місцями межі інтегрування у ви-
значеному інтегралі, то:
а)
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=
∫∫
; б)
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx>
∫∫
;
в)
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx<
∫∫
;
г)
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=−
∫∫
; д) інша відповідь.
3.2.57. Для будь-яких чисел ,,abc має місце рівність:
а)
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
;
б)
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=−
∫∫∫
;
в)
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=− +
∫∫∫
;
г)
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=⋅
∫∫∫
; д) інша відповідь.
3.2.58. Якщо
m
M
- відповідно найменше і найбільше
значення функції
(
)
f
x на відрізку
[
]
;ab, то:
а)
() () ()
b
a
ma b f xdx Ma b
+
≤≤+
∫
;
214
б)
() () ()
b
a
mb a f xdx Mb a
−
≤≤−
∫
;
в)
() () ()
b
a
mb a f xdx Ma b
−
≤≤+
∫
;
г)
()
b
a
ma f x dx Mb≤≤
∫
; д) інша відповідь.
3.2.59. Теорема про середнє. Якщо функція
(
)
f
x
непе-
рервна на відрізку
[
]
;ab, то знайдеться точка
()
;cab∈ така, що:
а)
() ()( )
b
a
f
xdx f a b c=⋅−
∫
; б)
() ()( )
b
a
f
xdx f b a c
=
⋅+
∫
;
в)
() ()( )
b
a
f
xdx f c b a=⋅−
∫
; г)
() ()( )
b
a
f
xdx f c a b
=
⋅+
∫
;
д) інша відповідь.
3.2.60. Теорема. Нехай виконані умови:
1)
()
f
x є неперервною функцією на
[
]
;ab;
2) функція
(
)
x
t
ϕ
= і її похідна
(
)
x
t
ϕ
′
′
=
є непе-
рервними на
[
]
;
α
β
%
3)
()
(
)
,ab
ϕα ϕβ
== і значення
(
)
x
t
ϕ
= не вихо-
дять за межі
[
]
;ab при
[
]
;t
α
β
∈ .
Тоді справджується рівність:
а)
() ()
()
()
b
a
f
xdx f t tdt
β
α
ϕϕ
=⋅
∫∫
; б)
() ()
()
b
a
f
xdx f t dt
β
α
ϕ
=
∫∫
;
215
в)
() ()
()
b
a
f
xdx f t dt
β
α
ϕ
′
=
∫∫
; г)
() ()
()
()
b
a
f
xdx f t tdt
β
α
ϕϕ
′
=⋅
∫∫
;
д) інша відповідь.
3.2.61. Формула Ньютона-Лейбніца має вид:
а)
() ()
b
a
f
xdx Fx C
=
+
∫
; б)
() () ()
b
a
f
xdx Fb Fa=−
∫
;
в)
() () ()
b
a
f
xdx Fa Fb=−
∫
; г)
() () ()
b
a
f
xdx Fa Fb=+
∫
;
д) інша відповідь.
3.2.62. Нехай функції
(
)
(
)
,uux vvx==
неперервні разом
із своїми похідними на
[
]
;ab.
Тоді формула інтегрування частинами для ви-
значеного інтеграла має вид:
а)
bb
b
a
aa
udv uv vdu⋅=⋅−⋅
∫∫
; б)
bb
b
a
aa
udv uv vdu
⋅
=⋅ + ⋅
∫
∫
;
в)
bb
b
a
aa
udv vdu uv
⋅
=⋅−⋅
∫∫
;
г)
()
bb
aa
udv u vdu⋅= −
∫∫
; д) інша відповідь.
3.2.63. Встановити відповідність:
1)
22
dx
ax
+
∫
1)
1 x
arctg C
aa
+
2)
x
adx
∫
2) arcsin
x
C
a
+
216
3)
22
dx
ax
−
∫
3)
ln
x
a
C
a
+
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-3, 2-2, 3-1;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.64. Встановити відповідність:
1) dx
∫
1) sin
x
C
+
2) sin
x
dx
∫
2)
x
C
+
3) cos
x
dx
∫
3) cos
x
C
−
+
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.65. Встановити відповідність:
1)
dx
x
∫
1) arctgx C
+
2)
(
)
1xdx
α
α
≠
−
∫
2)
ln
x
C
+
3)
2
1
dx
x
+
∫
3)
1
1
x
C
α
α
+
+
+
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.66. Встановити відповідність:
1)
2
cos
dx
x
∫
1)
ctgx C
−
+
2)
2
sin
dx
x
∫
2) C
3)
0 dx⋅
∫
3)
tgx C
+
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
3.2.67. Встановити відповідність:
217
1)
22
dx
x
a
−
∫
1) ln
x
C
+
2)
22
dx
ax
+
∫
2)
1 x
arctg C
aa
+
3)
dx
x
∫
3)
1
ln
2
xa
C
axa
−
+
+
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.68. Встановити відповідність:
1)
2
dx
sh x
∫
1) shx C
+
2)
chxdx
∫
2) cthx C
−
+
3)
2
dx
ch x
∫
3) thx C
+
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-3, 2-2, 3-1;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.69. Встановити відповідність:
1)
22
dx
ax
−
∫
1)
1 x
arctg C
aa
+
2)
2
dx
x
a
+
∫
2)
2
ln
x
xaC
+
++
3)
22
dx
ax
+
∫
3) arcsin
x
C
a
+
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-1, 2-2, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.70. Встановити відповідність:
1)
dx
x
∫
1) tgx C
+
218
2)
2
cos
dx
x
∫
2) ctgx C
−
+
3)
2
sin
dx
x
∫
3) ln
x
C
+
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.71. Встановити відповідність:
1)
,1
n
xdx n
≠
−
∫
1)
x
eC
+
2)
x
edx
∫
2)
ln
x
a
C
a
+
3)
x
adx
∫
3)
1
1
n
x
C
n
+
+
+
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.72. Встановити відповідність:
1)
dx
x
∫
1)
1
ln
2
xa
C
axa
−
+
+
2)
dx
∫
2) ln
x
C
+
3)
22
dx
x
a−
∫
3)
x
C
+
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.73. Встановити відповідність між інтегралами:
1) cos cos
ax bxdx⋅
∫
1)
() ()
()
1
sin sin
2
abx abxdx−+ +
∫
2) sin sin
ax bxdx⋅
∫
2)
() ()
()
1
cos cos
2
abx abxdx−− +
∫
219
3) sin cos
ax bxdx⋅
∫
3)
() ()
()
1
cos cos
2
abx abxdx−+ +
∫
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-1, 2-2, 3-3; в) 1-2, 2-3, 3-2;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
3.2.74. При раціоналізації інтеграла
(
)
p
mn
x
abx dx+
∫
встановити відповідність між підстановкою і
степенями
,,mnp
:
1)
ns
abx t+= 1)
p
- ціле
2)
nsn
abx tx+= 2)
1
,
rm
p
sn
+
= - ціле
3)
x
t
λ
= , де
λ
- найменший 3)
1
,
rm
p
p
sn
+
=
+ - ціле
спільний знаменник дробів
m , n
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-3, 2-2, 3-1;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.75. Встановити відповідність між інтегралами і під-
становками:
1)
(
)
222
,
R
xa bxdx−
∫
1)
a
x
tgt
b
=
2)
(
)
222
,
R
xa bxdx+
∫
2)
cos
a
x
bt
=
3)
(
)
22 2
,
R
xbx adx−
∫
3) sin
a
x
t
b
=
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
220
3.2.76. Встановити відповідність між геометрични-
ми величинами та формулами для їх обчислен-
ня:
1) площа криволінійної трапеції 1)
()
()
2
b
a
f
xdx
π
∫
2) об’єм тіла обертання навколо осі
OX 2)
()
()
2
1
b
a
f
xdx
′
+
∫
3) довжина дуги кривої 3)
()
b
a
f
xdx
∫
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
3.2.77. Встановити відповідність між інтегралами та
методами інтегрування:
1)
arctgxdx
∫
1) підстановка tgx t
=
2)
22
2sin cos
dx
x
x+
∫
2) частинами
3)
2
1
arctgx
dx
x+
∫
3) підстановка arctgx t
=
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
3.2.78. Площа криволінійної трапеції, обмеженої кри-
вою, заданою параметрично
(
)
(
)
tyytxx
=
=
, , віс-
сю
OX і прямими bxax =
=
, (
(
)
(
)
bxax
=
=
β
α
, )
обчислюється за формулою: