Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
191
а)
3
71
; б)
3
11
−
; в)
3
1
−
; г)
3
61
−
; д) інша відповідь.
2.3.166. Знайти
(
)
4y
′
, якщо
x
xy = .
а)
2ln8
; б) 8; в)
(
)
2ln18
+
; г)
4ln8
; д) інша відповідь.
2.3.167. Знайти
(
)
2y
′
, якщо
2
x
xy = .
а)
(
)
2ln2132
+
; б)
4ln32
; в)
(
)
2ln2116
+
;
г)
(
)
2ln132
+
; д) інша відповідь.
2.3.168. Знайти
(
)
ey
′
, якщо
(
)
x
xy
4
ln=
.
а) 1; б) 2; в) 8; г) 4; д) інша відповідь.
2.3.169. Знайти
(
)
1y
′
, якщо
arctgx
xy =
а)
2
π
; б)
8
π
; в) 1; г)
4
3
π
; д) інша відповідь.
2.3.170. Знайти
(
)
ey
′
, якщо
()
x
xy
1
ln= .
а) 1; б) 0; в) –1; г)
e
; д) інша відповідь.
2.3.171. Знайти
x
y
′
в точці
(
)
1;0 , якщо exye
y
=+ .
а)
1−
e ; б)
2−
e ; в) 1; г)
1−
− e ; д) інша відповідь.
2.3.172. Знайти
x
y
′
в точці
(
)
1;2 , якщо
(
)
(
)
yxyx −=+ 27
3
.
а) 4; б) 6; в) 1; г) 2; д) інша відповідь.
2.3.173. Знайти
x
y
′
в точці
(
)
1;1
, якщо 03
224
=−++ yyxx .
а) 1; б) –1; в) –2; г) 2; д) інша відповідь.
2.3.174. Знайти
x
y
′
в точці
(
)
1;1 , якщо 02
323
=+− yyxx .
а) 2; б) 1; в) –2; г) 0; д) інша відповідь.
2.3.175. Знайти
x
y
′
в точці
(
)
1;2 , якщо 33
33
+=+ xyyx .
а) 3; б) 2; в) –1; г) 0; д) інша відповідь.
2.3.176. Знайти похідну
x
y
′
функції
t
tex = ,
t
ey
2
= при 0
=
t .
192
а) 0; б) 2; в) 1; г) –2; д) інша відповідь.
2.3.177. Знайти похідну
x
y
′
функції tx cos2= , ty sin4
=
при
4
π
=t
.
а) 2; б) –1; в) –2; г) 1; д) інша відповідь.
2.3.178. Знайти похідну
x
y
′
функції 1
2
+=
t
ex ,
t
ey
−
−= 2 при
0=t .
а) 2; б) 1; в)
2
1
; г) 0; д) інша відповідь.
2.3.179. Знайти похідну
x
y
′
функції
()
ttx sin2
−
=
,
(
)
ty cos12
−
=
при
2
π
=t .
а)
2
π
; б) 0; в) –1; г) 1; д) інша відповідь.
2.3.180. Знайти похідну
x
y
′
функції tex
t
3sin
2
= , tey
t
3cos
2
=
при
0=t .
а)
3
2
; б)
2
3
; в)
2
3
− ; г) 1; д) інша відповідь.
2.3.181. Знайти похідну
x
y
′
функції
tx cos3=
, tty sin2
=
при
2
π
=t .
а) 0; б)
3
2
; в) 1; г)
3
2
− ; д) інша відповідь.
2.3.182. Знайти похідну
x
y
′
функції
2
1
1
t
x
+
=
, arctgty
=
при
1=t .
а) 1; б)
4
π
; в) 0; г) –2; д) інша відповідь.
193
2.3.183. Знайти похідну
x
y
′
функції ttx cos2
=
,
ty sin3
=
при
0
=
t .
а)
3
2
; б)
2
3
; в) 0; г)
2
1
− ; д) інша відповідь.
2.3.184. Знайти похідну
x
y
′
функції
t
x
1
= ,
(
)
2
1ln ty += при
1=t .
а) 1; б) –1; в) 2ln ; г)
2
1
; д) інша відповідь.
2.3.185. Знайти похідну
x
y
′
функції
(
)
tx
+
=
1ln ,
(
)
2
2
1 ty +=
при
1
=
t .
а) 16; б) 4; в) 8; г) 2; д) інша відповідь
2.3.186. Знайти границю
x
x
e
x
3
0
55
4arcsin
lim
−
→
−
.
а)
5
1
; б)
5
2
; в)
3
2
; г)
15
4
; д) інша відповідь.
2.3.187. Знайти границю
xtg
e
x
x
2
1
lim
5
0
−
→
.
а) 0; б)
2
5
; в)
2
1
; г)
2
1
−
; д) інша відповідь.
2.3.188. Знайти границю
2
2
1
sin ( 1)
lim
363
x
x
xx
→
−
−
+
.
а) 0; б)
1
3
; в)
1
2
; г)
1
2
−
; д) інша відповідь.
2.3.189. Знайти границю
0
ln
lim
12lnsin
x
x
x
→
+
.
а)
1
2
−
; б) 1; в)
1
2
; г) 2; д) інша відповідь.
194
2.3.190. Знайти границю
3
1
ln
lim
1
x
x
x
→
−
.
а)
1
3
−
; б) 1; в)
1
3
; г) 0; д) інша відповідь.
2.3.191. Знайти границю
()
0
22
lim
ln 1 2
x
x
x
x
−
→
−
+
а)
ln 2 ; б) ln 2− ; в) 1; г) -1; д) інша відповідь.
2.3.192. Знайти границю
3
2
0
31
lim
sin 5
x
x
ex
x
→
−
−
.
а) 0,18; б) 0,09; в) –0,18; г) –0,09; д) інша відповідь.
2.3.193. Знайти границю
1
lim sin( 1)
2
x
x
xtg
π
→
−
.
а)
1
π
−
; б)
2
π
; в)
π
; г)
2
π
−
; д) інша відповідь.
2.3.194. Знайти границю
()
1
1
lim 1
x
x
x
−
→
−
.
а)
1
2
−
; б) 1; в)
1
2
; г)
e
; д) інша відповідь.
2.3.195. Знайти границю
0
11
lim
x
arctgx x
→
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
а) -1; б)
∞
; в) 1; г) 2; д) інша відповідь.
2.3.196. Знайти границю
(
)
()
x
x
x
cosln
2cosln
lim
0→
.
а) 2; б)
2
1
; в) 4; г) 1; д) інша відповідь.
2.3.197. Знайти границю
(
)
ctgxee
xx
x
2lim
0
−+
−
→
.
а)
∞ ; б) 1; в) 0; г) –1; д) інша відповідь.
2.3.198. Знайти границю
()
x
x
x
−
→
2
2
coslim
π
π
.
195
а) 1; б)
e; в) e ; г)
e
1
; д) інша відповідь.
2.3.199. Знайти границю
()
x
x
tg
x
−
→
1ln
2
lim
1
π
.
а) 0; б) –1; в) 2; г)
∞
; д) інша відповідь.
2.3.200. Знайти границю
(
)
x
x
x
x
1
3lim +
+∞→
.
а)
3
e ; б) 3; в) 1; г) ∞ ; д) інша відповідь.
2.3.201. Знайти границю
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
→
xctgx
x
x
cos2
lim
2
π
π
.
а) 1; б) –1; в) 0; г)
∞ ; д) інша відповідь.
2.3.202. Знайти границю
x
x
x
−
→
1
1
1
lim .
а) 1; б) 0; в)
e; г)
e
1
; д) інша відповідь.
2.3.203. Знайти границю
()
2
3
2coslim
0
x
x
x→
.
а)
3−
e ; б)
2−
e ; в)
3
e ; г) e; д) інша відповідь.
2.3.204. Знайти границю
()
1lnlnlim
1
−
⋅
→
xx
x
.
а) 0; б) 1; в)
∞
; г) –2; д) інша відповідь.
2.3.205. Знайти границю
(
)
x
xe
x
x
1
0
lim +
→
.
а)
e
; б)
∞
; в)
2
e
; г)
3
e
; д) інша відповідь.
2.3.206. Знайти границю
()
x
ctgx
x
ln
1
0
lim
→
.
а)
e; б)
e
1
; в)
∞
; г) 1; д) інша відповідь.
196
2.3.207. Знайти границю
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
1ln
1
0
lim
x
e
x
x
.
а) 0; б) 1; в)
e
1
; г)
e; д) інша відповідь.
2.3.208. Знайти інтервали спадання функції
3
2
4x
y
x
+
= .
а)
()
2; +∞
; б)
(
)
0; 2
; в)
(
)
;0−∞
; г)
(
)
(
)
;0 2;
−
∞+∞∪
;
д) інша відповідь.
2.3.209. Знайти інтервал зростання функції
2lnyx x
=
−
.
а)
(2; )+∞
; б)
(
)
0; 2
; в)
(
)
1; +∞
; г)
(
)
0;1
;
д) інша відповідь.
2.3.210. Знайти точки мінімуму функції
42
23yx x
=
−−.
а)
1± ; б) 0; в) 1; г) –1; д) інша відповідь.
2.3.211. Знайти найменше значення функції
42
36
y
xx=− + на
відрізку
[
]
2; 2−
.
а) 3; б) 0; в) –24; г) –3; д) інша відповідь.
2.3.212. Знайти найменше значення функції
2
2
1
1
x
x
y
x
x
−
+
=
+
−
на
відрізку
[]
0;1
.
а) 2; б) 1; в) 0; г) 3; д) інша відповідь.
2.3.213. Знайти найбільше значення функції
lnyxx
=
на
відрізку
2
1
;1
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
а)
1
e
; б) 0; в)
1
e
−
; г)
2
2
e
−
; д) інша відповідь.
197
2.3.214. Знайти найменше значення функції
3
3yx x=+
на
відрізку
[
]
1;1−
.
а) 3; б) 0; в) –4; г) –3; д) інша відповідь.
2.3.215. Знайти найменше значення функції
2
4
yx
x
=+
на
відрізку
[
]
1; 3
.
а) 3; б) 0; в) 4; г) –3; д) інша відповідь.
2.3.216. Знайти інтервали опуклості графіка функції
42
6
y
xx=− .
а)
()
1; 1−
; б)
(
)
(
)
;1 1;
−
∞− +∞∪
; в)
(
)
(
)
;6 6;
−
∞− +∞∪ ;
г)
(
)
6; 6− ; д) інша відповідь.
2.3.217. Знайти інтервали опуклості графіка функції
1
(1)
x
y
xe
+
=+ .
а)
(
)
;1
−
∞−
; б)
(
)
3;
−
+∞
; в)
(
)
;
−
∞+∞
;
г)
(
)
;3
−
∞−
; д) інша відповідь.
2.3.218. Знайти проміжки угнутості графіка функції
()
5
3
23yx=−+
.
а)
(
)
;2−∞
; б)
(
)
2;
+
∞
; в)
(
)
;
−
∞+∞
;
г)
(
)
;0−∞
; д) інша відповідь.
2.3.219. Знайти інтервали опуклості графіка функції
42
(1)
x
y
xe
+
=− .
а)
(
)
;0,75−∞
; б)
(
)
0,5; +∞
; в)
(
)
1;
+
∞
;
г)
(
)
;0,5−∞
; д) інша відповідь.
198
2.3.220. Знайти асимптоти кривої
()
3
2
21
x
y
x
=
+
.
а)
1
2
1
;1 −=−= xyx ; б)
1;x
=
−
в) 1
2
1
;1 −=−= xyx ;
г)
1
1
2
yx
=
−
; д) інша відповідь.
2.3.221. Знайти асимптоти кривої
4
3
31x
y
x
+
=
.
а)
3yx=
; б)
0;x
=
в) xyx 3;0
=
= ;
г)
1
1
2
yx
=
−
; д) інша відповідь.
2.3.222. Знайти асимптоти графіка функції
3
2
1
x
y
x
=
−
.
а)
1;
x
yx=± =
; б)
1;
x
yx
=
=
; в)
1;
x
yx
=
±=−
;
г)
1x
=
±
; д) інша відповідь.
2.3.223. Знайти асимптоти графіка функції
2
2
1
x
x
y
x
−
=
−
.
а)
1;
x
yx==
; б)
1; 1
x
yx
=
=−
; в)
1;yyx
=
=
;
г)
1
x
=
; д) інша відповідь.
2.3.224. Знайти асимптоти графіка функції
2
24
2
xx
y
x
+
−
=
−
.
а)
yx=
; б)
2;
x
yx
=
=
; в)
2; 4xyx
=
=+
;
г)
2x
=
; д) інша відповідь.
2.3.225. Знайти асимптоти графіка функції
3
2
9
x
y
x
=
−
.
а)
yx=−
; б)
3;
x
yx
=
±=−
; в)
3;x
=
±
г)
3;
x
yx==−
; д) інша відповідь.
199
3 Комплексні числа. Многочлени.
Інтегральне числення функцій однієї
змінної
3.1 Теоретичні питання
3.1.1. Поняття комплексного числа. Різні форми пред-
ставлення комплексних чисел. Дії над комплекс-
ними числами в алгебраїчній і тригонометричній
формах.
3.1.2. Многочлени в комплексній області. Теорема Безу.
Основна теорема алгебри. Умова тотожності двох
многочленів.
3.1.3. Дійсні многочлени. Розклад дійсного многочлена
на лінійні і квадратичні множники.
3.1.4. Поняття про первісну. Теорема про зв’язок між
первісними. Означення невизначеного інтеграла.
3.1.5. Таблиця основних інтегралів. Правильність фор-
мул перевірити диференціюванням. Безпосереднє
інтегрування.
3.1.6. Метод підстановки та метод інтегрування части-
нами у невизначеному інтегралі.
3.1.7. Інтегрування елементарних раціональних дробів.
3.1.8. Розклад раціонального дробу на елементарні. Ін-
тегрування раціональних функцій.
200
3.1.9. Інтегрування ірраціональних функцій. Розгля-
нути інтеграли
12
12
,,,..., ,
k
k
m
mm
n
nn
R
xx x x dx
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫
()
p
mn
x
abx dx+
∫
,
12
12
, , ,..., .
k
k
m
mm
nn n
abx abx abx
Rx dx
cdx cdx cdx
⎛⎞
++ +
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
++ +
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
∫
3.1.10. Інтегрування ірраціональних функцій. Розгляну-
ти інтеграли
()
22
,,
dx dx
ax bx c Ax B ax bx c
+
++++
∫∫
2
ax bc c dx++
∫
.
3.1.11. Інтегрування ірраціональних функцій за допо-
могою тригонометричних підстановок. Розгля-
нути інтеграли
(
)
(
)
222 222
,,,,
R
xa bxdx Rxa bxdx−+
∫∫
(
)
22 2
,
R
xbx adx−
∫
.
3.1.12. Інтегрування тригонометричних функцій (зага-
льний випадок). Універсальна підстановка.
Окремі випадки.
3.1.13. Інтегрування тригонометричних функцій спеціа-
льного виду. Розглянути інтеграли
sin ,
n
x
dx
∫
(
)
cos , sin cos 0, 0
nmn
xdx x xdx m n
⋅
>>
∫∫
.
3.1.14. Інтегрування тригонометричних функцій спеціа-
льного виду. Розглянути інтеграли
sin
,
cos
m
n
x
dx
x
∫
()
cos
,0,0
sin sin cos
m
nmn
xdx
dx m n
xxx
>>
⋅
∫∫
.