Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
161
д) інша відповідь.
2.2.65. Диференціал
n -го порядку функції
(
)
xfy
=
має вид:
а)
()
nn
dxxfyd = ; б)
(
)
(
)
nnn
dxxfyd = ; в)
(
)
(
)
nnn
dxxfyd += ;
г)
()
xf
dx
yd
n
n
n
= ; д) інша відповідь.
2.2.66. Які з наведених умов є умовами теореми Ролля:
а) функція
(
)
xf
неперервна на
[
]
ba;
, диференційовна на
()
(
)
(
)
bfafba
≠
,;
;
б) функція
(
)
xf
неперервна на
[
]
ba;
,
(
)
(
)
bfaf
=
;
в) функція
(
)
xf
неперервна на
[
]
ba;
, диференційовна на
(
)
ba;
;
г) функція
(
)
xf неперервна на
[
]
ba; , диференційовна на
()
(
)
(
)
bfafba
=
,; ;
д) інша відповідь.
2.2.67. Теорема Лагранжа: Якщо функція
(
)
xf неперервна на
[]
ba; , диференційовна на
(
)
ba; , то існує точка
()
bac ;∈ така, що справджується рівність
а)
() ()
()
cf
afbf
ab
′
=
−
−
; б)
(
)
(
)
(
)
cfafbf
′
=
−
;
в)
() ()
()
cf
ab
afbf
′
=
−
−
; г)
(
)
()
()
cf
aaf
bbf
′
=
−
−
; д) інша відповідь.
2.2.68. Теорема Коші: Якщо функції
(
)
xf і
(
)
xg неперервні на
[]
ba; , диференційовані на
()
ba; , причому
(
)
0
≠
′
xg при
()
bax ;∈ , то існує точка
(
)
bac ;∈ така, що виконується
рівність
а)
()
(
)
() ()
(
)
()
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
+
+
; б)
(
)
(
)
() ()
(
)
()
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
;
162
в)
()
(
)
() ()
(
)
()
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
⋅
⋅
; г)
()
(
)
() ()
(
)
()
cg
cf
agaf
bgbf
′
′
=
−
−
;
д) інша відповідь.
2.2.69. Нехай відношення
(
)
()
xg
xf
є невизначеністю
0
0
чи
∞
∞
при
0
xx → . Яке з наступних тверджень є правильним:
а) якщо існує
(
)
()
xg
xf
xx
′
′
→
0
lim
то існує
(
)
()
xg
xf
xx
0
lim
→
і
(
)
()
(
)
()
xg
xf
xg
xf
xxxx
′
′
=
→→
0
limlim
;
б) якщо існує
(
)
()
xg
xf
xx
0
lim
→
то існує
(
)
()
xg
xf
xx
′
′
→
0
lim
і
(
)
()
(
)
()
xg
xf
xg
xf
xxxx
′
′
=
→→
0
limlim
;
в) якщо існує
(
)
()
xg
xf
xx
′
′
→
0
lim
то існує
(
)
()
xg
xf
xx
0
lim
→
і
()
()
()
()
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→→
xg
xf
xg
xf
xxxx
0
limlim
;
г) якщо існує
(
)
()
xg
xf
xx
′
′
→
0
lim
то існує
(
)
()
xg
xf
xx
0
lim
→
і
()
()
()
()
xg
xf
xg
xf
xxxx
′
′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→→
0
limlim
;
д) інша відповідь.
2.2.70. Що з наступного є символічним записом невизначеності:
1)
0
∞
; 2)
0
0
; 3)
∞
0 ; 4)
∞
1.
а) 2, 3 і 4; б) тільки 2; в) 1 і 3; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
2.2.71. Що з наступного є символічним записом невизначеності:
1)
∞−∞ ; 2)
∞
0
; 3)
0
0 ; 4)
∞
⋅
∞
.
а) 2 і 3; б) тільки 1; в)1 і 3; г) 2, 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.72. Що з наступного є символічним записом невизначеності:
1)
∞
∞
; 2)
∞
+
∞
; 3) ∞⋅0 ; 4)
0
∞
.
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1 і 3; в) 2 і 4; г) 1, 2 і 3; д) інша відповідь.
163
2.2.73. Що з наступного не є символічним записом невизна-
ченості:
1)
∞
1 ; 2)
∞
∞
; 3)
∞
∞
; 4)
0
0
.
а) 1 і 3; б) тільки 3; в) 2 і 4; г) 1 і 2; д) інша відповідь.
2.2.74. Формула Тейлора для функції
(
)
xf має вид:
а)
()
(
)
(
)
(
)
(
)( )
(
)
(
)
(
)
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
xxxfxxxfxxxfxfxf
00
2
00000
...
(
)
(
)
(
)
(
)
10,
1
000
1
<<−−++
+
+
θθ
n
n
xxxxxf ;
б)
() ( )
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
()
+++++
′′
++
′
+=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
0
0
2
0
0
0
0
0
!
...
!2!1
(
)
(
)
(
)
()
()
10,
!1
1
0
00
1
<<+
+
++
+
+
+
θ
θ
n
n
xx
n
xxxf
;
в)
() ( )
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
()
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
0
0
2
0
0
0
0
0
!
...
!2!1
(
)
(
)
(
)
()
()
10,
!1
1
0
00
1
<<−
+
−+
+
+
+
θ
θ
n
n
xx
n
xxxf
;
г)
() ( )
(
) ()
(
)
(
)
+++
′′
+
′
+=
!
...
!2!1
000
0
n
xfxfxf
xfxf
n
()
(
)
(
)
()
10,
!1
1
00
1
<<
+
−+
+
+
θ
θ
n
n
n
xxxf
;
д) інша відповідь.
2.2.75. Формула Маклорена для функції
(
)
xf
має вид:
а)
() ()
(
)
(
)
()
()
()
()
(
)
(
)
()
10,
!1
1
!
0
1...
!2
0
!1
0
0
1
1
1
2
<<
+
−+−+−
′′
+
′
−=
+
+
+
θ
θ
n
n
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
x
f
fxf
;
б)
() ()
(
)
(
)
()
()
(
)
(
)
()
10,
!1!
0
...
!2
0
!1
0
0
1
1
2
<<
+
+++
′′
+
′
+=
+
+
θ
θ
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
x
f
fxf
;
в)
() ()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
(
)
()
10,
!1!
0
...
!2
0
!1
0
0
1
<<
+
+++
′′
+
′
+=
+
θ
θ
n
xf
n
fff
fxf
nn
;
г)
() ()
(
)
(
)
()
()
(
)
(
)
10,0...000
112
<<+++
′′
+
′
+=
++
θθ
nnnn
xxfxfxfxffxf
;
д) інша відповідь.
164
2.2.76. Встановити відповідність між функціями і многочле-
нами Тейлора.
1)
x
e ; 1)
()
(
)
k
n
k
x
k
k
∑
=
+−−
+
1
!
1...1
1
ααα
;
2)
()
x+1ln ; 2)
∑
=
n
k
k
k
x
0
!
;
3)
()
α
x+1
; 3)
()
∑
=
−
−
n
k
k
k
k
x
1
1
1 .
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.77. Встановити відповідність між функціями і многочленами
Тейлора.
1)
xsin
; 1)
()
()
∑
=
−
n
k
k
k
k
x
0
2
!2
1
;
2)
x
cos ; 2)
()
∑
=
−
−
n
k
k
k
k
x
1
1
1
;
3)
()
x+1ln ; 3)
()
()
∑
=
−
−
−
−
n
k
k
k
k
x
1
12
1
!12
1
.
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.78. Точка
0
x називається критичною точкою функції
(
)
xf ,
якщо:
а) функція в цій точці не визначена;
б) функція в цій точці визначена, а її похідна або дорів-
нює нулю або не існує;
в) функція і її похідна в цій точці не визначені;
г) Функція в цій точці визначена, а її похідна не існує;
д) інша відповідь.
2.2.79. Які з
наступних тверджень є істинними?
165
1) Для того, щоб в точці
0
x функція
(
)
xf мала локаль-
ний екстремум достатньо, щоб в цій точці похідна функ-
ції або дорівнювала нулю або не існувала;
2) Якщо
(
)
0
0
=
′
xf і при переході через точку
0
x похідна
змінює знак, то в точці
0
x функція
(
)
xf має локальний
екстремум;
3) Якщо функція
(
)
xf має в точці
0
x локальний екстремум
і диференційована в цій точці, то
(
)
0
0
=
′
xf ;
4) Якщо в точці
0
x похідна функції
(
)
xf не існує, то в цій
точці функція має локальний екстремум.
а) всі; б) 1, 2 і 3; в) 2 і 3; г) 2, 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.80. Графік функції
(
)
xfy
=
опуклий на
(
)
ba; , якщо у всіх
точках цього інтервалу:
а)
()
0>
′
xf ; б)
(
)
0>
′
′
xf ; в)
(
)
0
<
′
xf ; г)
(
)
0
<
′
′
xf ;
д) інша відповідь.
2.2.81. Графік функції
(
)
xfy
=
угнутий на
(
)
ba;
, якщо у всіх
точках цього інтервалу:
а)
()
0>
′
xf
; б)
(
)
0>
′
′
xf
; в)
(
)
0
<
′
xf
; г)
(
)
0
<
′
′
xf
;
д) інша відповідь.
2.2.82. Якщо в точці
0
x функція
(
)
xfy = має неперервну другу
похідну і точка
(
)
(
)
000
; xfxM є точкою перегину графіка
функції, то:
а)
()
(
)
0
00
>
′
′
⋅
′
xfxf
; б)
()
0
0
>
′
′
xf ; в)
(
)
0
0
=
′
′
xf ;
г)
(
)
0
0
<
′
′
xf ; д) інша відповідь.
166
2.2.83. Коефіцієнти
k і b в рівнянні похилої асимптоти
bkxy += до графіка функції
(
)
xfy = знаходяться за
формулами:
а)
()()
(
)
x
xf
bxxfk
xx ∞→∞→
=−= lim,lim ;
б)
(
)
()()
kxxfb
x
xf
k
xx
−==
∞→∞→
lim,lim ;
в)
(
)
()()
xxfb
x
xf
k
xx
−==
∞→∞→
lim,lim
;
г)
(
)
(
)
kx
xf
b
x
xf
k
xx ∞→∞→
== lim,lim
; д) інша відповідь.
2.2.84. Пряма
0
xx = називається вертикальною асимптотою
графіка функції
(
)
xfy
=
, якщо:
а)
()
xf
xx
0
lim
→
не існує ;
б) хоча б одна з границь
()
xf
xx 0
0
lim
−→
чи
(
)
xf
xx 0
0
lim
+←
нескін-
ченна ;
в) хоча б одна з границь
(
)
xf
xx 0
0
lim
−→
чи
(
)
xf
xx 0
0
lim
+←
дорівнює
нулю ;
г) в точці
0
x функція має розрив першого роду ;
д) інша відповідь.
2.2.85. Пряма
Ay = буде горизонтальною асимптотою графіка
функції
(
)
xfy =
, якщо:
а)
()
A
x
xf
x
=
∞→
lim ; б)
(
)
Axf
x
=
∞→
lim ; в)
(
)
(
)
Axxf
x
=
−
∞→
lim ;
г)
(
)()
0lim
=
−
∞→
Axxf
x
; д) інша відповідь.
167
2.3 Тестові практичні завдання
2.3.1. Знайти область визначення функції
2
2
y
xx
=
−− .
а) (-2;1); б)
(
)
;
−
∞+∞
; в)
(
)
0;
+
∞
; г)
(
)
;0−∞
;
д) інша відповідь..
2.3.2. Знайти область визначення функції
2
321
y
xx
=
+−.
а)
1
;
3
⎡⎞
+
∞
⎟
⎢
⎣⎠
; б)
1
(;1] ;
3
⎡⎞
−
∞− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
∪
; в)
1
1;
3
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
;
г)
1
1;
3
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
; д) інша відповідь.
2.3.3. Знайти область визначення функції
2
1
3
y
x
x
=
−
.
а)
(;0][3; )−∞ +∞∪
; б)
()
(;0)0;3(3;)
−
∞+∞∪∪
; в)
(
)
0; 3
;
г)
(;0)(3;)
−
∞+∞∪
; д) інша відповідь.
2.3.4. Знайти область визначення функції
2
1
y
x
x
=
+
.
а)
(;1)(0;)−∞ − +∞∪
; б)
(;1[[0; )
−
∞− +∞∪
; в)
(1;0)
−
;
г)
[1;0]
−
; д) інша відповідь.
2.3.5. Знайти область визначення функції
1
43
6
yx
x
=−+
−
.
а)
()
3
;6 6;
4
⎡⎞
+
∞
⎟
⎢
⎣⎠
∪
; б)
()
3
;6 6;
4
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠
∪
; в)
(;6)(6; )
−
∞+∞∪
;
г)
3
;
4
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
; д) інша відповідь.
2.3.6. Знайти область визначення функції
2
lg(4 )
y
x=−.
а)
()
(
)
;2 2;−∞ − +∞∪
; б)
[
]
2; 2−
; в)
]
[
(;2 2; )
−
∞− +∞∪
;
168
г)
(
)
2; 2−
; д) інша відповідь.
2.3.7. Знайти область визначення функції
3
ln
x
y
x
+
=
.
а) (-3;0); б)
(;3)(0; )
−
∞− +∞∪
; в)
(;0)(0; )
−
∞+∞∪
;
г)
(;3][0;)−∞ − +∞∪
; д) інша відповідь.
2.3.8. Знайти область визначення функції
2
lg( 5 6)yxx
=
−− +.
а)
(;6][1; )−∞ − +∞∪
; б)
(6;1)
−
; в)
[
]
6;1]−
; г)
(
)
1;
+
∞
;
д) інша відповідь.
2.3.9. Знайти область визначення функції
3
log | |
y
x
=
.
а)
(; )−∞ +∞
; б)
(3; )
+
∞
; в)
(;0)
−
∞
; г)
(
)
0;
+
∞
;
д) інша відповідь.
2.3.10. Знайти область визначення функції
2
4lg(2)yxx x
=
−− −
.
а)
()
2; +∞
; б)
()
0; 4
; в)
[
]
0; 4
; г)
(2;4]
; д) інша відповідь.
2.3.11. Знайти область визначення функції
2
25 ln
y
xx=−+.
а)
(5;5)−
; б)
(0;5]
; в)
(;5)(5;)
−
∞− +∞∪
;
г)
(0;5)
; д) інша відповідь.
2.3.12. Знайти область визначення функції
2
lg
23
x
y
xx
=
−
−
.
а) (0;3); б)
(3; )
+
∞
; в)
(;1)(3;)
−
∞− +∞∪
;
г)
(0; )
+
∞
; д) інша відповідь.
2.3.13. Знайти область визначення функції
arcsin( 2)yx
=
−
.
а)
()
(
)
;2 2;−∞ +∞∪
; б)
[
]
1; 3
; в)
(
)
3;
+
∞
;
г)
(
)
1; 3
; д) інша відповідь.
2.3.14. Знайти область визначення функції
2
arccos
3
x
y
−
=
.
169
а)
()
(
)
;2 2;−∞ +∞∪
; б)
[
]
1; 5−
; в)
]
[
(;1 5;)
−
∞− +∞∪
;
г)
(
)
1; 5−
; д) інша відповідь.
2.3.15. Знайти область визначення функції
1
1
−
+
=
x
x
y
.
а)
(
]
1; −∞− ; б)
[
)
1;1− ; в)
(
]
(
)
+∞∪−∞− ;11;;
г)
(
)
(
)
+
∞∪
−
∞
−
;11; ; д) інша відповідь.
2.3.16. Які з вказаних функцій є парними:
1)
42
xxy += ; 2)
x
x
y
cos
=
; 3) xxy sin
=
; 4)
2
xxy += .
а) 1 і 2; б) 2 і 3; в) 1 і 3; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
2.3.17. Які з вказаних функцій є парними:
1) xxy
sin
2
+= ; 2) 2cos
2
−= xxy ;
3)
xxy 2
4
+=
; 4)
xxy +=
2
sin .
а) 2 і 4; б) 1 і 4; в) 2 і 3; г) 1,2 і 4; д) інша відповідь.
2.3.18. Які з вказаних функцій є парними:
1)
2
xx
aa
y
−
−
= ; 2)
2
xx
aa
y
−
+
= ;
3) xxy
2
sincos += ; 4)
23
xxy −= .
а) 1 і 2; б) 3 і 4; в) 2 і 3; г) 1 і 4; д) інша відповідь.
2.3.19. Які з вказаних функцій є непарними:
1)
1
1
−
+
=
x
x
y ; 2) xxy sin
3
= ; 3)
1
1
lg
−
+
=
x
x
y ; 4)
x
x
y
cos
=
.
а) 1 і 3; б) 2 і 3; в) 1 і 4; г) 3 і 4; д) інша відповідь.
2.3.20. Які з вказаних функцій є непарними:
1) xxy sin3
2
= ; 2) xxy cos2
2
= ;
3)
2
xxy += ; 4)
1
1
−
+
=
x
x
a
a
y .
170
а) 2 і 3; б) 1 і 3; в) тільки 1; г) 1 і 4; д) інша
відповідь.
2.3.21. Визначити основний період функції
5cos7yx
=
.
а)
14
π
; б)
7
π
; в)
7
π
; г)
2
7
π
; д) інша відповідь.
2.3.22. Визначити основний період функції
xy 5sin3
=
.
а)
π
2 ; б)
5
π
; в)
5
2
π
; г)
π
5 ; д) інша відповідь.
2.3.23. Визначити основний період функції xtgy 32
=
.
а)
π
3 ; б)
3
π
; в)
3
2
π
; г)
π
; д) інша відповідь.
2.3.24. Визначити основний період функції
xctgy 42
=
.
а)
π
4
; б)
π
; в)
2
π
; г)
π
2
; д) інша відповідь.
2.3.25. Визначити основний період функції
3
sin
x
y = .
а)
π
3 ; б)
3
π
; в)
π
6 ; г)
3
2
π
; д) інша відповідь.
2.3.26. Визначити основний період функції
2
cos7
x
y = .
а)
π
4 ; б)
2
π
; в)
π
2 ; г)
π
; д) інша відповідь.
2.3.27. Визначити основний період функції
5
4
x
tgy = .
а)
5
π
; б)
π
5 ; в)
π
10 ; г)
π
; д) інша відповідь.
2.3.28. Визначити основний період функції
7
3
x
ctgy = .