Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
151
д) інша відповідь.
2.2.24. Число A називається границею функції
(
)
xf при
−∞→
x
, якщо:
а)
(
)
(
)
εε
<−−<∃>∀>∀ AxfMxxM :,0,0
;
б)
(
)
(
)
εε
<−−<∀>∃>∃ AxfMxxM :,0,0
;
в)
(
)
(
)
εε
<−−<∃>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;
г)
(
)
(
)
εε
<−−<∀>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;
д) інша відповідь.
2.2.25. Число
A
називається границею функції
(
)
xf
при
+∞→
x
, якщо:
а)
(
)
(
)
εε
<−>∀>∀>∀ AxfMxxM :,0,0
;
б)
(
)
(
)
εε
<−>∃>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;
в)
(
)
(
)
εε
<−>∀>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;
г)
(
)
(
)
εε
<−>∃>∀>∀ AxfMxxM :,0,0
;
д) інша відповідь.
2.2.26. Число
A
називається границею функції
(
)
xf
в точці
0
x
зліва , якщо:
а)
(
)
(
)
εδδε
<−+<<∀>∃>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
б)
(
)
(
)
εδδε
<−<<−∀>∃>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
в)
(
)
(
)
εδδε
<−<<−∀>∃>∃ Axfxxxx :,0,0
00
;
г)
(
)
(
)
εδδε
<−<<−∃>∀>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
д) інша відповідь.
2.2.27. Число
A
називається границею функції
(
)
xf
в точці
0
x
справа , якщо:
152
а)
(
)
(
)
εδδε
<−+<<∃>∀>∃ Axfxxxx :,0,0
00
;
б)
(
)
(
)
εδδε
<−+<<∀>∃>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
в)
(
)
(
)
εδδε
<−<<−∀>∃>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
г)
(
)
(
)
εδδε
<−+<<∃>∃>∀ Axfxxxx :,0,0
00
;
д) інша відповідь.
2.2.28. Функція
()
x
α
називається нескінченно малою в точці
0
x ,
якщо:
а)
(
)
(
)
εαδδε
<<−<∀>∃>∃ xxxx :0,0,0
0
;
б)
(
)
(
)
εαδδε
<<−<∃>∀∃>∀ xxxx :0,0,0
0
;
в)
(
)
(
)
εαδδε
<<−<∀>∃>∀ xxxx :0,0,0
0
;
г)
(
)
(
)
εαδδε
<<−<∃>∀>∃ xxxx :0,0,0
0
;
д) інша відповідь.
2.2.29. Функція
()
x
α
називається нескінченно малою при
∞→
x
, якщо:
а)
(
)
(
)
εαε
<>∃>∃>∀ xMxxM :,0,0
;
б)
(
)
(
)
εαε
<>∀>∃>∃ xMxxM :,0,0
;
в)
(
)
(
)
εαε
>>∀>∃>∀ xMxxM :,0,0
;
г)
(
)
(
)
εαε
<>∃>∀>∃ xMxxM :,0,0
;
д) інша відповідь.
2.2.30. Функція
(
)
xf називається нескінченно великою при
0
xx → , якщо:
а)
(
)
(
)
MxfxxxM ><−<∃>∃>∀ :0,0,0
0
δδ
;
б)
(
)
(
)
MxfxxxM ><−<∀>∃>∃ :0,0,0
0
δδ
;
153
в)
(
)
(
)
MxfxxxM ><−<∃>∀>∀ :0,0,0
0
δδ
;
г)
(
)
(
)
MxfxxxM ><−<∀>∃>∀ :0,0,0
0
δδ
;
д) інша відповідь.
2.2.31. Функція
(
)
xf
називається нескінченно великою при
∞→
x
, якщо:
а)
(
)
(
)
NxfMxxMN >>∀>∃>∀ ;,0,0 ;
б)
(
)
(
)
NxfMxxMN >>∃>∀>∃ ;,0,0
;
в)
(
)
(
)
NxfMxxMN >>∃>∀>∀ ;,0,0
;
г)
(
)
(
)
NxfMxxMN >>∀>∃>∃ ;,0,0
;
д) інша відповідь.
2.2.32. Який з виразів є першою важливою границею:
а)
1
sin
lim =
∞→
x
x
x
; б)
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
; в)
1
cos
lim
0
=
→
x
x
x
;
г)
0
sin
lim =
∞→
x
x
x
; д) інша відповідь.
2.2.33. Який з виразів є другою важливою границею:
а)
e
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
lim ; б)
e
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim ; в)
e
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
1
1lim
0
;
г)
()
ex
x
x
=+
∞→
1
1lim ; д) інша відповідь.
2.2.34. Нехай
(
)
x
α
і
(
)
x
β
- нескінченно малі при
0
xx → .
()
x
α
називається нескінченно малою
k -го порядку відносно
()
x
β
, якщо:
а)
(
)
(
)
()
0lim
0
≠=
→
c
x
x
k
xx
β
α
; б)
(
)
()
k
x
x
xx
=
→
β
α
0
lim ;
154
в)
()
()()
0lim
0
≠=
→
c
x
x
k
xx
β
α
; г)
(
)
()
k
x
x
xx
=
→
α
β
0
lim ; д) інша відповідь.
2.2.35. Які з наведених нижче нескінченно малих еквівалентні
x
при
0→x :
1)
xsin ; 2) 1−
x
e ; 3) xcos1
−
; 4) arctgx .
а) 1, 2 і 4; б) всі; в) 1 і 2; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
2.2.36. Які з наведених нижче нескінченно малих еквівалентні
x
при
0→x
:
1) 13 −
x
; 2) xarcsin ; 3)
(
)
2
1ln x+ ; 4) tgx;
а) всі; б) 2, 3 і 4; в) 1 і 2; г) тільки 4; д) інша відповідь.
2.2.37. Які з наведених нижче нескінченно малих еквівалентні
x
при
0→x
:
1)
()
x+1ln ; 2) 1
2
−
x
e ; 3)
5ln
15 −
x
; 4)
(
)
11
3
−+ x .
а) 3 і 4; б) 1 і 3; в) тільки 1; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
2.2.38. Функція
()
xf називається неперервною в точці
0
x , якщо:
а) вона визначена в цій точці; б) існує
(
)
xf
xx
0
lim
→
;
в)
()
∞=
→
xf
xx
0
lim ; г)
(
)
(
)
0
0
lim xfxf
xx
=
→
; д) інша відповідь.
2.2.39. Якщо
0
x - точка розриву функції
(
)
xf першого роду, то
які з наступних висловлювань можуть бути істинними:
1)
Односторонні границі
(
)
xf в точці
0
x існують, скін-
ченні, але не рівні між собою;
2)
Односторонні границі
(
)
xf в точці
0
x існують, скін-
ченні, рівні між собою, але не дорівнюють значенню фу-
нкції в точці
0
x ( в точці
0
x функція може і не існувати );
155
3)
Хоча б одна з односторонніх границь
(
)
xf в точці
0
x або не існує, або нескінченна.
а) 1 і 2; б) тільки 1; в) 2 і 3; г) тільки 3; д) інша відповідь.
2.2.40. Якщо
0
x - точка розриву функції
(
)
xf
другого роду, то
які з наступних висловлювань можуть бути істинними:
1)
Односторонні границі
(
)
xf
в точці
0
x існують, скін-
ченні, але не рівні між собою;
2)
Односторонні границі
(
)
xf
в точці
0
x існують, скін-
ченні, рівні між собою, але не дорівнюють значенню фу-
нкції в точці
0
x ( в точці
0
x функція може і не існувати );
3)
Одна з односторонніх границь
(
)
xf
в точці
0
x не існує.
а) тільки 2; б) 1 і 2; в) тільки 3; г) 2 і 3; д) інша відповідь.
2.2.41. Похідна функції
(
)
xfy
=
в точці
x
визначається так:
а)
()
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
Δ
+
Δ
+
=
′
→Δ 0
lim
; б)
()
(
)
x
xxf
xf
x
Δ
Δ
+
=
′
→Δ 0
lim
;
в)
()
(
)
x
x
xxf
xf
x
Δ
+
Δ
+
=
′
→Δ 0
lim
; г)
()
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
Δ
−
Δ
+
=
′
→Δ 0
lim ;
д) інша відповідь.
2.2.42. Рівняння дотичної до графіка функції
(
)
xfy
=
в точці
()
00
; yx має вид:
а)
()
()
0
0
0
1
xx
xf
yy −
′
=−
; б)
()
()
0
0
0
1
xx
xf
yy −
′
−=−
;
в)
(
)
(
)
000
xxxfyy
−
′
=
−
;
г)
(
)
(
)
000
xxxfyy
−
′
−
=
− ; д) інша відповідь.
2.2.43. Рівняння нормалі до графіка функції
(
)
xfy
=
в точці
()
00
; yx має вид:
156
а)
()
()
0
0
0
1
xx
xf
yy −
′
=−
; б)
()
()
0
0
0
1
xx
xf
yy −
′
−=−
;
в)
(
)
(
)
000
xxxfyy −
′
=
−
;
г)
(
)
(
)
000
xxxfyy
−
′
−
=− ; д) інша відповідь.
2.2.44. Які з наступних рівностей є правильними (
,cons
t
C
=
()
(
)
xvvxuu
=
= , ):
1)
0
=
′
C
; 2)
()
vuuv
′′
=
′
;
3)
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 4)
()
vuvu
′
+
′
=
′
− .
а) 1 і 3; б) 1 і 2; в) тільки 1; г) 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.45. Які з наступних рівностей є правильними (
,cons
t
C
=
()
(
)
xvvxuu
=
= ,
):
1)
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 2)
()
uCCu
′
=
′
;
3)
u
C
u
C
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 4)
()
vuvuuv
′
+
′
=
′
.
а) 1, 2 і 4; б) 1, 3 і 4; в) 1 і 2; г) 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.46. Які з наступних рівностей є правильними (
,constC
=
()
(
)
xvvxuu
=
= ,
):
1)
v
vuvu
v
u
′
+
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 2)
()
vuvu
′
+
′
=
′
+ ;
3)
()
uCCu
′
=
′
; 4)
()
vuvuuv
′
−
′
=
′
;
а) 1 і 2; б) 2 і 3; в) 3 і 4; г) 1 і 4; д) інша відповідь.
2.2.47. Якщо функція
(
)
xu
ϕ
=
має похідну в точці
x
, а функція
()
ufy = має похідну у відповідній точці u , то складена
157
функція
(
)
(
)
xfy
ϕ
=
має похідну в точці
x
і справед-
лива формула:
а)
(
)
(
)
(
)
xufxy
ϕ
′
=
′
; б)
(
)
(
)
(
)
xufxy
ϕ
′
=
′
;
в)
()
(
)
(
)
xufxy
ϕ
′
′
=
′
; г)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
xufxufxy
ϕ
ϕ
′
+
′
=
′
;
д) інша відповідь.
2.2.48. Якщо функція
(
)
xfy
=
має похідну в точці
x
, то обер-
нена функція
(
)
yx
ϕ
=
має похідну у відповідній точці
y
,
яка обчислюється за формулою:
а)
()
()
xf
y
′
−=
′
1
ϕ
; б)
(
)
(
)
xfy
′
=
′
ϕ
; в)
(
)
(
)
xfy
′
−
=
′
ϕ
;
г)
()
()
xf
y
′
=
′
1
ϕ
; д) інша відповідь.
2.2.49. Похідна параметрично заданої функції:
⎩
⎨
⎧
=
=
)(
),(
tyy
txx
знахо-
диться за формулою:
а)
t
t
x
y
x
y
′
′
=
′
; б)
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
; в)
t
t
x
x
y
y
′
′
−=
′
; г)
t
t
x
y
x
y
′
′
−=
′
;
д) інша відповідь.
2.2.50. Встановити відповідність.
1)
shx; 1)
2
xx
ee
−
+
;
2)
chx ; 2)
xx
xx
ee
ee
−
−
−
+
;
3)
thx; 3)
2
xx
ee
−
−
;
4)
cthx ; 4)
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
.
а) 1-3, 2-1, 3-4, 4-2; б) 1-1, 2-2, 3-3, 4-4; в) 1-1, 2-3, 3-2, 4-4;
158
г) 1-2, 2-4, 3-3, 4-1; д) інша відповідь.
2.2.51. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
1−
=
′
αα
α
xx ; 2)
()
xx sincos =
′
;
3)
()
a
x
x
a
ln
1
log
=
′
; 4)
()
x
sh
cthx
2
1
=
′
.
а) 1 і 2; б) 1, 3 і 4; в) 1 і 3; г) тільки 1; д) інша відповідь.
2.2.52. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
xx cossin =
′
; 2)
()
xx
ee =
′
;
3)
()
x
a
x
a
ln
1
log
=
′
; 4)
()
2
1
1
x
arctgx
+
=
′
.
а) 1 і 2; б) всі; в) 3 і 4; г) 1, 2 і 4; д) інша відповідь.
2.2.53. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
xx arccosarcsin =
′
; 2)
()
x
x
1
ln =
′
;
3)
()
a
a
a
x
x
ln
=
′
; 4)
()
x
ch
thx
2
1
=
′
.
а) 2, 3 і 4; б) 1, 2 і 3; в) 2 і 3; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
2.2.54. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
x
ctgx
2
sin
1
−=
′
; 2)
()
shxchx −=
′
;
3)
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
; 4)
()
aaa
xx
ln=
′
.
а) 2, 3 і 4; б) 1, 3 і 4; в) 1 і 3; г) всі; д) інша відповідь.
2.2.55. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
xx arcsinarccos −=
′
; 2)
()
x
tgx
2
cos
1
=
′
;
3)
()
x
e
x
a
a
log
log =
′
; 4)
()
chxshx =
′
.
159
а) 2, 3 і 4; б) всі; в) 2 і 4; г) тільки 2; д) інша відпо-
відь.
2.2.56. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
shxchx =
′
; 2)
()
2
1
1
x
arcctgx
+
=
′
;
3)
(
)
1−
=
′
xx
xaa
; 4)
()
x
x
1
ln =
′
.
а) всі; б) 1, 3 і 4; в) 1 і 4; г) 2, 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.57. Які з наступних рівностей є правильними:
1)
()
xx sincos −=
′
; 2)
()
2
1
1
arccos
x
x
−
−=
′
;
3)
()
x
sh
cthx
2
1
−=
′
; 4)
()
2
1
1
x
arctgx
+
−=
′
;
а) 1 і 2; б) всі; в) 1, 2 і 3; г) 2, 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.58. Якщо
v
uy = , де
(
)
(
)
xvvxuu =
=
,
, то:
а)
1
ln
−
+=
′
vv
vuuuy ; б) uvuvvuy
vv
′
+
′
=
′
−1
ln ;
в) uuuvuy
vv
′
+
′
=
′
ln ; г) uvuuvuy
vv
′
+
′
=
′
−1
ln ;
д) інша відповідь.
2.2.59. Диференціал першого порядку функції
(
)
xfy
=
має вид:
а)
(
)
dxxfdy = ; б)
()
dx
xf
dy
′
=
1
; в)
(
)
dxxfdy
′
=
;
г)
()
dx
xf
dy
1
=
; д) інша відповідь.
2.2.60. Які з наступних рівностей є правильними (
,cons
t
C
=
()
(
)
xvvxuu
=
= , ):
160
1)
0=dC ; 2)
(
)
dvduvud
±
=
±
; 3)
2
v
vduudv
v
u
d
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 4)
(
)
vduudvuvd +
=
;
а) всі; б) 1, 2 і 3; в) 2, 3 і 4; г) 1, 3 і 4; д) інша відповідь.
2.2.61. Які з наступних рівностей є правильними (
,cons
t
C
=
()
(
)
xvvxuu
=
= ,
):
1)
()
vduudvuvd
−
=
; 2)
2
v
udvvdu
v
u
d
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
; 3)
()
CduCud =
; 4) CdC
=
;
а) 1, 2 і 4; б) 2 і 3; в) 2, 3 і 4; г) тільки 2; д) інша відповідь.
2.2.62. Яка з наступних формул застосовується в наближених
обчисленнях.
а)
()
(
)
xxfxxf
Δ
′
≈Δ+
00
; б)
(
)
(
)
(
)
xxfxfxxf
Δ
′
−
≈
Δ
+
000
;
в)
()
(
)
xxfxxf
Δ
+
≈Δ+
00
; г)
(
)
(
)
(
)
xxfxfxxf
Δ
′
+
≈
Δ
+
000
;
д) інша відповідь.
2.2.63. Похідна другого порядку параметрично заданої функції:
⎩
⎨
⎧
=
=
)(
),(
tyy
txx
, знаходиться за формулою:
а)
()
3
t
tttttt
xx
x
xyxy
y
′
′
′
′
−
′
′
′
=
′′
; б)
()
3
t
tttttt
xx
x
xyxy
y
′
′
′
′
−
′
′
′
=
′′
;
в)
()
3
t
tttttt
xx
x
xyxy
y
′
′
′
′
+
′′′
=
′′
; г)
tt
tt
xx
x
y
y
′′
′
′
=
′′
; д) інша відповідь.
2.2.64. Формула Лейбніца має вид (
()
(
)
xvvxuu
=
=
, ):
а)
()
()
() ()
∑
=
=
n
k
knk
n
n
vuCuv
0
; б)
()
()
()()
∑
=
+−
=
n
k
kknk
n
n
vuCuv
0
1
;
в)
()
()
()()
∑
=
−
=
n
k
kknk
n
n
vuCuv
0
; г)
()
()
()()
∑
=
+−
=
n
k
kknk
n
n
vuCuv
0
1
;