Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
141
1.3.566. Знайти точку
B
симетричну точці )0;1;3(
−
A
відносно прямої
1
1
0
1
1
1
−
+
=
+
=
−
zyx
.
а) (3;–1;–3); б) (1,5;–1;1,5); в) (0;–1;–3);
г) (1;1;3); д) інша відповідь.
1.3.567. Знайти точку
B
симетричну точці )1;0;1(
−
A відносно
прямої
0
8
1
2
1
3
−
=
−
+
=
−
zyx
.
а) (1;0;8); б) (1;0;15); в) (2;0;5);
г) (–3;0;7); д) інша відповідь.
1.3.568. Знайти точку
B
симетричну точці
)1;0;1(
−
A
відносно
прямої
2
2
0
3
1
2
−
+
=
−
=
+
zyx
.
а) (–3;3;0); б) (–5;6;–1); в) (3;4;4);
г) (–5;6;0); д) інша відповідь.
1.3.569. Знайти точку
B
симетричну точці )2;0;3(
−
A відносно
прямої
321
2
−
==
−
zyx
.
а) (3;1;–3); б) (0;1;1); в) (1,5;1;–1,5);
г) (2;2;–1); д) інша відповідь.
1.3.570. Знайти точку
B
симетричну точці )1;2;0(
−
A відносно
прямої
2
1
1
2
1
2
−
=
−
+
=
+
zyx
.
а) (–3;–1;–1); б) (–6;–4;–1); в) (–3;1;2);
г) (–1;–3;3); д) інша відповідь.
1.3.571. Знайти точку
B
симетричну точці
)2;3;1(A
відносно
прямої
4
3
10
2
+
=
−
=
−
zyx
.
а) (3;–5;0); б) (2;–1;1); в) (2;1;–7);
142
г) (1;–4;–1); д) інша відповідь.
1.3.572. Знайти точку
B
симетричну точці )1;0;2(A відносно
прямої
31
1
1
4
zyx
=
−
=
−
.
а) (4;1;0); б) (5;2;3); в) (6;2;–1);
г) (8;–2;3); д) інша відповідь.
1.3.573. Знайти точку
B
симетричну точці )1;2;1(
−
−
A відносно
прямої
4
2
5
5
2
4
+
=
+
=
+
zyx
.
а) (–2;0;2); б) (–6;0;–6); в) (–3;–2;5);
г) (2;3;–4); д) інша відповідь.
1.3.574. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з початку
координат на пряму
2
1
3
2
4
5
−
+
=
−
=
−
zyx
.
а)
122
zyx
=
−
= ; б)
272633
zyx
=
−
= ; в)
81213
zyx
=
−
= ;
г)
63227
−
==
−
zyx
; д) інша відповідь.
1.3.575. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки
)1;3;5(A
на пряму
32
1
1
2
zyx
=
−
=
+
.
а)
1
1
0
3
3
5
−
−
=
−
=
−
zyx
; б)
0
1
1
1
2
5
−
=
−
−
=
−
zyx
;
в)
1
1
1
3
5
5
−
−
=
−
−
=
−
zyx
; г)
63227 −
==
−
zyx
; д) інша відповідь.
143
2 Вступ до математичного аналізу.
Диференціальне числення
функцій однієї змінної
2.1 Теоретичні питання
2.1.1. Поняття функції. Область визначення і область значень
функції. Способи задання функції. Функції парні, непар-
ні, періодичні, обмежені, монотонні. Обернена функція.
Складена функція. Основні елементарні функції та їх
графіки. Класифікація елементарних функцій. Елемента-
рні перетворення графіків.
2.1.2. Числова послідовність. Границя послідовності. Єдність
границі. Послідовності обмежені та необмежені. Обме-
женість збіжної послідовності. Теорема Больцано-
Вейєрштрасса.
2.1.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності.
Властивості нескінченно малих послідовностей. Правила
обчислення границь. Граничний перехід в нерівностях.
2.1.4. Монотонні послідовності. Існування границі монотонної
обмеженої послідовності. Число e .
2.1.5. Два означення границі функції в точці, їх еквівалентність.
Односторонні границі. Границя функції при на нескін-
ченності. Основні теореми про границі функцій.
2.1.6. Перша важлива границя.
2.1.7. Друга важлива границя.
2.1.8. Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Порів-
няння нескінченно малих. Застосування еквівалентних
нескінченно малих при обчисленні границь.
144
2.1.9. Неперервність функцій. Дії над неперервними функці-
ями. Неперервність елементарних функцій.
2.1.10. Точки розриву функцій, їх класифікація. Властивості фу-
нкцій, неперервних на відрізку.
2.1.11. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Пра-
вила диференціювання. Похідні функцій
(
)
,Nnx
n
∈
xctgxtgxxxx
a
log,,,ln,cos,sin .
2.1.12. Похідні складеної та оберненої функцій. Похідні функцій
()
Rxa
x
∈
α
α
,, похідні обернених тригонометричних
функцій. Гіперболічні функції та їх похідні.
2.1.13. Похідні функцій заданих неявно та параметрично.
2.1.14. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-
степеневої функції.
2.1.15. Диференціал функції, його геометричний зміст. Власти-
вості диференціала, інваріантність форми диференціала.
Застосування диференціала в наближених обчисленнях.
2.1.16. Похідні вищих порядків. Формула Лейбніца. Похідна
другого порядку функції заданої параметрично. Дифере-
нціали вищих порядків.
2.1.17. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.
2.1.18. Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду
0
0
та
∞
∞
. Застосування правила Лопіталя до розкриття неви-
значеностей виду ∞−∞∞∞⋅
∞
,,0,1,0
00
.
2.1.19. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагра-
нжа. Формула Маклорена.
145
2.1.20. Розклад за формулою Маклорена функцій
(
)
(
)
α
xxxxe
x
++ 1,1ln,cos,sin,. Застосування формули
Тейлора.
2.1.21. Дослідження монотонності функцій за допомогою похід-
них. Локальний екстремум функції, необхідна та достатні
умови. Найменше та найбільше значення функції на від-
різку.
2.1.22. Опуклість і угнутість графіка функції, точки перегину.
2.1.23. Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження
функції та побудова її графіка.
2.2 Тестові теоретичні завдання
2.2.1. Функція
(
)
xf називається парною, якщо:
а)
()
(
)
xfxf
−
=− ; б)
(
)()
xfxf
=
−
; в)
(
)
(
)
(
)
2
xfxf =− ;
г)
(
)
(
)
xfxf =−
; д) інша відповідь.
2.2.2. Функція
(
)
xf називається непарною, якщо:
а)
()
(
)
xfxf
=
− ; б)
()
()
xf
xf
1
=− ; в)
(
)
(
)
xfxf
−
=
−
;
г)
(
)
(
)
xxfxf
=
−
; д) інша відповідь.
2.2.3. Функція
(
)
xf
називається періодичною, якщо існує таке
0>T
, що:
а)
()
(
)
xfTxf
−
=
+
; б)
(
)
(
)
xfxTf =
; в)
(
)
(
)
xfTxf
=
+
;
г)
(
)
(
)
xTfTxf
=
+
; д) інша відповідь.
2.2.4. Встановити відповідність між функціями і областями ви-
значення:
1)
xy arcsin=
; 1)
(
)
∞
+
∞
−
; ;
146
2)
x
arctgy = ; 2)
()
∞
+
;0 ;
3) xy
a
log= ; 3)
[
]
1;1
−
;
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-3, 2-2, 3-1;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
2.2.5. Встановити відповідність між функціями і областями ви-
значення:
1)
x
y
arccos= ; 1)
(
)
∞
+
∞
−
;
;
2)
xy = ; 2)
[
]
1;1
−
;
3)
x
ay = 3)
[
)
∞
+
;0 ;
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
2.2.6. Встановити відповідність між функціями і областями ви-
значення:
1)
xy sin=
; 1)
(
)
∞
+
∞
−
;
2)
x
y
arccos= ; 2)
[
)
∞
+
;0
3)
4
xy =
; 3)
[
]
1;1
−
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
2.2.7. Встановити відповідність між функціями і областями ви-
значення:
1)
xy
a
log= ; 1)
[
)
∞
+
;0
;
2)
x
arcctgy = ; 2)
(
)
∞
+
;0
;
3)
xy =
3)
(
)
∞
+
∞
−
;
;
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.8. Встановити відповідність між функціями і областями ви-
значення:
147
1)
2
3
xy = ; 1)
[
]
1;1
−
;
2)
xy arcsin= ; 2)
(
)
∞
+
∞
−
;
;
3)
x
y
cos= ; 3)
[
)
∞
+
;0
;
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-3, 2-1, 3-2; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
2.2.9. Встановити відповідність між функціями і множинами
значень:
1)
2
xy = ; 1)
(
)
∞
+
∞
−
; ;
2)
x
ay = ; 2)
[
)
∞
+
;0 ;
3) xy
a
log
=
; 3)
(
)
∞
+
;0 ;
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.10. Встановити відповідність між функціями і множинами
значень:
1) xy arcsin
=
; 1)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
2
;
2
ππ
;
2)
x
y
cos
=
; 2)
(
)
π
;0 ;
3)
x
arcct
g
y
=
; 3)
[
]
1;1
−
;
а) 1-1, 2-2, 3-3; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.11. Встановити відповідність між функціями і множинами
значень:
1) xy sin
=
; 1)
[
]
π
;0
;
2)
x
y arccos
=
; 2)
[
]
1;1
−
;
3)
x
arct
g
y
=
; 3)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
;
2
ππ
;
148
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
2.2.12. Число
a називається границею послідовності
{
}
n
x , як-
що:
а)
εε
<−>∀∃>∀ axNnN
n
:,,0 ;
б)
εε
<−>∃∃>∀ axNnN
n
:,,0 ;
в)
εε
<−>∀∃>∃ axNnN
n
:,,0 ;
г)
εε
>−>∀∃>∀ axNnN
n
:,,0
; д) інша відповідь.
2.2.13. Послідовність
{
}
n
x називається обмеженою, якщо:
а)
MxnM
n
≤∃>∀ :,0 ; б) MxnM
n
>∀>∃ :,0 ;
в) MxnM
n
≤
∀
>
∃
:,0;
г)
MxnM
n
≤∀>∃ :,0 ; д) інша відповідь.
2.2.14. Послідовність
{
}
n
x називається необмеженою, якщо:
а)
MxnM
n
>∀>∃ :,0
; б)
MxnM
n
>∃>∀ :,0
;
в)
MxnM
n
<∀>∃ :,0 ;
г)
MxMn
n
≥>∃∀ ;0, ; д) інша відповідь.
2.2.15. Послідовність
{
}
n
α
називається нескінченно малою, як-
що:
а)
εαε
<>∀∃>∃
n
NnN :,,0 ; б)
εαε
<∃>∀
n
n:,0 ;
в)
εαε
<∀>∃
n
n:,0;
г)
εαε
<>∀∃>∀
n
NnN :,,0 ; д) інша відповідь.
2.2.16. Послідовність
{
}
n
x називається нескінченно великою,
якщо:
149
а)
MxnM
n
>∃>∀ :,0 ; б) MxNnNM
n
>>∀∃>∃ :,,0 ;
в)
MxNnNM
n
>>∀∃>∀ :,,0 ; г) MxnM
n
>∀>∃ :,0 ;
д) інша відповідь.
2.2.17. Які з наступних тверджень є правильними:
1) Якщо послідовність монотонна, то вона збіжна;
2) Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена;
3) Якщо послідовність обмежена, то вона збіжна;
4) Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона
збіжна.
а) 2 і 4; б) 1 і 3; в) тільки 4; г) тільки 2; д) інша відповідь.
2.2.18. Які
з наступних тверджень є правильними:
1) Якщо послідовність нескінченно велика, то вона необ-
межена;
2) Якщо послідовність збіжна, то вона монотонна;
3) Якщо монотонна послідовність обмежена, то вона збі-
жна;
4) Якщо послідовність необмежена, то вона нескінченно
велика.
а) 1 і 2; б) 3 і 4; в) тільки 3; г) тільки 4; д) інша відповідь.
2.2.19. Які з наступних
тверджень не є правильними:
1) Всяка розбіжна послідовність є необмеженою:
2) Всяка збіжна послідовність є обмеженою;
3) Всяка монотонна обмежена послідовність є збіжною;
4) Всяка обмежена послідовність є збіжною.
а) 1 і 3; б) тільки 4; в) 1 і 4; г) 2 і 3; д) інша відповідь.
2.2.20. Які з наступних тверджень не є правильними:
1) Всяка нескінченно велика послідовність є
необмеже-
ною;
150
2) Всяка необмежена послідовність є нескінченно ве-
ликою;
3) Всяка монотонна послідовність є нескінченно вели-
кою;
4) Всяка монотонна збіжна послідовність є обмеженою.
а) 1 і 3; б) 2 і 3; в) 2 і 4; г) тільки 3; д) інша відповідь.
2.2.21. Число
e є границею числової послідовності
{
}
n
x , зага-
льний член якої має вид:
а)
()
n
n
nx
1
1+= ; б)
n
n
n
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
1
1 ; в)
n
n
n
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
;
г)
n
n
n
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
1 ; д) інша відповідь.
2.2.22. Число A називається границею функції
(
)
xf
в точці
0
x ,
якщо:
а)
(
)
(
)
εδδε
<−<−<∃>∃>∀ Axfxxx :0,0,0
0
;
б)
(
)
(
)
εδδε
<−<−<∀>∃>∃ Axfxxx :0,0,0
0
;
в)
(
)
(
)
εδδε
<−<−<∀>∃>∀ Axfxxx :0,0,0
0
;
г)
(
)
(
)
εδδε
<−<−<∃>∀>∃ Axfxxx :0,0,0
0
;
д) інша відповідь.
2.2.23. Число A називається границею функції
(
)
xf при
∞→
x
, якщо:
а)
(
)
(
)
εε
<−>∀>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;
б)
(
)
(
)
εε
<−>∃>∀>∀ AxfMxxM :,0,0
;
в)
(
)
(
)
εε
<−>∀>∃>∃ AxfMxxM :,0,0
;
г)
(
)
(
)
εε
<−>∃>∃>∀ AxfMxxM :,0,0
;