Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

получим

Р 2

(cos

г ® ) ^

[— 2

Р20 (sin

ф)

Р 22

(sin

ф)

cos

2А,].

Вводя это выражение в (12.17), получим для приливо

образующего потенциала окончательно

GMff,r2 г я 1

U (Л) = 6/g [2—5Р20(8тф) + у Р м (5тф)со5 2Я|. (12.18)

Потенциал силы тяжести Луны складывается из потен

циала притяжения масс Луны V (г, ф, Я) (12.9) и потенциала

приливообразующих сил притяжения Земли и центробеж

ной U(А) (12.18):

W(r, Ф, Х) =

^ 0 0 п

GМ ^ ^ ^ 0

= “Г1 ( — ) 2 - 1 (Спт cos тк + Snm sin ml) Рпт (sin q>) +

n= 0 m — 0

G M rrf2 г 3 1

H—

q§~

— 5 Я 20

(sin

ф) +

P 22

(sin

ф)

cos

2 X j .(1 2 .1 9 )

Это наиболее общее выражение для потенциала поля силы

тяжести Луны позволяет найти саму силу с выделением

составляющих от притяжения Луны и Земли.

§ 3. Сила тяжести на Луне

Чтобы получить полную величину силы тяжести на

Луне, надо потенциал W (г, ф, X) продифференцировать по

направлениям координатных линий г, ф, к и взять вектор

ную сумму производных:

Дифференцируя по г (12.19), получим

= _ £ £ | , + £ + „ ( £ у £ (C>_C0S^ +

I. п = 2 4 7 т = О

I GMsrf Г 9 R

+ Snm sin rrik) Рпт (sin

ф)

\ [ 3— з- Pso (sin

ф)

+ у Л а (sinф)cos2Х)j . (12 .2 1)

В формуле для полного значения силы тяжести (12.20)

доминирующее значение принадлежит первому члену. По-

этому имеет смысл при рассмотрении ускорения силы тя

жести в выражении (12.20) выделить первый член и удер

жать в разложении только члены порядка сжатия и асим

метрии, вызванной приливообразующей силой притяже

ния Земли:

Дифференцируя W по ср и X, получим довольно сложные

выражения, являющиеся, так же как производная по р,

функцией коэффициентов Спт, Snm и полиномов Лежандра.

В результате для полного ускорения силы тяжести на

Луне получается следующая формула:

g(r,<p,X)^g0 l + '2d(y-)n'E<(gnmcosmX +

= 1

= 0

+ hnm sinmty Рпт sin (sin ср) , (12.23)

где

+ f ( f ) 4ci„ + i2q 2] ,

ё10 — ^10 —

g-20= ЗС20+-зМ'~ 1 + 7"(т) 12С!2),

(12.24)

ёпт

= ( « + l ) C „ m, И

г = Мф/М

Коэффициенты hnm имеют такой же вид, только Сц заме

няется на Stj. Подробный вывод формулы (12.23) и коэф

фициентов (12.24) имеется в книге: Сагитов М. У.

Лунная гравиметрия.— М.: Наука, 1979.

§ 4. Селеноид

Подобно тому, как при изучении фигуры Земли в ка

честве одного из приближений принимают геоид, так при

изучении фигуры Луны можно говорить о селеноиде —

уровенной поверхности, близкой к физической поверхности

Луны и представляющей фигуру последней. Уравнение

селеноида получают, приравнивая константе потенциал

силы тяжести для Луны:

W = W a — const. (12.25)

Однако на Земле реально существует физическая уро

венная поверхность, которую естественно принять за

геоид — это поверхность воды в океанах. На Луне этому

аналога нет. Было бы естественно в качестве селеноида

выбрать такую уровенную поверхность, сумма квадратов

отклонений которой от физической поверхности Луны

была бы минимальной. Однако эта задача не простая, и

для решения ее нужно хорошо знать рельеф Луны. Проще

принять за селеноид уровенную поверхность, проходящую

через некоторую фиксированную точку с расстоянием от

центра масс R 0:

GMr

W 0= - ^ - (12.26)

Тогда уравнение селеноида будет иметь вид

GMf

W = - ^ - (12.27)

Ко

Чтобы написать это уравнение в развернутом виде, следует

подставить сюда W из уравнения (12.19).

Для практического нахождения фигуры селеноида нуж

но уравнение (12.27) разрешить относительно радиуса-

вектора г. Подробный вывод можно найти в книге М. У. Са-

гитова «Лунная гравиметрия», здесь же заметим, что в

Ш ирота

- 1 8 0 ' - 1 5 0 ° - 1 2 0 ° - 9 0 ° - 6 0 ° - 3 0 ° 0 ° 3 0 ° 6 0 ° 9 0 ° 120° 15 0 ° 1 8 0 °

Долгота

Рис. 97. Карта высот селеноида по А. Феррари, сечение 100 м.

оэ

60°

30°

0°

-30°

60°

окончательном варианте уравнение селеноида имеет вид

00 п

f GMa

<Ф,Ч = -|/ V

4>о4- Yu £ (A™ cos тк +

ti— 1 т.— О

4- Впт sin tnk)Pnm (sin ф)

, (12.28)

где Апт, Впт — функции коэффициентов Спт, Snm раз

ложения потенциала.

Таким образом, исходными данными для построения

гравитационного поля и фигуры Луны являются те же

коэффициенты разложения по сферическим функциям.

Заметим, что в разложении (12.28) ненулевое значение

имеет коэффициент А п , что свидетельствует о смещении

центра объема относительно центра масс Луны. Однако

оценка, сделанная М. У. Сагитовым, показывает, что это

смещение ничтожно мало.

Представить селеноид естественно отклонениями от

какой-либо правильной фигуры. Для Луны удобно в ка

честве такой поверхности отсчета принять сферу. На

рис. 97 приведена карта высот селеноида над поверхностью

сферы радиуса 1738 км, построенная по определениям

А. Феррари коэффициентов разложения Спт и Snm до 16-го

порядка. На этой карте видно, что высоты селеноида из

меняются в пределах ±500 м. На карте селеноида хорошо

видно экваториальное вздутие стороны, обращенной к Зем

ле. Именно здесь, в области долгот —140°— J-130° наблю

даются возвышения селеноида в 500—600 метров. Четко

видно полярное сжатие — обе полярные области имеют

отрицательные высоты селеноида порядка —300 м.

Вообще относительные ондуляции селеноида значи

тельно больше ондуляций геоида и составляют 3 • 10—4 ра

диуса, тогда как для Земли —2 * 10—5.

§ 5. Нормальное гравитационное поле Луны

Так же, как и для Земли, гравитационное поле Луны

удобно разделить на две составляющие: нормальную и

аномальную. Первая, нормальная составляющая будет со

ответствовать некоторой правильной, нормальной, фигуре

Луны. В качестве такой фигуры можно принять сферу,

двух- или трехосный эллипсоид или, наконец, сфероид.

* |В се эти «нормальные» фигуры можно получить из урав

нения для потенциала Луны (12.19) выбором членов, вхо

дящих в нормальный потенциал. Так, отбрасывание всех

членов, кроме первого (С00), приведет нас к сферической

Луне:

Сохранение члена С2о даст фигуру сфероида, почти точно

совпадающую с эллипсоидом вращения:

Более строго можно подойти к решению задачи, если при

нять в качестве нормальной Луны эллипсоид вращения

с заданными большой (а) и малой (b) полуосями. Написав

для такого эллипсоида явное выражение радиуса-вектора,

получим уравнение нормального эллипсоида.

Наконец, более сложную фигуру нормальной Луны по

лучим, если в разложении (12.28) удержим несколько

главных членов. Впрочем, выбор этих членов не прост,

поскольку для фигуры Луны нет такого доминирующего

отклонения от сферической формы, как сжатие для Земли,

на порядок превосходящего все другие отклонения. Наиболь

шие отклонения гравитационного поля Луны от правиль

ного сферического описываются гармониками Р 2о (sin ф),

/^(sincp), P 3i(sin(p). Удерживая эти гармоники в урав

нении (12.19), получим уравнение нормального сфероида:

Здесь удержаны главные члены, описывающие асимметрию

распределения масс в самой Луне и зависящие от возму

щающего действия Земли.

Чтобы получить поверхность такой нормальной Луны,

нужно уравнение (12.31) разрешить относительно радиуса-

вектора г. Решение осуществляется последовательными

приближениями, в результате чего получается выражение

(12.29)

г(ср, Я -)= ^ „ ( 1 + С 20/ :,2о).

(12.30)

W(r, Ф, Х) =

GM ( / D \ 2

| 1 + (у) [C20P20 (sin ф) + С22 cos 2к Р22 (sin ф)] +

+ ( j - y C n co slP n (smq>) + -^ ц ' 1 х

Г 2 5 1 11 GM,r

X [-3— з ^20 (sinф )4 -у cos2ЯP ga (sinф) | = - ^ . (12.31)

5 п

г(ф, А,) = Я0Л00 1 + 2 2 Dnmcosm(X — l 0)x

или в развернутом виде:

г(ф, А) = Р 0Л00[1 + D20-J-D22cos2 (к — к0) Р22 + О30-|-

+ D3l cos (А — к0) Р31 + Di0 + Da cos (к — к 0) +

+ D 42 cos 2 ( к — к 0) P 42 + D 44 c o s 4 (к — к0) Р 44 +

+ D61 cos (к — А0) Р61], (12.33)

D2i = ^зг= D33 = D43 = D50 = Z)52 — 0 53 = Dbi = D65 — 0.

Коэффициенты Dnm суть функции коэффициентов разложе

ния Спт. Для сохранения в разложении радиуса членов

того же порядка малости, что и в уравнении (12.31), здесь

приходится удерживать большее число членов.

Соответственно выбору нормальной фигуры можно найти

и нормальное распределение силы тяжести. Для этого

воспользуемся выражением, которое получится из (12.23),

если удержать в нем только гармоники Р 20, Р 22, Р31'-

у (г, ф, k) = g0

+ ( — ) ten cos 2к + h22 sin 2k) P 22 +

Я \ 3

(gm cos к + /i31 sin k) P31 , (12.34)

где значения gnm и hnm те же, что и в (12.23).

Уравнение (12.34) написано для произвольной точки

поверхности Луны, имеющей радиус-вектор г. Чтобы от

нести эти значения к поверхности нормальной Луны,

нужно взять уравнение радиуса-вектора для нормальной

Луны, например (12.33), и внести в выражение (12.34).

Поскольку уже говорилось, что для Луны отклонения

высот селеноида мало меняются от выбора поверхности от

носимости, будь то сфера, эллипсоид вращения или сфе

роид, представляемый уравнением (12.33),— выберем за

поверхность относимости сферу. Тогда r= R 0 и, заменяя

в (12.34) г на Ro, получим нормальное распределение силы

тяжести на сферической Луне:

Y = go [1 + £2(Ло + (gtt cos 2к + h22 sin 2к) Р 22 +

+ (§3i cos к + h3l sin к) Р3j], (12.35)

где

GM,.

4 » V + 4 ( q 0+ i 2C.L)

4 » r + 4 ( q 0- i 2a 2),

£22 = ЗС22 — трМ- 1 (х*) — уСго^2а>

Й 1 = 4C 31 + -g-C20C 31.

Значения h имеют тот же вид, только Спт заменяются

нз Snm.

Если принять за нормальную Луну фигуру вращения:

г (Ф| X) = /?0[H -C „ P 10(sin9 )], (12.36)

для нормального распределения силы тяжести получится

несколько более сложное выражение, которое часто при

практических вычислениях принимается за нормальное

гравитационное поле Луны. Для такого нормального поля

с удержанием гармоник порядка 2,0 и 2,2 М. У. Сагитов

получил следующие формулы:

а) при использовании коэффициентов разложения Спт

и Snm Э. Л. Акима и 3. П. Власовой

у = 162306(1—0,000283 sin2<p-|- 0,000077 cos2q> cos 2%) мГал;

(12.37)

б) при использовании коэффициентов Спт и Snm Фер

рари

7=162306(1—0,000288sin2ф + 0,000061 cos29 cos2A,) мГал.

(12.38)

При вычислении принято:

R0 = 1738 км,

А = 348 400 км,

GMC = 4902,7- 10е м3/с2,

fx- 1 = 81,30.

Отметим хорошее согласие между собой формул (12.37) и

(12.38), а также старой формулы (12.5).

§ 6. Исследование Луны космическими аппаратами

Реальное изучение гравитационного поля Луны мето

дами космической геодезии началось со времени запуска

космических аппаратов. Уже в 1966 г. Э. Л. Аким опубли

ковал значения коэффициентов разложения гравитацион

ного поля Луны в ряд по сферическим функциям, получен

ные по результатам наблюдения искусственного спутника

Луны (ИСЛ) «Луна-10». В последующем результаты были

уточнены по наблюдениям ИСЛ «Луна-12, -14, -19 и -22»,

а также по результатам наблюдений американских ИСЛ.

Были вычислены гармоники разложения Спт до порядка

п = 7, т = 4 и Snm до порядка п = 4 и т = 4. В результате

были получены первые обобщенные карты гравитацион

ного поля Луны.

Большой наблюдательный материал для выводов пара

метров гравитационного поля Луны был получен по наблю

дениям американских аппаратов ИСЛ «Лунар орбитер-1,

-2, -3, -4, -5», «Эксплорер-35 и -49» и лунных космических

аппаратов «Аполлон-11, -12, -14— 17» во время облета

ими Луны, а также ИСЛ, запущенных с космических ап

паратов «Аполлон-15, -16».

Некоторые особенности динамики орбит лунных спут

ников и техники слежения за ними определенным образом

влияют как на выбор промежуточной орбиты спутника,

так и на методику наблюдений и обработки результатов.

Основными силами, которые должны быть учтены при

построении модели лунного гравитационного поля, яв

ляются притяжение Луны, Земли, Солнца и давление сол

нечной радиации. При этом влияние сжатия Луны характе

ризуется величиной порядка ДО-4 по отношению к притя

жению сферической Луны, притяжение Земли начинает

преобладать над влиянием лунного сжатия при высотах

спутника, больших 2000 км, притяжение Солнца состав

ляет 0 ,5 -10“ 2 от притяжения Земли, эффект солнечной ра

диации является величиной того же порядка, что и эффект

сжатия. Кроме того, первые же результаты обработки на

блюдений лунных спутников показали, что аномальное

гравитационное поле Луны (т. е. остаточное поле после

вычитания притяжения сферической однородной Луны)

является весьма неоднородным, и в модели помимо гармо

ник сжатия С20 и С22 необходимо учитывать и ряд других

гармоник, во всяком случае, гармонику С31, отражающую

асимметрию видимого и обратного полушарий Луны.

Из-за большого расстояния лунных спутников от стан

ций наблюдения угловые измерения их положения стано

вятся неэффективными и заменяются измерениями рас

стояний и скоростей. Так, угловая ошибка в 0°,1 соответ

ствует ошибке в положении спутника свыше 600 км, изме

рения же расстояний возможны с точностью 5 м, скорос

тей — с точностью 1 мм/с.

Удаленность лунных спутников дает возможность на

блюдать их с одной станции от восхода до захода Луны,

поэтому две достаточно далеко расположенные станции

могут получить почти полные данные для определения орби

ты лунного спутника. Однако спутники, находящиеся над

невидимым с Земли полушарием Луны, наблюдаться с на

земных станций не могут, поэтому на результатах вычис

ления сказывается в основном влияние гравитационных

эффектов от обращенного к Земле полушария Луны. Таким

образом, только результаты, полученные по вековым и

долгопериодическим изменениям элементов орбиты, можно

распространить и на обратную сторону Луны. Результаты

же, полученные путем прямой подгонки системы гармоник,

справедливы лишь для зоны, покрытой наблюдениями, и

не отражают характера гравитационной неоднородности

всей Луны в целом.

Изучение гравитационного поля Луны методом наблю

дения возмущений орбит ИСЛ имеет ряд преимуществ по

сравнению с применением этого метода для Земли. ИСЛ не

встречают сопротивления атмосферы, отсутствующей на

Луне, и могут двигаться практически на любых высотах,

в частности, очень низко над поверхностью Луны, а это

очень повышает чувствительность метода.

Медленная скорость вращения Луны дает возможность

длительное время наблюдать спутник, находящийся в почти

стабильном гравитационном поле Луны. Так, за время

одного оборота спутника Луна повернется всего лишь на

~2°. Это обстоятельство делает возможным определение

системы средних орбитальных параметров, например, по

двум последовательным оборотам спутника. При этом ве

ковые и долгопериодические изменения элементов позво

ляют найти не только зональные гармоники потенциала

Луны, но и тессеральные.

Сравнение коэффициентов разложения лунного грави

тационного поля с земным показывает сильную гравита

ционную неоднородность и асимметрию Луны, а также то,

что эффект сжатия сравним с другими отклонениями от

сферичности. Приводим таблицу нормированных коэф

фициентов первых членов разложения потенциала Луны и

Земли (для Луны по А. Феррари, 1977).

Главные гармонические коэффициенты для Луны и Земли

Последующие коэффициенты для Луны имеют порядок

Спт 10- 4— Ю-5, а для Земли 10~6— 10-г.

Луна

Земля

С20 0,9152-10-4

С22 0,3366-ю - 1

С31 0,2704 -1 0 -4

0,1082-10-4

0,2434-1 0 -5

0,2029-1 0 -6