Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

морских пунктах непрерывными наблюдениями во время

хода судна, т. е., как принято говорить, получать непре

рывные гравиметрические профили. Появилась возможность

автоматизированной обработки данных, без которой нельзя

было бы справиться с возникшим информационным взры

вом. Непрерывность записи данных измерения Ag, а также

навигационных и гидрологических данных, в корне изме

нила прежнюю методику гравиметрических измерений на

море и их последующую обработку. Автоматизированный

гравиметр стал рассматриваться как сложная динамиче

ская система, часто с глубокой обратной связью. С при

влечением нетрадиционного для гравиметрии математи

ческого аппарата случайных функций и методов теории

автоматического регулирования была разработана и про

должает совершенствоваться теория такого гравиметра.

Изучение статистических закономерностей гравитационных

полей различных регионов позволило решить некоторые

задачи оптимальной обработки экспериментальных данных

морской гравиметрии. Подробности см. в книге: Панте

леев В. Л. Основы морской гравиметрии.— М.: Недра,

§ 3. Влияние возмущающих ускорений и наклонов

при установке гравиметра на гироплатформе

Для измерения силы тяжести в условиях действия воз

мущающих ускорений и наклонов прежде всего надо их

уменьшить. Это достигается тем, что гравиметр устанав

ливается на гиростабилизированной платформе, а в не

которых случаях (гравиметр Лакоста и Ромберга) в под

весе Кардана.

Если прибор установлен на идеальной гироплатформе,

то ось чувствительности совпадает с истинной вертикалью.

Практически это не так. Пусть угол а — погрешность ус

тановки платформы в горизонтальной плоскости. В этом

случае проекция силы Q' на ось чувствительности предста-

о dP'X

вится как сумма проекции горизонтального ускорения ^

и ускорения силы тяжести на эту ось (рис. 92):

1983.

OD = OE + OF = OF + FD,

т. е.

W3y //2 у

Q' = geos а + ш sin a « g + a-

dt2

■ga*

Таким образом, измеряемая компонента Q' отличается

d^x 1

от истинного значения g на величину ^ а — j ja 1. Эта

Рис. 92. К учету вли

яния возмущающих ус

корений и наклонов

при установке прибо

ра на подвижном ос

новании.

йгх

it*-

величина должна быть внесена в измеренное значение g

как поправка с обратным знаком:

Аналогично по координате у

Ag,a = - | f P + 4 ^ 2-

(11.8)

(11.9)

Полная поправка в случае работы на гироплатформе будет

' d2x , d2y р \ , 1

A g — — +"2"§(a2 + P2)- (11.10)

Внося в (11.8) значение а (рис. 92), получим

d2x

Ж2

g tg (а + Да) = % ;

в силу малости угла a+ A a ,

1 d2x .

— zm — Aa .

g dt2 ’

( 11.11)

получим формулу поправки за эффекты второго порядка

от горизонтальных возмущений по направлению х:

= - h & Y + ? eAa’- <11Л2)

Аналогично можно написать формулу для вычисления по

правки по направлению у.

Рассмотрим теперь совместное влияние горизонтальных

и вертикальных возмущений. Пусть под действием возму

щающих ускорений гироплатформа отклонилась от гори

зонтального положения на угол а в вертикальной пло

скости, проходящей через маятник, и на угол (5 в верти

кальной плоскости, проходящей через ось вращения ма

ятника. Сам маятник в то же время наклонится на угол ср

относительно гироплатформы (рис. 93). Тогда согласно

Первый член этой формулы дает поправку за наклон плат

формы, второй — за совместное влияние наклона платформы

d2x

и горизонтальных ускорений. Если считать, что ^ и а

есть функции одной и той же круговой частоты:

Эти совместные влияния переменного наклона платформы

и горизонтальных ускорений могут быть уменьшены, если

-- й2г

dt2

о с + <р

Рис. 93. К учету совместного

действия горизонтальных и

вертикальных возмущающих

ускорений (плоскость [коле

баний маятника).

(11.10):

а£ = — [а ?(а + (р)+5** р] + т £ 1 Х а + (р)а+ Р 2]

или

A£ = Y £ ( a2 + P2) - ( ^ a + S p ) - $ Ф + ^Ф + т^Ф 2-

(11.13)

(11.14)

(11.15)

Аналогично для у-компоненты

J f l ^ y a ^ c o s (6B — fip).

(11.16)

уменьшить соответствующие косинусы углов, т. е. сделать

близкими к п/2 разности

d2x

Третий член формулы (11.13) учитывает совмест

ное влияние горизонтальных и вертикальных ускорений,

получившее название кросс-каплинг-эффекта.

Физическую природу этого эффекта легко понять из

следующих рассуждений. На рис. 94 изображен маятник

Рис. 94. Схема движения

опоры гравиметра по круго

вой траектории.

гравиметра, движущегося вместе с кораблем по круговой

траектории в вертикальной плоскости по часовой стрелке.

Для простоты рассматриваем корабль как часть волны.

Маятник гравиметра совершает колебания относительно

горизонтального положения под действием вертикальных

возмущающих ускорений. Так как гравиметр сильно демп

фирован, отклонение маятника будет отставать по фазе от

возмущающей силы на л/2, т. е. будет пропорционально

вертикальной компоненте скорости, с которой движется

корабль в рассматриваемой гармонической модели волне

ния, и иметь противоположный знак.

В положении I и III, где вертикальная компонента ско

рости равна нулю, маятник принимает горизонтальное

положение. Проекция горизонтальной возмущающей силы

на ось чувствительности гравиметра при этом равна нулю,

да и сама эта сила равна нулю, так как в этих точках тра

ектории обращается в нуль горизонтальная составляющая

ускорения качки. В положении II скорость направлена

вниз и маятник находится над горизонтом. Проекция

горизонтальной возмущающей силы, направленной вправо,

на ось чувствительности гравиметра в этом положении

отлична от нуля; она закрутит маятник по часовой стрелке.

Очевидно, угол закручивания пропорционален возмущаю

щему ускорению ^ и углу над горизонтом ср, точнее

sin ср. В положении IV скорость направлена вверх и ма

ятник находится под горизонтом. Проекция горизонталь

ной возмущающей силы, направленной влево, на ось чув

ствительности гравиметра опять закрутит маятник по

часовой стрелке. Таким образом, и в первой половине цикла

от I до III, и во второй от III до I эффект имеет один знак

и в среднем за цикл отличен от нуля. В наблюдаемое зна-

^ (Рх

чение силы тяжести должна быть внесена поправка — ^ ср,

так как происходит кажущееся увеличение силы тяжести.

Если изменить направление движения гравиметра, то и эф

фект, и поправка изменят знак.

Математически этот эффект можно описать следующим

образом. Пусть горизонтальные и вертикальные ускорения

суть функции одной и той же частоты:

d^x

dP=ax cos (<ot + 8x),

cpz

^ 2 =az cos (cat + 6г).

(11.17)

Отклонение маятника, вызванное вертикальным уско

рением, можно представить формулой

4 = F^)a*C0S (ю/ + б*_ т ) ’ (11.18)

где S — статическая чувствительность гравиметра, F (со) —

отношение статической чувствительности к динамической.

Для гравиметра с большой постоянной времени Т прибли

женно можно записать:

(<*t + 8z — ,

сГсо

где с — цена деления гравиметра. Тогда, осредняя по

d^x

времени произведение ^ ф, получаем

< 1 U 9 >

Эта величина достигает экстремума при 6X — 8* = ± 4 ? -..

Положим 8Ж= 0, 8z = y , тогда

^ = axcosat-, ^§ = — ^sinco*. (11.20)

Интегрируя, находим

Это уравнение эллипса с полуосями ^ и ^ . Исключая t

из (11.21), получаем каноническое уравнение эллипса:

■^7^3 + ^ 1 • (11-22)

Если опора гравиметра движется по эллиптической тра

ектории по часовой стрелке, то соотношение фаз будет

(6Х — 62) = — Вследствие взаимодействия горизонталь

ного и вертикального ускорений маятник гравиметра за

кручивается также по часовой стрелке, увеличивая изме

ренное значение силы тяжести. Если опора движется

против часовой стрелки, то разность фаз составит 8Х—8г = -^

и маятник будет закручиваться против часовой стрелки,

уменьшая измеренное значение g. Отсюда ясен путь ис

ключения описанного эффекта: нужно иметь в комплекте

два идентичных гравиметра, повернутых на 180° относи

тельно друг друга. Тогда один гравиметр будет показывать

завышенное значение g, другой — на столько же зани

женное. Суммарное показание обоих гравиметров будет

свободно от этой погрешности.

Четвертый член формулы (11.13) определяет совместное

влияние наклонов гироплатформы и маятника гравиметра,

вызванное возмущающими ускорениями.

Последний член формулы (11.13) возникает вслед

ствие наклона маятника относительно гироплатформы и

равняется

4^Ф 2 = Т ^ 2 = 4 Й ? - (11.23)

Очевидно, эта поправка уменьшается с увеличением по

стоянной времени Т.

При амплитудах возмущающих ускорений ах=ау=аг=

=50 Гал, |a|max= |P |max=2,9-10"3 рад=10', |ф|тах=

—5- Ю_3 рад (5/F(co) = i0 -7 рад/мГал) получим следую

щие оценки максимальных поправок в измеренное зна-

jg a * = 4,2 мГал; ^ а = ^ |Р = 75 мГал;

Л2 у 1 —

_ с р = 1 2 5 мГал; gm p=14,5 мГал; j-g(p2 = 6,2 мГал.

В настоящее время морские гравиметрические изме

рения обеспечивают определения g с погрешностью

1—ЗмГал. Уже для этого необходима непрерывная запись

как самих возмущающих эффектов, так и их вариаций.

Дальнейшее повышение точности требует и дальнейшего

совершенствования вспомогательной аппаратуры: акселе

рографов, наклономеров и др.

§ 4. Влияние горизонтальных возмущающих ускорений

и наклонов при установке гравиметра

в подвесе Кардана

Подвес Кардана представляет собой маятниковую си

стему, свободно качающуюся в двух взаимно перпендику

лярных плоскостях и стремящуюся установиться по на

правлению мгновенной вертикали. Рассмотрим движение

в плоскости zx. В этом случае возмущающие ускорения

действуют в направлении оси х (рис. 92). Здесь ОА — ис

тинная вертикаль, ОС — мгновенная вертикаль, 0D —

ось чувствительности, а — угол между истинной верти

калью и осью чувствительности, Да — угол между мгно

венной вертикалью и осью чувствительности. Геометри

чески ясно, что

Здесь сохранены малые не выше второго порядка. Фор

мула (11.24) дает значение проекции действующих сил на

ось чувствительности прибора, т. е. измеряемое значение

силы тяжести, искаженное горизонтальными ускорениями

и наклонами. При этом горизонтальные ускорения завы

шают, а наклоны занижают силу тяжести. Чтобы получить

истинную величину g, нужно из измеренной величины Q'

OD= Q '= Q co sA a ^ g \\ + ~ ( ^

J _ ^ V 1 f l - ^ W

2g2 \dt2 ) 2 )

(11.24)

вычесть поправку за горизонтальное возмущающее уско

рение

Очевидно, в другой плоскости zy поправка за возму

щающие горизонтальные ускорения и наклоны будет

В выражения для поправок входят квадраты величин

несмотря на знакопеременность самих возмущений.

Полная поправка за горизонтальные возмущающие ус

корения и наклоны получится как сумма составляющих

по осям координат:

Поправки за горизонтальные возмущающие ускорения

называются поправками Броуна, по имени ученого, впер

вые указавшего на необходимость их введения.

Значения горизонтальных и вертикальных ускорений

измеряются акселерометрами. Наклоны измеряются спе

циальным прибором, регистрирующим отклонения от на

правления на горизонт.

§ 5. Способ Венинг-Мейнеса измерения силы тяжести

маятниковым прибором

Этот остроумный способ был предложен Венинг-Мейне-

сом для наблюдений на неустойчивой почве Голландии,

когда возмущающие ускорения невелики. В дальнейшем он

применял его при работе на подводной лодке и даже на

надводном судне. Поскольку вертикальные и горизонталь

ные ускорения действуют на маятник по-разному, различны

и методы уменьшения их влияния и учета.

и добавить поправку за наклоны

Полная поправка по оси х будет

d^X

-772 , . &а > т- е- поправки всегда сохраняют знак,

dt2 ’ dt2

Вертикальные возмущающие ускорения совпада

ют по направлению с силой тяжести и, будучи знакопе

ременными, так как корабль то поднимается, то опуска

ется на волнах, на большом отрезке времени взаимно

уничтожаются. Для осредненного значения вертикальных

возмущающих ускорений можно написать:

= (Ц .26)

dt2 12 — h J dt2 t2— h \ d t dt J ’ v '

где ti—tx — разность моментов конца и начала наблюде-

cfao dz-,

нии, — разность скоростей вертикальных дви

жений. Интервал наблюдений всегда можно взять та-

Рис. 95. Ход лучей в раз

ностной схеме измерения

g маятниковым прибором

(фиктивный маятник).

ким, чтобы эта разность была близка к нулю. Кроме того,

d?z

при возрастании t2—U величина убывает. Практи

чески за 20 минут наступает нужное осреднение. Чтобы

исключить влияние горизонтальных возмущений, исполь

зуют два маятника, установленных на одной и той же

опоре и качающихся в одной плоскости (рис. 95). Если

рассматривать отраженный от зеркала маятника луч, то

легко убедиться, что он будет совершать колебания такие

же, как и сам маятник, только с двойной амплитудой.

Если, далее, этот луч, отраженный от первого маятника,

направить на второй, то после отражения от двух качаю

щихся маятников он будет тоже совершать колебания с

амплитудой, равной разности амплитуд обоих маятников.

Если маятники качаются в противофазе, то амплитуда луча

света станет равной сумме амплитуд обоих маятников. Если

же маятники качаются в одинаковой фазе, то луч света

будет оставаться в покое. Так как оба маятника находятся

на одном основании, колебания его одинаково влияют на

оба маятника и исключаются из разности их отклонений.

Таким образом, если маятники качать в противофазе, то

запись их движения друг относительно друга будет иметь

вид правильной синусоиды независимо от того, качается

штатив или нет. Покажем это математически.

Невозмущенное движение маятника приближенно опи

сывается однородным линейным дифференциальным урав

нением второго порядка:

^ + = 0, (11.27)

где — угловое ускорение, г|; — угол отклонения ма

ятника, п = |/^ -у = - ^ — собственная частота колебаний,

I — приведенная длина маятника, Т — период свободных

колебаний маятника. Если на маятник действует горизон-

d^x

тальное ускорение , вызванное смещением подвеса,

к уравнению добавится правая часть, зависящая от возму

щающего ускорения.

Для первого маятника уравнение движения примет вид

т £ + « .Ч . + т - а ? = ° * <п -28>

Для второго маятника, качающегося на одном и том же

подвесе с первым, это уравнение будет следующим:

dt% g dtz u«

d?x

В обоих уравнениях ^ одинаковы, так как это го

ризонтальные ускорения одного и того же штатива. Ма

ятники всегда можно подобрать так, чтобы периоды их

были одинаковыми, т. е. «1= п 2=л . При этих предположе

ниях вычтем одно уравнение из другого:

+ п2 (^ -ф .) = 0. (11.29)

Это уравнение имеет тот же вид, что и (11.27), т. е. опи

сывает движение некоторого невозмущенного маятника,

колеблющегося так, что угол отклонения маятника в каж

дый момент равен разности отклонения исходных маят

ников. Такой разностный маятник, полученный из двух,

был назван Венинг-Мейнесом фиктивным маятником.