Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

незакрученное положение нити; ■& — закрученное поло

жение нити; т — коэффициент крутильной жесткости нити.

Теперь уравнение равновесия крутильной системы будет:

Если считать, что в пределах коромысла гравитационное

поле изменяется линейно, то горизонтальные составляющие

силы тяжести gy, gx можно выразить через значения (gy)0,

(Sx)o и их производные в начале координат в виде ряда

^Однако в начале координат сила тяжести направлена

по оси г (нить подвеса, вдоль которой выбрана ось г, рас

полагается по отвесной линии) и составляющие ее по

координатным осям равны нулю:

Заметим, что производные от gx и gv соответственно

Имея все это в виду, представим уравнение (10.35) в

следующем виде:

Wд ^ xydm + Wxy ^ (х2 — г/2) dm + WlJZ J xzdm —

- W xz\yzdm = T (ft-& 0), (10.37)

Напишем это уравнение относительно координатных

осей £, г), £. связанных с коромыслом. Формулы преобра

зования старых координат к новым будут:

х = |c o sa — т] sin а; у = £ sin а ~f r]cos а; z = £,

где а — угол хО%, т. е. азимут коромысла.

(10.35)

(g*)o = (gj,)o = 0-

равны:

где

Wb=Wyy- W xx,

Вводя эти преобразования в (10.37), получим

,'г Г д [sin 2а J ( |2 —гf)dm + 2 cos 2а ^ }dm +

-{-WXs/ [cos 2а ^ (£2 — г]2) dm — 2 sin 2а J £r| dm J 4-

+ Wyz [cos a J dm — sin a J r]£ dm] —

[sin a J |£dm + cosa jj r)£dm] = r(ft —ft0). (10.38)

» to основное уравнение вариометра. Его можно упростить,

выбрав соответствующую систему подвеса и устройство

коромысла. Коромысло делается в виде тонкого легкого

стержня (из дюралевой трубки) симметричной формы с гру

шками на концах, так что массу грузика можно считать то

чечной. Во всяком случае, в пределах массы грузиков

т. е. расстояние от начала координат по оси | до грузика

намного больше его толщины. Поэтому приближенно можно

считать

5 (I2 — Л2) dm т J ( |2 -j- г]2) dm = К,

где К — момент инерции коромысла относительно верти

кальной оси. Момент инерции может быть определен, как

будет показано далее, по периоду колебания системы.

Так как коромысло симметрично относительно плоско

сти £0£, то в нем каждой элементарной массе с коорди

натой +т] соответствует масса с координатой —г). Поэтому

интегралы, содержащие т] в первой степени, обращаются

в нуль. Теперь уравнение (10.38) можно записать в более

простом виде:

KW \ sin 2a + KWxy cos 2a -f WIJZ cos a J ££

— Wxzs\na ^ dm ==%(§ — \}0), (10.39)

где Г д, Wxy — вторые производные потенциала, харак

теризующие кривизну уровенной поверхности в точке

наблюдения; Wyz, Wxz горизонтальные градиенты силы

дв де

тяжести п-| и щ ; а — азимут коромысла, величина,

с достаточной точностью определяемая установкой прибора;

К, т — постоянные прибора, определяемые в лаборатории;

\}0 — неизвестное незакрученное положение коромысла и,

наконец, два интеграла, которые могут быть вычислены

для каждого конкретного коромысла. Таким образом урав

нение (10.39) содержит пять неизвестных. Если прибор

устанавливать в пяти азимутах а ь а 2, а 3, а 4, а 5, то мы

получим пять уравнений, из которых можно найти все

пять неизвестных.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если коромысло подвесить горизонтально (рис. 90, а),

то массы в нем будут расположены симметрично относи

тельно плоскости г]0£. Тогда каждой элементарной массе

Рис. 90. Различные схемы крутильных весов.

с координатой £ будет соответствовать масса с коорди

натой —| и интегралы, содержащие |, обратятся в нуль.

Для такого коромысла уравнение (10.39) примет вид

■j KWA sin 2а + KWху cos 2а = т (ft - ft0). (10.40)

Крутильная система такого вида позволяет по наблюде

ниям в трех азимутах определить WA и Wxy.

2. Если один грузик подвешен на нити к концу гори

зонтального коромысла (рис. 90, в), так называемый варио

метр типа L, легко вычислить интеграл, входящий в фор

мулу (10.39). Считая грузик точечной массой, расположен

ной на расстоянии I от оси вращения по £ и на расстоянии h

по оси £, получаем

J ££ d/n = lh^ dm = Ihm.

Теперь уравнение (10.39) будет:

Y KWA sin 2а + KWXy cos 2а -|- Wyz cos а Ihm —

— Wxz sin a Ihm = т (ft— ft0), (10.41)

где I, h, m — параметры прибора.

3. Для случая наклонного коромысла (рис. 90, б),

получившего наибольшее распространение, это уравнение

будет иметь вид

у KWд sin 2а + KWxy cos 2а -f [jn + J /2 sin 2$Wyz cos а —

— {m Jr r^ I2 sin 2$WX£ sin а = t (ft — ft0), (10.42)

где tn — масса грузика, т' — масса коромысла, К — мо

мент инерции коромысла относительно оси £, р —• угол

наклона коромысла к горизонту, I — проекция коромысла

на горизонтальную плоскость.

Рис. 91. Общий вид вариометра Е-60.

Известно много моделей гравитационных вариометров.

Они различаются в основном системой коромысла и вре

менем затухания колебаний. В принятых у нас сокращен

ных названиях заложены обозначения этих характеристик

вариометров. Известны вариометры L-40, Z-40, Z-30,

S-20 и др.; буква в этих обозначениях выражает тип

коромысла (L-образное, Z-образное и др.), число — время

полного затухания колебаний коромысла в минутах. Общий

вид вариометра приведен на рис. 91.

Г Л А В A 11

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

НА ДВИЖУЩЕМСЯ ОСНОВАНИИ

§ 1. Об Определении силы тяжести на море

До сих пор мы рассматривали методы определения g

на стабильном основании. На первый взгляд кажется, что

иначе и невозможно. Выполнение измерений с погрешно

стью 10~7—10-8 от измеряемой величины кажется воз

можным лишь на незыблемой основе. Однако 3/4 земного

шара покрыты водой и нельзя изучить гравитационное

поле Земли без проведения наблюдений на океанах, а

это, в свою очередь, требует умения производить наблю

дения на кораблях, т. е. на движущемся и раскачиваю

щемся основании. Конечно, можно наблюдать на дне, но

это еще труднее, ведь глубина океана повсеместно 3—

5 тысяч метров. Необходимость в морских гравиметриче

ских работах диктовалась не только научным интересом

изучения гравитационного поля Земли в целом, но и пря

мыми экономическими задачами: поиском нефти и газа на

шельфе и в более глубоких областях океана. В связи с

изучением труднодоступных районов, таких как Арктика

и Антарктика, нужно было научиться измерять силу

тяжести на самолетах.

Так возникла задача измерения силы тяжести на под

вижном основании. Принципиально эта задача была решена

для маятникового метода измерения силы тяжести гол

ландским геофизиком Венинг-Мейнесом в 1923 г. Грави

метры для измерений g на море впервые были применены

Хальком и Норгардом в начале тридцатых годов, однако

без особого успеха. Это были газовые гравиметры.

Существенные результаты в этой области были достиг

нуты в пятидесятых годах, когда были впервые применены

статические гравиметры с большим демпфированием. Слож

ность работ на море возникает из-за возмущающих уско

рений и наклонов корабля, на котором производятся

работы. При этом в направлении, противоположном воз

мущающему ускорению, возникает сила инерции гп-щъ ,

которая, складываясь с силой тяжести mg, постоянно

изменяет ее и по величине и по направлению. Вектор силы

инерции может быть разложен на три составляющих, на

правленных по осям координат х, у, z. При т—1 эти со

ставляющие будут

Направления х, у, г выбираются следующим образом:

ось z направлена по нормали к земному эллипсоиду, которая

с точностью до уклонения отвеса совпадает с направлением

полного вектора силы тяжести; ось у проходит по каса

тельной к меридиану; ось х — в плоскости первого верти

кала. Тогда вектор

будет характеризовать в каждый момент времени полную

силу, действующую на чувствительный элемент измери

тельного прибора. Эта величина называется мгновенной

силой тяжести, а направление вектора мгновенной силы

тяжести — мгновенной вертикалью в отличие от истинной

вертикали, направленной по линии действия невозмущен

ной силы тяжести.

Гравиметр или маятниковый прибор измеряет верти

кальную составляющую силы тяжести, отягченную вер-

d?z

тикальными возмущающими ускорениями, т. е. g + ^ ,

причем зарегистрировать ее он может в некотором направ

лении, строго фиксированном относительно рамы прибора.

Это направление называется осью чувствительности при

бора. Показания гравиметра определяются проекцией

вектора мгновенной силы тяжести на его ось чувствитель

ности. Направление оси чувствительности при наблюдениях

па море непостоянно. Оно изменяется под влиянием воз

мущающих ускорений и наклона судна, что создает допол

нительные искажения отсчетов.

В силу принципа эквивалентности инертной и гра

витирующей масс ускорение свободного падения и инер

ционные ускорения неразличимы. Выделить гравитацион

ную составляющую удается только потому, что во время

d?z

движения корабля g изменяется медленно, тогда как —

сРх d2y d2z

d F ' dt* '

вертикальные возмущающие ускорения от качки кораб

ля — имеют высокую частоту.

Применяя тот или иной метод частотной фильтрации,

удается выделить из общей картины колебаний низкоча

стотную часть — собственно величину ускорения силы

тяжести.

§ 2. Определение силы тяжести на море

статическими гравиметрами

Если упругую систему сильно задемпфировать, так

чтобы частота ее собственных колебаний стала гораздо

меньше основной частоты качки на волне, т. е. возмущаю

щих ускорений, то такая инерционная система окажется

мало чувствительной к качке, но будет «следить» за мед

ленно меняющимися вариациями силы тяжести, т. е. за

изменениями ее при перемещении судна. На этом и осно

вано применение статических гравиметров на море. Можно

упругую систему задемпфировать настолько, чтобы она

стала апериодической, т. е. будучи выведена из состояния

равновесия, возвращалась в него монотонно. Процесс

возвращения упругой системы от мгновенно измененного

состояния (быстрая смена курса и т. п.) к положению

установившегося равновесия называется переходным про

цессом. Чем сильнее демпфирована система, тем длиннее

переходный процесс.

Если применить гравиметр с горизонтально расположен

ным маятником, да еще с нулевой системой отсчета, то на

такой гравиметр мало будут действовать непосредственно

горизонтальные составляющие возмущающего ускорения

(эффекты первого порядка), т. е. моменты сил горизон

тальных возмущений для такой системы будут

Мх = т I sin а,

где т — масса маятника системы, I — расстояние от оси под

веса до центра тяжести маятника, а — угол наклона маят

ника к горизонту. При строго горизонтальном положе

нии маятника (а=0) возмущающий момент равен нулю.

Чтобы избежать значительных наклонов гравиметра

(когда начинают действовать сами наклоны и горизонталь

ные возмущающие ускорения), его помещают на гироста-

билизированную платформу, т. е. устанавливают по ис

тинной вертикали (если не считать погрешностей стабили

зации). Главным источником погрешностей измерений в

таких условиях являются вертикальные возмущающие

ускорения, амплитуда которых при наблюдениях в ус

ловиях большого волнения в десятки и сотни тысяч раз

может превышать величину измеряемой вариации силы

тяжести. Выделение последней на фоне громадных инерци-

лльных возмущений происходит в основном за счет изби

рательной чувствительности морских затушенных грави

метров, «настроенных» на низкочастотные вариации силы

тяжести. Остаточные возмущения, неотфильтрованные дина

мической системой гравиметра, снимаются на стадии обра

ботки результатов измерений. Простейшим алгоритмом

фильтрации на этой стадии служит временное осреднение

в некотором интервале. Заметим, что при измерениях

с морским струнным гравиметром, являющимся безынер

ционным прибором, вся фильтрация производится на

стадии обработки.

На упругую систему, основными элементами которой

являются горизонтальная упругая нить или пружина и

закрученный на них маятник, находящийся в равновесии

в горизонтальном положении, действуют следующие ос

новные обобщенные силы: момент силы тяжести mgl cos а,

момент упругой силы крутильной нити т(90+ а). Здесь I —

длина маятника от оси подвеса до центра масс, а — угол

наклона маятника к горизонту, т — коэффициент крутиль

ной жесткости нити, 0О — угол закручивания нити, при

котором маятник занимает горизонтальное положение.

Уравнение движения чувствительного элемента гра

виметра на борту судна складывается из момента силы

Сра

инерции маятника т / 2^ 2-, момента демпфирования,

пропорционального угловой скорости движения маятника

Н (где Н —; коэффициент демпфирования), момента

вертикальной составляющей качки mlaz cos соt (где az ■—

амплитуда ускорения вертикальной качки, со — угловая

частота колебаний, равная доминирующей частоте вол

нения).

Уравнение движения маятника получается как сумма

всех этих моментов:

m l ^ -\-mglcosa + x(Q0 + а) + H ^-\-m la2cosat=0, (11.1)

или, разделив на ml2, получаем

^2а I g I т /п 1 4 I Н da , а , , п ,, 1 оч

Щ* Т cosa т Щ? (° а ) ~mfi ~dt ~f C0S = * (lL2)

где g=go~\-Ag(f). В положении равновесия при условии

az= О обеспечивается горизонтальное положение маятника

(а=0) и

Тогда уравнение движения вблизи положения рав

новесия можно написать в виде

Это линейное дифференциальное уравнение второго

порядка, общее решение которого при Ag(t)=0 распадается

на собственное апериодическое движение системы и вынуж

денные гармонические колебания на доминирующей ча

стоте волнения со:

где а-i характеризует собственное движение системы, а 2 —

вынужденные колебания под действием возмущающих

ускорений; alt а2 — действительные отрицательные числа:

Амплитуда и сдвиг фазы вынужденных колебаний опреде

ляются соответственно выражениями

Собственные колебания при установившемся процессе

можно не рассматривать. При со=0 вертикальную состав

ляющую можно считать постоянной величиной, тогда

Это так называемая статическая амплитуда отклонения

маятника гравиметра. Отношение а2/астатт называется

коэффициентом динамичности %:

mgal = — 60т.

_j_ fk cos at = 0, (11.3)

где

— a2ea,i) -)-a2 sin (co/ + 6), (11.4)

®1> 2

e + У г2 — n\.

(11.5)

^2|ю= 0 —

'статич

(И.6)

Коэффициент динамичности характеризует степень умень

шения амплитуды вынужденных колебаний маятника гра

виметра по сравнению с амплитудой, вызванной знако

переменными гармоническими ускорениями. Величина, об

ратная коэффициенту динамичности & = у , называется

коэффициентом подавления помех. В случае s = ~ ~ вы-

г 2

ражение (11.7) для к совпадает с амплитудной частотной

характеристикой фильтра Баттерворта второго порядка.

Фильтры Баттерворта обладают тем замечательным свой

ством, что среди всех прочих фильтров нижних частот

с одинаковым подавлением помехи на частотах со^>п0

они меньше всех искажают полезный сигнал — в нашем

случае вариацию силы тяжести. Так устраняется влияние

главной помехи — знакопеременных вертикальных возму

щающих ускорений.

В сильно демпфированной системе е^>п0, п0> 0, поэтому

приближенно

— Hi t

(Xj = айе 28 жа0е т .

Величина Т = -% называется постоянной времени. Она

имеет размерность времени и равна времени, за которое

отклонение маятника от положения равновесия, вызван

ное импульсным воздействием, уменьшается в е раз. Чем

больше постоянная времени Т, тем медленнее переходный

процесс. Сильно демпфированные системы позволяют из

мерить силу тяжести на борту корабля с погрешностью

до 1 мГал. Однако демпфирование приводит к запазды

ванию показаний гравиметра по отношению к изменениям g

по пути хода корабля. Чем больше постоянная времени,

тем больше такое запаздывание. Обычно величина Т равна

200—400 с. В этом случае при движении корабля со ско

ростью 30 км/ч измеренное в данный момент значение

силы тяжести должно быть отнесено к точке, где корабль

200

был 200—400 с тому назад, т. е. на расстоянии 30^-^ =

= 1,7 км или 3 0 ; ^ = 3,3 км позади корабля. Это об

стоятельство особенно важно иметь в виду при больших

горизонтальных градиентах силы тяжести.

Создание гравиметров с непрерывной регистрацией по

казаний позволило заменить наблюдения на отдельных