Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

Влияние горизонтальных ускорений исключается только

при условии совпадения собственных периодов обоих ма

ятников, входящих в пару. Это совпадение должно быть

выдержано с погрешностью, не большей, чем (1—2) • 10~7 с.

В противном случае приходится вводить так называемую

поправку за неизохронность. Эта поправка имеет вид

где Л и Г 2 — периоды колебания маятников, аг и а 2 —

амплитуды индивидуальных маятников, Т — измеренное

значение периода фиктивного маятника, а — измеренная

амплитуда фиктивного маятника. Все эти величины могут

быть получены по записи морского маятникового прибора.

При наблюдениях период колебаний фиктивного маятника

приводят к периоду первого маятника. Этот период после

введения поправки за неизохронность будет

В случае полного совпадения периодов колебания пары

маятников поправка за неизохронность обращается в

нуль. Кроме поправки за неизохронность приходится учи

тывать зависимость периода колебания маятника от ам

плитуды. Следующая формула позволяет привести период

колебаний Т к бесконечно малой амплитуде:

Кроме горизонтальных и вертикальных возмущающих

ускорений на маятник действуют наклоны прибора. Наклон

в плоскости, перпендикулярной качанию, уменьшает дей

ствие силы тяжести gp =g cos р и соответственно умень

шает период колебания маятника. Наклон в плоскости

качания на период не влияет.

Таким образом, используя метод регистрации фиктив

ного маятника и вводя некоторые поправки, мы освобож

даемся в первом приближении от влияния горизонтальных

возмущающих ускорений и сводим влияние вертикальных

возмущений к малой величине. Однако при этом остаются

возмущения второго порядка, которые устраняются введе

нием поправки Броуна.

(11.30)

T ^ T + iT x -T ).

(11.31)

§ 6. Поправки за возмущающие ускорения

и наклоны при наблюдениях маятникового прибора,

установленного в подвесе Кардана

В идеальном подвесе Кардана маятник качается всегда

около мгновенной вертикали; тогда A a= A [i= 0 и на при

бор действуют только возмущающие ускорения. В гори

зонтальной плоскости они равны

Рассмотрим еще вертикальные возмущения, вызыва-

d?z

емые вертикальным ускорением . Вертикальные воз

мущения ускорения добавляются к ускорению силы тяже

сти, так как они действуют вдоль той же оси. Поэтому

формулу для обратной величины периода колебания маят

ника, испытывающего вертикальные возмущения, можно

написать в виде

в ряд с точностью до малых второго порядка относительно

возмущающих ускорений:

где То — период невозмущенного колебания маятника.

При определении периода из большого числа колеба-

d?z ..

ний за большой интервал времени значение члена ^ об

ращается в нуль, так что формула (11.35) принимает вид

„ 1 d2z 1

Отношение мало, поэтому можно разложить

Т 2л

или, осредняя за время наблюдения,

т ~т0 _

Это выражение можно записать в виде

(11.34)

(11.35)

или

Г — Г 0 _ 1 и ч у

Т0 — 8g*LttV '

Отношение периодов связано с силой тяжести выраже

нием

Т — Т 0_

___

1 g —go

То 2 g

ИЛИ

8 o -g = p ( T - T 0). (11.37)

' О

Внося отношения периодов из (11.36) в (11.37), полу

чаем

* - * .= A s r ,= 5 ( g ) ’- (11.38)

Это поправка Броуна за вертикальные ускорения. Пол

ная поправка Броуна за возмущающие ускорения для маят

никового прибора будет -

Кроме этой поправки, вводится поправка за наклон,

которая равна

Д ? к = т ^ ( 1- 2^ } (п -4°)

где роК ■— амплитуда колебаний подвеса Кардана, сок —

частота колебаний подвеса Кардана, со0 — собственная

частота колебания маятника.

§ 7. Поправка Этвеша

Гравиметрические наблюдения на движущейся подстав

ке помимо возмущающих ускорений и наклонов всегда

искажаются дополнительным центробежным ускорением,

возникающим в результате движения корабля. Если судно

идет вдоль меридиана на север или юг, этого дополнитель

ного влияния не будет. Однако при движении судна с за

пада на восток или с востока на запад происходит в пер

вом случае увеличение центробежной силы, во втором -г-

уменьшение, поскольку скорость судна в первом случае

добавляется к скорости вращения Земли, во втором —

вычитается.

Центробежная сила на экваторе

Если масса т = 1, то

где v — линейная скорость вращения Земли на экваторе,

R — радиус Земли.

При наличии восточной составляющей скорости ко

рабля формула (11.41) будет иметь вид

Эта величина должна быть трансформирована к любой

широте В, где центробежная сила меньше в cos В раз.

Поэтому формула (11.42) в общем случае должна иметь вид

д£э = 2 ~ v EcosB.

Если судно идет не в восточном направлении, в выра

жении добавочной силы появится множитель sin А , где

А — азимут, который отсчитывается от направления на

север по часовой стрелке:

где vc — скорость судна в узлах. Вводя числовое значение

~ = 862^6| (86 164— число секунд в звездных сутках),

получим

Эта формула достаточно точна для скорости корабля

до 20 узлов. В этом случае максимальная поправка

Этвеша будет иметь значение 150 мГал. Отброшенный

квадратичный член в поправке Этвеша становится замет

ным при больших скоростях и должен учитываться при

аэрогравиметрических измерениях.

Величиной ^ пренебрегаем как малой, тогда

Ag3 = P - P 0 = 2 ^ v E. (11.42)

Ag3 = 2 — vc cos В sin A ,

(11.43)

Ag3 = 7,5fcsin A cos В мГал. (11.44)

Г Л А В A 12

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЛУНЫ

И ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Доспутниковые представления о Луне

и ее гравитационном поле

Изучение гравитационного поля Луны представляет

большой интерес, поскольку, как и для Земли, с его по

мощью можно получить некоторые сведения о физических

условиях на ее поверхности, внутреннем ее строении,

фигуре и динамических свойствах.

Сила тяжести определяет наличие и состав атмосферы

планет, именно она препятствует рассеиванию газовых

молекул. Если параболическая скорость, т. е. скорость,

при которой тела покидают поле тяготения планеты, зна

чительно превосходит скорости движения газовых моле

кул, атмосфера сохраняется. Для Луны параболическая

скорость очень мала — она составляет всего 2,38 км/с.

Это обстоятельство обусловило полную потерю Луной

атмосферы.

Малая сила притяжения благоприятствует сохранению

форм рельефа. Этому же способствует отсутствие атмосферы

и воды. Гравитационное поле играет важную роль в про

цессе образования кратеров в результате метеоритных уда

ров. Поэтому изучение гравитационного поля Луны имеет

большое значение для познания ее происхождения и

эволюции.

Космические аппараты предоставляют неограниченные

возможности для изучения лунного гравитационного поля.

Однако интерес к особенностям и структуре этого поля

возник уже задолго до появления космических аппаратов.

Понятно, что в докосмическую эпоху сведения о гравита

ционном поле Луны можно было получать лишь косвен

ными методами.

Так, среднее значение ускорения лунного притяжения

на ее поверхности можно вычислить, если знать радиус

Луны R, отношение массы Луны к массе Земли ц и геоцент-

Радиус Луны можно найти, измерив параллакс Луны и

ее угловой диаметр. В системе фундаментальных астроно

мических постоянных он принят равным ^ = 1738,0 км.

М<г

Отношение масс и. = тг1 определяется по неравенствам

м ®

в долготе Солнца или малых планет, а также по постоян

ным нутации и прецессии. В той же системе постоянных

принято jji— 81,31. Величина GMq находится из геоде

зических и гравиметрических измерений по известным зна

чениям ge и ае или по наблюдениям движения Луны, или,

наконец, по наблюдениям ИСЗ и далеких космических ап

паратов. Примем значение GM0=3986O,O5-109 м3-с~2.

При указанных значениях постоянных среднее значе

ние ускорения притяжения Луны составляет

7С = 162,29 Гал. (12.2)

Это значение в шесть раз меньше ускорения силы тяжести

на Земле.

Величина силы тяжести на Луне не постоянна и для

разных точек лунной поверхности, и во времени. Она из

меняется вследствие отклонений фигуры Луны от пра

вильной сферической формы. Если за фигуру Луны при

нять эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид, что

довольно хорошо соответствует действительности, то можно

выделить нормальную составляющую гравитационного поля

и остаточные аномалии, характеризующие отклонения

гравитационного поля Луны от принятого за нормальное.

По этим аномалиям можно судить о фигуре и внутреннем

строении Луны.

Сила тяжести изменяется с высотой над лунной поверх

ностью. Это изменение, характеризуемое нормальным вер

тикальным градиентом силы тяжести, равно

Аёг = - ^ Я = - ^ ^ Я = -0,1868Я м Гал . (12.3)

Наконец, сила тяжести периодически изменяется во вре

мени в зависимости от приливных влияний Земли и Солнца.

Приливное влияние близкой Земли создает постоянно

действующую силу вследствие синхронности собственного

вращения Луны и обращения ее вокруг Земли. Это и оп

ределяет трехосность Луны и переменную составляющую,

возникающую из-за либраций Луны.

Если за нормальную часть гравитационного поля Луны

принять поле трехосного эллипсоида, то выражение для

такого нормального значения силы тяжести с точностью

до сжатия имеет вид

у(ф, = ^1 + P sin 29 -|-y a 'c o s ^ c o s 2 ^ , (12.4)

где уа и yb —- значения силы тяжести на концах экватори-

о о Юл;2а

альных полуосей, р — параметр сжатия, р =

-------

а,

а— с — Ъ ^°

а — —-

-----

полярное сжатие, а' = —

-----

экваториальное

сжатие, ф и X — селеноцентрические широта и долгота,

Т —2 360 591,5 с — сидерический период обращения Луны.

Принимая разности полуосей по определениям Ш. Т.

Хабибулина и Шрутки — Рехтенштамма

а — 6 — 0,280 км,

а —с = 0,677 км,

что соответствует сжатиям а = 0 ,00039 и а '= 0 ,00016, полу

чаем формулу нормального значения силы тяжести с чис

ловыми коэффициентами:

у (ф, %) = (1 -0 ,0 0 03 7 sin2 ф + 0,00008 cos2 q> cos 2Я).

(12.5)

Эта формула была выведена Н. П. Грушинским и М. У. Са-

гитовым в 1962 г. Из нее следовало весьма интересное за

ключение, многим казавшееся в то время абсурдным, но

полностью подтвержденное позже исследованием Луны

с помощью космических аппаратов, а именно, что сила тя

жести на Луне увеличивается от полюса к экватору при

близительно на 0,00037 ее полной величины.

Объяснение этого явления состоит в том, что эффект

центробежной силы для Луны составляет 1,7-10“? от ве

личины силы тяжести, а эффект изменения притяжения

вследствие сжатия составляет 38-10-5.

Максимальное изменение силы тяжести от полюса к эк

ватору составляет +60 мГал, а изменение вдоль экватора

26 мГал.

В образовании аномального гравитационного поля

Луны еще большую роль, чем для Земли, играет рельеф.

Поэтому было естественно попытаться найти зависимость

аномалии силы тяжести на Луне от рельефа, который для

видимой стороны Луны изучается астрономическими ме

тодами. Такую работу проделал в 1965 г. К. Гудас, кото

рый разложил рельеф Луны по известной системе высот

ных отметок в ряд сферических функций. Радиус-вектор

г(ф, X) точек физической поверхности Луны был представ

лен формулой

г(ф , Я) =

N п I

# 0

1 + 2 2 (апт co s т Ь + bnm sin т%) Рпт (sin ф) .

П— 1 т = 0 J

(12.6)

Полагая, что выступающие за сферу радиуса R 0 массы,

или их отсутствие во впадинах, вызывают аномалии, опре

деляемые только этими массами, можно рассчитать грави

тационный эффект от них и перейти от коэффициентов раз

ложения апгп, Ьпт к коэффициентам разложения гравита

ционного поля Спт, Snm. Гудас нашел коэффициенты раз

ложения рельефа до восьмого порядка и вычислил по ним

аномалии силы тяжести. Впоследствии оказалось, что эти

аномалии существенно больше истинных. Это происходит

из-за того, что не учитывается внутреннее строение Луны.

§ 2. Представление гравитационного поля Луны

в виде разложения по сферическим функциям

Аналогично тому, как это сделано для гравитационного

поля Земли, гравитационное поле Луны может быть описа

но силовой функцией, производные которой суть проекции

силы тяжести на координатные оси. Проекция силы тя

жести на нормаль к уровенной поверхности есть полная

сила тяжести на Луне.

На точку, расположенную на или вблизи поверхности

Луны, во внешнем пространстве действуют три основные

силы: притяжение самой Луны — сила постоянная в каж

дой данной точке, притяжение Земли — сила переменная,

зависящая от положения Земли по отношению к рассмат

риваемой точке, и центробежная сила, возникающая под

действием собственного вращения Луны. Векторная сумма

этих сил есть полная сила тяжести на поверхности Луны.

Соответственно можно написать для каждой из этих сил

свой потенциал, сумма которых и дает полный потенциал

на поверхности Луны.

Поскольку гравитационное поле Луны исследуется

в основном по наблюдениям возмущений орбит искусст

венных спутников, функции, его описывающие, принято

представлять в виде разложения по сферическим гармо

никам.

Потенциал притяжения, как и для Земли, имеет вид

V(x, у, ?) = g { J { ^ , (12.7)

где р — переменное расстояние от исследуемой точки А

до точек dm в теле Луны:

р = ]/'ri -\-R2 — 2Rrcos\p. (12.8)

Выражение для потенциала (12.7) может быть развернуто

в ряд по сферическим функциям аналогично (5.52) с той

разницей, что все входящие в формулу величины относятся

к Луне:

V(r, Ф, Я) =

= -Ti X (у)” X (c,nmC0sm^ + s««sin/nX)P„„J(sin9).

п= 0 т — О

(12.9)

Вторая составляющая полного потенциала Луны возни

кает в связи с различием приливного влияния притяже

ния Земли на центр масс Луны и другие точки в ее теле.

Потенциал притяжения Землей центра масс Луны имеет

вид

GMrr,

Г е ( 0) = -д ® , (12. 10)

где А — расстояние между центрами масс Земли и Луны,

Мф— масса Земли, принимаемая ввиду большого удале

ния за точечную.

Потенциал притяжения Землей произвольной точки

А (г, ф, X) в теле Луны будет

GMrr,

W<b (A) = -j 2 . (12. 11)

где

Ах А2 - г2 — 2rA cos z®, (12.12)

Z0 — зенитное расстояние Земли в точке А (рис. 96),

может быть представлено разложением по полиномам

308

Лежандра, и тогда

- GMsr\ / \ п

ti~ о '

Разность выражений W в точках Л и О и дает потенциал

приливных сил:

Г® (А) = Г® (А) - Г ® (0 )« ^ - 2Р 2 (cos г®). (12.14)

Здесь гармоника первого порядка исключается выбором

начала координат в центре масс, а разложение ограничено

Рис. 96. Схема образова

ния приливов.

вторым членом в силу быстрого убывания отношения -£

с возрастанием п.

Третьей составляющей является потенциал, обуслов

ленный собственным вращением Луны:

Q (А) = ^ 2 cos2 Ф = ^ [1 - Р 20 (sin Ф)]. (12.15)

Выражая угловую скорость со2 через геоцентрическую гра

витационную постоянную GM®:

Q(i4) представим как

GAW2

Q(A) = - $ - [l-/>l0(sin9)]. (12.16)

Полный приливообразующий потенциал получается как

сумма двух рассмотренных частей:

£/е (Л) = Ге (Л)+0 (Л) =

GMrr.r2 г i t п

= - д Г - [^ 2 (co sz® )+ 3~ у Р 2о (зт ф )]. (12.17)

Если преобразовать Р 2 (cos z®), имея в виду, что

cos2 z®= cos2 \|э + 2 cos ф (cos ф sin^sin Z® + sin ф cos X sin 6®),

где А, Ь®, /® — селеноцентрические координаты Земли,

cos = cos ф cos X,