Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

0

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Уточним смысл этого требования. Для этого введем

следующее понятие. Назовем отклонением разность

вида:

– y

(I = 1,2,…, n),

где Y

— вычисляется по уравнению и со-

ответствует наблюдаемому значению х

;

— наблюдаемая ордината, соответствующая х

Подберем параметры p и b так, чтобы сумма квад-

ратов указанных отклонений была наименьшей:

В этом состоит требование метода наименьших

квадратов.

Эта сумма есть функция F отыскиваемых парамет-

ров p и b:

или

Для отыскивания min найдем частные производные

и приравняем к нулю:

Далее запишем систему:

1

Математические методы и модели в экономике

Для простоты всего вместо

будем писать (индекс i опускаем),

тогда:

Получили систему двух линейных уравнений отно-

сительно p и b. Решая эту систему, получим:

Метод наименьших квадратов применяется и для на-

хождения параметров множественной регрессии. В этом

случае число линейных уравнений возрастает, и такие

системы уравнений решаются с помощью ЭВМ.

2.3.3. Основные понятия

корреляционно-регрессионного

анализа

1. Среднее значение переменной определяется по

следующей формуле:

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

где х

— эмпирическое значение переменной х;

n — число наблюдений.

2. Дисперсия

3. Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции характеризует тесно-

ту или силу связи между переменными у и х. Зна-

чения, переменные r

ху

, заключены в пределах от

–1 до +1. При положительном значении r

ху

имеет

место положительная корреляция, то есть с увели-

чением (уменьшением) значений одной переменной

(х) значение другой (у) соответственно увеличива-

ется (уменьшается). При отрицательном значении

ху

имеет место отрицательная корреляция, то есть с

увеличением (уменьшением) значений х значения у

соответственно уменьшаются (увеличиваются). При

изучении экономического явления, зависящего от

многих факторов, строится множественная регрес-

сионная зависимость. В этом случае для характе-

ристики тесноты связи используется коэффициент

множественной корреляции:

(2.56)

(2.57)

(2.58)



Математические методы и модели в экономике

где σ

ост

— остаточная дисперсия зависимой пе-

ременной;

общ

— общая дисперсия зависимой пере-

менной.

4. Общая дисперсия определяется по формуле:

Величина σ

общ

характеризует разброс наблюде-

ний фактических значений от среднего значения .

5. Остаточная дисперсия определяется по следую-

щей формуле:

где у

iт

— теоретические значения переменной у,

полученные по уравнению регрессии при подстановке

в него наблюдаемых фактических значений х

Остаточная дисперсия характеризует ту часть рас-

сеяния переменной у, которая возникает из-за всякого

рода случайностей и влияния неучтенных факторов.

Коэффициент детерминации служит для оценки

точности регрессии, то есть соответствия полученного

уравнения регрессии имеющимся эмпирическим дан-

ным, и вычисляется по формуле

Изменяется Д в пределах от 0 до 1, то есть

0 ≤ Д ≤ 1.

Модель считается тем точнее, чем ближе Д к 1, то

есть чем меньше σ

ост

Стандартная ошибка оценки равна

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.62)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Если Д=0, это значит отношение , то есть

ост

= σ

общ

, и, следовательно,

В этом случае прямая регрессии будет параллельна

оси X, корреляционно-регрессионная связь между X и

Y отсутствует. Если Д = 1 , значит то есть

ост

= 0. Отсюда у

= y

то есть наблюдаемые точки

лежат на построенной прямой, следовательно, зависи-

мость функциональная.

6. Корреляционное отношение используется для

оценки тесноты связи между двумя явлениями, в част-

ности для определения тесноты связи исходного ряда у

с теоретическим рядом y

. Корреляционное отно-

шение определяют по данным, сгруппированным по

объясняющей переменной по следующей формуле

2.3.4. Исходные предпосылки

регрессионного анализа и свойства

оценок

Применение метода наименьших квадратов для оп-

ределения параметров регрессии предполагает выпол-

нение некоторых предпосылок.

Отметим наиболее существенные из них.

Предпосылка 1. При нахождении оценок пере-

менной у предполагается существование зависи-

мости переменной у только от тех объясняющих

переменных, которые вошли в модель (регрессию).

Влияние прочих факторов и случайностей учитыва-

ется случайной возмущающей переменной z. При

(2.63)

(2.64)



Математические методы и модели в экономике

этом полагаем, что для фиксированных значений

переменных х

, среднее значение перемен-

ной z равно нулю.

Предпосылка 2. Предполагается, что влияние не-

учтенных факторов постоянно. Так, при рассмотрении

временных рядов в различные периоды эти неучтен-

ные факторы оказывают одинаковое влияние.

Предпосылка 3. Отсутствует автокорреляция меж-

ду возмущающими переменными z.

Предпосылка 4. Число наблюдений должно превы-

шать число параметров регрессии, иначе невозможна

оценка этих параметров.

Предпосылка 5. Предполагается односторонняя за-

висимость переменной у от факторов , отсутс-

твие взаимосвязи.

Предпосылка 6. Зависимая переменная у и факто-

ры распределены нормально.

С помощью регрессионного анализа при указан-

ных выше предпосылках находят оценки параметров,

наиболее хорошо согласующиеся с опытными данны-

ми. Данные оценки должны обладать определенными

свойствами. Рассмотрим некоторые из этих свойств

(без доказательства).

1. Несмещенность оценок параметров регрессии.

Оценка параметров регрессии называется несмещен-

ной, если для любого фиксированного числа наблюде-

ний выполняется равенство математического ожидания

параметра и значения параметра регрессии. Надо от-

метить, что оценки, полученные методом наименьших

квадратов, обладают свойством несмещенности.

2. Состоятельность оценок параметров регрес-

сии. Данное свойство состоит в том, что с ростом объ-

ема выборки оценка параметра регрессии b сходится к

теоретическому значению параметра р (вычисленного

по всей генеральной совокупности), то есть ошибка

оценки стремится к нулю:



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

3. Эффективность оценок параметров регрес-

сии. Несмещенная оценка параметра регрессии на-

зывается несмещенной эффективной, если она среди

всех прочих несмещенных оценок этого же параметра

обладает наименьшей дисперсией.

4. Достаточность оценки. Если р представляет

собой достаточную оценку параметра b, то не су-

ществует другой оценки этого параметра, которую

можно получить по выборке из некоторой генераль-

ной совокупности и которая дала бы дополнитель-

ную информацию о нем. Р. Фишер показал, что ко-

личество измеримой информации, содержащейся в

некоторой оценке, равно обратной величине от ее

дисперсии. Таким образом, понятие достаточности

эквивалентно требованию минимальной дисперсии.

Достаточная оценка с необходимостью должна быть

эффективной и, следовательно, также состоятельной

и несмещенной.

2.3.5. Этапы построения

многофакторной корреляционно-

регрессионной модели

Разработка модели и исследование экономичес-

ких процессов должны выполняться по следующим

этапам:

1. Априорное исследование экономической проблемы.

2. Формирование перечня факторов и их логический

анализ.

3. Сбор исходных данных и их первичная обработка.

4. Спецификация функции регрессии.

5. Оценка функции регрессии.

6. Отбор главных факторов.

7. Проверка адекватности модели.

8. Экономическая интерпретация.

9. Прогнозирование неизвестных значений зависимой

переменной.



Математические методы и модели в экономике

Рассмотрим подробнее содержание этапов.

1. Априорное исследование экономической про-

блемы

В соответствии с целью работы на основе знаний

макро-и микроэкономики конкретизируются явления,

процессы, зависимость между которыми подлежит

оценке. При этом подразумевается, прежде всего, чет-

кое определение экономических явлений, установле-

ние объектов и периода исследования.

На этом этапе исследования должны быть сформу-

лированы экономически осмысленные и приемлемые

гипотезы о зависимости экономических явлений.

2. Формирование перечня факторов и их логи-

ческий анализ

Для определения наиболее разумного числа пере-

менных в регрессионной модели, прежде всего, ори-

ентируются на соображения профессионально-теоре-

тического характера. Исходя из физического смысла

явления, производят классификацию переменных на

зависимую и объясняющую.

3. Сбор исходных данных и их первичная обра-

ботка

При построении модели исходная информация мо-

жет быть собрана в трех видах:

•

динамические (временные) ряды;

•

пространственная информация — информация о ра-

боте нескольких объектов в одном разрезе времени;

•

сменная — табличная форма. Информация о ра-

боте нескольких объектов за разные периоды.

Объем выборки зависит от числа факторов, вклю-

чаемых в модель с учетом свободного члена. Для по-

лучения статистически значимой модели требуется на

один фактор объем выборки, равный 1=58 наблюде-

ний. Например, если в модель включаются три факто-

ра, то минимальный объем выборки следующий:

min

=5(m+n)=5(3+1)=20,



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

где т — число факторов, включаемых в модель;

п — число свободных членов в уравнении.

Если в квартальном разрезе собирать данные, то

надо их собирать за 5 лет [20/4].

4. Спецификация функции регрессии

На данном этапе исследования дается конкретная

формулировка гипотезы о форме связи (линейная или

нелинейная, простая или множественная и т. д.). Для

этого используются различные критерии проверки со-

стоятельности гипотетического вида зависимости. На

этом этапе проверяются предпосылки корреляционно-

регрессионного анализа.

5. Оценка функции регрессии

Здесь определяются числовые значения параметров

регрессии и вычисление ряда показателей, характери-

зующих точность регрессионного анализа.

6. Отбор главных факторов

Выбор факторов — основа для построения много-

факторной корреляционно-регрессионной модели.

На этапе «Формирование перечня факторов и их

логический анализ» собираются все возможные фак-

торы, обычно их более 20–30. Но это неудобно для

анализа, и модель, включающая 20–30 факторов, бу-

дет неустойчива. Неустойчивость модели находит вы-

ражение в том, что в ней изменение некоторых факто-

ров ведет к увеличению у вместо снижения у.

Мало факторов — тоже плохо. Это может привести

к ошибкам при принятии решений в ходе анализа мо-

дели. Поэтому необходимо выбирать более рациональ-

ный перечень факторов. При этом проводят анализ

факторов на мультиколлинеарность.

Анализ и способы снижения влияния

мультиколлинеарности на значимость модели

Мультиколлинеарность — попарная корреляцион-

ная зависимость между факторами.

Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если

коэффициент парной корреляции r = ≥ 0,70  0,80.



Математические методы и модели в экономике

Отрицательное воздействие мультиколлинеарности

состоит в следующем:

1. Усложняется процедура выбора главных факторов.

2. Искажается смысл коэффициента множественной

корреляции (он предполагает независимость фак-

торов).

3. Усложняются вычисления при построении самой

модели.

4. Снижается точность оценки параметров регрес-

сии, искажается оценка дисперсии.

Следствием снижения точности является ненадеж-

ность коэффициентов регрессии и отчасти неприемле-

мость их использования для интерпретации как меры

воздействия соответствующей объясняющей перемен-

ной на зависимую переменную.

Оценки коэффициента становятся очень чувствитель-

ными к выборочным наблюдениям. Небольшое увеличе-

ние объема выборки может привести к очень сильным

сдвигам в значениях оценок. Кроме того, стандартные

ошибки оценок входят в формулы критерия значимости,

поэтому применение самих критериев становится так-

же ненадежным. Из сказанного ясно, что исследователь

должен пытаться установить стохастическую мульти-

коллинеарность и по возможности устранить ее.

Для измерения мультиколлинеарности можно ис-

пользовать коэффициент множественной детерминации

Д = R

где R — коэффициент множественной корреляции.

При отсутствии мультиколлинеарности факторов

где d

— коэффициент парной детерминации, вы-

числяемый по формуле:

= r

yj ,

(2.65)

(2.66)