Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

использованию производственных функций для ана-

лиза сельскохозяйственного производства в США.

В 1909 г. Митчерлих предложил нелинейную произ-

водственную функцию: удобрения — урожайность.

Независимо от него Спиллман предложил показа-

тельное уравнение урожайности. На их основе был

построен ряд других агротехнических производствен-

ных функций.

Опыт использования производственных функций в

сельском хозяйстве показал, что максимизация надоев

молока, привеса животных и других натуральных по-

казателей продуктивности не совпадает, как правило,

с максимизацией экономических показателей (при-

быль, себестоимость), то есть натурально-веществен-

ный оптимум и экономический по существу своему

различные понятия.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных

по обрабатывающей промышленности США за период

1899–1922 гг. (то есть несельскохозяйственным отрас-

лям) представили функцию , где Р — рас-

четный индекс производства, К — индекс основного

капитала, L — индекс занятости. Это была первая

эмпирическая производственная функция, построен-

ная по данным временных рядов. В 1928 г. В. Рамсей

предложил упрощенную модель, в которой дается не

только описание долгосрочного роста, но и ставится

проблема определения его оптимального варианта.

Модель интересна тем, что по существу она являлась

предвестницей оптимизационного подхода к пробле-

мам экономического роста.

В 1932 г. Дж. фон Нейман изложил основы мно-

госекторной модели расширяющейся экономики, в

которую ввел понятие динамического равновесия.

С моделью Неймана связаны знаменитые теоремы о

магистрали. Модель построена в предположении со-

вершенной конкуренции.

В 1936 г. В. Леонтьев опубликовал основы метода

(модели) «затраты— выпуск». Леонтьеву были хорошо

Математические методы и модели в экономике

известны работы советских экономистов по балансу на-

родного хозяйства за 1923–1924 гг., в основу которого

были положены идеи схем воспроизводства К. Маркса.

В качестве исходного момента В. Леонтьев использовал

модель общего экономического равновесия Л. Вальра-

са, прежде всего идею технологических коэффициен-

тов. Формирование цен в рамках модели трактуется с

позиций неоклассической теории стоимости. Система

цен в модели при ограничении только на один первич-

ный фактор — труд — обеспечивает нулевую прибыль,

прибавочная стоимость отсутствует, весь националь-

ный доход реализуется на заработную плату. При на-

личии ограничений и на основной капитал в структуре

цены появляется норма процента.

В 1930-х же годах значительное внимание эконо-

мистами-математиками было уделено проблеме су-

ществования решения системы уравнений общего

равновесия. Для доказательства существования эко-

номически содержательного решения использовался

упрощенный вариант модели Вальраса. Исходными

предпосылками такой модели были следующие: ре-

сурсы заданы и используются при постоянных техно-

логических коэффициентах, но когда ресурсы заданы

в фиксированных количествах, естественно, что они,

как правило, не будут соответствовать структуре про-

изводства необходимой продукции и, следовательно,

не будут использоваться полностью. Венгерский мате-

матик А. Вальд в 1935–1937 гг. выяснил ограничиваю-

щие условия, при которых модель дает экономически

содержательное решение без отрицательных значений

искомых переменных (выпуск продукции, цены, в том

числе заработная плата), и показал, какие блага явля-

ются «редкими», какие — избыточными, «общедоступ-

ными». Такими условиями являются преобразование

некоторых уравнений в неравенства и предположение,

что некоторые способы производства не используют-

ся, так как издержки производства превышают цену

производимого продукта. Нетрудно видеть, что уже

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

здесь присутствуют предпосылки линейного програм-

мирования.

В 1931 г. было создано Международное эконо-

метрическое общество, видным представителем и

активным деятелем которого был норвежский уче-

ный Р. Фриш (1895–1973). Термин «эконометрика»

Р. Фриш ввел для обозначения направления, которое

должно было представлять синтез экономической те-

ории, математики и статистики. В дальнейшем круг

проблем, разрабатываемых в рамках данного направ-

ления, сузился, и сегодня в понятие «эконометрика»

включаются главным образом построение математи-

ко-статистических моделей экономических процессов

(так называемых эконометрических моделей), ис-

пользование методов математической статистики для

определения параметров этих моделей.

Реакцией на конкретные проблемы государс-

твенно-монополистического капитализма, на кризис

1929–1933 гг. явилась работа Д. М. Кейнса «Общая

теория занятости, процента и денег», опубликован-

ная в 1936 г. Острие своей критики Кейнс направил

против основ классической и неоклассической теорий

равновесия, на первое место он поставил проблему

рынка и реализации общественного продукта. При

капитализме нет автоматических механизмов, кото-

рые обеспечивали бы полную занятость и использова-

ние производственных мощностей, отсюда возникает

необходимость активного вмешательства государства

в управление общественным производством с целью

установления контроля за совокупным платежеспо-

собным спросом, за денежным обращением и т. д.

В модельном отношении важное значение имеет муль-

типликатор, введенный Кейнсом, который послужил

основой ряда макроэкономических моделей.

Стремление примирить теорию Кейнса с неок-

лассической теорией породило так называемый не-

оклассический синтез, сущность которого сводится к

утверждению, что в зависимости от состояния эконо-

1

Математические методы и модели в экономике

мики можно применять либо кейнсианскую теорию

равновесия, либо неоклассическую. Теория Кейнса

действует в условиях неполной занятости, по дости-

жении полной занятости возобновляет действие неок-

лассическая теория.

Значительную роль в разработке моделей роста

сыграл Р. Солоу. В статье, опубликованной в 1956 г.,

он предложил простую модель, которая привела к по-

явлению многочисленных исследований в области не-

оклассических моделей роста. В качестве основного

аналитического инструмента в них используется ап-

парат производственной функции, и детальная разра-

ботка макроэкономических производственных функ-

ций неразрывно связана с развитием неоклассических

моделей.

Разработка неоклассических моделей роста поста-

вила проблему оптимальной нормы накопления, по-

лучившей название «золотого правила». В 1960-х гг.

почти одновременно и независимо друг от друга это

правило сформулировали Дж. Робинсон, Д. Мид,

Э. Фелпс.

Важное место в развитии математического направ-

ления в экономике занимают работы советских ученых:

Л. В Канторовича, В. В. Новожилова, В. С. Немчино-

ва. Работа Л. В. Канторовича «Математические методы

организации и планирования производства» (Ленинг-

рад, 1939 г.) положила начало новому направлению в

математической экономике — методам линейного про-

граммирования, методам математического программи-

рования. Его работа «Экономический расчет наилуч-

шего использования ресурсов» вышла двумя изданиями

в 1959 и 1960 гг. и была переведена на английский,

французский, испанский и другие языки.

Работы В. В. Новожилова, в частности «Пробле-

мы измерения затрат и результатов при оптимальном

планировании», обосновали решающую роль цено-

образования, механизма распределения капиталов-

ложений, согласования хозрасчетных (локальных) и

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

глобальных (народнохозяйственных) интересов в пла-

новой экономике.

В последнее время в экономических исследованиях

активно развиваются направления, связанные с ис-

пользованием математических аппаратов теории оп-

тимального управления, динамического программиро-

вания, теории игр.

Характерной чертой современного развития эконо-

мической науки является более широкое использова-

ние математических методов и моделей как в анализе

важнейших теоретических, так и в решении конкрет-

ных прикладных задач.

1

Математические методы и модели в экономике

ГЛАВА 1

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

1.1. Основные понятия моделирования

В процессе жизнедеятельности человека вырабаты-

ваются представления о тех или иных свойствах ре-

альных объектов и их взаимодействиях. Такие пред-

ставления формируются человеком в виде описаний

объектов, для которых используется язык описания.

Это может быть словесное описание (вербальные мо-

дели), рисунок, чертеж, график, макет и т. п. Все пе-

речисленное обобщается одним понятием модель, а

процесс построения моделей — моделированием.

Моделирование — это универсальный способ изу-

чения процессов и явлений реального мира. Особое

значение оно приобретает при изучении объектов,

не доступных прямому наблюдению и исследованию.

К ним, в частности, относятся социально-экономичес-

кие явления и процессы.

Моделирование всегда имеет целевую направ-

ленность. Цели и методы его могут быть разнооб-

разными.

Различают вербальное, геометрическое (предмет-

ное); физическое и информационное моделирование.

Вербальное моделирование — моделирование на

основе использования разговорного языка.

Геометрическое моделирование осуществляет-

ся на макетах или объектных моделях. Эти модели

передают пространственные формы объекта, пропор-

ции и т. п.

Физическое моделирование применяется для изу-

чения физико-химических, технологических, биологи-

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

ческих, генных процессов, происходящих в оригинале.

Такое моделирование называется аналоговым.

Информационное моделирование имеет фундамен-

тальное значение во всех областях науки (схемы, гра-

фики, чертежи, формулы, уравнения, неравенства).

Огромная, важнейшая роль среди методов инфор-

мационного моделирования принадлежит логико-ма-

тематическому моделированию, то есть модели-

рованию посредством применения математического

аппарата.

Изучение любого объекта, любой формы движе-

ния — это раскрытие не только его качественных, но

и количественных закономерностей, изучаемых мате-

матикой. Сказанное в полной мере относится к эко-

номике.

Экономика — это система общественного произ-

водства, осуществляющая собственно производство,

распределение, обмен и потребление необходимых об-

ществу материальных благ.

Соответственно экономико-математическая мо-

дель — это математическое описание исследуемого

экономического процесса или объекта. Эта модель

выражает закономерности экономического процесса в

абстрактном виде с помощью математических соотно-

шений.

Между моделью и ее прототипом не может сущес-

твовать взаимно однозначного соответствия, так как

модель — это абстракция, связанная с обобщениями

и потерей информации. Адекватность реальной дейс-

твительности — основное требование, предъявляемое

к моделям.

Конструктивно каждая математическая модель

представляет совокупность взаимосвязанных матема-

тических зависимостей, отображающих определенные

группы реальных экономических зависимостей.

Параметры, описывающие экономические объекты,

выступают в модели в качестве либо известных, либо

неизвестных величин. Известные величины рассчиты-

1

Математические методы и модели в экономике

ваются вне модели и вводятся в нее в готовом виде,

поэтому их называют экзогенными. Эндогенные ве-

личины — это величины, которые определяются в ре-

зультате решения модели.

Классифицируют экономико-математические моде-

ли по различным признакам.

По признаку целевого назначения выделяют тео-

ретические и прикладные модели.

Теоретические модели предназначены для изуче-

ния общих закономерностей и свойств рассматривае-

мой экономической системы.

Прикладные модели дают возможность определять

и оценивать параметры функционирования конкрет-

ных экономических объектов и формулировать реко-

мендации для принятия хозяйственных практических

решений.

По признаку масштаба (величины) изучаемого

экономического объекта модели делят на макроэконо-

мические и микроэкономические.

Макроэкономические модели описывают экономи-

ку государства как единое целое, связывая между собой

укрупненные (агрегированные) материально-вещест-

венные и финансовые показатели: валовый националь-

ный продукт, национальный доход, совокупный спрос,

совокупное потребление, инвестиции, занятость, инф-

ляцию, процентную ставку, количество денег и т. д.

Микроэкономические модели описывают взаимо-

действие структурных и функциональных составляю-

щих экономики либо хозяйственное поведение отде-

льной такой составляющей (отрасль, регион, фирма,

потребитель и т. п.).

По признаку характера зависимости от време-

ни модели делят на статические и динамические.

Статические модели — это модели, в которых

значения всех параметров относятся к одному кванту

(моменту или периоду) времени.

Динамические модели — это модели, у которых

параметры изменяются во времени.

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

По признаку способа отображения времени мо-

дели делятся на непрерывные и дискретные.

Непрерывные модели — это те, в которых время

рассматривается как непрерывный фактор.

Дискретные — это модели, в которых время

квантовано. По характеру отображения причинно-

следственных связей различают детерминированные,

стохастические и теоретико-игровые модели.

Детерминированные модели — это модели, в кото-

рых предполагаются жесткие функциональные связи.

Стохастические модели допускают наличие слу-

чайных воздействий на исследуемые показатели и ис-

пользуют инструментарий теории вероятностей и ма-

тематической статистики.

Теоретико-игровые модели учитывают воздейс-

твие факторов, обладающих более высокой степенью

неопределенности, нежели стохастическая.

И, наконец, экономико-математические модели

классифицируют по математическому инструмен-

ту, применяемому при моделировании.

Наиболее распространенными и эффективными ма-

тематическими методами, которые нашли как теоре-

тическое, так и практическое приложение в экономи-

ческих исследованиях, являются: дифференциальное

исчисление, математическая статистика, линейная

алгебра, математическое программирование, теория

графов, теория вероятностей и теория игр.

Порядок построения

экономико-математических моделей

1. Определяется объект исследования: экономика го-

сударства в целом, отрасль, предприятие, цех, не-

который социально-экономический процесс, тех-

нолого-экономический процесс и т. п.

2. Формулируется цель исследования.

3. В рассматриваемом экономическом объекте выде-

ляются структурные и функциональные элементы

и выделяются наиболее существенные качествен-

1

Математические методы и модели в экономике

ные характеристики этих элементов, влияющие

на достижение поставленной цели.

4. Вводятся символические обозначения для учиты-

ваемых характеристик экономического объекта.

Определяется, какие из них будут рассматривать-

ся как эндогенные, а какие как экзогенные; какие

как зависимые величины, а какие — независимые;

какие как неизвестные (искомые), а какие как из-

вестные.

5. Формализуются взаимосвязи между определен-

ными параметрами модели, то есть строится собс-

твенно экономико-математическая модель.

6. Проводятся расчеты по модели и анализируются

их результаты.

7. Если результаты оказываются неудовлетворитель-

ными с точки зрения неадекватности отображения

моделируемого процесса или явления, то происхо-

дит возврат к одному из предшествующих пунк-

тов и процесс повторяется.

1.2. Системный подход

при моделировании

экономических объектов

Одним из главных принципов моделирования эко-

номических объектов является принцип системности.

Принцип — основное, исходное положение теории,

правило построения ЭММ. Чем полнее и обоснованнее

принципы моделирования, тем выше точность модели

и вероятность достижения положительных результа-

тов от ее применения. В моделировании наибольшее

значение имеют следующие основные принципы: ин-

тегратизма, неопределенности, инвариантности и при-

нцип главных видов деятельности.

Принцип интегратизма заключается в том, что

взаимоотноше ния части и целого характеризуются

совокупностью трех элементов: