Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

0

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

— количество появлений значений х

при N на-

блюдениях.

Эмпирическая средняя случайной величины по

мере увеличения испытаний (наблюдений) приобре-

тает тенденцию стабилизироваться относительно пос-

тоянной величины — математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины X матема-

тическое ожидание определяется интегралом

Кроме математического ожидания на практике

иногда применяются и другие характеристики поло-

жения, в частности медиана и мода случайной вели-

чины.

Медианой Me случайной величины называется та-

кая величина, относительно которой равновероятно

получение большего или меньшего значения случай-

ной величины:

Р(Х > Me) = Р(Х < Me).

Медиану применяют в качестве характеристи-

ки ряда распределения в тех случаях, когда имеют-

ся очень большие колебания случайной величины.

В этом случае на эмпирическую среднюю М*[Х] бу-

дут оказывать сильное влияние крайние значения слу-

чайной величины, а медиана менее чувствительна к

крайним значениям случайной величины. На медиану

влияет не столько колебание в значениях случайной

величины X, сколько колебания в частоте появления

того или иного значения случайной величины. Меди-

ану необходимо вычислять в дополнение к математи-

ческому ожиданию в случае распределений, имеющих

большую скошенность.

(2.15)

(2.16)

(2.17)

1

Математические методы и модели в экономике

Модой Мо дискретной случайной величины назы-

вается ее значение, обладающее наибольшей вероят-

ностью. Для непрерывной случайной величины мода

есть такое значение, которое отвечает максимальной

плотности распределения.

В общем случае математическое ожидание, меди-

ана и мода не совпадают. В частном случае при сим-

метричном распределении все три характеристики по-

ложения случайной величины совпадают.

Для оценки степени разброса, рассеивания значе-

ний случайной величины относительно среднего, вы-

числяют следующие характеристики:

•

дисперсию;

•

среднее квадратическое отклонение;

•

коэффициент вариации.

Дисперсией называется математическое ожидание

квадрата отклонений случайной величины от своего

математического ожидания:

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше от-

клонение значений случайной величины относительно

математического ожидания, то есть будет больше рас-

сеивание случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины вычис-

ляется по формуле

Дисперсия непрерывной случайной величины равна

Наряду с дисперсией случайной величины, в качес-

тве характеристики рассеивания случайной величины

используется среднее квадратическое отклонение,

(2.18)

(2.19)

(2.20)

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

которое равно положительному значению корня квад-

ратного из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение имеет одина-

ковую размерность со случайной величиной, в этом

состоит ее преимущество относительно дисперсии.

Эмпирические значения характеристик рассеива-

ния вычисляют по формулам:

•

дисперсия

•

среднее квадратическое отклонение

Для малых выборок, если число испытаний (на-

блюдений) не превышает N  30, то характеристики

рассеивания вычисляются по формулам:

•

дисперсия

•

среднее квадратическое отклонение

Величины и показывают абсолютное откло-

нение от среднего значения случайной величины, что

недостаточно характеризует уровень ее рассеивания.

Относительной характеристикой рассеивания являет-

ся коэффициент вариации, вычисляемый как отно-

шение среднего квадратического отклонения и эмпи-

рической средней:

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)



Математические методы и модели в экономике

или

Коэффициент вариации может использоваться для

сравнения меры рассеивания (колеблемости) случай-

ных величин, имеющих различную размерность.

2.2.1. Основные законы

распределения случайных величин

Случайной величиной называют величину значе-

ния исследуемого признака, измеренную по результа-

там исхода испытаний, которая может принять то или

иное значение, заранее неизвестное.

Под случайной величиной принято понимать чис-

ловую функцию, определенную на множестве исходов

испытаний. Если все возможные исходы испытаний

представляют собой множество {х

, х

, …, х

}, то лю-

бая числовая функция F(Х) является также случайной

величиной. Совокупность значений Х = {х

, х

, …, х

которые может принимать случайная величина Х, и

вероятностей, с которыми она их принимает, называ-

ют распределением случайной величины Х.

Распределение случайной величины определяется

законом распределения.

Под законом распределения понимают всякое со-

отношение, устанавливающее связь между возможны-

ми значениями случайной величины и соответствую-

щими им вероятностями.

Закон может быть задан в виде таблиц, графиков

или аналитических выражений. Например, заданный

в виде таблицы закон распределения имеет вид так

называемого ряда распределения:

Значение случайной величины, х

... х

Вероятность появления х

в испы-

таниях, Р(х

)

Р(х

) Р(х

) ... Р(х

)

(2.26)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Различают дискретные случайные величины, при-

нимающие только целочисленные значения, и непре-

рывные случайные величины, принимающие любые

значения в числовом интервале.

Закон распределения случайной величины задает-

ся функцией распределения F(х), обладающей свойс-

твами:

0  F(х)  1;

Р(а  Х  b) = F(b) – F(а);

F (х

)  F (х

), если х

< х

;

F( – ) = 0; F(+ ) =1.

Если Х – дискретная случайная величина, то

F(Х) = Р(Х < х) =

(здесь суммируются вероятности тех значений х

которые меньше заданной величины Х).

Рассмотрим числовые характеристики распределе-

ния случайных величин.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина принимает только

целые значения, характеристиками ее положения яв-

ляются математическое ожидание М(Х) и мода Мо.

Характеристиками рассеяния случайной дискрет-

ной величины относительно ее среднего значения яв-

ляются дисперсия D(X) и коэффициент вариации V.

Математическое ожидание, или среднее значение,

дискретной случайной величины определяется по

формуле

где х

— значения случайной величины, i = 1,2 … ;

— вероятность случайной величины х

(2.27)

(2.28)



Математические методы и модели в экономике

Математическое ожидание обладает следующими

свойствами:

а) М(С) = С, где С — постоянная величина;

б) М(kX) = kM(X);

в) М(Х±Y) = M(X) ± M(Y), где Х и Y — любые слу-

чайные величины;

г) М(ХY) = M(X)M(Y) (только для независимых ве-

личин Х и Y).

Модой дискретной случайной величины называют

ее наиболее вероятное значение.

Дисперсия D(X) случайной величины Х характе-

ризует ее рассеяние относительно математического

ожидания:

Дисперсия обладает следующими свойствами:

а) D(C) = 0;

б) D (kX) = k

D(X);

в) D (Х±Y) = D(X) ± D(Y) (только для независимых

случайных величин Х и Y).

Величина σ = σ

= называется средним

квадратическим отклонением случайной величины

(σ

= D(X)).

Коэффициент вариации определяется по формуле

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в эко-

номическом моделировании законы распределения

дискретных случайных величин.

Геометрическое распределение характерно для

случая, когда вероятность исхода каждого испытания

сохраняется постоянной и не зависит от результатов

предыдущего испытания. Тогда вероятность появле-

ния события А в m испытаниях при условии вероят-

ности р появления события А в каждом испытании:

(2.29)

(2.30)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

P(m) = p · q

m-1

, m = 1, 2, …, n.

Это выражение называют геометрическим законом

распределения вероятностей.

Математическое ожидание случайной величины Х,

имеющей геометрическое распределение с парамет-

ром р,

а ее дисперсия

где q = 1 – p.

Ряд вероятностей m = 1, 2, …, n

представляет собой бесконечно убывающую геометри-

ческую прогрессию со знаменателем q; он сходится, и

его сумма равна единице:

Биноминальное распределение характерно для

случая, когда вероятность появления признака Х в од-

ном испытании равна Р и требуется определить, чему

будет равна вероятность появления признака Х ровно

m раз в n испытаниях. Закон распределения вероят-

ностей в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины Х,

распределенной по биномиальному закону,

М(Х) = np,

дисперсия

D(X) = npq.

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)



Математические методы и модели в экономике

Распределение Пуассона имеет в основе закон

распределения вероятностей:

а = М(Х),

М(Х) = D(Х) = а.

Параметр а в распределении Пуассона есть среднее

число событий, наступающих за время t в простейшем

потоке. Величина а = λ t, где λ — среднее число собы-

тий за единицу времени.

Распределение Пуассона применяется в моделях,

где имеет место поток событий (поток покупок, поток

клиентов и т. д.).

Непрерывные случайные величины

А. Интегральная функция НСВ

Помимо ДСВ существует еще и непрерывные СВ,

которые могут принимать все значения внутри неко-

торого отрезка или на всей числовой оси.

Для непрерывной СВ нельзя составить таблицы, в ко-

торых были бы перечислены все значения, даже в неболь-

шом интервале. Поэтому закон ее распределения должен

определять вероятность попадания ее значений в некото-

рый отрезок. Для этого вводится следующая функция.

Функцией распределения называют функцию F(x),

определяющую для каждого значения x вероятность

того, что случайная величина x примет значение

меньше x, то есть F(x) = P(X<x).

Часто вместо термина «функция распределения»

используют термин «интегральная функция распре-

деления»

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат

отрезку [0;1]: 0  F(x)  1.

2. Функция распределения есть неубывающая фун-

кция: F(x

) ≥ F(x

), если x

≥ x

(2.36)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Следствие 1

Вероятность того, что СВ х примет значение, за-

ключенное в интервале (a;b), равна приращению

функции распределения на этом интервале:

P(a < x < b) = F(b) – F(a).

Следствие 2

Вероятность того, что НСВ х примет одно опреде-

ленное значение, например, x

, равна нулю:

P(X = x

) = 0.

Если все возможные значения случайной величины

х принадлежат интервалу (a;b), то F(x) = 0 при x ≤ a;

F(x) = 1 при x ≥ b

Следствие 3

Если возможные значения НСВ расположены на

всей числовой оси x, то справедливы следующие пре-

дельные соотношения: ;

Функция распределения непрерывна слева:

Б. Дифференциальная функция НСВ

Способ задания НСВ с помощью функции рас-

пределения не единственный. Иногда для этих целей

используют другую величину — плотность распре-

деления или плотность вероятности (иногда ее назы-

вают дифференциальной функцией распределения

вероятностей).

Плотностью распределения вероятностей

НСВ Х называют функцию — первую про-

изводную от интегральной функции распределения



Математические методы и модели в экономике

Вероятность того, что непрерывная СВ x примет

значение, принадлежащее интервалу (a;b), определя-

ется равенством:

Зная дифференциальную функцию, можно найти

интегральную функцию:

Свойства дифференциальной функции

1. Дифференциальная функция не отрицательна, то

есть ≥ 0.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной

функции в пределах от –  до +  равен 1:

в частности, если все возможные зна-

чения СВ принадлежат интервалу (a;b), то:

В. Числовые характеристики НСВ

Математическим ожиданием НСВ x, возможные

значения которой принадлежат всей оси Ox, называ-

ют интеграл

В частном случае, если все возможные значения ве-

личины x принадлежат интервалу (a;b), то :

(2.37)