Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

0

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

2.1.1. Классическое определение

вероятности

Вероятностью появления события А называют

отношение числа исходов, благоприятствующих на-

ступлению этого события, к общему числу всех единс-

твенно возможных и несовместных элементарных ис-

ходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А

исходов через m, а число всех исходов — n, тогда

где m — целое неотрицательное число; 0  т  п.

Формула (2.1) — классическое определение веро-

ятности.

Пример

Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность

того, что при этом (безразлично в каком порядке) вы-

падет 2 раза герб и 1 раз — цифра.

Решение

Число всех возможных событий n = 8, так как су-

ществует только 8 различных вариантов исходов трех-

кратного подбрасывания монеты: ГГГ, ГЦЦ, ЦГЦ,

ЦЦГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ЦЦЦ.

Событие А заключается в том, что выпало 2 герба

и 1 цифра.

Этому событию благоприятствуют лишь исходы

ГЦГ, ГГЦ и ЦГГ, поэтому m = 3.

Таким образом, искомая вероятность равна

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1, то есть

Р(Ω) = 1. Действительно, если событие А = Ω, то

m=n, значит

(2.1)

1

Математические методы и модели в экономике

2. Если событие невозможное, то его вероятность

равна 0, то есть Р (∅) = 0.

Если А = ∅, то оно не осуществится ни при одном

испытании, то есть m = 0 и Р (∅) = = 0.

3. Вероятность случайного события есть положитель-

ное число, заключенное между 0 и 1.

В самом деле, так как 0  m  n, то 0 

 1, то

есть 0  Р(А)  1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий

равна 1, то есть

В самом деле,

, а от-

сюда:

Например, если вероятность извлечения туза равна

4/52, то вероятность извлечения карты, не являющей-

ся тузом, равна 1 – 4/52 = 48/52.

Чем больше значение вероятности внутри интер-

вала от 0 до 1, тем более мы уверены в наступлении

случайного события. Вероятность, равная 0,95, пред-

полагает высокую степень уверенности в наступле-

нии события. Вероятность 0,80 также предполагает

высокую степень уверенности. Когда вероятность

равна 0,5, то событие имеет равные шансы как про-

изойти, так и не произойти. Когда вероятность равна

0,20, то событие скорее всего не произойдет. Когда

вероятность равна 0,00005, то мы уверены, что собы-

тие практически не может произойти, и так далее.

(2.2)

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

2.1.2. Основные теоремы теории

вероятностей

Суммой двух событий A и B называется событие С,

состоящее в появлении или события A, или события B,

или обоих событий вместе.

С = A  B

Произведением двух событий A и B называется со-

бытие С, состоящее в том, что произойдет и событие

A, и событие B.

С = A  B

Событие В называют независимым от события

А, если появление события А не изменяет вероятности

события В, в противном случае события А и В явля-

ются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей

независимых событий

Вероятность совместного появления двух или не-

скольких независимых событий равна произведению

вероятностей этих событий:

Р(А·В·…·С) = Р(А)·Р(В)·…· Р(С)

(2.3)



Математические методы и модели в экономике

Пример

Вероятность безотказной работы в течение рабочей

смены для одного станка равна 0,8, а для второго 0,85.

Найти вероятность того, что за время рабочей смены

оба станка не выйдут из строя.

Решение

Событие А — первый станок безотказно работал

всю смену; событие В — второй станок безотказно ра-

ботал всю смену. Тогда событие А·В — оба станка

безотказно работали всю смену. События А и В неза-

висимы. По условию задачи Р(А) = 0,8 и Р(В) = 0,85.

Имеем

Р(А·В) = Р(А)·Р(В)= 0,8 • 0,85 = 0,68.

Теорема умножения вероятностей

зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зави-

симых событий равна произведению вероятности

одного из них на условную вероятность другого,

вычисленную в предположении, что первое собы-

тие уже наступило:

Р(А·В) = Р(А) · Р

(В), (2.4)

где P

(В) — вероятность события В, вычисленная в

предположении, что событие А наступило.

Следствие. Вероятность совместного появления не-

скольких событий равна произведению вероятности

одного из них на условные вероятности всех осталь-

ных, причем вероятность каждого последующего со-

бытия вычисляют в предложении, что все предыдущие

события уже наступили.

Пример

На сборочный участок поступили 30 деталей, изго-

товленных цехом № 1, и 70 деталей, изготовленных



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

цехом № 2. Сборщик наудачу взял 2 детали. Чему

равна вероятность того, что обе они изготовлены це-

хом № 1?

Решение

Событие А — первая вынутая деталь изготовлена

цехом № 1.

Событие В — вторая вынутая деталь изготовлена

цехом № 1.

Тогда событие АВ — обе детали изготовлены цехом

№ 1.

Так как события А и В зависимы, то применяем

теорему об умножении вероятностей зависимых собы-

тий: Р(А·В) = Р(А)· Р

(В).

Вероятность события А найдем по классическому опре-

делению вероятности:

Условную вероятность Р

(В) события В вычис-

лим в предположении, что событие А уже наступи-

ло:

Таким образом,

Теорема сложения вероятностей несовместных

событий

Вероятность появления одного из двух несов-

местных событий, безразлично какого, равна сум-

ме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) (2.5)

Следствие

Вероятность появления одного из нескольких по-

парно несовместных событий, безразлично какого,

равна сумме вероятностей этих событий:



Математические методы и модели в экономике

Р(А+В+…+С) = Р(А)+Р(В)+…+ Р(С) (2.6)

Пример

В ящике находится 60 однотипных деталей: 20 —

бронзовых, 10 — из латуни, 30 — из чугуна. Чему

равна вероятность того, что наудачу взятая деталь из-

готовлена из цветного металла?

Решение

Событие А — наудачу взята бронзовая деталь.

Событие В — наудачу взята деталь из латуни.

Тогда событие А+В — наудачу взята деталь из

цветного металла.

Так как события А и В несовместны (так как появле-

ние детали из одного металла исключает появление дета-

ли из другого), то применяем теорему о сложении вероят-

ностей несовместных событий: Р(А+В) = Р(А)+ Р(В).

Вероятность событий А и В найдем по классическо-

му определению вероятности:

Таким образом,

Теорема сложения вероятностей совместных

событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух

совместных событий раина сумме вероятностей

этих событий без вероятности их совместного

появления:

Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (2.7)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Теорема может быть обобщена на любое конечное

число совместных событий. Например, для трех сов-

местных событий:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В)+ Р(С) –

– Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(ABC)

Пример

Студент разыскивает нужную ему формулу в двух

справочниках. Вероятность того, что формула нахо-

дится в первом справочнике, равна 0,6, а во втором —

0,8. Чему равна вероятность того, что студент найдет

хотя бы в одном справочнике нужную ему формулу?

Решение

Событие А — формула находится в первом спра-

вочнике.

Событие В — формула находится во втором спра-

вочнике.

Тогда

событие А+В — формула находится в первом или

во втором справочнике;

событие АВ — формула находится и в первом, и во

втором справочнике.

Так как события А и В независимы, то применяем

теорему об умножении вероятностей независимых со-

бытий: Р(А·В) = Р(А) · Р(В) = 0,6·0,8 = 0,48.

Так как события А и В совместны, то

Р(А+В) = Р(А)+ Р(В) – Р(АВ) = 0,6 + 0,8 – 0,48

= = 0,92.

2.1.3. Вероятность появления

хотя бы одного события

Пусть события А

, А

, ... А

независимы в совокупнос-

ти, причем Р(A

) = p

, Р(A

) = p

, ..., Р(А

) = р

. Пусть в

результате испытания могут наступить все события, либо

часть из них, либо ни одно из них.

(2.8)



Математические методы и модели в экономике

Вероятность наступления события А, состоящего в

появлении хотя бы одного из событий А

, А

, ... А

независимых в совокупности, равна разности между

единицей и произведением вероятностей противопо-

ложных событий

В частности, если все п событий имеют одинаковую

вероятность, равную р, то вероятность появления хотя

бы одного из этих равна

Р(А) = 1 – (1 – р)

(2.10)

Пример

В электрическую цепь последовательно включены

три элемента, работающие независимо один от другого.

Вероятности отказов первого, второго и третьего элемен-

тов соответственно равны: р

= 0,1; р

= 0, 15; р

= 0,2.

Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение

Элементы включены последовательно, поэтому

тока в цепи не будет (событие А), если откажет хотя

бы один из элементов.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 – (1 – р

)•(1 – р

) = 1 –

– (1 – 0,1) · (1 – 0,15) • (1 – 0,2) = 0,388.

2.1.4. Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить

лишь при появлении одного из несовместных событий

(гипотез) В

, В

, ..., В

, образующих полную группу,

равна сумме произведений вероятностей каждой из

гипотез на соответствующую условную вероят-

ность события А:

(2.9)



С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

где Р(В

)+Р(В

)+...+Р(В

) = 1.

Равенство (2.11) называют формулой полной ве-

роятности.

Пример

В урну, содержащую два шара, опущен белый шар,

после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти

вероятность того, что извлеченный шар окажется бе-

лым, если равновозможны все возможные предполо-

жения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение

Обозначим через А событие — извлечен белый шар.

Возможны следующие предположения (гипотезы) о

первоначальном составе шаров: В

— белых шаров

нет, В

— один белый шар, В

— два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по

условию они равновероятны, и сумма вероятностей

гипотез равна единице (так как они образуют полную

группу событий), то вероятность каждой из гипотез

равна 1/3, то есть Р(В

) = Р(В

) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен бе-

лый шар, при условии, что первоначально в урне не

было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен бе-

лый шар, при условии, что первоначально в урне был

один белый шар,

Условная вероятность того, что будет извлечен бе-

лый шар, при условии, что первоначально в урне было

два белых шара

Искомую вероятность того, что будет извлечен бе-

лый шар, находим по формуле полной вероятности:

(2.11)



Математические методы и модели в экономике

2.2. Числовые характеристики

случайных величин

При решении многих практических задач часто

достаточно указать отдельные числовые характерис-

тики, определяющие особенности того или иного рас-

пределения случайной величины. Это, прежде всего,

среднее значение, которое принадлежит к характе-

ристикам положения случайной величины, то есть

представляет такую величину, относительно которой

каким-то образом группируются, рассеиваются все-

возможные значения случайной величины.

Среднее значение, или математическое ожидание

дискретной случайной величины, вычисляется по фор-

муле

где x

— возможные значения случайной вели-

чины X;

— вероятность появления i-го возможного

значения случайной величины X.

Математическое ожидание является теоретичес-

кой характеристикой случайной величины.

Эмпирической характеристикой случайной величи-

ны является эмпирическая средняя, вычисляемая по

формуле

или

где — частота значений х

при N на-

блюдениях (испытаниях);

(2.12)

(2.13)

(2.14)