Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

1) возникновением взаимодействующих систем —

связей между частями целого;

2) утратой некоторых свойств части при вхождении в

целое;

3) появлением новых свойств у целого, обусловлен-

ных свойствами составных частей.

При этом обязательна упорядоченность частей, де-

терминированность их пространственных и функци-

ональных взаимоотношений, когда часть становится

компонентом интегрального целого, внутренне объеди-

ненного. Строя модель системы, необходимо исходить

из простых условий и шаг за шагом подниматься по

восходящим ступеням иерархической градации, пере-

ходя ко все возрастающим степеням усложнения моде-

ли. Этот принцип пересекается с известным противопо-

ложным положением У. Эшби, который рассматривает

общую теорию систем как общую теорию упрощения.

Принцип неопределенности предполагает, что

«по краям» эко номические процессы расплывчаты и

неопределенны. Протекая во времени, они постоянно

изменяются, и если нам даже удастся установить ка-

кое-либо свойство или качество процесса, то оно дейс-

твительно только в рассматриваемый момент време-

ни в данной ситуации. Иначе говоря, на микроуровне

экономические процессы необходимо рассматривать с

учетом случайного изменения факторов.

Принцип неопределенности позволяет также ут-

верждать, что существует уровень факторов, когда их

малые отклонения не влекут изменений в состоянии

системы. Однако, чем сложнее модель системы, чем

глубже мы пытаемся анализировать ее, тем неопре-

деленнее становится решение задачи, а ее результаты

тем дальше от практического смысла.

Принцип инвариантности заключается в том,

что модель системы должна быть инвариантна для

любых организационных форм производства и изме-

нение каких-либо условий не должно изменять су-

щества модели.

Математические методы и модели в экономике

Принцип главных видов деятельности состо-

ит в том, что у раз ных систем существуют «похо-

жие» виды деятельности (управление, регулирование,

распределение и т. п.), которые можно выделить как

стандартные. Они бывают неизменны на некотором

промежутке времени и могут быть описаны некоторы-

ми похожими моделями.

При построении ЭММ следует учитывать харак-

терные особенности экономических моделей:

•

интеграцию научных знаний в экономике, рост

количества междисциплинарных проблем;

•

комплексность проблем и необходимость их

изучения в един стве экономических, социаль-

ных, психологических, технических и других

аспектов;

•

усложнение решаемых проблем, усложнение эко-

номических объектов;

•

рост количества связей между объектами в систе-

мах;

•

динамичность изменяющихся ситуаций;

•

дефицитность ресурсов;

•

повышение уровня стандартизации моделирова-

ния за счет внедрения программных продуктов

для компьютерных технологий, разработки новых

принципов моделирования и др.

Эти особенности вызывают неизбежность приме-

нения системного подхода, поскольку на его основе

можно построить качественную ЭММ.

Системный подход — методология исследования

объекта и построения его математической модели,

когда объект рассматривается как целостный комп-

лекс взаимосвязанных компонентов, имеющий особое

единство с внешней средой и представляющий собой

подсистему системы более высокого порядка (глобаль-

ной системы). Единство системы с внешней средой

определяет ее взаимосвязь с действием объективных

экономических законов.

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

При моделировании объектов и представлении их в

виде систем необходимо учитывать общие свойства

систем, такие как:

•

целостность — устойчивые отношения между

элементами системы, когда состояние любого эле-

мента зависит от состояния всей системы, и на-

оборот;

•

делимость — целостный объект должен быть

изображен как расчлененный на элементы;

•

изолированность — комплекс объектов, образую-

щих систе му, и связи между ними можно выделить

из их окружения и рассматривать изолированно.

Изолированность системы относительна, посколь-

ку комплекс объектов, образующих систему, свя-

зан с наблюдателем и со средой через некоторые

элементы, являющиеся входами и выходами;

•

устойчивость — система должна нормально

функциониро вать и быть нечувствительной к не-

избежным посторонним возмущающим воздейс-

твиям;

•

разнообразие — каждый элемент системы обла-

дает собствен ным поведением и состоянием, от-

личным от поведения и состояния других элемен-

тов и системы в целом;

•

идентифицируемость — каждый элемент систе-

мы может быть отделен от других составляющих;

•

стабилизация — система осуществляет восста-

новление своих элементов за счет их регулирова-

ния;

•

наблюдаемость — все без исключения входы и

выходы системы либо контролируемы исследова-

телем, либо по крайней мере наблюдаемы;

•

неопределенность — исследователь одновремен-

но не может фиксировать все свойства и отноше-

ния элементов системы. Именно с целью их выяв-

ления он осуществляет системное исследование;

•

нетождественность отображения — знаковая

система ис следователя отлична от знаковой сис-

2

Математические методы и модели в экономике

Экономическая система

Практика

эксплуата-

ции

систем

Экспери-

ментальные

исследования

систем

Научные и

практичес-

кие знания о

системе

Мероприятия

по

улучшению

системы

Модели системы

Гипотезы, вырабатываемые

на основе знаний, интуиции

и т.д., относительно систем

темы проявления свойств объектов и их отноше-

ний. Потеря информации при этом определяет не-

тождественность системы исследуемому объекту;

•

адаптация — система сохраняет состояние под-

вижного равновесия и устойчивость к возмущаю-

щим воздействиям, которым она постоянно подвер-

гается, путем перестройки внутренней структуры

и функций отдельных элементов. Она меняет свои

рабочие характеристики в соответствии с изменя-

ющимися внешними условиями или входным сиг-

налом таким образом, чтобы постоянно улучшать

показатель качества. Система обеспечивает дли-

тельное и устойчивое функционирование и разви-

тие путем эволюции своих элементов, структуры

и организации.

Любая система в процессе перехода от качествен-

ных описаний к количественным в некоторый момент

достигает такого уровня, когда для фиксации связей в

процессе изучения с помощью теории и эксперимента

наиболее действенным и плодотворным оказывается

использование математического аппарата.

Рис. 1.1. Схема развития экономической системы

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Если рассматривать экономическую практику как

сочетание информации, традиций и интуиции, то раз-

витие экономических систем можно условно предста-

вить в виде схемы.

Экономические системы, как правило, можно рас-

сматривать как иерархические системы, для которых

характерны три важнейших свойства:

•

каждый уровень иерархии имеет свой собственный

язык, свою систему концепций или принципов. К

примеру, понятия «структура внеэкономического

баланса», «внешнеэкономическая деятельность» ли-

шены смысла на уровне производственного участка;

•

на каждом уровне иерархии происходит обобще-

ние свойств объектов более низкого уровня;

•

взаимосвязи между уровнями несимметричны.

Для нормального функционирования объектов вы-

сшего уровня необходимо, чтобы успешно работали

объекты более низкого уровня, но не наоборот.

Обычно при исследовании решающим оказывается

то обстоятельство, что среди подсистем, подлежащих

рассмотрению, лишь немногие принадлежат к числу

плохо изученных или недостаточно описанных. При

этом качество модели часто не может превышать

уровня худшей из ее субмоделей.

Если подсистемы определены плохо, то при иссле-

довании реакций системы в целом трудно установить,

какие именно из подсистем приводят к изменению

значений функций отклика (целевых функций). Чем

больше модель, тем осторожнее следует к ней отно-

ситься. В особенности это касается оценки соотно-

шений между уровнем знаний и теми результатами,

которые исследователь предполагает получить с помо-

щью моделирования.

Модель, которая была бы просто большой, постро-

ить легко. Однако при весьма высокой стоимости цен-

ность ее может оказаться сомнительной. Построить

эффективную модель — значит найти такое ее опи-

сание, которое дает ответ на конкретно поставленный

2

Математические методы и модели в экономике

вопрос. Это требует определенных навыков и даже ис-

кусства, которое называют «искусством разрешимого»,

главная цель которого — найти решение проблемы

или не искать его вовсе, если для этого не достигнут

определенный уровень знаний и нет соответствующей

технической оснащенности. При построении моделей

можно выделить эмпирические и функциональные мо-

дели. Главная задача эмпирических моделей — опи-

сать, тогда как функциональное моделирование связа-

но с попыткой дать объяснения описываемому.

Разработка эмпирической модели остается на од-

ном уровне сис темы. Разработка функциональной

модели основывается на описании поведения систе-

мы в зависимости от подсистемы более низкого уров-

ня. В таком случае смежные уровни оказываются

связанными посредством аналитико-синтетического

процесса, опирающегося на соответствующие гипо-

тезы и допущения. Любая функциональная модель в

конечном счете уходит корнями в эмпиризм. Всегда

можно построить такую эмпирическую модель, кото-

рая была бы согласована с опытными данными луч-

ше, чем функциональная. Это следует из того факта,

что эмпирическая модель практически свободна от

ограничений, в то время как возможности функцио-

нальной модели, даже если она содержит хорошо ре-

гулируемые параметры, ограничиваются положенны-

ми в ее основу допущениями. Модели систем играют

значительную роль в понимании функ ционирования

экономических объектов, их физической сущности.

Это происходит вследствие того, что:

•

гипотезы, выраженные математически, могут слу-

жить количественным описанием экономической

проблемы и тем самым способствовать более уг-

лубленному ее пониманию;

•

требования, предъявляемые моделью к матема-

тической завер шенности описания, позволяют

построить определенную концептуальную осно-

ву и с ее помощью четко ограничить те области,

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

где знания проблемы еще недостаточны, то есть

стимулируют возникновение новых идей и прове-

дение экспериментальных исследований;

•

математическая модель часто подсказывает спо-

соб предста вления результатов исследований в

форме, удобной для использования на практике;

•

благодаря модели может быть оценена количест-

венно экономическая эффективность результатов

исследований, что стимулирует оперативное их

внедрение в производство;

•

математическое моделирование, с помощью кото-

рого можно получить ответ на тот или иной спе-

циальный вопрос, а также сделать обоснованный

выбор из ряда альтернативных стратегий, дает

возможность сократить объем продолжительных и

дорогостоящих экспериментальных работ, выпол-

нение которых было бы необходимым при отсутс-

твии соответствующих моделей;

•

при исследовании сложных многокомпонентных

объектов модель позволяет объединить разрознен-

ные знания, касающиеся сдельных частей такой

системы, и выработать концепцию ее поведения

как единого целого;

•

с помощью модели можно выбрать наиболее раци-

ональную стратегию и тактику реализации иссле-

довательских программ, обеспечивая необходимую

детальность изучения специальных вопросов и ко-

операцию отдельных направлений исследования;

•

математическая модель — мощное средство обоб-

щения раз нородных данных об объекте, позво-

ляющее осуществлять как интерполяцию (восста-

новление недостающей информации о прошлом),

так и экстраполяцию (прогнозирование будущего

поведения объекта) данных;

•

прогнозирующая способность модели может быть

направ лена на достижение самых разнообразных

целей: планирования, оценки эффективности, вы-

бора стратегий управления и т. д.

2

Математические методы и модели в экономике

ГЛАВА 2

ВЕРОяТНОСТНО-

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

АНАЛИзА И МОДЕЛИРОВАНИя

ЭКОНОМИЧЕСКИх СИСТЕМ

2.1. Основные понятия, определения

и теоремы теории вероятностей

Опыт (эксперимент, испытание) — ситуация

с более чем одним возможным исходом, из которых

всегда имеет место точно одно так называемое эле-

ментарное событие. Исходом опыта может быть ре-

зультат наблюдения или измерения.

Извлечение карты из колоды — эксперимент. Один

из исходов эксперимента есть извлечение дамы бубен.

Бубновую даму можно извлечь из колоды 36 карт и 52

карт. Число карт — условие испытания.

Единичный, отдельный исход эксперимента на-

зывается элементарным событием. Набор всех

элементарных событий — пространство событий

(множество).

Извлечение любой карты из колоды — элементар-

ное событие.

Полному набору событий соответствует полное

множество X, относящееся к заданному эксперимен-

ту. Полный набор событий — набор всех возможных

исходов эксперимента. Элементарному событию со-

ответствует только одна точка пространства событий.

Аналогом элементарного события является элемент

множества.

Следует заметить, что теория вероятностей изучает

не любые события, а случайные.

Случайным событием называется событие, кото-

рое может произойти или не произойти в результате

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

некоторого эксперимента. (В дальнейшем для просто-

ты мы будем опускать термин «случайный».)

Событие — это любое подмножество пространства

событий. Это набор элементарных исходов. В диаграм-

мах Венна событию соответствует подмножество элемен-

тарных событий. Мы говорим, что событие произошло,

если в результате эксперимента произошло элементар-

ное событие, принадлежащее этому поднабору.

Например, элементарные события — «туз конк-

ретной масти» — благоприятствуют случайному со-

бытию «туз».

События обычно обозначаются заглавными буква-

ми латинского алфавита: А, В, С, D, E, F и т. д.

Аналогично можно классифицировать и события.

Достоверное событие — это событие, которое

обязательно произойдет в результате испытания. (На-

пример, если в урне содержатся только белые шары,

то извлечение из нее белого шара есть событие до-

стоверное; другой пример: если подбросить вверх ка-

мень, то он обязательно упадет на Землю вследствие

действия закона притяжения, то есть результат этого

опыта заведомо известен.) Достоверные события усло-

вимся обозначать символом Ω.

Невозможное событие — это событие, которое не

может произойти в результате данного опыта (испы-

тания). Извлечение черного шара из урны с белыми

шарами есть событие невозможное, так же как и вы-

падение выигрыша на все номера облигаций в каком-

либо тираже выигрышного займа. Невозможное собы-

тие обозначим ∅.

Достоверные и невозможные события не являются

случайными.

Совместные события. Несколько событий назы-

вают совместными, если в результате эксперимента

наступление одного из них не исключает появления

других. (Например, при бросании трех монет выпаде-

ние цифры на одной не исключает появления цифр на

других монетах.)

2

Математические методы и модели в экономике

В магазин вошел покупатель. События «в магазин

вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла

женщина» — совместные, так как в магазин может

войти женщина старше 60 лет.

Несовместные события. Несколько событий на-

зывают несовместными в данном опыте, если появле-

ние одного из них исключает появление других. (На-

пример, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при

игре в шахматы как результат одной партии — три

несовместных события.)

События называют единственно возможными,

если в результате испытания хотя бы одно из них

обязательно произойдет (или одно, или два... или все

события из рассматриваемой совокупности событий

произойдут; одно точно произойдет). Например, ка-

кая-то фирма рекламирует свой товар по радио и в

газете. Обязательно произойдет одно и только одно из

следующих событий: «потребитель услышал о товаре

по радио», «потребитель прочитал о товаре в газете»,

«потребитель получил информацию о товаре по ра-

дио и из газеты», «потребитель не слышал о товаре по

радио и не читал газеты». Эти четыре события единс-

твенно возможные.

Несколько событий называют равновозможны-

ми, если в результате испытания ни одно из них не

имеет объективно большую возможность появления,

чем другие (при бросании игральной кости появление

каждой из ее граней — события равновозможные).

Два единственно возможных и несовместных собы-

тия называются противоположными (купля и прода-

жа определенного вида товара есть события противо-

положные).

Полная группа событий — совокупность всех

единственно возможных и несовместных событий.