Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
где
к
_
(1
4-
'")
jt2
+
"Ь'
1 -
3(За2+
Ь2)
К
_ 2
24
2
(1
+ v)
+b
2
2 -
а
За~
+
Ь2
Тогда
на
основа
нии
(У.15)
ко~шоненты
l{асательны
х
напрлжений
--- _
~
[
242
(1
+
")
+
Ь'
(2
_
-2)
_
XZ
-
ЕI
3а2
+
Ь
2
a;t;""
---
2/!W
(1
+
'")
аЗ
+
"Ь
~
yz = -
ЕГ
За'
+
ь
з
ху
у
а
.
Рис.
42.
(1-
2v)
а
2
3а
2
+
Ь'1
а
а
р
у
w
а
Р
ис.
49.
(У.31)
Ь
х
Ь
МОJlЩО
доказать,
что
среднее
значение;;
по
ечеlIИЮ
опять
со
с
тавит:
t
_
W
(22)
,
-зт
а
-
х
,
а
максимальная
величин
а
---
f.1W
(XZ)max
=
-лг
.
2а
2
(1
+
")
+
Ь2
(2
2)
3а2
t-
ь2
а
-
х
•
Отношение
1
г
д
е
n =
ь/а
при
'\1
=
4"'
становится
равным
(У.35)
(У.36)
Таним
образом,
эта
величина
при
малых
значениях
n
(рис
.
42,
а)
близка
J{
единице.
OAHal{O
при
больших
знаq
ниях
n
(рис.
42
Ь)
погреmность
при
использовании
формулы
(У.35)
доходят
до
17%.
о
В
.
Пря
юуго
л
ьRИR
Ногда
приложенная
сила
действует
так,
как
покавано
на
рис.
43,
функции
изгиба
примут
вид:
'Фl
= S x
2
dy + const =
а
2
у
+ coast
(вдоль
х
= ±
а);
'Фl
= const
(вдоль
у
= ±
Ь).
Эти
условия
можно
удовлетворить,
принимая
Таюне
имеем:
'Фl
=
а
2
у.
1
'Ф2
=
""3
уЗ
+ const
(вдоль
х
= ±
а);
1
'Фz
= ± 3
ь
з
+ const
(вдоль
у
= ±
Ь).
, 1
Для
нахождения
'1>
2
удобно
принять
'Ф2
=
'Фz
- 3
Ь
2
у.
Условие
112'Ф~
=
О
остается
в
силе:
, 1
'Ф2
= 3
(уЗ
-
Ь
2
у)
(вдоль
Х
= ±
а);
~
~
=
о
(вдоль у
= ±
Ь).
{У.37)
Эту
функцию
найдем,
используя
решение
уравнения
Лапласа
(см.
(1.41)
приложения
1)
00
'Ф~
=
~
А
т
sin
ту
cosh
тх.
(V.38)
m=!
Условие
вдоль
края
у
=
±
Ь
удовлетворяется,
если
sin
mЬ
=
О
или
т =
пл/Ь
,
где
n =
1,2,3
....
Для
х
=
±а
необходимо,
чтобы
1 3
00.
lШУ
nnа
равенство
3
(у
-
Ь
2
у)
=
~
А
n
sш
-ь
- cosh
-ь
-
имело
место
для
n=!
-Ь
<
у
<
Ь.
Это
есть
синусоидальный
ряд
Фурье.
Обычные
формулы
интегрирования
дают
А
n
=
(-
1)n
n~~
sech
та.
Окончательно:
cosh
NЛХ
,1
, = _
t_
b2
+
~
~
OO
(_
1)n
Ь.
nnу
'1'2
3
У
n8
nЗ
nna
SШ
-ь-'
n= 1
cosh-
Ь
nn
%
(V
.3
9)
00
соэЬ--
2
'УЬ
2
у
4vЬЭ
~
(-
1)n
Ь.
nnу
'Ф
=
(1
+
v)
а у
-
-3-
-
nз
~
nз
--
-
пn
-
а
-
SШ
-ь-
'
n=
l
СОЭЬ
-
ь
-
6
д.
Е.
р.
ГОдфРII
81
Таким
образом
получаем
выражения
дл
я
J\омпонентов
напряже
ния:
00
4vb
9
~
(_1)n
----пг
~
-n-
з
-
•
n= 1
mt%
coSh
-
ь
-
h
nпа
со
-
ь
-
cos~].
Ь
'
nnх
-
..
W
yz
=
--Fг
00
sinh
-ь-
•
4vb'
~
(-
1)"
___
_
п
2
~
n
2
.
nпу
ш-
ь
-
.
n= 1
I
Легко
убедиться,
что
средн
е
значение
xz
по
сеч
пию
PQ
(У.4
0
)
[.
=
~
(а
2
-
z2).
(У.4
1
)
45.
ЦЕНТР
СДВИГА
•
в
примерах
(см.
44.
Р
ешения
дл
я
простых
ко
нтуров)
нагрувка
была
прилож
на
таким
образом
что
не
вызывала
поворота
сече
ния
.
Однако,
если
направление
нагрузки
не
совпадает
с
осью
си
м
у
С,
Ри
с.
44.
х
вается
Ц
е
н
т
р
о
1
это
й
ТО'lJ\и
.
метрии,
то
в
общ
м
случае
вели<mна
't"
ока-
зывается
отличной
от
нуля
и
ее
внаqеlIП
может
быть
найдено
из
(У.
1
2).
Другой
по
д
ход
к
решению
этой
зада<m
заключается
в
том,
что
пахоДИтся
точка
в
КОНЦ
вом
С ч
е
нии,
к
J<ОТОРОЙ
нагрузка
ПРШlагается
таким
образом,
чтобы
угол
закру
tJивания
в
центре
тяжести
был
равен
нулю.
Такая
точка
назы
-
с
Д
в
и
га.
Прив
дем
прим
р
определ
ния
Расс
1Отрим
баЛI<У
(pl
~
C.
44),
сечение
f
которой
явля
тся
полу
круг,
и
пус
ть
наГРУЗI<
а
W,
приложенная
в
точке
(О,
h l),
паправ
лена
параллельио
оси
х
.
Эта
нагрузка
вы
зовет
момепт
отв.о
си
тельно
оси
Z
в
еличины
=-
Wh
.
(
У.42)
Хотя
в
общей
теори
и
(с
1:.
29.
Прим
ен
ние
теории)
за
оси
ltOOP-
динат
были
приняты
главные
оси
инерции
сечени
я
с
началом
:
в
центре тя
жести,
здесь
дл
я
уп
рощения
за
наЧ8.тrо
J\оординат
при
-
•
в
нашей
литературе
ПРiLмевлетсл
термин
«цеl:lТр
IJзгибаt.-
Прu.tt.
ред.
82
ме
f
центр
круга
О
и
внесем
соответствующие
и
з
м
е
нения
в
получ
е
н
ные
ФОРМУJIЪr.
Рассматривая
выводы
(см
.
39. 1
омпонен
т
ы
напряж
е
ния)
убеж
,
д
аемс
.
я,
что
систем
а
напряжений
(У
.
2)
и
(У
.
15)
удовлетворяет
урав
нения
равновесия
и
сов
fестности,
а
кон
т
урные
условия
опре
деляются
выражепиями
(У.18)
-
(У
.
20)
,
где
~
=
(1
+
v)
'Фl
-
VФ2
+
А,рз-
(
У.43
)
При
этом
величины
'Фl'
'Ф
2
и
'Фз
должны
удовлетворять
соответству
ющее
условие
вдоль
прямой
части
A1B
1
нонтура
и
ВДОдЬ
круговой
части.
Этого
нетрудно
достигнуть,
поскольну
из
(У.18)
и
(У.19)
сдедует,
что
фуннции
'Фl
И
'Ф2
могут
обращаться
в
нуль
на
A1B
1
,
и
поэтому
те
же
фующии,
заданные
уравнениями
(У.27)
и
(У
.
28)
для
кругового
сечения,
остаются
действительными.
Ниже
увидим,
что
потребуется
только
величина
крутящего
момента
(см.
35.
Решения
в
рядах
Фурье.
Сентор
круга),
а
не
действительная
фУНК
ция
I<ручепия
'Фз.
Угол
закручивания
в
центре
тяжести
G
(рис.
44)
можно
опре
-
w -
делить
из
(У.Н)
как
ЕТ
(А
- vy),
а
для
того,
чтобы
этот
угол
был
рап
н
нулю
,
принимаем
А
= vy.
(У
.
44)
Выражения
для
компонентов
касательного
напряжения
полу
чим
из
(У
.
43),
(У
.
27)
и
(У.28)
в
форме:
..-.
WIJ.
WIJ.A
дХ.
xz =
4Е!
[(3 + 2v)
(а
2
-
х
2
)
-
(1-
2v)
у2]
+
1fГ
дV;
.......
WIJ.
WIJ.A
8"1.
з
yz
= -
2Е!
(1
+
2v)
xy
-
Е
I
8%
'
)
(У.45)
где
1 -
момент
инерции
полукругового
сечения
относительно
Оу;
"1.3
=
'Фз
- +
(х
2
+
у2).
Подставляя
в
(У
.
23)
и
учитывая
(У
.
42)
-Wh=
-
7zt
j
{
2{1
+
2v)x2y
+
(3
+
2v)(a~-x2)y-
8
_
(1
- 2v)
у
З}
dS
_
WIJ.A
~ (
х
дХ
а
+
у
8"1.
а
)
dS.
Е!
s
d:&
8у
После
вычисления
первого
интеграла
_
2fЮ6
3 4
flA
\"
(8
Х
з
д'Х.а
)
dS
h -
1
5
Е!
( + v) +
ЕГ
.
Ха;-
+
у
д/I
.
s
(У.46)
Второй
интеграл
дает
момент
кручения
N
1
и
при
ХЗ
=
О
по
кон
туру
(см.
32.
Крутящий
момент)
привим:ает
зна.чение
-N
1
/21J.'t,
в
данном
случае
его
величина
равна
- 0,296
а
4
/2.
Окончательно,
учитывая
(У.44)
2j.Ш5
h =
15El
(3 + 4v) -
или,
принимая
во
внимание,
что
1
1 =
gпа4,
4а
у
=
3n
и
Е
=
=
2lL(1
+
'\1)
h =
~
. 3 + 4v _ 4,736
va
15n 1 + v
3n
2
(1+v)'
При
'\1
= 0,3, h =
0,548а
-
0,037а
=
0,511а.
ЗАДАЧИ
1.
ПОI{азать,
что
коиuоненты
перемещекий
и
= - +
С
{а
(х
2
-
у2)
Z + +
(1
-
а)
ZЗ}
;
и
=
-СахуZ;
w =
С
!р
(х,
у)
+
-}
С
{(1
-
о)
xZ
2
+
аху2
-
-}-
(2
-
а)
х3}
(У.47)
удовлетворяют
основпое
урauнеuие
равновесил
пзотроппого
уиругого
тела
без
учета
объемnых
сил
при
V~!p
=
O,O-ВМ'П'UJПа
прпведснпого
коэффициен
та
Пуассона
(с
1.
VI.50).
Покавать
также,
что
если
фУШЩ11Л!р
удовлетворя
ет
соответствующее
краевое
условпе,
то
это
урзвпеUIIН
опр
Д
лтот
lIЗГllб
упругого
Цllлnндра
постояаиого
сечеП\lЯ,ПО
КРПВОJllшеi.iuоii
поверхвости
кот
о
рого
отсутствуют
папряженпя,
а
к
свободuому
нонцу
ПРllлощена
только
попе-
Н
реч:ная
спла
под
угло.,
arctg
т
к
оси
х,
где
l
-мом
е
нт
llU
РЦIШ
сечения
отпо-
сительво
оси
у,
а
Н
-
цеотроБОЖliЫЙ
момент
онеРЦПI!
сечошrя.
ПОI(азать,
что
дифференциальное
урauпевио
dф
+
ay
2
dy - x
2
dy
=
О
оир
деляет
лиют
l(асательпы.х
.
вапряженИЙ,
гдо!р
+
iф
= /
(х
+ iy),
а
твкще
что
если
Ф
=
=
Ау
+
В(+
уЗ
_
Х
2У
),
ТО
лunни
I{
асательвых
папрлщспий:
задаются
выра
жопием
-1-..!..
А
В
+
а
2
х
2
=
Ку
в
+
В
+ 1 +
3В
+ 1
у.
где
К -
проuзвольная
постоянная.
Наiiти
при
этих
условиях
траектории
касательных
вапряжеuиii
для
круго
вого сечения.
2.
Показать,
что
еСJlИ
в
упругом
изотропном
теле
действуют
только
на
прящевия
.--..
(a,~
,
xz =
а
дУ
-
з;?
+
а
у2
)
,
.--..
~.--..
yz
=
-a
-
-,
zz
=
2ax(Z-l)
дх
(объе
мпы.е
силы
пр~пшмаlОТСЯ
равными
пушо),
где
а
-
постолuвая,
а
-
при
ведевпыii
коэффнциент
Пуассопа
(см.
VI.50)
и
1jJ
-
ПЛОСRая
гармоническая
Фуmщu.l1,
то
опи
удовлетворяют
ураВllеErUЯЪ1
рз.вновесuя
п
ураввенцлм
СОВ
меСТllОСТИ
Бельтрами.
84
Показать,
что
решение
применимо
к
задаче
изгиба
со
сдвигом
для
ЦПJJПВ
дра
DОСТОЯНDОГО
сечения
S,
к
свободному
ковцу
Z = l
которого
нрилон,ена
сила
W
в
вanрanлеюJП
осп
Х,
eCJНI
а
=
~
,
где
[ =
~
x
2
dS
'ф
удовнетво-
рвет
ураввевию
'ф
= 5
х
2
ау
- +
оу3
+ const
по
контуру
сечения.
Начало
главных
осей
расположево
в
цеитре
тяжести,
а
среднее
значение
угла
ЗЗRРУ
.чJшаuпя
равно
нулю.
Принимая
Ф
=
Аг
sin
6 +
~sin
6 +
C~
sin
36,
определить
А,
В
и
С
дня
r
кольцевого
сеgеНlJЯ
Ь
(;; r "
а
и
ПОICазать,
что
....-.
W
(а
2
-
г
2
)
(г
2
-
Ь
2
)
rz
"'"
(3
-
о)
--
соз
6
--'----'--:---
2п
(а'
- b
f
)
г2
r JI,
а
в
а
V 1.
ПЛОСКАЯ
ЗАДАЧА
ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
46
.
ВВ
ЕДЕНИЕ
Как уже
отмечалось,
уравнение
(П
.37)
для
деформаций
пред
ставляет
мало
возможностей
для
общего
р
е
шения,
поэтому
дл я
праl<тических
нужд
сделаем
некоторые
упрощающие
допущеппя.
В
этой
главе
мы
переходим
к
большой
категории
задач,
в
которых
компоненты
напряжений
и
ли
Д
формаций
являются
один
аковыми
в
параллельных
плоскостях.
Т
ю<ое
состоялие
.8
обще
ы
случае
будет
вызываться
силами
или
JlfO-
ментами,
действующими
в
плоскости,
и
па-
3
ыаетсяя
плоской
де
формацией
или
плос
ким
напряженвым
состоянием.
Приме
м
Ри
с.
45.
нормаль
к
этим
ПЛОСI\ОСТЯll1
за
ось
Z
(рис.
45).
Состояние
плоской
деформации
во:шикает,
когда
все
точки
поре
мещаются
параллельно
плоскости
хОу
и
т3I{им
образом
по
вс
ему
телу
ш=О.
(VI.1)
Плоское
напряженное
состояние
возню
<ает,
ког
да
по
всем
элементам
тела,
нормали
ко
т
орых
параллельны
оси
Z,
вектор
напряжения
равен
нулю,
т.
е.
OZ
является
основным
направле
нием,
в
котором
главное
напрюнение
равно
пулю.
Это
означа
ет,
что
R
z=O.
(VI.2)
Эти
м
задачам
с
середины
прошлого
века
уделялось
lошого
ВН
.
има
пия
и
определял
ось
два
основных
подхо
да
1<
их
решению.
Во
первых,
в
1862
г.
Эри
доказал
существоваnие
фуmщии
напряже
ния
(фуmщия
Эри);
во-вторых,
Г
.
Колосов
(1909
г.),
Н.
Мусхе
Лl1ШВИЛ
И
(1934
г.)
и
тев
нсон
(1943
г.)
показали,
что
к
этой
катег
ор
ии
задач
мож
е
т
быть
с
успехом
прим
н на
теория
фУRIЩИii.
комплексной
п
ереме
НRО
Й.
Последний
метод
представляет
т
е
орию
и
ее
приложепия
в
компактной
и
Н6посредствепноii
форме,
по
э
тому
его
изучепие
составит
освовную
часть
настоящей
главы.
Основные
уравнепия
равновесия
и
заВИСИ1lfОСТЬ
между
н
а
пряже
ниями
и
де
формациями
записываются
в
I<Оl\fDлеКСRОЙ
фор
ме
и
при
этом
получаются
упрощения,
К
.
1<
для
пло
кого
н
а
пряжеuпого
состояния,
так
и
для
плоской
дефор
мации.
86
47.
ОСНОВНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В
IОМПЛЕRСВОЙ
ФОР
Ш
Ра
смотриы
уравнения
равновесия
и
введем
комбинации
напря
жений:
e=~+
УУ;
I
ф
=
;;
-
уу
+
2'[;у;
'l'
=
~
+
iYz.
(VI.3)
Также
пр
едпо
ложим,
что
компоненты
объемной
силы
имеют
потенциал
V
(х,
у
,
Z)
=
и
(z,
z,
Z),
так
что
дУ
Х
-
--
1 -
дх
'
F =
-gгаdV,
дУ
Y
1
= -
ау'
дУ
Z
---
1-
az
(VI.4)
Прибавив
к
первом
у
урав
нению
(1.21)
второе,
умноженное
на
i,
ПОЛУ<ШМ
д.................. д..................
д'l'
дж
(хх
+
ixy
- pV) +
ау
(ху
+
iy
y - ipV) +
дZ
=
О.
(VI.5)
Уравнение
(
IV
.50)
можно
рассматривать
как
переход к
новой
сист
ме
координат
z,
z.
И,
таким
образом
-д
д
==
-д
д
+
~
;
-д
д
==
i(-aa -
~).
(VI.
6)
х
Z
az
У
z
az
Использование
этих
выражений
дЛЯ
(VI.5)
позволяет
ввести
систе
му
напряжений
(VI.3),
в
результате
чего
д
дФ
д'l'
az
( -
2рИ)
+
---а;-
+
liZ
=
О.
(VI.7)
Аналогичным
образом
третье
из
уравнений
(1.21)
приводится
1\
виду:
д
'1'
aW
д
.........
а;:-
+
az
+
aZ
(zz
- pU) =
О
.
(VI.8)
За
метим,
что
три
уравнепия
равновесия
в
такой
интерпретации
сводя
т
я
к
двум,
одно
из
которых
КОЪffiлексное,
а
другое
действ
и
тельное.
ПодоБНЫА1
путем
мож
т
быть
пересмотрена
форма
зависимостей
между
напряжениями
и
деформацией
(II.29)
и
(II.30),
в
которые
вводится
комnлекспое
перемещение
D =
и
+ iv, (VI.9)
поскольку
ясно,
что
компонента
по
оси
Z
будет
подвергнута
особому
рассмо
т р
е
нию
в
исследуемых
ниже
случаях.
В
этих
87
обозначениях
объемная
деформация
запи
шется
в
следующем
ви
де:
б
=
~
+
~
+
дш
=
~
+
aD
+
~.
(VI.10)
дх
ду
az
az
д;'
az
Из
(Il.29)
........
дu
хх
=
А.б
+
2"",ах
'
.......
a/J
уу=А.б+2""'8g'
Складывая,
получаем:
6
=
2А.б
+
2
(~+~)
=
2('),.
+
)(~
+~
)+2Л~,
,...,
дх
ду
,...,
дх ду
az
На
основании
(П.33)
'),.
+
,...,
= 1
~
2v
'),.
=
2J.1.v
ТЭ.I<
что
1-2v
'
(1
-2v)8=2
,...,
-+-=-
+
2v-
,
{
aD
aD
дш
}
az az
aZ
(VI.11)
-
дш
(
aD
aD
)
дw
Так
как
zz=А.б
+
2,...,;;z
=
'),.
ifZ+
ii
+('),.+2
,...,)
az'
мо
-
тем
написать
(1-
2v)?z =
2,...,
{v(
~~
+
~~)
+
(1
-
v)
;;}.
(VI.12)
Соответствующим
образом
комбинируя
(П.29)
и
(П.30),
им
еем:
Ф
=
2,...,
(;;
-
:;
) +
i2,...,
(:~
+ :;),
или
Окончательно:
aD
Ф
=
4,...,
-_
,
az
'1'
(
дu
дш
) .
(a/J
дш
)
=....
aZ
+
дЖ
+
z....
aZ
+
дУ
'
или,
группируя
члены,
,тr
{
aD
дш
}
у
=
....
aZ
+ 2
д;:
.
(VI.13)
(VI.14)
Уравнения
(VI.11) - (VI.14)
представляют
собой
зависимости
между
напряжением
и
перемещением,
и
есJlИ
их
подставить
В
уравнения
(VI.7)
и
(VI.8),
то
получим
два
уравнения
ДJIяпереме
щевий
D
и
ш.
Однако решать
эти
уравнения
удобнее,
когда
они
записаны
в
указанном
выше
виде,
88
48.
ПЛОСКАЯ
ДЕФОРМАЦИЯ
Здесь
мы
принимаем
w =
О,
а
таюке
D = D
(z,
z)
и
предпола
гаем,
что
потенциал
объемных
сил
U
не
зависит
от
Z.
Как
можно
видеть
из
(VI.14),
это
непосредственно
приводит
к
'i>
=
О.
Тогда
остальные
уравнения
равновесия
примут
вид:
д
дФ
д1.
(8
-
2pU)
+
дZ
=
О;
д";;
=
О
az
.
(VI.15)
Первое
из
этих
уравнений
может
быть
удовлетворено
введением
комплексноu
функции
нап
ряжения
F
(z,
z
),
где
д
Р
дР
Ф
= -
-:::-
'
е
-
2рU
= -
(VI
.
16)
д;;
'
д;;
'
а
из
второго
уравнения
видим,
что
компонент
~
независим
от
Z.
Зависимости
между
напряжением
и
перемещением
преобразуются
к
виду:
oD
Ф =
4f1-
_-
;
д;;
(
oD
а
б
)
(1
-
2'\1)
8 =
2/1
---az
+
д~
;
;;
= '\!8.
Теперь
можно
приступить
!{
интегрированию
Интегрирование
(VI.16)
и
(VI
.17)
по
z
дает
4f1D
= - F + f(z),
где
f (z) -
произвольная
функция
z.
"Уравнение
(VI.18)
можно
выразить
через
F
(VI.17)
(VI
.1 )
(VI.19)
этих
уравнений.
(VI.20)
(1
-
2'\!)
(::
+
2рИ)
= +
{-
::
+ f'
(z)
-
~
+
р
(Z)}
=
= -
::
+ + {f'
(z)
+ f
(z)
},
дР
б
-
й
поскольку
величина
т
должна
ыть
деиствительно
,
так
как
она
представляет
е
-
2рU.
Для
облегчения
дальнейшего
инте
грирования
напишем:
U
-
oW
-
д;;
•
(VI.21)
Интегрируя, получим:
1 - -
--
(1
-
2'\1)
(F +
2pW)
= - F +2 {f(z) + zf'
(z)}
+ g(z),
где
g
(z)
-
про:извольная
фУВlщия
от
z.
89