Годфри Д. Теория упругости и пластичности

1

аа

у

1ROiJ\ЭЯ

на

2ni

а

_

~

и

ИRтеГРllРУЯ

по

еДКlШЧIIОМУ

"ругу,

UOJ1Y-

чим:

<J>оЮ

=

3P;~v)

~2.

Возьмем

сопряженное

выражение

J[

апалоги'ПIЫМ

образоМl

и

наJ\опец

3~3

+ 1 .

Мс

2~3

- 3

<ро

(~)

+

'Фо

(~)

= -

р

(1

-

")

~.

(

1")

Мс

[1

1 + 1 - v

1"21

<J>

':t

= -

р

2

(1

+

")

.

Т

6

(1

+

")(3

+

"')

':t

,

М

с

[ _

2~

3

~

3

+ 1 1

'Ф

Ю

= -

р

1 - v + 3

(3

+

"')

.

2~

a

-=-

з-

.

4. 1

огда

Р

находится

на

ионтуре

r =

а

(рис.

154)

из

по

доБLLыx

треУГОЛЫШl(ОВ

uаХОДLlМ,

--t--~г--t-*t----="n8-

что

:~

=

1.

Oтl

уда

w =

О.

Используя

соотношепия

R2

=

г

2

+

с

2

-

2гс

со

е,

а

4

а

З

Р

2

_

г

2

+ - , -

2r

- cose

-

c

~

с

'

PIIC,

154.

u dw

О

..

Д

наидем,

что

(f;

=

па

г

=

а,

т.

е

.

кран

защемлеп,

анное

п

ре-

tещ

ние

содержит

член

-

2~

R

2

1nR,

I<ОТОрЫЙ

согласно

соотпо

с

тевиям

(IX.96)

и

(IX.98)

соответствует

соср

доточепной

сил

J,V

.,

~vc

~

при

R =

О,

т.

е.

в

точке

А

при

А

= 32nllP .

На

защемлеппом

нонтуре

г

=

а

момент

защемления

ум

Ilьmается

от

велиqииы

-

д

2

ш

ге

= -

Р

-

д

_, .

После

ДJlительных

преобраЗ0вапий

получаем

г-

данную

формулу.

5.

Дифференциальпое

уравнение

(

IX

.47)

дЛЯ

w

удовлетворяется,

ее

1и

ра

4

Ь

4

К

= - 16hP

(3а4

+

2a2bZ

+

3Ь4)

~

о

~

Также,

если

W =

-д

= - =

на

эллипсе,

т.

е.

если

д

n

=

х

ду

дш

дх

дш

ду

=

ах

-an +

ау

.

an

таюне

равно

пущо

и контур

защеМJIeН,

Момент

защемления

~

= - PV

2

w = -

8Р

К

(::

+

~:

)

,

l>lOiI<eT

300

быть

выражев

через

перпеПДИI<УЛЯР,

опущ

нныП

из

цепт

ра

1Iа

касательную

в

рассматрипаt!МОЙ

точие

f(оптура

и

записан

8РК

в

виде

ns = -

(12.

6.

РО

CI

' I\O

пр

В

рнть,

что

w = - 2n

4

hP

--;-....----:;......-;.-

допл

ТDоряет

уравл

нию

ОХ.4.7)

дЛЯ

w

пр

J

любых

т

и

n,

СJJИ

.

mnх

.

nлу

Р

=

РО

Jn

-

а

-

IП

-ь-

Для

свободно

опертой

пла

стины

кра

вы

е

УСЛОВIIЯ

имеют

вид:

B~

w

w = - - =

о иа

х

=

О

и

х

=

а;

дж

2

8

2

w

Ш

=

-8

2 =

О

на

у

=

о и у

=

Ь.

у

Причем,

оба

они

удовлетворяются

приведеПRЫМ

выше

перемеще

ви

м.

Это

р

ешение

для

некоторого

специального

распр

дел

пия

иа

гр

зки

},{о)!

·

по

обобщить

В

вид

:

in

_m_n_х_

sin

_

n

_Л_

У_

Ш

= -

2:'hP

~ ~

Ат,n

--(.,.-m

..

:--....,n2

.--:-)-;;-~-

а

2

+

Ь

2

Тогда распр

делепи

нагрузив,

которому

оно

соответствует,

име

ет

вид:

(

)

~

"А

.

mnх

.

n

nу

Р

х,

у

=

........

т

,

n

Ш

-

а

-

1Q

-ь-

,

где

суммироваuие

производится

по

пабору

чисел

т

и

n,

ра

споло

л.снвых

в

ненотором

порядк

,а

Ат,n

е

ть

функция

от

т

и

n.

Это

дав

ление

выраж

по

в

виде

двойпого

ряда

Фурье

периода

2а

по

х

и

2Ь

по

у

с

ко:>ффициеnтами

а

Ь

4

('

\.

А

т

•

n

=

аь.l

.

р(х

у)

in

m:х

in

n

~y

dxdy.

о о

16ро

В

случае

по

тояпного

давления

Р

(х,

у)

=

РО

и

Ат

,

n

=

----'-"::--

mnл

~

гд

т

и

n -

п

ч

тные

числа.

За

дальнейшиии

св

де

пиями

по теории

прямо

гольных

пла

тин

от

ылае

f

читателя

"

ЮIиге

С

.

Тимошенио

«Теория

пл

астин

и

оболочек».

301

11

6. R

ГЛАВЕ

'11

1.

Если

J{ритерий

теиучести

11

строить

!,al{

крмв

!о

n

осях

Ох

и

у,

"оторые

представляlOТ

соответственно;;::

и

00,

ТО

получи

1

л



IIИПС

у2

_

ху

+

х2

=

У2.

Поло"

ИВ

Х

= Rco

"ф,

у

= R

iо"ф,

леГJ<О

ПОI{азать,

что

R

ПРИRИ



l\

la

т

тационарные

зпачеlПlЯ

при"ф

=

л/4

и

3

л/4,

I(оторые

поэто

ry

"оответ

ТВУIOТ

ваправл

ПИЯМ

осей

Ох'

и

у'

эллипса.

В

этих

о

як

уравв

1Iие

эллипса

принимает

ВИН

х'!

+

Зу

'

2

=

2}

'

2,

1

~

t

~

ГД

х

'

= -

r-

(ее

+

гг)

н

у'

=

--

(

е

-

гг).

J 2 )

12

Переходя

J{

парам

ТРИ1Jесиоr.rу

ураввепиlO

эллипса

х'

=

YV2sio

<р,

у'

= v ;

у

os

<р,

получим

ИСI\О

1Ое

решение

для;:;:

и

00.

2.

d;;

~

равнеНI1

равно

в

есия

r

dг

=

ее

-

гг

после

подстановки

в

lIero

приведенных

в

задаче

1

напрюкений

приобрета

т

вид

2..!!:....

=

(VЗ

+

tg<p)

d<p.

r

I!

IIТСГРИРУЯ,

получим:

21n

г

=

уз

<р

+ Jo sec

<р

+

ln

А

.

Т(\]-,

l\al,

на

контур

г

=

a,7r

=

о,

.'.

<р

=

л/6,

то

постоянная

может

быть

определена.

Также

на контуре

г

=

Ь,7Г

=

Т,

откуда

полу

чаем

ИСКОМО

ОТIlОШ

вие

Ь/а.

3.

Если

1 =

О,

n = 1,

то

ВЗЯВ

отрицательный

I'вадратпый

хо

рень

по

(ХII.49),

получим

Ф

= -

2Тс

~

=

2lre

i

(п+20)

z

11

ТaJШМ

образом

Ф'

=

-2Тс.

Из

(ХII.27)

- F =

-2kzJnz

+

10

(z)

и

е

=

2k

]

nz

-

f

~

(z)

.

Для

того,

чтобы

сделать

вещественным,

пркпим

ас

м

I~

(z)

= -

2Тс

ln

z +

С.

~

i

СЛ('}\QВf\Тельно,

гг

= ""2

С

- k +

2Тс

ln

г.

Tal'

J\ак

/'Г

=

О

па

г

=

а,

RаХОДИ~1

С

и

окончательно

;:;.

=

2Тс

10

+-,

ее

=

2Тс

(1

+ ln

-;-).

302

Т3I(

иа"

ar

Ф

= n +

2в,

угол

нанлона

I<асательной

I<

траекто



рилм

на

ательпых

н}\пряжений

равен

±

450

+

-{-

arg

Ф

=

450

+

в п

135

0 +

в

.

И

з

г

е

оыетрич

ских

соображений

видно,

что

касательная

к

траекто

риям

насат

льных напряжений

образует

ПОСТОЯННЫD

у

гол

в

450

п

л

и

1

350

с

ра

д

иусо

{-

в

ктором

.

Это

характерно

для

равно

голь

цо

й

пир

а

ли

.

+ 1-:- =----:=-.

.

a

~]

дР

х2

д

-:.

ИIIТ

гр

ир

я

по

Z,

напдем

,

что

- /

.'

= 2t.:[z arcco 'h

:~

-

Vz2

-

~

:]

+ /o(z)

дР

и

таи

"art

е

=

т

-

в

щественная

вел

ич:ин

а

,

zz v

--

=

8'

=

2k

а

г

о

11

-

з

+

соп

t =

2k

ln

(г'

+

,-4

-

а

4

)

+

соп

t.

а

Т

ак

же

ф'

= 2k r v 1 -

;:

+ i

~].

и

таким

обр

аз

о

1

ИСRомые

ко?шопенты

напрящения

могут

быть

раз



е

вы.

В

по л

ярных

координатах

из

(ХН.

51)

находи

1:

d

/i

Уг

4

-

а'

U

r

d;

= - k

,.s

G

(г)

= -

-г-

;

dUe

ив

2ka'

(f;:-

--;:-

=

-т

G

(г).

Эти

у

равнения

л

гко

интегрируIOТСЯ:

с с

r4

-

а

4

Ur =

-Т'

ив

=

Q'i"

-'---

r

--

+

пг,

ГД

С

и

D -

проиэвольвые

постоянные.

Обозначения

Х

,

у,

z

(

или

z) -

прямоугольные

координаты;

г,

в

,

z

(или

Z) -

цилиндрические]

оордипаты;

г,

в,

<р

-

сферичесиие

Rоординаты;

303

т.

е

и

р,

t}

-

полярные

координаты;

z,

z

и

~,

1 -

l<оыплеl<свые

Rоординатът;

Н

р

,

~

-

векторы

напряжений;

pq -

составляющие

напрюн

е

llИЙ;

~

pq

-

средняя

составляющая

uапря.жспиЙ,

м'

-

составляющи

деnиаторз

напря)!

е

шrй;

pq

-

составляющие

пары;

Ф,

чг

-

комбипации

напряжепиii;

А

,

Г

-

)юмбипации

пары

папряж

пий;

Р,

Q,

R -

составляющие

главных

напряж

ен

ий;

JJ'

J

~,

J

з

-

инварианты

паПРЯiКеuиii;

J;

, J;, J; -

инварианты

Д

виатора

напряжений;

D -

в

е

кторы

перем

щеншl;

D -

хомплеJ:(сные

п

р

м

е

щ

ЮНI;

и,

и

,

w -

номпоненты

пер

е

м

е

щ

ний

в

прямо



угольных

)

оордипатах;

U

r

,

и

в,

и.

-

номпоневты

п

е

ремеЩtшй

n

П

ОJlЯР

НЫХ

координатах;

&Pq

-

составляющие

деформации

8

p

q

-

составляющие

девиатора

Д

фор

lаr~ий;

8~q

-

составляющие

упругих

де

фор

мar

~иii;

E~q

-

составляющие

пластиqе

IШХ Д

форма

-

ций;

, " -

следовательно;

б

-

объемное

расширени

е

(дилат

а

цltя);

1"

1

2'

1

~

-

инварианты

де

формациЯ;

1~,

1

;,

1

з

-

инварианты

девиатора

де

форм

а

ций;

(j)

-

веl<ТОР

вращепия;

W -

энергия

деформации;

F -

вентор

объемной

силы;

V(x,

у

,

z)

или

и

(z,

i,

Z)

-

потенциа

л

объем

пой

илы;

Х,

У,

Z -

реЗУJlьтирующая

сил;

804

L,

М,

-

результирующ

а

я

пар;

1

х

,

1

у,

1

~y

-

экваториальные

и

Ц

нтроб

е)

I

'

IIЫ

Й

мо



менты

инерции;

J -

полярный

момент

инерции;

't

-

)(рутка

баJll<И:

't

mRx

•

q -

максимальные

l<зсат

льные

н

зп

ряn

;е

ния;

Ко

-

пре

дельные

напряжения

при

чи

'то

м

сдвиге;

у

-

пр

де

льное

на

пряш

вие

при

про

сто

м

растяжении;

ос

-

фУНlщия

напряжений;

(J) (z),

tp

(z

),

'ф

(z) -

иомплеl{СНЫЙ

потенциал;

ер

(х,

у)'

'Ф

(х,

у)

-

гармоничесю]е

фуниц

ии;

'Ф1'

'1

~

,

'Ф

3

-

фующия

изгиба;

л..

J.I.

-

постоянпые

Ляме;

v -

l{оэффициент

П

уассона;

Е

-

модули

упругости

Юнга;

К

-

объемный

модуль;

k

ll

• k

22

,

kJ2

-

l{РИВИЗНЫ;

i,

j,

k -

единичные

nel{TOpbl;

i

1

•

i

z

•

i

з

-

векторы

перем

е

щений;

k"

k'

I k

1

-

упругие

постоянные.

ОГ

ЛАВЛЕНИЕ

Г

n 8

~

а

1.

ТЕОРИЯ

НАПРЯЖЕНИй

1.

ОбозпачеlillЛ

11

определения

......

.

2.

Обозеач

е

uие

компонентов

ПaD]>яж

ею

lН

. . . . . .

3.

Соотuошеиия

fежду

в

1(Topa~т

иапряж

еlJJfЯ

в

точне

4.

Уравпе1ШЯ

равновесия

.......

.

5.

Растяжение

в

одпом

I1

д

вух

направлениях

6.

Гл

.

аввые

напряжев.ия

.....

7.

Поверхиость

uапряжений

Плоское

папряженвое

СОСТОllШlе

9.

Инварианты напряжений

.

10.

ГJlаВВЪ1е

касательные

напряжения

11.

Нруги

Мора

......

.

Зада'lИ

....•....

г

л

8

В а

lI.

ДЕФОРМАЦИИ

12.

Плоская

дефор

.rацил

...

.....

.

13.

Обобщенные

},оьшопенты

деформаЦl1U

14.

ВращеНlJе

эле

мента

как

целого

15.

Перемещенпе

твердого

тела

16.

Главные

деформац

ии

и

инвариавты

17.

Объемная

дефор

lация

.....

18.

Уравнепия

совместности

деформаций

19.

нергия

деформации

.......

....

.

20.

ЗаВИСИ!lОСТЬ

между

папряжением

и

Д

фор

18циеu

21.

Упругпе

постоянные

..........

..

.

22.

Завис

имо

сть

между

деформацией

и

напряжениями.

23.

Векторное

уравпе1Ше

для

деформаций

24.

Ураве

ипе

Бельтра.m

• . . • .

Задачи

...

. . .

....

Г

JJ

а

в

а

111

.

ЧИСТЫЙ

ИЗГИБ

БАЛКИ

25.

Принцпп

Сен-Венана

26.

Полуобратный

метод

27.

БаЛI<а

под

действие

f

концевых

момептов

28.

Вычисление

главных

моментов

ппеРЦИ1J

29.

При

lевено

е

теории

Зада'lИ

Г

л

а

в

а

lV.

КРУЧЕНИЕ

СТЕРН

НЯ

30. }

омпопевты

вапряжеНl]Я

31.

Нра

е

ные

УСЛОВIJЯ

32.

Крутящий

мом

сш

33.

Траектерип

касательв:ых

вапряж

еUIIU

ЗОб

7

8

9

11

12

13

1/

..

1б

19

20

22

2з

26

2

29

:ю

31

ЗЗ

34

:~5

36

:17

39

3

44

46

4В

48

50

51

53

34.

Решенпя

с

прпмевевием

гармонич

еской

ФУИIЩИИ

по-

лив

.

оъrвальuоЙ

формы

...

. . . . . 53

35.

Решения

в

рядах

Фурье

. . . . . . . 55

36.

Прпыенеппе

КОЪШЛel(СНОЙ

переыев:ной

58

37.

Двухсвязные

сечеппя

64

38.

Мето

ды

апалогиН

...

. . . . 68

Задачи

. . . . . . . . . . . .

71

г

л

а

в

а

.

ПОПЕРЕЧНЫй

ИЗГИБ

Б

ЛКИ

39.

40.

41.

42.

Коъшовенты

напряжеНIIЯ

Закр)"пшаuие

бал"Ки

. . . . . . .

Краевые

условии

Результв:рующи

сил

п

моментов

по

С'llШЮ

.....

.

43.

Пер

мещеU1JЯ

.

44.

Решен

ия

для

ПРОСТЫХ

контуро

в

45.

Цептр

сдвига

Задач

и

.....

.

поперечно

'У

Г

)

I

а

в а

VI.

ПЛОСКАЯ

ЗАДАЧА

ТЕОРИИ

упру

ГОСТИ

73

75

76

77

82

84

6.

Ввсде

ВlIе

. . . . . . . . . . . . . . . . 6

47.

Основные

ураВRеипя

в

ко

шлексвой

фор~(е

87

1\8.

Л

JlОС

l<ая

дс

формация

..........

89

49.

Краевые

условия

..

. . . . . . . . . . 90

50.

Результирующ

ие

силы

и

ыоыптыы

по

I(ORTYPY

92

51.

Обобщенное

плоское

напрюкенпое

состоявие

93

52.

Прямоугольпая

пластина

.........

96

53.

Р

шення

ДJl

Я

областей

с

круглыми

}\онтураъП1

99

51\.

Прнмеl:lеl1l1е

l<ОllфОР

шого

преобраэоваuин

НО

55.

Прямой

метод

Мусхелишвилп

11

4

56.

Фувкция

напряжений

Эри

.......

127

57.

Фотоynруглй

(

етод

• . . . . . . . . . . 133

Задачи

..........

........

140

Г

11

а

в

11

УП.

ЗАДАЧИ

В

КРИВОЛИНЕЙНЫХ

I{Q-

ОРДИП

ТАХ

58.

Введе

ние

143

59.

Цилиндрические

координаты

145

60.

сеСlJмметричпые

задачи

. . . 147

61.

Плоские

поля

рuы

J\оордиваты

156

62.

Сферические

координаты

158

63.

Биuоляриы

.

е

коордиваты

1

61

64.

Другие

родствен:ные

задачи

164

Задачи

. . . . . . . . 166

Г

л

а

n

а

УIII.

СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ

И

ПРЕРЫВИС

-

ТЫЕ

НАГРУЗКИ

65.

Плоская

uагруэка

-

сосредоточеuвая

сила

168

66.

осредоточ

НUЫЙ

fомепт

в

точке

па

KOI:IType

172

67.

оср

доточепвая

сила

п

ъtомент

внутри

области

173

68.

Перспос

начала

координат

.....

..

175

69.

Пр

е

РЫВIIстые

нагрузки

.....

.

...

..

178

70

.

Про

транствеШiаянarРУЭI(а

.......

. .

..

181

71

.

С

оср

едоточеп

пая

спла

ц

wо

меит

в

теле

большого

про

-

тяж

ния

...••..•..•..••....

..

182

307

72.

НаГРУЗIШ,

действующие

па

границе

полубеСI{онечного

пространства

185

Задачи

.................••..

194

r

л

а

в

а

[х.

ТЕОРИЯ

ТОШ

ИХ

ПЛАСТИН

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

Определение

напряжеUlltl

в

плаСТIше

. . . . .

Пр

еобраЗОВ81:1nЛ

результирующих

11

момеитвых

наорл-

жснпii

.......

.

У

равнения

равrlQвеСIIЛ

.....

Чистый

J1ЗГJlб

пластины

. . . . .

Нормальuо

нагруженная

плаСТlша

l{pa

e

BbI

e

условия

. . . . . . . . . . . . . .

Чистыii

и

згиб

больших

плаСТПll

с

отверстиями

раЗЛIIЧ-

пыхформ

....................

.

Нруглая

плаСТИllа

. . . . . . . .

Задач

1] • • • • • •

••••

г

л

а в а

Х

.

ТЕОРИЯ

ПЛАСТИЧНОСТИ

196

19

199

200

203

205

207

212

218

81.

Введеllпе

. . . . . . . . . . . . . . 220

2.

Д

DnaTopbl

напряжений

п

деформацпii

221

83.

Условия

теJ{учести

............

226

84.

ГрафичеСJ{ое

представление

J{рит

ерп

в

ТСJ{учеСТI1

22

85.

ЗаВUСl1МОСТII

)Iеж

ду

напряжением

I!

деформацией

231

г

л

а в а

XI.

ПЛАСТИЧЕСКИй

ИЗГИБ

И

НРУЧЕНИЕ

БАЛКИ

86.

РещеlШе

упруго-пластичеСJ{оii

зада'ПI

234

87.

Сжатие

прямоугольпой

баюш

235

88.

Чистый

иагиб

nрямоугольвоii

балк)]

.

236

9.

Упруго-пластпческое

I(ручение

баЛJШ

237

90.

Остаточные

напряжевия

242

r

л

а

в

а

ХН.

ЛJIOСНАЯ

ЗАДАЧА

ТЕОРИИ

ПЛА



СТИЧНОСТИ

9t.

Плоское

вапряженное

состояние

и

плоская

деформация

245

92.

РаСШ.l:lрепие

толстостенного

цилиндра

. . . . . . . '. 246

93.

Цилиндрическая

полость

под

действие~1

СJlм:метричuой

нагрувки

. . . . . . . . . . . . . .

248

94.

Цилиндрич

ес

к

ая

полость

под

деiiствиемнесимметрп'l-

пой

вагрузки

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

95.

Полностью

П1l8стичеСRое

распределение

напряженпй

255

96.

Остаточные

вапрящсвия

. . . . . . . . . . . . . . 259

Задачu

. . . . . . . . . . . . . . . . .

260

л

р

IJ

Л

О

JК

е

в

и

8 1.

МАТЕМАТИЧЕСНИЕ

МЕТО

ДЫ

97.

98.

99.

100.

101.

808

ВеRторвая

алгебра

. • • • • • . . • . • • • • • •

Векторный

анализ

• • • • • • . • • . • • . . . .

Ряды

Фурье

.....•.••..•......

Решение

плоских

гармоничеСI<ИХ

и

бигарыничесюIхx

уравнений

. . . . . . . . . . . . . .

Угол

накЛОна

и

кривизна

поверхнnсти

••••••

262

263

267

269

271

Пр

11

Л

О

,1\

е

л

IJ

е

2.

ФУНКЦИИ

КОМПЛЕКСНОй

ПЕР

ЕМЕННОй

102.

КомплеJ(сuые

ч:nсла

......

.

103.

Кошrле1<спал

перемеНllая

. . . . .

104.

l{опформвое

отобраЖСUllе

. . . . .

105.

ИСЧllслеШlе

I(OМn

i

lel(Cl1blX

пите

г

р

адо

в

106.

П

еJ(оторые

замечания

Пр

11

Л

О

Ж

е

н

11

е

3.

РЕШЕНИЕ

3АДАq

107.

I{

главе

1

108.

К

главе

11

109.

К

главе

111

110.

К

гдаве

IY

11'1.

1\

главе

У

112. 1\

глапе

У!

113.

I{

глап

УН

114. 1\

гдапе

УН!

115. 1{

главе

I

Х

116. 1{

главе

X

LI

273

274

275

277

279

280

282

285

286

289

294

296

299

302

Годфри Д. Теория упругости и пластичности

Подождите немного. Документ загружается.