Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
Используя
(VI.71),
будем
иметь
на
}{онтуре
r =
а
_
2~a
_
~
~
Sin
n
2na
(i
n
iO
+
e
-
2niВ
)
=
1
=
-1;
(2n -
1)
А
2nг2ni8
-
1;
(2n -
1)
A
21l
e
2t1iO
_
-1;2n
(2n
-1)
A
2
1l
e-
2n
;o
+
С
+ 1;
(2n
+
1)
B
2
ne
-2n
iО.
П
риравuивая
коэффициенты
при
степенях
e
iB
,
найдем
:
А
-
р
sin
2nа
.
В
_
2р
s
in
2nа
С
= _
2
ра
.
2n
- n
""""ii("
2n
-
1)'
2n - n
2n
+ 1 n
Та"
что
ко~mле}{сные
потенциалы
получаем
в
форме
ря
д
а.
На
}{он
т
уре
r = а
-;,:
+
ее
= -
~
~
_
1_
sin
2na
cos
2nе,
n A.tJ n
1
а
Tal{
}{Ю{
;:;:
известно,
то
найдем
00,
I<OTopoe
принимает
следующие
з
начения:
при
е
=
о
ее
=
р
-
4:
~
+
sin
2na =
р
_
~
(
~
_
а
)
=
р
(
~a
- 1) ;
при
е
=
п/2
Q[) __ _
4р
~
(-
1)n
- 1 . 2
4ра
l7U
ln
па
=
--
.
пп
П
1
3.
Преобразование
сводится
I\
следующеr.ry:
х
=
с
(~-
e
-
Тj
cos
2asin
~);
у
=
с
('У)
+
e-
Тj
CO
S 2acos
~).
Та}{
иа}{
11
=
О,
то
х
=
с
(~
- COS
2а
in ~
)
и у
=
с
с
о
э
2а
с
о
э~
,
т.
е.
получаем
трохоиДУ
с
волнистой
формой,
переC0f:{аIOЩУIO
ос
ь
я
3n
в
~
= 2 ' 2 ' .
,.
и
других
}{ОРНЯХ
ОТ
С
CO
S
2а
.
Для
ненапряженного
}{онтура
в
плоскости
~
на
11
=
О
q>
(~)
?
Ш
+ z
Ш
<?
(~
+
\j)(~
ZT
(Q
=
О
.
ТаК
ЧТО
(
~+
Ae
iS
)
(1
-
cos
2ae
-i~
)
+
(~
+
i
со
2ae
i~
)
(1
-
Ale-
i
) +
+ B- 2
S
=
O.
Приравнивая
f{оэффициенты
при
ei
~
,
e-~
,
а
постоянную
к
Н
УЛ
IO,
найдем:
А
= - i cos
2а;
В
= 2i c
os
z
2а.
290
На
бо.'JЬШИХ
расстояниях,
где
I
~
I
00,
z
-+
c~ и,
таии?;!
образом,
1 1
<р
(z)
-+
т
Tz,
'Ф
(z)
-+
-
т
Tz.
На
ОСJ10ваllИН
(VI.54)
паходи
1,
что
пластина
находится
под
деист
вием
растяжения
Т
в
паправлепии
оси
х.
Напряжение
по
1\011-
туру
[=
"
так
нак
~
=
о
или
~Г
вещественная
часть
от
{
<р'
(
~
)
}
~
4
z'
(
~
)
11
=0
Н
принимает
зпаqеlluе
SS
=
т
ctg
2
CL
В
корневых
Т О
Чl<ах
волны
(наприы
р,
при
S =
О).
4.
Из
преобразовапий
х
=
а
cos
t}
у
=
ь
si
n t},
где
с
=
+(а
+
Ь),
1..=
:~:.
Такще
z'
(~)
=
С
(
1-
~)
=
О.
ногда
~
=
±v'X<
1.
Таким
обра
зом
внешняя
часть
эллипса
НОНФОРМJ10
отобраil\а
тся
во
впеmшою
часть едипичuоii
ОКРу>1
пости.
Краевое
условие
по
контуру
эллипса
имеет
вид
D =
i~z
или
D = iBc (
С
+
-+
),
:когда
~
=
(J
=
е;(}.
На
основаJ1ИИ
(VI.52)
без
учета
объемной
силы
2~D
Z'
(6
=
k<p
(~)
?
(Q
- z
Ю
ер'
Ф
-
'Р
(Q
Z;
(Q.
Подставляя
сюда
даllные
l{омплеl{спые
потеН-ЦИЭJIЫ
и
приравпив
а
я
КОЭффl1циептhТ
при
одинановых
степенях
(J
с
обеих
сторон,
вэйд
еы
А
=
2
1l
Г'.
.
В
=
~~
(k +
1..2),
С
=
2!-LE"
(1-
k).
ВелИ'llшу
прпложепной
пары
паiiдеЬi
па
осповапии
(VI
.4
1)
- G =
Re
[О)
(z)
-
z'Ф
(z)
-
zz
<р'
(z)]
=
=
11е
[(1)
(С)
- Z
(~)
'Ф
(~)
- z
(~)z
W
~:
(~;
]
и
S
iCC2
ro
Ш
=
'Ф
(~)
z'
ю
a~
= iBc
2
1n
~
-
~
и
окончательно
G=
nr
~
{k(a+b)2+(a-Ь
)2
J
.
5.
Испо
льзуя
преобра
зование
(VI.128)
и
принимая
J{О1>шлеI{С-
пые
потенциалы
iK
<р
(~)
= -
т
+
<ро
(~)
,
iK
'Ф
(~)
=
~
+
'Фо (~),
где
Ma~
К
---
-
8Т
291
Усдо
в
ие
(V
I.122)
дЛЯ ненапряженного
отверстия
<Ро
(11)
-
:з
ёP~
(
~)
+
~o
(~
) = U( (
:2
- 2 + (
2
) •
1 da
Уъшожая
на
2лi
а
_
~
н
интегрируя
по
контуру
'\1,
полу<fИМ
Рис.
153.
без
учета
постоянной
Также
ОТI<уда
<Ро
(~)
=
iK~2.
<Ро
(+
) -
аз<Р~
(а)
+
'Ро
(11)
=
= -
iK
(
а
2
- 2 + ;
2)
'
-
~З<Р~
(~)
+
'Ро
(~)
= -
iK~2.
Ок
о
нчатедьно
<р
(~)
=
iK
(~2
-
~;
) ,
'IJ
(~)
=
iK
(
;2
+
2~4
_
~2).
На
основании
(VI.111),
так
как
рр
=
о
на
у
~
= Re [ 4 {
~:
(~{
}Р=1
=
~a
(sin
3~
-
sin
~)
=
=
~a
(sin
0-
sin
30).
6.
Есди
z =
е
(~
+
~
~2),
то
преобразование
единичной
ок
ружности
~
= e
iO
имеет
сдедующее
уравнение
х
=
е
(cos
{j-
+ +
cos
2~),
у
=
е
(-
in
~
+
4-
sin 2
~
)
.
От.куда
при
-д-
=
О
r =
12
Н
(рис.
153).
Ддя
растягивающей
сиды,
придоженной
на
бесконечности
параддедьно
оси
х
<р*
(~)
= +
Те
(+
+
4-
~2),
'Р*
(~)
= - +
Те
(
1-
+ -}
~2
)
.
На
основании
(VI.123)
~
+
i~
=
-+Te
{i--a+
+а
2
-+
:2
}.
Используя
уравнение
(VI.125)
3 +
аЗ
<P~
(
-+
)
2-3а
3
-
а-
ь
1
j'
<Ро
(~)
+
2лi
у
292
Разлагая
поДынт
гральное
выражение
по
отрицательным
степеням
<J,ВИДИМ,
что
интеграл
равен
нулю,
так
что
<Ро
Ш
= - +
Те
( +
~~
-
~)
.
Отсюда
<Р
(~)
=
-1-
Те
(
1-
+
2~
- +
~2)
.
На
основании
(VI.127)
_ 1
_.
r
3а
3
+ 1 .
<P~
(а)
d<J
+
Ф
Ш
= _ _ 1
Те
(~
__
1
~2)
2т
J
2а
3
- 3
а
-
~
о
2 3
"
и
по
с
кольну
263
- 3
исчезает
вне
окружности
у,
найдем
~~:
~
~
<P~
(~)
+
'1
'0
Ш
= - +
Те
(~-
+
~~).
Откуда
{
1
9~3
-
11~
+ 3 }
,~(~)
= -
Те
2["
+
1
~3
-
18
.
7.
l\ОАшонент
объемпой
силы
Уl
= - g
В
(1.21);
теперь легк
о
проверить,
что
в
се т
ри
уравнения
удовлетвор
е
ны.
По
дан
ном:у
Х
~
=
~~;
(3
х
2
-
2
у
2)
+ pgy,
УУ
=
P:~
(уЗ
_
3bZ)
+ pgy,
~
3ркх
2 2
х
у
=
--2
-
b~
-
(у
-
Ь)
.
По
контурам
у
=
Ь,
ху
=
iiY
=
О,
так
что
эти
контуры
оказыв
а
ются
пенапряжепными.
По
коптурам
х
=
а
~
=
~~~
(3а
З
-
2
у
2)
+ pgy;
;у
= _
~;:
(у2
_
Ь2).
Таким
образом
ре
зул
ьтирующие
силы
равны
Ь_
Х
= f xx2edy =
О,
-Ь
Ь
У
= J xy2edy =
4pgabe
.
293
Р
езультирующая
пара
Ь
N = S
';;;y2cdy
=
125
pgbc
(15а
2
+
4Ь
2
).
-Ь
8.
Поступая
так же,
кю{
и
в
задаче
7,
получим:
а
= -
~
w
р.
= _
3ш
'\)
= _
~
/
l2
_
~
а
2
)
4
,IJ
8а'
r
Ва3
\ 5 '
Касатель
ное
напряжение
----
шх
х
у
=
2г
(а
2
-
у
2
).
9.
Из
(VI.12)
при
;-
=
о
дш
'\'
(~
+
iJ~
) .
az
= - 1 - v
д:.
и
::.
JI
111
U =
Ва3
•
Возьмем
ср
днее
по
толщин
h
2h
и
у'штывая
(VI
. J
),
пол
у
'IlJМ:
1
'~d
Z
=
-
2h
.
dZ
-h
'\
'
(дп
о
+
и~
) =
'
1-
v
д:
и
:
1-'11
'11
11
О
."
.Wh-W_h=-
1+ v
-f.L-=-
2v/
~
или
уменьшение
толщипы
со
тавля
т
-r
.
113.
К
ГЛАВЕ
VII
2vЫЭ
о
Е
~.
На
осuовашlИ
(
П.7)
КО1\шоненты
Д
формации
равпы
В
тт
=
А
-
136
~{J)2r,
Вее
=
А
-
116
~p{J)2r2,
E
zz
=
В,
Е
т
%
=
О.
Исполь
зуя
уравнеПJlЯ
зависимости
м
жду
папряжеrшем
и
Д
форма
ци
й
ПОЛУЧИМ:
-;;
=
О.
Теперь
выбира
м
А
и
В
так, 'lТобы
компонент
напряжения
гr
=
=
о
по контуру
r =
а
и
Te~{
самым
делае
1
этот
контур
нена
пря
жеIlЛЫМ
.
Если
результирующая
осевая
нагрузка
отсутствует,
то
Q
r
~
2лrdr
=
о.
ь
Откуда
Следовательно
роо
2
а
2
А
=
8Е
3-5v
1-v
Главные
напряжения:
;;
= _1_
роо2
3 - 2v
(а2
_ r
2
).
8
1-v
'
ее
=...!...
002
3 -
2v
{а
2
_ 1 + 2v
8
Р
1
-"
3
-2"
-
pwzv
zz =
4(1
_ v)
(а
2
- 2r
2
).
2.
Испол
ьзуя
данную
фующию
на
пряж
ений
и
(VII .16),
находим:
;;
=
00
=
12Z
1(
1 +
2v)
А
+
8B
I;
;;
=
-;;
=
12r
IvA
+
8В
}
.
Следовательно
два
последние
компонента
обр
ащаютс
я
в
нул
ь
при
В/А
= -
+"
и
;:;:-
=
ее
=
12
А
(1
+
")
Z.
По
нонтуру
r =
а
л_
М
=
('
rr·
Z
dZ
=
8А
(1
+
v)h
3
•
-л
И
з
(VII .
19)
пайдеы:
и
,
=
о
на
Z =
о
3 (1
-v)
-'l
И
и
х
= -
--
4h
3
Е
-
г
.
3Ма'
Если
теперь
уч
сть
эффект
от
действия
".
=
16}~З
(1 +
'у)
Z2
,
ко
-
торое
не
влияет
на
аапряжепия
и U
r
,
то
получим
исномое
вы
ра
жение
для
и.,
3.
На
осповании
формулы
(1.17)
прилож
ени
я
1
можно
убедить
ся,
что
данная
функция
напряжепий
явля
ется
бигармоRи
ческоЙ.
295
Соответствующие
напряжения
равны:
'-'" ( 28
С)
е
гг
=
2Аг
-
--тз
+
-;:-
соэ
;
ее
=
(6А
Т
+
z:
+
;)
cos
е;
;:е
=
(2АТ
_
2~
+
;)
sin
е.
По
контурам
r =
а
и
r =
ла
необходимо,
чтобы
;:в
=
;:;:
=
О,
а
-
---
-
28
С
по
контурам
е
=
n/2
гг
=
ее
=
о
и
ге
=
2Аг
-
-;з
+
-;:-
.
а_
а
растяж
ение
в
струне
будет
равно
S
re.
2hdr =
-Т.
;"а
4.
ДЛII
учета
объеъmоii
силы,
имеющей
пот
енциал
V,
у
р
авнен
ия
(УН
.5
9)
изменю
тся
при
добавлен
ии
члепа
р
V
к
г';'и
00.
в
эт
ом
слу
чае
V =
gy
=
gr
ine,
а
так
как
V = 2 W
1
(YI.166),
то
мы
мо-
жем
принят
ь
W
1
=
{-g,.з
in
6.
При
рассмотр
ен
ии
решения
обобщепного
плосного
напряженного
состояния
(VI.171)
х
= ;(1 -
Р
(1
- ") W
1
,
используем
бигар
.
юническую
фушщию
~
в
виде
;(1 =
тЗ
(А
sin
f)
+
В
sin 38).
Н
.
раевое
условие
;:в
=
ее
=
о
на
контуре
е
=
±
а
прпв
дит
к
следующим
эва'!
ниям:
1 1
А
=
16
pg
{
со
ес
2
а-
2
(1
+
v)
l,
в
= -
48Pgco
ес
2
а
и
к
напряжениям
в
данной
форме
.
5.
Н
а
ос!:.овании
(VII.78)
и
(VII.79)
из
условий
и
=
О
на
конту-
ре
r =
а
и
гг.
=
-
р
на
I<оптуре
r =
Ь
получи~{
plJ3
А
= -
В
=
-Аа
3
•
41A-(kЬЗ
+
аЗ)
114. К
ГЛАВЕ
V1II
1.
еэ
учета
объемной
силы
на
основапии
(VI.
69
)
-+
Ф~
=
zcp"
(z)
+
~
'1"
(z)
или,
используя
данные
комплексные
пот
пциалы,
получим
В
~
{
;!
_ ; 1 +
~
_
~}
=
в
~
{
Zt
+
~
_ ZI
-t:
~
} .
z
z;
z;
%, Zl Z
z;
: ~
Предположим,
Р
есть
точка на
контуре
диска
и
А
(а,
О),
В
(
-
а,
О)
-
точки
п
ересечени
я
диска
с
осью
Х.
Пусть
АР
=
т
1
,
вр
=
296
= ' 2
И
РВА
=
<р,
так
что
z\
=
iг[е
i
Ф
и
Z2
=
'
2еiф.
Приведепное
выше
1.
-
вы
ражеЕJИе
для
-
""2
ф' теперь
принимает
вид:
2
~
Ве-
2
iф
( cos!p _
Sin!P)
=
О.
z
~
~
Пос
к
о
.
'JЫ\У
'[
= ' 2
Lg
<р,
на
l{OHType
+Е:У
=
<р'
(z)
+
<р'
(z)
=
=
2А
-/-
В
(_1_ - -
1-)
+
В
(
~
-
~)
=
2А
-
~
.
Соотпетст
-
Z I
Zz
Zl
z,
а
веНII
О
,
если
принять
В
=
аА,
то
;;.
=
ее
=
-;:е
=
О
на
кон
туре.
р
а
вшшая
ко
шлеКСflые
потеuциалы
с
(VII.7),
видим,
что
члены
-ВJп
z~
и
Blnz
z
в
выражениях
для
<р
(z)
и
'ф
(z)
соответственно
да
!OI
'
сосредоточенную
силу
F
в
точне
(-а,
О),
если
В
=
Р/2п,
Ана
ОГJjЧПО,
В1nz[
и
-
ВLпz
1
дают
силу
F
в
точке
(а,
О).
В
обоих
случа
ях
сила
F
действует
n
ваправл
пии
цептра
диска.
На
нонтуре
х
=
О,
~
=
'lе
i
ф
и
Zl
=
_
,\
e
-
iФ
.
Из
привед
нных
выше
выражениii
для
8'
и
ф'
в
ТОЧ1<е
(о,
у)
получа
м:
rг
=
~
{1
_
4
а
2
у
2
_
}.
па
(а2
+
y2)~
,
ее
-
~
{1 -
4а
4
} •
re
=
О.
-
па
(а
2
+
у2)2
,
2.
За
начало
НООРДl1нат
принимаем
центр
дисна,
тогда
гладная
го
РИЗОlIтальная
плоскость
будет
иметь
уравнение
у
=
-а.
И
з
рис.
99
II
(VIII.
6)
при
~
= n/2
пайд
м,
что
верхняя
сила
W
по
внешнему
нонтуру
диска
будет соответствовать
комплеНСIIЫМ
по
тенциалам
Wi Wi
<р
(z) = - 2n
10
Zl'
'Ф
(z) = - 2n
ln
Zl'
ноторы
В
'
одят
В
данпые
комплексные
потенциалы.
Да
l
lее,
из
(VIII.32)
при
~
= 3n/2
получа
м,
что
сила
W
депет
в
lOщая
вертикально
вниз,
определяется
комплексными
потенциа
лами:
Wi _
Wi
(1
+
")
.
<р
(z)
= - 2n
(1
+ k)
ln
z -
8n
10
z,
Wik
Wi
'р
(z) = 2n
(1
-/- k)
1п
z = 8n
(3
- ")
]п
z,
ноторые
также
входят
в
данные
!юмпле]{СIlые
потенциалы.
Подстав
ляя
ЭТИ
КОllшлеl<сные
потенциалы
в
(VI.71),
можно
показать,
что
;;: =
re
=
О
на
нонтуре
, =
а
и
(00)1'=4
=
(8')r
=4 = -
:а
(1
+
'11)
sin
е.
2~
д.
Е.
Р.
Годфри
297
3.
Ира
вые
условия:
на
конт
ре
8 =
cr.
nn =
-ш
COS
а,
ns =
= w
in
а;
на
ко
нту
ре
8 = -
а
,
так
к
ак
s
ПО
J
IOЖИТел
ьно
при
Н
IJ
рав-
лении
к
центру
ii1i
+
i'ii:s
=
о.
И
с
по л
ь
зу
я
( 1.72)
II
пред
стаВ
:
JЯЯ
данные
компл
екс
ные
потенци
алы, найдем:
А
=-
w
8
cos
а
ID
C
1
= -
4cos
a
2а)
С
2
=
ш(со
а
+
2asi
n
а)
2 ( '
in
2а
-
2а
с
оэ
2а)
.
Компоненты
напряжения:
;:;.
=
2А
-
2
В
8
-
С}
со
26
+
С
2
i/1
28;
е8
=
2А
-
2ве
+
С}
cos
2е
-
С!
in
28;
ге
=
В
+
С}
in
2е
+
С
2
со
2е.
4.
огласно
зада
ч
3
компоненты
напряж
вия
в
TO'U(8 (d,
О)
равны
;г
= 2 -
С
1
=
О,
00
=
2А
+
И
'
1
=-2co
а'
е
-
в
+
С
_
ша
ina
r - 2 - si n
2
а
-
2а
co
s
2а
.
Для
приближенного
р
ш
вия
напрю{,ения
на
контур
е
=
на
основании
(V
III
.1
5)
W = wd
ес а,
;;
=
ее
=--
;:е
=
О;
1
~
~
на
основании
(VI
II
. 27) G = -
т
wd2
ес
а, гг
=
ее
=
О,
е
ш
1
-с
о
2а
r = 2
со
ct . '
il1
2а
-
2а
со
.'
2а
па
ло
т
ни
;этих
двух
вы
ражений
дае
т
ве
личину
;о.
),оторая ие
0-
тла
с
у
тсл
правильной
ве
J
IИЧ:ИНОЙ,
при
этом
таЮl(е
т
ряет
ся
~
w
О
напряжение
ЕЮ
= -
-_.
днако,
в
случа
,когда
С(.
в
ел
ич'Ин
а
м
а-
2
со
ct
3w
Jlая,
оба
сдв
ига
сводятся
к
--
действителыI,.
когд
ср зываlO
-
а.
щая
с
и
ла
осредоточена,
приближенный
метод
да
т
'
ороши
l'
вуль
таты
,
тю<
как
погрешuо
сть,
ВОЗНИI
{аJO
щая
при
;этом,
не
прево
-
сх
одит
100 ( t
g
a
а
- 1)
%,
что
составля
т
лишь
6 %
ДJlЯ
ква
д
р
атного
к
л
ина
.
В
r
5. D =
--3-
(
VIII
.72).
ПеремещеR'Ие
ТОЧJШ
на
с
ф
ре,
в
I
тор
r
положе
ния
RОТ
ОРОЙ
равен
r,
равио
(о)
Х
r,
так
что
прин
и
{а
е
1
В
=
-
а
3
ro
.
И
з
уравнения
(
VIII.75)
получа
1
н"
,
а
пр
и
лож
вп
а
я
пара
равна
%98
115.
!{ r
ЛАВЕ
(Х
1.
Если
10'
-
вес
дпницы
объ
ма
песка,
то
на
радиусе
r
давле
ни
равво:
w'h
р
=
-
(а-г);
а
где
h -
высота
конуса.
ЧаСТIlое
решение
(IX.88)
w'h
( r6
аг
4
)
aD
225
-
64
•
Полное
реш
пие,
{(оторое
применимо
к
с
учаlО,
ногда
пача
о
коор
д
ина
т
есть
ТОЧ1<а
пластины,
_
w'h
{Р
2 G
г
5
ar4
}
10 - aD
г
+ +
225
-
64
•
Из
нраевого
условия
10 =
;;
=
о на
нонтуре
r =
а
найдем
П
С
f(О
МО
перемещевпе.
2.
Легко
убедиться,
что
д:шпое
перемещенпе
имеет
форму
О
~
(IХ.92)
и
что
w =
па
1<ОI1ТУ
рах
r =
а
и
г
=
Ь
.
Из
услов
ия
d;-
=
о
на
}(овтурах
г
=
а
и
r =
Ь
найдем
А
в
(4
2
_Ь
2
){а
2
-Ь
2
-In
~}=
(а
З
_Ь2)
{
а
2
-/)2
-ID~}=
2а
2
Ь
2b
Z
Ь
1
= (
а
)
2
(а
2
_
/)2)2
•
Iо
-
-
-----
Ь
I
4а
2
Ь'
- а
2
ш
3
а
щем
IЯЮЩИЙ
мом
вт
ге
=
-р
а;::г
на
нонтуре
т
=
а
припимает
вид:
(;О
)
г=
о
=
1{gh
{
1
0 а
2
-
2b
Z
+ 2AJn
т
+
4А
+
В
(3 +
~:
)
}.
На
J<ORTyp
e r =
Ь
зам
вить
А
на
В
и
а
на
Ь
.
3.
Искомы
е
l(о~шлекспыe
потенциалы
можно
записать
так:
а
и
з
«раевого
УС
J
10ВИЯ
(
IX
.62)
по
контуру
отв
РС
ТИЯ
следует
:
20*
299