Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
в
упругой
области
rPX
+
_1
!!!:...
= _ 2
drZ
г'аг
.
Таюке,
единственным
компонентом
напряжения
будет
........
ах.
ez
= -
l.I."t
(f;"
.
(Ю.20)
(
1.21)
Для
того,
чтобы
функция
х
была
ПО
J
lOжительной:,
а
таЮl~е
Д}[Я:
того,
чтобы
удовлетпорялось
краевое
условие
Х
=
О
на
(<онтуре
г
=
Ь,
в
пластической
области
примем
k
Х
=
f.1't
(Ь
-
г).
(
..
1.
22)
В
упругой
области
общее
решение
уравнения
(Х
1
.20)
будет
иметь
вид:
где
А
J1
В
-
провзвольны
е
постоянные.
Соответсl'ВУЮЩ
этому
решению
l<асаl'ельно
напряжение
па
основааии
(XI.
20)
е;
= -
fJ't
(
~
-
г
)
.
Для
того,
чтобы
lli
оставалось
конечны
1
при
уменьшении
радиуса
а,
а
вы
сте
с
ним
и
",
должны
принять
В
=
О.
6z'
=
f.L'tr
.
( 'r
.24)
Так
как
~
= k
по
в
сей
пластиqеской
области,
то
непрерывность
напряжения
по
упруго
-
пластич
'сиом
'(ОНТУРУ
требует
,
чтобы
I{руl'ЯЩИЙ
момент
k
R
=-.
f.1't
........
R
Ь
N =
.r
(rez)
dS
=
.r
f.L'tl'2лг
2
dг
+ J k2nr
2
dr,
s
а
R
а
используя
(XI
.25)
N =
-
nkЬ
З
1 - - - -
-
nf.L'tа
l
.
2 { 1 ( k
)З}
1
3 4
bf.1't'
2
(X
I.
25)
( 1
.2
6)
При
дальнейшем
увеличении
N
псе
I{ольцево
е
сечоние
цилиндра
может
перей
ти
в
ПJlастич
ес
кое
состояпие
при
k =
f.L-са.
Следова
те
IbHO
N = N** =
~
nk(b
3
-
аЗ)
.
( 1
.2
7)
Таким
образом,
если
крутящий.
момен
т
лежит
в
пр
еде.пах
N * < N < N **,
уравн
е
ни
е
(
XI.26)
припо
д
ит
I~
ураВI1
Ш1Ю
ч
тв
е
ртой
степени
относительно
"с
,
а
ра
диус
у
пруго
-
плаСТlIчеСI<ОI
'
О
t\оптура
240
определяется
из
(XI.25).
Случай
для
сплошного
цилиндра
ПОJlУЧИМ,
положив
а
=
О,
что
упрощает
задачу
.
В
рассмотренном
решении
постоянная
А,
входящая
в
(XI.23),
но
была
определuа,
ее
значение
может
быть
выбрано
таким,
чтобы
выполняласъ
непрерывность
величины
'Х
по упруго-пластичес-
k ( i
k)
кому
нонтуру.
Для
этого
необходимо,
чтобы
А
=
~
ь
-
2""
IJ
:r •
ля
определения
N
можно
воспользоваться
также
формулой
(IV.20).
Прямое
решение
задач
на
упруго-пластическое
кручение
для
других
контуров
сопряжено
со
значительныъш
математичеСI<ИМИ
трудностями,
Tar,
что
другие случаи
не
будут
рассматриваться.
СОI<ОЛ
ОВСI{ЛМ
'"
был
преДJlожен
обратный
метод,
в
котором
упруго
пластический
контур
задается
и
на
его
основании
ОТЫCl<ивается
ПО
ДХОД
llщее
напряженное
состояние
в
пластической
области.
Этот
,е
тод
имеет
ограничепное
прпм
нение.
Б.
Аналогия
Падав
с
песчаной
[(учей
**
Мы
показали,ЧТО
сли
Х
(х,
у)
есть
функция
напряжениii
в
пластичеСI{ОЙ
области,
то
Z =
f.t"C'X
(х,
у)
будет
поверхностью
с
ПОСТОЮIНЫ
r
ма){спмальным
уклоном.
В
случае
сплошного
кру
гового
цилилдра
радиуса
Ь
поверхнос
ть
будет
определяться
уравнением
(XI.
22)
и
примет
форму
ПрЯМОl'О
кругового
I{OHyca
с
основанием,
лежащuм
n
ПJJОСКОСТИ
kb/f.t't
(рис.
130).
ЛИНИЯl\IИ
l{асательныx
напряже
ний
будут
нонтуры
сечений
плоскостями
Z =
соп
t,
сuроентированпые
на
ПЛОСI<ОСТЬ
хОу.
Вследствие
ПОСТОJШного
уклона
пов
РХ
ности
линии
касат
льных
напряжений
при
любой
форме
внешнего
контура
будут
семей
z
Рис.
130.
у
ством
параллельпых
кривых.
Поэто
1У
рис.
130
представляет
пол
ностыо
пластическое
напряженно
е
состояние (практически
всегда
имеется
упругое
ядро)
для
I<PYГOBOrO
сечения.
Если
мелкий
песок
насыпат
.
ь
на
ПЛОСJ{УlO
пластину
формы
поперечного
сечения,
то
куча
пеСJса
примет
форму
поверхности
с
постоянным
максимальным
УJtЛоном.
Это
дает
возможность
представить
полностыо
пластичес
ное
напряженное
состояние
при
нручении
для
любой
формы
поп
-
речного
сечения.
В
случае,
ногда
часть
сечения
все
еще
упругая,
можно
I<омбинировать
метод
аналогии
с
мембраной
(см.
38.
Методы
аналогий)
с
рассматриваемой
аналогией.
Так
как
напряженное
со
стояние
в
пластичесной
области
определяется
нонтуром
и
постоян-
•
В.
В.
С
о
к
о
л
о в
с
R
и
й.
Об
одной
задаче
упруго-п.ааСТИ"IеСRОГО
крученля;
сПрикладоал
матемаТlша
и
мехаПИ1talt,
Т.
6,
сТр.
241, 1942 .
••
А.
а
d
а
i, Z. f. ang.
Math.
u.
Mech.,
vol.
3,
р.
442 (1923).
16
д.
Е.
Р.
гоJl.ФРU
241
8ЫМ
уклоном
k,
то
соответствуroщая
(юверхность
Z =
f.L'tX
(х,
у)
име
т
тот
же
ВИ
Д,
неЗI\ВИСИМО
от
того
наХОДИТСfl
часть
ЧОВИR
в
у
пругом
состоянии
или
нст.
Поэтому
будсм
с'штать,
что тело
с
та
"ой
поверхностью
является
полым
над
сечением.
Если
т
перь
с
ч
ни
перекрыть
м
мбраной
и
подвергнуть
нарастаroЩI:JМУ
нор
малытому
давлению,
то
спача
а
на
н
го
не
будет
оказывать
вли
яния
1Т0BepXHOcTT>
с
по
ТОЯllНьrм
УКЛОll
М,
т.
.
пока
сечение
бу
ет
упр
гим
.
да
Iьн
ейшим
увелпч
ни
м
да
вл
ения
ун
он
м
мбр
в:ы
на
контуре
в
одной
или
нескольких
точках
станет
равным
k,
и
таI<ИМ
образом
ме~Jбрана
ставет
I\асательной
к
наложеН1l0Й
поверх
по
ти.
По
зже
возппкпут
площадни
касания,
по
.которым
мембр
ана
сама
стан
т
поверхностьro
с
постоянным
клоном.
В
этом
положе
нии
часть
мембраны,
которая
не
иuход1tТСЯ
n
нонтакте
с
поверх
ностью,
будет
соответствовать
упругой
части
с
ч
ния.
МОН
но
делать
поверхность
прозрачной
ДШI
демонстращГй
пластического
состояния
и
измерять
УЮLOны
мембраны
с
тем,
чтобы
получить
сведения
об
упругом
состоянии.
llIoy *
показа
J
что
эта
аналогия
может
быть использована вм
ес
те
с
релаксационным
'
методом
аусвелла,
и
прим
нил
е
к
пусто
те
лому
ва
лу
прямоугольного
сечения.
90.
ОСТАТОЧНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
в
предыдущих
параграфах
рассматриваЮ1С[>
балка,
нагруженная
различными
способами,
ПРИUОДI'IВПlJ:lМИ
к
образоuаuИlО
пластичес
юrх
областей,
в
которых
деформации
были
чаСТИ'lUО
упругими,
а
частично
пластичеСI{ИМИ.
При
удал
IiИl1
нагрузни
баJ\ка
не
воз
вращается
в
свое
первоначалыroе
венапряж
нпое
с
стоя
ки
е
-
по
вей
распр
дел
я
ется
не!
ото
рое
напряж
ни
•
которое
ИilЗЫВёi
ется
остаточным.
Для
того,
чтобы
выяснить,
I\ак
ИЗМ
ня
тся
напря
женное
состояние
Прll
разгружении,
рассмотрим
идеаJIизированно
состояние,
ког
да
липия
CD
(см.
рис.
122,
б)
паралл
льна
ОА
,
Т. е.
нзм
н
ни
напряжения
при
разгрущ
ПИИ
им
ет
'ТИсто
упругий
характер
и
зависит
от
тех
же
упругих
постоянных,
что
и
при
перво
начальном
нагруженип
.
На
основании
атого
найдем
остато'шое
напряжение
для
случая
чистого
изгиба
баЛJ(И
прямоугольноl'О
се
чеliИЯ,
а
таЮI<е
дл
я
случая
кр
учен
ия
КРУГЛОЙ
ба
I(Н.
А.
ЧиСТЫЙ
изгиб
Обращаясь
к
рис.
128,
найдем,
что
напряжения
в
упругой
и
плас
тической
зонах:
242
-
11
хх
=
У
t
)
(xr
.
28)
• F. . S h
а
w,
Australiaв
Council
for
Aeronautics
,
АСА
-Н
(1
944).
так
что
изгибающий
мом
ент
составит
М
= 2hY
(Ь
2
- + t
2
)
•
Для
получеRПЯ
остаточного
напряжения
необходимо
вычесть
упругое
рет
ПИ
'
;;
=
~Y
из
обеих
зон,
тан
что
результирующий
момент
по
[(онц
пому
сечению
будет
равен
пулю.
Таки
t
образом
,
с
учетом
1 =
+'~b:'
ПОЛУ<IИМ
CTaTO'IВ
напряжение:
(' 1.
29)
у
3
У
( 1 t
Z
)
хх
=
Y - t
--2b
1
-з
Ь2
У
........
3
У
1
t~)
xx =
Y-
--'
1 -
--
у
2
Ь
\ 3
Ь
2
Наcrряжеви
по
DП
ШН
му
ВО.
Т
I01\ПУ
У
=
ь
составит
(?х)у
=
ь
=
у
(
t"
)
= - 2'" 1 -
ь;
и
буд
'Т
110
сво
му
характеру
сжимающим,
при
1
ваlIбольш
м
численно
1
значении,
равном
тУ,
когда
баЛl\а
стано
-
вится
полностыо
Ш
l
аСТ
IIЧ
ской
при
t =
О
и
М
=
2hYb
2
•
П
оэтому,
'СЛИ
изгибающий
момент
вновь
ПРИЛОiКить
тем
ще
способом,
то
D.11аСТИЧССI,ая
дефор
lация
н
наст
пит
до
тех
пор,
по({а
момент
не
став
т
б6ЛЫllИМ
ыом
пта
ОРИ
первоначаЛЬВОI\I
нагружекип,
и
в
этом
отношении
баЛl\а
станет
прочне
.
В
случае,
,\огда
мате
р
и
ал
облада
т
в
истоамн
ваl\лепа,
:>1'01'
ффеl\Т
еще
больше.
Возможно
таюr,с
графП'1ески
проиллюстрировать
остаточное
напрящевие.
На
рис.
131
напряжение;;
верхн
й
части
О
.<
у
-<
ь
D
частично
пластиrr
с({ом
остоянии
ПОК8З3ВО
шаисй
0.48.
Упругое
наuряж
ние,
иоторое
хх
I1счеза т
при
удалевии
нагрузки,
соотв
т
ствует
JInНИИ
оп
И
ДОЛЖRО
выбираться
та
НИМ
образом,
чтобы
первыс
мом
нты
фигуры
ОА
8С
и
тр
гольпп}(а
опс
отвоситеJlЬНО
оси
;;
был!'
равными.
Вычитая,
ООЛУЧlYМ
ста
точ.вое
вапряж
аи
•
uредставленное
зашт
ри
хованной
площадью.
r
ривизна
разгружеп
пой
баJ1КИ
равна
у
(1
-
,,2)
J 1 _
~
(1 __ 1
~)}
Et l
2
Ь
3 . (.2 •
Б.
I
руч
е
пие
у
Ри
с.
131
Р
ассмотрим
случай
сплошного
круглого
ва
ла
радиуса
Ь,
СК
РУ
чива
мого
парой
с
моментом
N
(>
N*),
та
к
что
радиус
ynруго-пла
с
ТJ
i
lчес/{ого
контура
равен
R.
Касательное
напряжен
ие
буде
т:
t6*
243
при
е?
=
f..I.'tT;
при
R
~
T<'Ь
e?=k,
а
момент,
н
основании
(XI.26)
Bz
r
Рис.
132.
N = ;
nkb
3
{1
- ;
}.
(ХI.
30)
При
удалении
наГРУЗI<И
напрлжсв.и
умень
шается
на
веJIИЧИНУ
УI1РУГОГО
касательного
напряжения
~
=
f..I.'('r,
где
в
личина
-r'
дол
жна
опредеЛЯТЬСII
Tal\,
чтобы
момент,
соот
ветствующий
этому
напряж
нию,
действуIO-
щему
по
всему
поперечному
с
'1е1l.11IО,
также
был
равен
N.
Таrшм
образом
ь
N = S
~t't'r
.
21tr
2
dr = +nf..l.'t'b
4
•
о
ПрираВНЯD
:>1'0
выражение
'{
(ХI.З0),
подучи
I
требуе
{ую
велпrnmy
f..I.'t'b
=
~
k
{1-
+ ( :
)З}.
(ХI.31)
Тогда
остаточное
насателыlеe
палряжение
будет
и
,еть
вид:
при
0<.
r
<.
R
е?
=
f..I.
('t
- '(')
г;
)
(ХI.32)
прп
R<.r<.b
8z=k-f..I.'t'г.
На
г
=
Ь
(8z)r=b
= " -
f..I.T'b
= -
~
k
{1
- (
~
n .
Отнуда
видно,
что
это
напряжение
обратно
по
зпаr<у
напряжения,
возникающему
при
нагружении.
Для
лолв.остыо
шrаСТJlческог
о
се'Iев'Пя
при
R =
О
ПОЛУЧИМ
.........
1
(6Z)r
=b =
-"""3
k.
На
рис.
132
I<асательное
напряжение
под
действием
первонаtraль
ного
м
омонта
N
п
р
едстаВ.'Iено
в
виде
линии
ОАВ,
а
упругое
иаса
тельное
нап
р
яжение,
исчезнувшее
после
разгрузrш
-
линией
OD.
Высота
CD
теперь
определится
из
условия
равенства
вторых
Щ
)-
м
ентов
трапеции
ОАВС
и
треугольнина
ODC
относительно
оси
эz
.
O
CTaTO'IHOe
напряжеНllе
ПОI<азано
в
виде
заштрихованной
площади
.
r
.л.
а
8
а
XII.
плоек
я
ЗАДАЧА
ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
9j.
П
ЛО
КОЕ
НАПРЯЖЕННОЕ
СОСТ
ОЯНИЕ
И
ПЛОСI\АЯ
ДЕФОРМАЦИЯ
в
условиях
плоского
напряженного
состояния
в
ПЛОСКОСТИ
хОу
(СМ.
8.
Плоское
напряженное
состояние)
два
главных
напряж
еюm
опр
еделяются
уравuением
(1.30),
а
третье
-
равно
НУЛЮ.
Таким
1
обра
зом
s = 3
,а
главные
номпоненты
девиатора
напрnжепия
Р
'
=
i- е
+ +l
ф
l
;
Q'
=
+в
-
+IФ
I
;
R'=
-
+8
.
(ХН
.
1)
В
выражеНИJI
через
двумерные
инварианты
усл
овие
Мизеса
(Х.27)
примет
вид
62
+ 31
ф
12 = 12k"2 =
4У2
(см.
формулу
Х
.
34),
(ХII.2)
а ч
е
рез
начаJIьные
)шмпопенты
напряжения
(
'
П
.
3)
с
л
овие
Тр
сна
не
выражается
таи
легио
одним
уравнением
в
этом
случае,
таи
нан
глаВl:lые
)(асательные
напряжения
равны
1 1 1
тl
ф
l
;
т
(8
+
IФ
I
);
т(8-l
ф
l)
·
ледов
ат
ельпо,
наибольшее
по
величине
из
этих
напряж
пий
1
должно
быть
ПРИНН
Т
О
равным
k'
или
"2
У.
Условие
текучести
для
плоской
дефо рмации,
при
МОТОРОЙ
e
zz
=
=
О,
{ожет
быть
получено
в
случае
полностыо
пластического
состояния
или
при
жеСТJ<о-пластических
условиях.
Из
третьего
уравнения
(Х.43)
видно,
что
при
этом
.-..
1---
--- 1
zz =
т
(хх
+
уу)
=
т
(ХII.
4)
t
СледователbUО
на
ОСRоваюш
(Х.3)
s =
"28.
Таким
образом, если
снов
а
положим
~
=
yz
=
о (как
и
при
упругом
состоянии),
то
главные
){омповенты
девиато
ра
вапряже
'
ния
составят:
р'
= + I
ф
1;
Q'
= - + I
ф
1;
R'
=
О
.
(ХН.5)
Условие
текучести
Мизеса
теперь
может
быть
заlJпсапо
11
виде
а
условие
Треска
IФI
= 2k
N
,
}
IФI
=
2k'.
(Х
II
.
6)
Запишем
эти
уравнения
в
форме
IФI
= 2k,
(Х
Н.7)
где
k
принимает
значения
k'
или
J(.
ЕС
J
IИ
не
можем
пренебречь
упругой
частью
полной
деформации
в
п
lастической
области,
то
результаты,
полученные
с
помощью
t
(Х
II
.6),
будут
приближенными,
если'V
=
'2
'
в
том
случае,
когда
и
з
(Х.4З)
следует,
что
компонент
€
..
точно
рав
u
нулю.
92.
РАСШИРЕНИЕ
ТОЛСТО
ТЕННОГО
ЦИЛИНДРА
Рассмотрим
полый ци
ли
ндр
с
внешним
и
внутренним
радиусами
а
и
Ь
(рис.
133),
который
подвергается
постоянно
нарастающему
внутреннему
давлению
р, а
по
концам
жестко
заliр
пленНh1Й,
так
что
€zz
=
О.
Реше
ние
для
плоско
деформиру
мой
трубы
n
упругом
Ри
с
.
133.
состоянии
(см.
53.
Решения
для
областей
с
круг
ЛЫМИ
контурами)
будет:
(ХН.
)
~
2vpa
2
zz
=
Ь~
_
а
2
Так
как
1
ф'
1=
1
-;:;
-
ее
+
2i-;:8
1 = I
ф
1,
то
поскольку
ее
>
7r
ус
л
ОRие
текучести
(ХII.9)
ТаКlIМ
образом
пластиqеское
кольцо
начнет
n
ремещаться
от
вн
ут
реннего
J<oHTypa
к
внешuему,
когда
р
достигнет
в
личины
р*
k
р*
= v
(Ь
2
-
а
2
).
(ХП.10
)
Сейчас
рассмотрим
распределение
напряжений,
'<огда
ynруго
пластич
ский
контур
достигает
радиуса
R.
Вследствие
осевой
СЮI
метрии,
уравнение
равновесия
n
пластичесJ<ОЙ:
или
упругой
об
ласти
на
основании
(УII.12)
прим
т
ВИД
246
drr
ее
-;;:
(fГ
=
--
г-
(Xll
.1i)
Отltу
да
,
интегрируя,
получим
из
(
ХIl.9)
и
(ХПА)
в
упругой
области:
гг
=
2k
1п
r +
А,
ее
=
2k(1
+
lnr)
+
А,
; = k(1 +
2111
г)
+
А.
~
с
гг
=
в
--
о
г
2
t
~
с
88
=
В
+
-"
о
г-
)
(ХlI.12)
(ХII.13)
(Х
II
.14)
(Х
II.1
5)
ДЛI1
определения
постоявных
.
А,
В
и
С.
а
тю,же
радиуса
R
ynру
го
-
пласти'!еского
контура
имеем
следующие
условия:
~
гг
=
-р
на
контуре
r =
а;
........
аапрmlР[пtе
,.,
н
е
прерывво
на
контуре
r =
R;
--;:;.
=
о
на
контуре
r =
Ь.
Отсюда
находим:
дл
я
плаСТИ'lеСI{ОЙ
области
а
< r <
В.
~
г
гг
= -
р
+
2k
ln
-;;-;
ее
= -
р
+
2"
(1 +
10
-.;-);
; = -
р
+ k t 1 +
2/11
-;-);
для упругой
области
R < r
-<
Ь
~ =
k
~
2
(1-
~);
~
RZ
(
I?)
88
=
k/Т
1 + 7 . ;
I
}
2kvR'J
ZZ =
--
b~-
о
(Х
Il
.
16)
(Х
II
.17)
Радиус
уп
ру
го
-
пластичес
кого
контура
в
выражении
чере
з
дав
ле пи
е
вадаетсн
следуIOЩИМ ура
вн
е
нием
R
р
R2
1 +
21n
-
a
-
=
т
+
То
(ХН.1
)
247
Величину
р
для полностыо
пластичесного
1<ольца
получим,
при
равняв
R =
Ь
ь
р
=
р**
=
2k
ln
- .
а
(ХII.19)
ПЛОС1<одеформируемый
толстостенный
цилиндр
под
действием
ВНУТ
реннего
давления
р,
а
таиже
значения
R
для различных
отношений
Радиус
УПРI/i?О
-
flIIосmиllеско
tJ
границы
2.
0
/;
/
0=3-
1.
5
г---
~
~-----~----------~
Ь/
о
=2
Р/К
O
.
~--
--~--
__
~
____
~
__
~
1.0
2,
0
,5
3
,0
11
/0
Рис.
134.
дпаметров
внутреннего
и
внешнего
J<OHTypOD
и
внутрен
них
давлений
ПО1<азавы
на
рис.
134,
причем
напряже
ния получены
по
формул
м
(ХН.
16)
и
(ХН.17).
Это
решение
является
при
ближенным,
J<огда
отпошсиИ,е
1
Пуассона'\l
=1=
2 '
так
КaI(
kR2
функция
V
(1
-
2~)
не
ЯВ-
ляется
непрерывной
для
на
пряжения
;;:
Более
точно
реш
ние
было
получено
*.
когда
относительно
в
личины
'\l
не
делалось
НИКaIШХ
ого
BOpOJ(.
Из
уравнений
(1.8)
,....
видно,
что
zz
является
про
межуточной
величиной
между;';'
и
ее.
Поэтому
условие
теl{учести
(ХН
.9)
можно
рассматривать
нан
условие
Тр
ска
,
если
вместо
k
принять
k'.
Это
помогает
находить
численные
решения
уравпе-
ний,
)юторые
обесп
'IИвают
непрерывность
-;
на
J(oHType r =
Л.
Полученные
результаты
ПОI,азываJOТ,
что
приведенное
на
m
пr
щ
-
ближенное
решеНJJе
имеет
важное
значение
для
инжснерв:ы..'Х
ПРН
ложеlШЙ.
93.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ
ПОЛОСТЬ
ПОД
ДЕЙСТВИЕМ
СИМ~ШТРИЧНОИ
НАГРУЗКИ
'
КЗI"
частный
случай
излож
енной
вьппе
теории,
рассмотрим
сво
бодное
от
напряжений
цилиндрическое
отверстие
внутри
большого
тела,
находящегося
под
действием
всестороннего
растяжения
Т.
Напряж
нил
в
пластической
области
на
основании
(Х
II.16
)
будут
•
R.
Н
i 11,
Е.
Н
.
L
е
е,
.
J.
Т
u
Р
Р
е
r,
М.
of
Б.
Armament
Rез.
Dept,. Theoretical Research Report,
11
/
46
.
248
иметь
вид:
~
r
гг
=
2kln
- ;
а
)
(ХII.20)
ее
= 2k (1 +
In7)'
В
упругой
области
из
(ХII.15):
rr
=
T-k
~2;
]
~
Л
~
ее
=
Т
+
k-
2
-,
r
(ХII
.
21)
где
радиус
упруго
-
пластпчеСI\ОГО
контура
R
находится
из
уравне
ния
R
Т
1 +
21n
-=-
а
k '
(ХII.22)
которое
является
уравнением
кривой
р
=
о
(рис.
137).
В
этой
задаче
также
можно
получить
решение
для
плоского
на-
пряженного
состояния,
при
котором
~
=
О,
так
J,aK
ПОСJ\ОЛЬКУ
00
>
;:;:
>
О,
условие
текучести
Треска
принимает
вид
ОО
=
у.
Интегрируем
уравнение
равновесия
(ХII.11)
и
так
нан;;
=
о
при
r =
а
для
пластич:есной
зоны
получим
(ХII
.2
3)
Испол
.
ъзуя
(ХII.15)
дЛЯ
упругого
напряженного
состояния:
~
аУЛ
ГГ
=
Т-
2;2;
)
(ХII.24)
Для
того,
чтобы
напряжения
были
н
епре
рывными
по
упруго
плас
тическ
ому
нонт
ру,
его
радиус
должен
быть
равен
аУ
R =
2(У
_
Т)'
(ХП.25)
Как
и
С1lедует
О>ЮIДать
при
Т
= У
те1l0
становится
лолностыо
пластическим.
Таное
р
m
вие
для
плоского
напряжения
можно
применить
к
пластине
под
действием
всестороннего
растяжеlЛJЯ
.
249