Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
r
л а
в
а
Х.
ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОСТИ
8t.
ВВЕДЕНИЕ
Краткое
описание
механических
свойств
типичных
металлов,
находящихся
под
действием
одноосных
растягивающих
сил,
было
привед
ен
о
ранее
(см.
20.
3ависимость
между
напрюкеиияr.m
и
де
формацией).
Хотя
пропорциональность
напряжения
и
деформации
хо
рошо
представляет
упругое
свойство
большиnства
металлов
в
этом
случае,
но
пос
ле
ДОСТЮI<ения
предела
пропорциопальностп
различные
металлы
ведут себя
по-разному
в
зависимости
от
их
физических
свойств.
Поэтому
аналитически
описать
их
поведение
после
предела
упругости
не
представля
ется
возможным,
тем
более
с
помощью
линейной
зависимости.
Вследствие
этого
непостоян
ства
в
обходимо
идеализировать
поведение
металлов
за
пределами
упругости
с
тем,
чтобы
иметь
возможность
построить
теорию.
На
рис.
122,
а
упругая
часть
диаграммы
доходат
до
четко
выра
женпого
предела
текучести
в
точке
В,
который
совпадает
с
преде
лом
пропорциональности,
а
область
пластичности
представлена
прямой
линией
BF,
в
которой
в
соответствии
с
е
НaJШОНОМ
учтен
наклеп
(упрочнение).
В
некоторых
случаях
большая
точность
достигается,
если
представить
область
пластичности
в
вид
е
пря
мых
отре31<ОВ
"'.
Если
образец
разгрузить
в
точке
С, то
будет
иметь
место
остаточная
деформация
OD,
которую
также
называют
плас
тической
деформацией
и
обозначают
как
8~1>'
Исчезнувшая
после
сняти
я
нагрузки
часть
деформации
DN
называется
упругой
8~p.
Поэтому
полная
деф
ормация
81>1>
в
пластической
области
является
суммой
упругой
и
пластичеСRОЙ
ее
частей.
Следовательно,
е
рр
=
e~p
+
e~p.
(Х.1)
Эффект
наилепа
слабо
по
ддаетс
я
теоретическому
обобщению
**,
так
что
область
его
применения
весьма
ограничена,
поэтому
при
изучении
пластичности
мы
будем
полагать,
что
зависиr.юсть
между
напряжением
и
деформацией
такая
,
}(ак
на
рис.
122,
т. е.
наlш
еп
не
имеет
места.
Линия
AF
параллельна
оси
деформаций
,
так
что
.......
при
достижении
напрюкения
РРО
наступает
явление
пластичпой
теRучести
при
постоянном
напряжении.
Материал,
который
ведет
себя
таJ{ИМ
образом,
называется
идеально
пластичным
*"'*.
•
Р.
н
о
d g
е,
J.
Арр.
МесЬ.,
1953,
р.
530 .
••
R.
Н
i 11,
Рlа
ticity
(OxIord) .
•••
Р
r
а
g
е
r and
Н
о
d g
в,
Theory
01
Perfectly
Рlа
tic
Sоlidз
(Wiley).
220
Иногда
упругая
часть
полной
деформации
очень
мала
и
ею
можно
пренебречь.
Это
соответствует
бесконечному
значению
модуля
Юнга,
а
такое
состояние
будем
называть
жестко
пластичным.
Ясно,
что
при
такой
идеализированной
картине
зависимости
напряжений
и
деформаций
точка
текучести
А
представляет
особую
важность,
и
виж
рассмотрим
различные
формулы,
которые
были
а
б
Рис.
1
22
.
t
PP
:L
д
Ер,
пр
едложе
ны
для
ее
определения
для
общего
случая
напряженно
го
состояния.
В
неиоторых
задачах,
когда
пластические
деформации
велики,
ВО8нииает
необходимость
определять
компоненты
деформации.
Например,
относительное
удлинение
должно
определяться
с
уче
том
текущей
длины
элемента
при
соответствующем
моменте
на
гружения.
В
случае
малых
деформаций
на
упругом
и
nластичес
"ом
учаСТИ8Х
достаточно
пользоваться
формул
а
fИ,
прив
еденны
fИ
в
12.
Деформации
плоского
элемента.
2.
ДЕВИА
ТОРЫ
НАПРЯЖЕНИй
И
ДЕФОРМАЦИй
Экспериментально
можно
показать,
что
гидростатичеСJ{ое
сжа
ти
(растяжение)
пе
производит
заметных
пластических
де
форма
ций,
а
также
пе
оказывает
влияния
на
условия
текучести.
Поэтому
ОТд'
лим
всестороннее
растяжепие,
называемое
гидростатическим
компонентом,
от
общего
напряжения.
Пусть компоненты
(см.
рис.
2)
хх
=
уу
=
zz
= s
задают
напряженное
состояние
в
точке
Р.
Следовательно
R%
= si, R
lI
= sj,
R
~
= sk,
а
ив
(1.9)
R
p
= (li + m) + nk) s =
"р.
(Х.2)
Таким
образом
в
любой
TO'lКe
Р
напряжение
(Х.2)
явля
тс
я
нормальным
напряжением,
илп
гидростатическим
сжатием
при
221
отрицательном
значении
s,
поэтому,
используя
(1
.39),
можем
на
писать
1"""'"
.........
.......
1
8 =
т(хх
+
УУ
+
zz)
=
з'J
1
•
(Х.З)
1
В
общем
напряжеввом
состоянии
величина
3~1'
является
гидро-
статическим
компонентом
и,
вычтя
ее
из
даввого
напряженног
о
сост
ояния,
получим
девиатор
напряжения,
нормальные
компон
е
нт
ы
которого
составляют
~'
=~-
s
,
..................
~
уу'
=
УУ
-s,
zz' =
ZZ
-8,
(Х.4)
а
касательные
остаются
неизменньнm.
Легко
видеть,
что
?Х'
+
и/
+
и'
=
?х
+
уу
+
и
-
3s
=
О.
(Х.5)
Так
как
изменились
только
нор1tlальные
компоненты,
направ
ления
главных
компонентов
девиатора
напряжений
будут
теми
же,
что
и
для
начального
напряжеввого
состояния,
а
их
величи
ны
Р',
Q'.
R'
будут
равны
или
Р'
=
Р
-
S,
Q'
= Q -
s,
R'
= R -
8,
Р'
~
+
(2Р
- Q - R) 1
Q'
=
+(2Q-P
- R) }
R'
~+(2R-P-Q)
I
(Х.б)
(
Х.7)
Следуя
теории
(см.
9.
Инварианты
напряжений)
получим
инва
рианты
для
девиатора
напряжений:
J~
=
?х'
+
уу'
+
?z';
J~
=
?у'2
+
yz'2
+
~'2
-?х'
.
уу'
-
уу'
.
?z'
-?х'
.
и'
I
?х'
?у'
?Z'
:J~
=
?у'
уу'
..-...
yz'
?z'
Yi'
;t
t
I
(Х.В)
222
ПО
аналогии
с
(1
.
40)
с
помощью
простых
алгебраических
преобра
зованиk:
J~
=
Р'
+
Q'
+
R'
=
О
;
'J~
= _
(Q'
R'
+
R'
Р'
+
Р'
Q')
= +
(Р'2
+
Q'2
+
R'2);
IJ
~
= P'Q'
R'
= +
(Р'З
+
Q'З
+
R'
З
).
I
(Х.9
)
Используя
соотношения
(Х
.
6):
J~
= J
2
+ 2sJ
1
-
3s2
= J
2
+
+'J~;
J~
= J
з
+
sJ
2 + s2J 1 -
sЗ
= J
з
+ + J J 2 +
;7
J~
.
J
(Х.10
)
Приведеиный
подход
к
девиатору
вапрлжепий
может
быть
рас
простран
н и
на
компоненты
деформации.
В
соответствии
с
этим
опр
ед
елим
среднюю
нормальную
деформацию
1 1
8 =
3"
(е",
%
+
81/11
+
8
и
)
=
з6,
(Х
.
Н
)
JI
затем
-
ко?шоненты
девиатора
деформации
8'
= 8 - 8 8' =
г
-
е
8'
= 8
--
8
"'х
"'х
'
У
1/
У1/
'и
и
'
(Х
.
12
)
г
д
е
поперечные
деформации
остались
неизменвы:м:в.
Инварианты
девиатора
деформации
пол
у
чим
в
следующем
виде:
I~
=
8~",
+
8
~1/
+
e
~
=
О;
)
,
,
8",
,,,
8"'1/
8",%
(Х.1
3)
I
~
=
,
, ,
8"'11
8
1111
8
у
:
,
8.и
8
у:
8
и
Ta
r(
как
главные
направления
напряжения
и
деформации
совпа
дают
для
и
з
отропных
материалов
(см
.
16.
Главные
дефОР?fации
и
инварианты),
то
главные
компоненты
деформации
81' 82'
8
а
в
пре
делах
упругости
в
выражении
чере
з
главные
компоненты напря
жений
на
основании
соотношений
(П
.34)
получим
в
виде:
Е8
1
=
(1
+
,,)
Р
-
"J
1
;
)
Е8
2
=
(1
+
,,)Q
-
vJ
1
;
Ее,
=
(1
+
v)R
-
vJ
1
.
(Х
.
14
)
223
Используя
эти
уравнения,
выразим
иввариавты
деформаЦИ11
через
инварианты
напряжения:
E2I
?,
=
(1
+
V)2
J
2
+ V
(2
- v) Ji;
(Х.15)
EI
1
=(1-2v)J
1
; )
ЕЗl
з
=
(1
+
v)з
J
з
+ v
(1
+
V)2
J
1
J
2
+
vSJ~.
Интерес
представляет
использование
полученных
инвариантов
для
комню,тной
записи
плотности
энергии
W.
Из
(II.27)
W = +
(л
+
2fL)
I~
+ 2fLI
2
=
fJ.1(~-;;)
I~
+ 2fLI
2
,
(Х.16)
а в
выражении
через
инварианты
напряжения
найдем
после
неко
торых
упрощений,
что
J2
2fLW = 2(1
~V)
+ J
2
•
(Х.17)
Так
как
из
(Х.10)
J
2
=
J~
-
+J~
=
J~
-
&!,
ТО
W =
3(1-
2")
s2
+
_1_
J
'
2Е
2\-1
2'
(Х.18)
Первый
член
правой
части
этого
уравнения
представляет
собой
энергию
деформации
на
единицу
объема,
соответствующую
гидро
статическому
компонеuту
напряженного
состояния,
заданного
урав
нение
f
(Х.2).
ДЛЯ
того,
чтобы
доказать
это,
воспользуемся
соот
ношениями
(1.39).
Откуда
J
1
=
&,
J
2
= -
&2
.
Таким
образом
энергия
деформации
W
п
на
основании
(Х
.
17)
будет
иметь
вид:
9s
З
2fLW
П
=
2(1+")
-3s
2
,
Откуда,
используя
(Х.11)
и
то,
что
б
=
3(1
- 2v)s/E,
W _
3з
2
(1
- 2,,) _ 1
б
_
~
н
-
2Е
-
2"
s - 2
se.
Уравнение
(Х.18)
теперь
примет
вид
.(2
-=W-W
H
2fJ.
'
(Х.19)
(Х.20)
и,
следовательно,
правая
часть
этого
выражения
представляет
собой
энергию
деформации
на
единицу
объема,
соответствующую
де.виатору
напряжения.
224
Заметим,
что
в
общем
случае
нельзя,
вычитая
напряженные
со
сто
лния,
вычитать
энергии
деформаций,
.
которые
им
соответству
ют,
но
зд съ
эт
о
можно
делать.
Прежде
всего
необходимо
ПОl{авать,
что
КО
l
\шоненты
деформации,
ВОЗfШI<аlOщие
всл
д
ствие
девиатора
напряжения
,
являются
"омпо
нентами
Д
виатора
Д
формации.
Пусть
8;р
есть
удлинеllие,
соответ
ст
вующ
ее
де.
виатору
напряжения,
тогда
из
(II.34)
Е8;р
=
(1
+ v)
рр'
- v ' =
(1
+ v)
рр'
,
где
' =
;2
+
ii/
+ 2 =
о
.
На
основании
(Х.4)
&;р
= (1 + v)
рр
-
(1
+ v) s =
Е8
рр
+ V -
(1
+ v)
S,
8
та
l{
н
а н
=
3s
и
учитывая
(Х
.
12),
полу'IИМ
*
(1
-
2v)
s •
8
р
р
=
8
рр
-
-
Е
-
=
8
рр
- 8 =
8
рр
•
За
пишем
ф
ут
циro
энергии
деформации
W (II.28)
в
виде
2W
=
~I::xx
+
УУ8
УIJ
+
;8
и
+
2;У8
ху
+ 2Yz8
y
% +
(Х.21)
Заменяя
{{омпоп
ент
ы
напряжения
и
деформации
их
выражения
ми
ч
е
р
ез
де
виаторы
напряжепия
и
деформации,
получим:
2W
=
~
(рр'
+
s)
(
8~p
+
8)
+
2~pq'8~q
=
=
~;;P'e
~p
+
2~P
(/8~q
+
S~8~
p
+
8
~PP'
+
3S8,
во
~8~p
=
~pp'
=
о
.
ТЮ
и
м
об
разом
W =
W'
+
+S8
= W' + W
fl
н
а
основании
(Х.19),
гд
W'
· =
~pp'
8;JP +
2~;;q'
8~q
-
эве
ргия дефо
рм
а
ции
на
единицу
объ
ема,
соответствующая
дев
и
атору
паПрЯil
ения.
И
наконец
из
(Х.20)
J~
W'
=
I
V-
W/1
=~
.
1'arшм
образом
в
еличина
J
~/2
f!
явля
ется
эне
рги
ей
упругой
дефор
мации
па
единицу
объема,
ВО
ЗUИ
1\ающ
ей
под
действием
девиатора
вапряжевиR..
15
Д.
Е.
Р.
ГОДФРII
225
3.
УСЛОВИЯ
ТЕК
ЧЕСТИ
На
идеализированных
RрИВЫХ
зависимостей
между
Аапряжением
11
деформаци
ii
(см.
81.
Введенпе)
ч
тко
выражепuая
ТОЧI,а
TeI\Y-
чести
соответствует
напряжению,
при
котором
UСПblТУСА1ЫЙ
па
рас
тяж
ние
образец
перестает
быть
УПРУГRМ
И
становится
пла
ст
ич
Il
Ыlll
.
В
общем
случае
при
llагружения
изотропвого
тела
при
воз
растании
паГРУЗI<И
пластичность
может
uастуПDТЬ
только
в
неко
торых
точ!tах
тела.
Это
означает,
что
после
разгрузки
образца
будет
иметь
место
остаточная
деформация.
Условие
текуч
сти
ест
.
ь
ураВЕ
вие, !<оторое
должны
удо
.
вл
етворять
КОАтоненты
папря
жения
в
точке,
в
J{ОТОРОЙ
материал
стал
пластичным.
Вид
:эт
ого
уравнения
должен
определяться
эксперимептальным
путем
д
ля
J\ЮIЩОГО
материала
и,
возможно,
для
каждого
типа
пагрузки.
На
стадии
испытаний,
когда
наступает
пластичпость,
КОАшоп
енты
напряж
пия
и дефо
рмации
все
еще
оказываются
связанпы~rи
урав
нениями
упругости,
которые
не
зависят
от
uаправлепия
взаимно
перпендикулярных
осей
ноординат.
Поэтому
след
ет
ожидать,
что
условие
текучести
будет
функцией
инвариантов
девиатора
напря
жения,
поскольку
на
нег
о
не
воздействует
гидростатический
КОМ
поп
вт
напряжепия.
следователыl,,
условие
те!tуqести
ДО
ЛН,IIО
иметь
вид
f
(J~
,
J~)
=
О,
(Х.22)
и
для
идеально
плаСТИЧlIОГО
Мl'\териала
будет
выполняться
для
всей
пластич
ской
области
.
В
результате
экспе
ри
ментов,
особенно
пад
м
та
шаы-и.
были
пред
Jroже
ны
различnые
условия
текучести
но
два
из
них
пр
дстаВ;НI
ют
особый
иатере
,
так
как
имеют
довольно
простую
мат
матиqес
KYIO
форму
и
В
то
же
время
хорошо
предстаВЛЯlQТ
вой
тва
многих
материалов
.
А.
КРlJтериji
ТРССJШ
Согласно
этому
критерию
текучесть
наступает
тогда,
иог
да
мак
симальное
касательное
напряжение
достигает
некоторой
по
стоян
ной
величины
k'.
Главные
Itасательnые
напряжения
(см.
10
.
Глав
ные
касательные
напряжения)
равны
1
T(
R~Q),
1
2(
P
~R),
1
T
(Q~P)
,
(
Х
.23)
где
разности
выбираются
так,
чтобы
дать
положительные
резуль
таты.
Аналогично
главные
касательные
компоненты
девиатора
напряжения
составят:
+(R'
~Q'),
+(Р'
~R'),
+(QI
~P'),
(
Х.24)
226
а
из
(X
.
G)
Jler/(o
убедиться,
что
оли
равны
(Х
.
23).
Так
как
I
(а
i
lщал
и
з
этих
величин
пр
дставл
яет
собой
ыаксимальную
веJIИ'IИНУ
ка
сателыlгоo
Н:.IПрЯЖ
пи
я
по
элементаы,
расположенным
на
осях
ноординат,
то
ыак
IIмальное
касательное
напряж
ние
будет
боль
ше
ч
I
любое
из
главных
насательпых
напряжений
.
Если
п.
при
мер
,
положпть,
что
Р
~
R
-<
Q,
то
условие
те.куч
ти
по
Тр
ска
запишется
в
виде:
Q- P = 2k'.
(Х
.
2
)
Этот
крит
рий
с
помощью
длител
ьпых
преобразований
может
быть
выращел
чрез
J;
и
J
~,
по
результат
оказывается
слишко
м
сложным
и
поэтому
н
примевяется
.
Б.
Кр"терпй
Мuзеса
Согласно
этому
критерию
текучесть
наступает,
.когда
.кОAlпоuенты
вапряж
вия
в
точке
удовлетворяют
соотпошение
J~
= k
H2
,
(о'
.26
)
где'"
-
ПОСТОЯllпая.
В
настоящее
время
этот
критерий
счятается
общепризнанны
1 *
для
состояния
тенучести
в
пластической
облас
ти
для
материалов,
D
которых
напряжения
и
деформации
изменя
ются
по
занону
в
приближении,
имеющем
вид
как
на
рис.
122,
в
.
В
выражепии
ч
рез
главные
Hor.moHeHTbl
девиатора
напряжения
равенство
(Х.26)
будет
и
leTb
вид:
Р'2
+
Q'2
+
R'2
=
2k"Z.
(Х.27
)
Исполь
з
уя
(Х.6)
получи
1:
р2
+
Q2
+
R2
_
25
(Р
+ Q + R) +
Зs
2
=
2k"Z.
У'lИтывая,
что
3 =
Р
+ Q + R,
будем
И~lеть
(
Р
-
Q)
2 +
(Q
_
R)2
+
(R
-
Р)2
=
6k"2.
(Х.2
)
Окончат
льно
в
uыражепии
чер
з
начальные
компоненты
напря
жения
па
основании
(Х.1
О)
услови
примет
вид:
3J
2
+
J;
=
3k"2.
И
пользуя
(I.39) ,
получим
(?Х
-
уу)2
+
(уу
_
;)2
+
(;
_
?х)2
+ 6
(?у2
+
Yz2
+
~2)
=
6k"2.
(Х.29)
В.
Сопо
ста
вление
rсритериев
Вырази
{теперь
постоянные
k'
и
k"
через
напряжение
теI<учеСТI1
k
o
при
со
тояmш
чистого
сдвига
и
через
напряжение
текучеСТff
У
при
состоянии
простого
растяжения
.
• J.
L.
1.
М
о
r r i s
о
п,
1.
МесЬ
.
Е
.
War
Emergency
Proc.,
No. 39 (
19
48)
1
5*
227
Пусть
состояние
чистого
сдвига
с
напряжеllием
Т
·
I
уч
сти
ЗЭJ1.а
но
сл
дующими
главны~rn
ИОМDОIl
IIта
fИ
яапряж
инл:
р
= - k
o
•
Q = k
o
,
R =
о.
(х.
о)
Т:1IПI
1
образом
из
УСJ10ВИЛ
(Х.25)
находим,
что
k'
11.0'
а
из
(Х.2
)
7t"
= k
o
.
ПУСТf>
состояни
чистого
растя}}
пия
с
пап
ряж
1П1
м
Tel,y'l
СТО
у
задапо
главпыми
н:омпопептаМl1
lIaDрЯЖ
вия
Q =
У,
P = R =
O.
Так
что
УСJ10вие
(Х.25
)
даст
У
=
2k',
а
(Х.2
) -
у
=
kHI
/
~
Та
ии!
образом,
УСJIОllие
Мизеса
пр
дполага
т,
что
максим
львое
иа-
саТС
.1ьпое
вапрлжепие
(+У)
при
испытании
образца
па
растяже
ние
в
точне
т и
чести
составляет
о,
66
величины
маl<си.~{3JIЫIOГО
хасательпого
flапряж
нил при
чистом
сдвиге.
В
::>'1'01
ОНО
от
lича
етс
я
от
у
л
овия
TpeCI,a,
1<0'1'0
ро
предподага
т,
ЧТО
маиси
мал
ЫlOе
иасательное
напряжение
11
ТОЧl{
теI{учести
одив:аI<ОllО
для
об
их
случа
в
.
Выбор
того
или
другого
условия
для
данпого
мат
риала
или
испытания
должеп
опр
делят!"
'Я
ЭJ{сперимептаЛЫ1ЫМ
ПУТС
1.
84.
ГР
ФИЧЕСIЮЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
КРИТЕРИЕВ
ТЕК
ЧЕСТИ
Вв
еде
м
систему
взаимно
n
рпеIlДIН{УЛЯРUЫХ
ocei1,
в
которой
ОТJ10ЖИМ
TO<rкy
С
I<оордипатами
(Р,
Q,
R).
Та1{
I<al{
условие
т
"у
ч
тизаnиситтолы<отглавrшхx
I<ОМПО
непто
в
папряж
ения
Р,
Q,H,
оно
может
быть
пр
дста
влепо
в
этой
системе
I<оордипат
пов
РХ
мостью,
I<оторая
называ
тся
поверхпо
стыо
теI<уче
ТИ.
На
рис.
123
прямая
OZ
одипаиово
наl<лонепа
н
ОСЯМ,
В
-
т
'ша
с
l\оордиuатами
(Р,
Q,
R),
А
-
точна
с
I<оординатам:и
(Р',
Q',
В
'
).
И
з
(Х.6)
следу
т,
что
АВ
параллельuа
OZ;
0'1
видно,
ЧТО
лт
бы
J1.B8
ТО'1101,
располож
ппые
на
прямой,
параллельвоii
oz,
будут
ОТ
JП1чаться
толы<о
в
гидростатичеСl\оii
части
папряжеПJ[ОI
'
О
состоя
НИЯ,
J
оторос
ОНИ
представляют.
ПОСНО
ЛI>I(У
на
условие
т
I<учести
не
влияет
гидростатическая
чаСТf)
uапряж
апого
СОСТОЯШIЯ,
то
обе
точки
будут
JJежать
на
поверхпости
теку')
сти,
I<оторая
DO::>TOAry
должна
быть
цилиндрической
с
образующими,
паралл
льны
f11
OZ.
ТаЮI<е,
поскольку
Р'
+
Q'
+
R'
=
О,
точна,
пр
д
стаВ!lяющая
Д
виатор
напряжепия,
буд
т
нахоТ(иться
на
плосно
1'11,
проходя
щей
через
О
перпепди"улярно
OZ.
Далее,
ка){
моншо
видеть,
'1'0')101,
предстаВЛЯlOщие
напряж
иное
состояние
при
обобщенпо
f
условпи
те"учести,
л
жат
на
I<РИВОЙ
теНУ'1
сти
С,
которая
пр
дставллет
J
ОНТУР
нормального
сечения
поверхпости
текучести
ПЛОСi\ОСТЬЮ,
прох
дящ
iI
через
пачало
J<оординат.
Необходи~ш
изучить
общую
фОР~fУ
l<ривоil,
а
зате~{
устаПОВIIТЬ
е
форму,
соответствующую
I<Юf
дому
нритерию
(см.
83.
Условия
22f(
текуч
стн).
ТЙI\
){aI{
n
крит
риli
те){у
'l
сти
не
входят
паправлепия
глаВIIЫХ
н
аП
РЯil\
с
Ю!ii,
то
ОН
буд
т
У)\ОВJIетворяться
не
только
н
а
пряж
е
нным
со
1'ОЯJШ
f
(Р,
Q,
R)
,
11
И
со
ТОЯlll~ЯМИ,
В
которых
R
Y(R)
(Р)
Рис.
123.
Рис.
124.
любы
два
и
з
31'
ИХ
lомпопевтов
являют
н
взаимп
о за
"J
ияемыми.
Это
привед
т
1\
ИЛ1М
трии
НРИВОЙ
С
отвосителыlO
про
I\ЦИИ
КООР-
Д
llпаТIlЫХ
oceii
н
а
пло
насть.
Будем
считать,
что
ели
все
глаВJlЫ
напряжения
н
з
м
е
няют
свой
зван,
условие
текучест
и
танже
д
олн ПО
удовл
творя'l'Ь
Л
.
ПО
отношению
н
ОДПООСПОl\fУ
напряж
ЮIIО
n
следи
е
требова
ни
равносильно
тому
,
что
П8
-
пряж
ни
текучести
при
про
сто
м
раСТЮ1<
пии
'шслепно
ра
вно
пап
ряж
пию
текуче
ти
при
простом
жатил.
Вследствн
та){ой
силш
трии
11
обходимо
получить
форму
кривой
т
l
<у ч
е
ти
толы<о
в
пре
х
у
Q
Ри
с.
125.
R
о
2
1
, :!
Д
лах
О
< 8
30
о
(рис
.
124),
оставшиеся
11
с
/\Торов
оп
ре
\е
ЛЯЮ'l'ся
автоматич
с){и.
Для
п
о
лучения
формы
"ривой
тенуче
тв
доб
но
пов
PllYTb
оси
координат
в
пово
положеВ}Iе
о
ей
ОХ}
'
Z
(
М.
рис.
123),
направляющие
косинусы
ноторы
относит
льна
OPQR
давы
D
таблице
*
(ри
. 125).
Сл
д
оват
ЛЫJО
,
X
=~
(Q
-
Р);
2
У
=
у
\
(2
Н
-
Р
-
Q)
;
z =
~
(P
+
Q+ R).
3
• R.
В
е
1 1, Coord
in
atc
С
ometry
of
Three
Dimensions,
р
.
69.
(Х.31)
229