Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
Обращаясь
теперь
к
рис.
12
4,
ПОЛУЧl'lМ:
у
1
2R-P-Q
tg6=X
=
уз
. -
Q-p
- .
Если
ра
ссмотрим
ТОЧI<И
на
ОХ,
дЛЯ
I{OTOPWX
6 =
а,
то
R :::::1
=
~
(Р
+
Q),
что
дает
CllCTOMY
главных
напряжений
I
P,
Q
1 1
2
(Р
+
Q)
}
вм
есте
с
гидростатичеСJШМ
комлоuентом
"2
(Р
+
Q).
валогич:но
для
точек
на
прямой
е
=
за
о
найдем,
что
R =
Q,
а
:)то
ПРИВОДIIТ
Н
растяжению
или
сжатИl
величины
Р
- Q
в
направле
t I
а
б
Рис
.
12
6.
нии
О
Р
вместе
с
гидростатпчес
ним
ко?шонентом
Q.
Рассматри
вая
диагра?п"IY
(СМ.
рис.
124),
обнаружим
растяжени пли
Уо,!2/З
жатпе
по
ПРОeJЩИЯЫ
О
(Р),
(Q), (R)
осе
т
п
чистые
сдвиги
посредине
между
ПИЮ!:.
ТОЧIШ,
лежащие
n
пределах
КЮНДОГО
за-градусного
сектора,
будут
соответствовать
напряженным
состояниям,
которые
пред
тав-
J
IЯЮТ
собой
наложение
раСТЯlJ.
НИЯ
или
сжатия
и
ЧИСТОГО
сдвига.
Эти
соображепия
ОТllОСЯТСН
ко
.
вс
М
возможныы
крпт
Р\'JЯМ
те"у
че
ТИ.
Теперь
могут
быт!,
получены
формы
кривых
т
"уче
ти
для
кра
т
~
риев
Тресна
и
Мизеса.
Из
(Х.25)
и
(Х.31)
следует
что
часть
КРП
I
ои
теI<учести
по
1
ритерию
Tpecl{a
в
пр
делах
О
<
е
<
за
о
сть
прямая
Х
=
k'
У2.
а
полная
кривая
буд
т
mест.иуrолыllкоыы
.
Далее,
lIa
(Х.27)
найдем,
что
кривая
текучести
по
критерию
Мизеса
есть
окружность
радиуса
k
W
~
Относитель
ное
раСПОJIOжевие
этих
двух
кривых
поэтому
зависит
от
ве.ТlИЧИ:Н
k'
и
k".
помянем
два
случая,
"оторые
обычно
встречаются
в
JIитсратуре.
Если
оба
условия
согласуIOТСЯ
в
предсказани.и
тенучести
для
с
остояния
чи
того
сдвига,
то
из
условий
теJ{учести
(СМ.
3.
Условия
т
КУ([
сти.
В.
Сопоставление
критери
в)
будем
им
тъ
""
=
k'
=
"
о
.
Тогда
условиями
теl\учести
будут:
по
Тросна
Q -
Р
=
2k
o
; }
J' •
по
lиз
есу
2 =
1.'0
-
(Х.33)
С
оответствующие
им
I<ривые
поТ<азаuы
на
рис
.
126,
а
.
Если
оба
условия
согласуются
в
преДСНЭЗЭl1шr
тенуч
е
ти
для
с
лучая
простого
РЭСТЯil
ения,
то
""
V3 = 2k' =
У.
(Х.34)
230
"у
CJIОВИЯ
текучести
принимают
вид:
п
о
Треск
а
Q -
Р
=
У;
)
, 1
по
Миэесу
J,
=
-3-
У2.
(Х.35)
Кривые
т
екучести
для
этого
случая
поназапы
на
рис
.
126.
Посл
д
пий
случай
будет
использовап
в
некоторых
задачах
в с
ледующих
главах
.
5.
3АВИ
ИМОСТИ
МЕЖДУ
НАПРЯЖЕНИЕМ
И
ДЕФОРМАЦJ1
Е
О
Гlолу'Шм
зависимости
меж
у
девиаторами
напряжения
и
де
формации,
которые
могут
иметь
место
в
пластичесной
области,
D
с
лучае
1<огда
упругая
и
пластичеСI\ая
части
полной
деформацu
и
(
Х
.
1)
с
равIШМЫ
ме
жд
у
собою
по
величине.
"Упругой
частью
д
ефор
мации
fOжно
успешно
воспользоваться
для
идеально
пластичес
них
z,fатериалов,
так
к
а
к
он
а
остается
постояnпоii
в
пластичеСI{ОЙ
о
бласт
и
(
рис
.
122 6).
О
д
иако
у
д
обнее
выразить
об
ы
чные
зависимос
ти
r
ежду
напря
ж
lIием
и
деформацией
(11
.
34.)
и
(11
.35)
через
деnи
ат
ор
ы
п
апряж
нил и
деформации,
нак
это
было
уже
сделано
(см
:
.
82.
Д
8
пато
ры
п
а
ПРЯ
il
.;
е
ниЙ
11
деформаций)
.
Так
ка
к
---
----
1
рр
=
р
р'
+
з
6.
,
т
о
----
1
= (1
\-
)
рр
'
+
з(
1
- 2
v)
6.
=
---- 1
= (1 +
v)
рр
'
+ 3
Еб
.
П
ОСНОJ
I
Ы';У
(J
= 3 "
то
Е
(8;р
-
8'
) =
(1
+
v(pp'
и
ОJ{опчательно
.'
рр
,
.
epp=~
(
Х
.
36
)
Н
асат
IbHbl
компоненты
остаlОТСЯ
неизменны
ш
в
деви
а
тор
а х
н
апр
я
же
ния и
де
формации,
поэтому
зависимость
между
lIИми
з
а
пиш
е
м
в
виде
(Х.
3
7
)
куда
может
быть
включено
соотношение
(Х
.
36)
если
р
и
q
бу д
ут
ПРИН1Iмать
любое
из
значений
х,
у
или
z.
ТаI<ИМ
образом
зависи
мо
с
т]!
между
напряшением
и деформацией
для
упругого
компонен
та
приобретут
более
но~шантнуlO
форму,
если
будут
вырашеuы
ч
рез
цевиаторы
напряжения
и
деформации.
231
Экспериментально
установлено
*,
что
пластич
еС
l
ие
де
форм
ац
ии
зависят
не
только
от
напряженного
с
остояния
,
110
И
от
способа
го
получения
.
Если
тело
нагружается
ра
зли
чными
сп
о
собами,
то
след
ует
ожидать,
что
буд
т
им
ть
м
есто
раЗJlИЧПЫ
о
тоятrн
де
фор
fа
ции.
Отсю
да
следует,
что
проц
е
н
а
гр
уж
ВИН
дО
[
жен
при
нимать
я
во
ВНИlllани
е,
и
дл
я
то
го,
чтобы
ПО
JlУ
ЧИТЬ
ОКОIJ'lател
bIl
ю
картину
lt
формации,
11
>обход
имо
суммировать
приращ
епи
я
n
8П
РЯ
а
енного
состояния
в
дол
[,
кривой
де
форм
а
ции.
Таким
образом
со
отпошеl1ИЯ
между
lJаПРЯII\
ни
м
п
Д
ф
ОРJllа
ци
ей
будут
ЗН
811С
1'1>
от
су
щ
ТВУlOщего
напряж
енно
го
со
тояния
)l
от
ледуlOЩ
го
прира
щ
еuи
я
папряжения.
Р
ейсс
устапов
ил, что
8
пластическоii
области
приращепие
д
виатор
а
Д
форм
ации
пропорционалыlO
ПРl
l
р а
щеllИIO
де
ви
атора
напряжения
т
.
е.
р'
-,
dB
pq
=
pq
d
л
,
(_'.3 )
где
коэ
ффици
ент
ПРОПОРЦIfоп
а
льности
е
ть
Ф
шщил
,
I
{ОТОР
Я и
зме
пяется
в
процессе
деформации,
записанная
в
форм прир
а
щ
еnня
д
ля
того,
чтобы
быть
пригодной
для
вычи
с
лений
.
лед
вателыlО
,
приращ
вн
е
полной
де
форм
ации
ввиду
(Х
.
37)
и (Х
.
38)
со
тавит
(Х.39)
Зд
сь
нужно
отметить,
что
так
как
условие
т
I
<у
че
ст
и
пыпо
лн
л
тсл
для
нашего
идеально
пластичного
т
л
а,
мы
будем
ЮI
I'ТЬ
дополни
те
льuое
уравнени
с
тем
,
чтобы
ИСКЛЮЧИТЬ
dЛ.
Теперь
необходимо
получить
е
щ
е
одно
уравнен
не
,
д
ля
того,
чт
о
бы
пер
йти
от
приращения
депиатора
папряженил
к
при
ращ
((И
Ю
нач
а
льных
Kor.mOJ1
нтоп
деформации.
Экспери.м
е
нтально
доказано,
что
при
пластических
де
формациях
объ
м
тела
n
и
з
м
е
ня
тсл,
по
этому
будем
считать,
что
в
пластической
области
средняя
нормал
ь
иая
деформация
р
а
впа
пулю,
т.
е
.
зв
р
=
€~x
+
B~y
+
Bi.
=
О
.
(Х.40)
р
t t 1
-2
"
Так
как
в
=
в
+
в
=
е
,
то
в
=
-Е--
S.
Поэтому,
дифференцируя,
получим
d - 1 - 2" d
в
-
Е
s.
(Х.41)
Это
уравн
ни
вмест
с
(Х.39)
составля
т
зависимость
1tfежду
на
пряжени
е
м
и
де
формацией
в
пластической
обл
ас
ти
.
Б
случае
жест
-
1(0
плас
т
ичного
тела,
для
которого
Е
и
f.1
-
б
CI<OH
чиые
пеличюrы
,
второй
член
в
правой
части
уравн
нил
(Х
.3
9)
опускается
.
..
\У
.
М
.
h
ер
h
е
r d , 1.
МесЬ
.
Е.
War Emergency Proc.,
по
.
39.
232
Принято
заВfJСИМОСТИ
между
напряжениями
и
деформацией
на
зывать
уравnениями
Рейсса
,
когда
рассматриваются
пластические
и
упругие
деформации, и
уравнениями
lи
зеса
-
в
случае
щестко
П:Jaстиqпых
тел.
Необхо
димо
найти
выражение
между
напряжением
и
деформа
цией
через
КО1.ШОIlСНТЫ
действитеJIЬНЫХ
напряжений
и
деформаций
.
..-..
1...-..
Из
(Х
.
39)
при
р
= q d
(t-:
pp
-
8)
=
(рр
-
s)
dл
+
2""d
(рр
-
s),
И
J
)!J
использ
я
( .4
1)
,
1-
2v
1.
---
1.
---
3v
de
p7t
= -'
-
Е
-
ds
-
2i!
ds
t-
(рр
-
s)
dл
+
2J.1.
dpp = -
Е
ds
+
1.
+ v
---,-...
1
,.-..
+
(рр
-
s)
dл
I
---в-
dpp =
(рр
-
s)
dл
+
Е
d 1
(1
+
'\1)
рр
-
3'\1s
l·
в
развернутой
форм
будем
иметь
i"-""-"
~
1...-..
~
~
dE
xx
= 3
(2хх
-
уу
-
zz)
dл
+
Е
d
(хх
-
vyy
-
'\Izz);
1
-..
--,-..,
1"-""'-""'--"
df:
1I1I
-
Т
(2уу
-
zz
-
хх)
dл
+
Е
d
(уу
-
vz
z - vxx);
1 - --.. - 1 -
..............
-..
ае
"
=
3"
(2zz -
хх
-
уу)
dл
+
Е
d
(zz
-
'Ухх
-
"уу)
,
а
ПIJираЩl'ШIН
поперечных
де
ф
ормаций
составят:
..-..
1"-"
de
ll
< =
уzdл
+ -2-
dyz;
~L
---
1---
а.8
х
<
=
xzd'A.
+
2J.1.
dxz;
,.-..
1'-'"
de
x
ll
= x
yd')..
+
2Jl
аху.
I
I
(Х.42)
(ХАЗ)
(Х.44)
r
л
а
в
а
Xl.
ПЛАСТИЧЕСКИй
ИЗГИБ
И
КРУЧЕНИ
Е Б
ЛRИ
86.
Р
ЕШЕН
И
Е
УIIPУГ
О-D
ЛАС
ТИЧЕ
СR
ОЙ
ЗАД
АЧИ
Полное
реш
ение
для
компонентов
папря:жения
идефор
а
ЦИJl
в
пл
асти
чес
кой:
области
в
общ
ем случае
оказывается
Har.mo
ro
слощ
нее
чем
при
ч»сто
у
пру
гом
папряжеRНОМ
состоянии
тела.
Отчасти
это
является
следствием
характера
соотношений
между
П8ПРЯi
J,е
инем
и
деформацией
при
их
за
ви
сшюсти
от
проц
есса
нагружеm
rя,
.а
также
того,
что
часто
n
пластическое состояни
е
сначала
в
ступа
Рис.
127.
ет
толы,о
часть
И8тери
а
да
и
таким
обрав
ом
обра
зу
тея
упруго
-
пластиче
с
кая
граница
(или
грани
цы),
l{Отор
ая
ст
ановится
одним
из
неизв
стных
в
р
ассматриваемой
задаче
(рис.
127).
Уравн
аия
рав
новесия
и
зависимости
ме
жду
напряжением
J(
дсфор
-
мацией
должны
быть
решены
с
удовлетворением
УСЛОШI
Я~(
ПО
впешнему
нонтуру,
а
кроме
того
должны
быть
таЮRе
удоnле-
1.'ворены
условия
непрерывности
напряжений
и
перем
е
щ
II I1
Й
пО
пру
го
-
пластичес
к
ому
контуру.
Поэтому
ур
авн
IШЯМИ
и усл
ови
ями
при
ОТСУТСТВИ»
упрочнения
будут:
в
упругой
области
-
уравнения
равновесия
(VI.
7)
и
(VI.8);
соотн
ошения
между
н
а
пряж
ением
n
деформацией
(Х.З6);
условия,
при
которых
нормальное
напряжение
н
пере
мещение
по
любому
внешнему
контуру
С2
может
быть
задано;
в
пластической
области
-
уравнения
равно
весия
(VI.7)
и
(VI .8);
соотношени
я
между
на
пря
жением
и
д
еформаци
ей
(ХАЗ)
и
(Х.44);
условие
текуч
ест
и;
условие
на
внешнем
пластич
ском
J\OBType
С
1
;
при
у
пр
уго-плаетическом
контуре
С
у
ловия
пепреРЬТВRОСТИ
напряжени
я
и
переме
щения
.
Вследст
в
ие
значительных
математических
ТРУДJJО
тей
полное
решение
тако
й
задачи
было
получено
при
опр
Д л
пных
обсто
я
тельствах.
В
неl{ОТОРЫХ
случаях
зада
ча
может
иметь
высокую
сте
пень
симм
етрии,
что
умевьша
т
чис
ло н
известных
и
уп
роща
ет
ура
вн ени я
.
Кроме
того,
как
можно
вид
ть,
у
рав
непия
равно
в
сия
и
теку
чести
вхлючаIOТ
только
компол
пты
вапряжения,
так
что,
когда
даны
краевые
условия,
включающие
напряжения
иногда
234
становится
возможным
получить
реш
ние
для
I<о~шонентов
напря
жеuия
вне
зависимости
от
первмещения.
Такую
задачу
часто
назы
вают
статически
определимой
.
Позже
мы
рассмотрим
задачу
на
КРУ'lени
,
которая
относится
к
такому
виду
задач.
87.
еж
ТИЕ
I1РЯ
МОУГОЛЬНОn
БАЛКИ
ПреДПОJJО/КIIМ,
(см.
рис.
48),
что
балка
сжимается
вдоль
ося
Х,
ТaI,
'1то
;;
=
-Т.
В
условиях
плоской
деформации
Хилл
'"
покэзаJl,
что
полное
р
тение
может
быть
получено,
Rогда
относи
тельно
упругой
п
пластичеСI\ОЙ
частей
деформации
делаются
до
пущения.
В
соответствии
с
этим
будем
считать,
что
баЛRа
жестко
ограНIIчепа
двумя
пластинами
Z = ±
h,
а
также,
что
n
направл
-
нии
оси у
на
деформацию
не
наложено
ВИl\аких
ограничений,
т.
е.
уу
=
о.
[{огда
б~lJ1ка
в
упругом
состоянии,
из
уравнения
(VI.1
9)
находим,
что
;;
=
-vТ
и
следовательно
числ
нно
yi
<
;;
<
;;;.
llоэтому
УСЛОВlfе
теI{учестп
ТреСI<а
принимает
вид:
;;;
= -
У.
(XI.1)
Буде
t
считать,
что
оно
сохраняет
таl~УЮ
форму,
когда
пр
е
обла
дают
пластические
деформации.
В
условии
плоской
де
формации,
т.
е.
когда
8
..
=
О,
зависимости
(Х.43)
приобретаJOТ
ви
д:
1 .
~
v
~
de
xx
= -
3""
(21
+
zz)
dл
-
Е
dzz;
(XI.2)
1
~
v--.
de
yy
=
3""
(У
- z:)
dл
-
Е
dzz;
(XI.3)
1
~
1
~
О
= 3
(2zz
+
У)
dл
+
Е
dzz.
(XI.4)
И
З
(XI.4)
dл
= -
~.
d;;
Подставив
это
значение
в
(XI.2),
2;'
+
у
получим
I
d8
xx
=
2Е
{
ЗУ
}
~
~
- +
(1
- 2v)
dzz.
2zz
-г
л
(XI.
5)
При
первом
ДОСТl1н,епии
ТОЧ
IШ
ткучести
zz = -
vY
и
деформа
ция
8
х
х
=
-
у
(1
- v
2
)/E.
При
.!1Нтегрировании
(XI.5)
можем
•
а.
II i
11,
J.
Арр
.
Mech.,
ept.
1949,
р
.
295.
235
использовать
ТОЧКУ
текуч
ест
и
для
получения
начальных
УСЛОВИЙ
для
пластической
области,
так что
окончательво
Е
3
l'
1 2;;+
у
1
(1
2)
- 1
(2
)
У
'е
хх
=
т
J)
у
(1
_ 2,,) +
Т
- v
zz
-
т
- v ;
3
2;;+
у
1
~
3.
Ее
у
у
= -
i:-
у
111
У
(1
_ 2\') +
Т
(1
- 2,')
zz
+ 2 1
) (XI.6)
Из
этих
уравнений
ВИДНО
ЧТО
с
возрастави
м
сжимающей
силы
и
увеличением
ко?шонента
8
хх
деформацllИ
сжимающее
напряжение
- 1
zz
имеет
предельную
вели-ч1JВУ
-""2
У,
когда
логарифмпч
CKI1ii
чл
н
становится
беСJ\ОВ
ЧВО
большим.
Тат\Им
образом
~
возрастает
от
1
-
"У
в
точке
текучести
до
-
т
У.
Если
ПРИllJ.:lмаетсн
услови
Миз
са.
то
из
(
Х.29)
и
(
Т.'
4)
и
токуч
тъ
вп
ервые
наступает,
когда
8
хх
=
Далее,
l1Н
Т
грирун
уравнения
Р
псса,
получим
*
у
"3
Ее
хх
=
--'-;--
4
+(
1
-
2v)U
-
У
/
(J'
J
(_
1.7)
(1-
"\
'~)
У
1 •
Е
(1
-
\'+
\,
Э)2
(XI. )
I
'
де
K
1
=
(1
- " +
,,2)
2 .
Из
этого
реаультата
ел
-
дует,
что
Х.!:
имеет
предельную
величину
-
2У
/
)
/
з,
]о[
таким
образом
из
(Х
1.7)
-
1-
zz
-
У/
3 =
т
хх для
больших
деформаций
.
88.
чистый
ИЗГИБ
ПРЯ
ЮУГО
ЬН
Й БАЛНИ
Используя
комплексные
потенциалы
( 1.57)
1f
уравнения
(VI.24) - (VI.26),
получим
сост
ояни
е
чисто
упругого
изгиба
при
условия
плоской
деформации.
В
частно
сти
n
р
меЩСВlJ
на
г
рани
у
=
о
будет
* R.
Н
i)
J, J.
Арр.
;"\\
сЬ.,
ept
. 1949,
р
.
295.
236
та"
что
есл
и
R
есть
радиус
"Р1fВИЗRЪ1
изогнутой
баЛI{И,
то
_1_
_ d
2
v =
~
(1 _
2)
R -
dx
2
Е/
V
и
напряжение
Му
Еу
ХХ
= - - ,- = R
(1
_ v2) •
(X
I
.9)
с
уо
ЛИ'I
паем
ПРНJJощеппого
момента
напряжение
достигнет
RелИ'l.rшы,
когда
вuеШllие
ВОЛОЮ
,
Ш
у
= ±
ь
станут
UJlастичпыми.
П
Рlmlfмая
ус
ОВIf
l'
ку<rести
Тр
cl,a,
получим
СJ1едующес
значе
пие
радиуса
кривизны
R,)
при
наступлении
teI-(У"
С'l'И:
ЕЬ
R
o
= }"
(t
_ v
2
)
( "
1.10
)
flри
даЛЫI
llШ
м
уве
lи
t
lеllИИ
10М
нта
пластические
зоны
бу-
м
дут
перемещать
я
1<
р
дине
(см.
рис.
12)
,
ограВИЧllваясь
DЛОСI<
стяъ1И
У
= ± "
l1ервона-
~(;:;
у
у
Пп
а
сmIJIII!(КО
fl
) \
z
о
IjЛРf/гОfl
J
о
Пласm/JII{JCJ(O
!J,
м
h
Рис.
12
.
чально
паралле
ьпыми
оси
Х.
Напряжени
е
в
плаСТИ'1ес"ой
зоне
ПРОДОJ1il\аст
уновл
'l'ворять
УСJroвис
текучести,
поэтому
вследствие
непрерывности
в
у
= t
напишем
у
=
Et
R
(1
-v
~
)
(XI.11)
ШН!
на
о
новаНIIН
(X
I
.10)
t
Н.
= R
ob
.
(XI
.
12)
в
ПЛf\СТИЧССIШ
сжатоti
зоне
услови
я
будут
такими,
как
в
7.
жатие
прямоугольной
формы,
тю<
что
уравне
ние
(XI.6)
при
мепимо
такж
и
I{
рассматриваемой
задаче.
Для
растягиваемой
зоны
знак
У
изменится
на
противоаОЛОrI<НЫЙ.
Окончательно,
для
со
тояния,
ПОI
аЗ<lНПОГО
lIa
рис.
128,
прилошевны:й
момент
I
ь
М
= 2 I R
(1E
~
-.;2) 2/Lydy + 2 f
Y2hydy
=
21~Y
(Ь
2
- + t
2
).
89.
упруго-п
IАСТИЧЕСКОЕ
КРУЧЕНИЕ
БАЛКИ
Если
крутнщий
момент
N,
приложенный
I<
прямолинейной
бал
Re
,
постепенно
увеличивается,
то
при
его
некотором
зва'lСНИИ
N*
в
одной
или
более
To'rкax
наступят
пластичесюrе
деформации,
а
при
да
J
lъпеЙIIIем
увеличении
наГРУЗI<И
будут
образовываться
пласти
чеСI<ие
участки.
l\ю(
и
ранее
(cы.
ЗО.
Компоненты
напряжений)
,
237
рассмотрим
цuлиндрическую
балку
с
осью,
папраиленной
идо.'!
оси
Z,
и
предположи
t,
'П'О
;;
И
~
-
единственны'
венул
вые
J{O~I
поненты
напряжения.
Тогда
условие
текучеСТТI
1из
са
на
основа
нии
(Х.29)
приuимае
т
вид:
(Xr.
13
}
Главные
напряжения,
полученные
из
(I.24),
оставят
О,
±
{;:;~
+-
1
+
У;2}
2,
тан
что
условие
Треска
(Х.25)
будет
иметь
вид:
(XI.14)
Так
Kar(
оба
условия
имеют
одинаRОВУJO
ФОРJII
,
то
для
удобства
ПОЛОЖInI
(XI.15)
так
что
k
(Н
следует
с
Юffiивать
с
объемным
модулем)
в
дальней
шем
будет
заменяться
на
k'
и
ш
k"
в
заnиси~IOСТП
от
того,
пользу
емся
ли
Шil
критерием
Тр
ска
пли
Мизеса.
Другой
ивт
рпре
тацией
уравнения
(Х
1
.15)
ЯDляется
то,
что
веJшчина
мuдсимального
да
сательного
uапряжения
q
постояuна
n
поэтому
уравн
пие
примепи
мо
1(0
всей
п.тrастич
ской
области,
сли
положить,
что
ие
проис
ходит
упрочпепие
материала.
Рапее
УJ<аэывалось
(см.
33.
Траем
тории
I<асательных
напряжений),
что
касательно'
напряжение
в
снручиваемоii
балке
достигает
наибольm
'ГО
значения
в
точке
или
т
очках,
лежащих
на контуре,
DОЭТО~1
следует
ожидать,
что
имен
но
в
этих
точках
начнут
образо
выв
аться
плuстич
скне
зо
ны.
При
д
альнейшем
увеличении
N
они
будут
пер
мещаТhСН
сковтура
вовнутрь
балки
(см.
рис.
127).
Так
как
уравнения
равнов
ес
ия
должны
удовлетворяться
в
обеих
областях,
то
номповенты
напряжения
могут
быть
записаны
чер
з
Фувкцmо
'Х.
с
по
IOЩЫО
(II.9)
и
использованы
ддя
обеих
областей
деформации.
Однако,
поскольку
в
упругой
области
'Х.
удовлетво
ряет
ураввение
(XI.4),
то
в
пластичеСIЮU
об.l1асти
(XI.15)
тре
бу
т,
чтобы
(
i!'I..
2
(iТl.
)2
Р
дЖ)
+
ау
= J!2
t
2
или
и
з
приложевин
1 (1.13)
/;
\
grad'X.
l
=-
.
~П
(XI.16)
(XI.17)
Далее,
краевое
условие
(IV.15),
"оторое
тр
бует,
чтобы
контур
был
ливией
касательных
напряж
пий,
будет
примевимо
1\
грани
цам,
разделяющим
пластические
и
упругие
зоны.
238
Поэтому
в
пластической
области
нам
предстоит
найти
решение
уравнения
(Xl.17),
которое
удовлетворяет
краевое
условие
Х
=
О
на
C
t
(см.
рис.
127).
Если
это
условие
применить
к
поверхности
Z =
~и:
(х,
у)
(см.
3 .
Методы
аналогий),
то
можно
найти,
что
она
должна
иметь
максимальRblЙ
постоянный
наклон
k
(см.
формулу
(1.49)
из
приложения
1)
и
пересеl{ать
плоскость
хОу
по
кривой
C
1
.
Это
полностыо
определяет
поверхность,
так
как,
пач.иная
с
какой-нибудь
точки
А
на
С
1
(см.
рис.
127),
строим
линто
в
плос
КО
ти,
проходящей
через
AN
перпендИI<УЛЯРНО
1{
ШlOСI<ОСТИ,
lJ
1\0-
торой
лежит
I<рипая
C
1
и
образующие
YfOJI
arc k
с
AN.
При
движе
пии
точки
А
ПО
C
1
,
поверхность,
описываемая
этой
линией,
опре
деляет
фующиIO
Х
и,
следовательно,
напряжения,
!{оторые
явля
ются
п
оизводными
этой
функции.
Отсюда
видно,
что
пластич
с
к
ое
состояние
является
статичеСI<И
определимым
(см.
86.
Решение
упруго-пластической
задачи)
и
не
зависит
от
формы
упруго-пла
стического
контура.
В
упругой
области
ДОJD:({НЫ
найти
функцию
Х,
удовлетвор
яющую
уравнение
(IV.11),
и
принять
ее
значение
равным
нуто
для
участ
ков
С
2
внешнего
контура,
которые
еще
являются
упругими.
Также
должна
соблюдаться
непрерывность
компонентов
напряжения
по
упруго-пластическому
контуру,
и
таким
образом
определение
напряжений
в
упругой
области
должно
идти
наряду
с
определе
ние
f
самого
пруго-пластического
контура.
А.
Кругло
е
поперечное
сечею]е
Рассмотрим
пустотелый
цилиндр
с
внутренним
радиусом
а
и
внешним
Ь
под
действием
возрастающего
крутящего
момента
(рис.
129).
Когда
МaI<симальноекасательное
напряжение
на
НОIl
туре
r =
Ь
достигает
величины
k,
наступает
те
кучесть.
Из
уравнения
(IV.27)
найдем,
что
}tpy-
тящий
момент
при
:JTOM
должен
быть
равен
kJ
N*
=
-
ь-
(XI.18)
Ври
дальнейшем
увеличении
N
кольцо
плас
т
ичеСКОl
'
О
материала
будет
перемещаться
во
Рис.
129.
внутрь,
т
ак
что
упруго-пластич
ский
I{ОПТУР,
KOTOPblii:
по
симме
трffИ
является
концеитричеClШМ цилиндром,
будет
иметь
ра
диус
R.
Вс
teдст
вие
осевой
симметрии
уравнения,
!{оторые
должва
удовлетворять
функция
Х,
будут:
в
DJlастичеСJ{оi
области
dX
k
а;:-
=
±
,...~
j
(XI.19)