Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
области,
что
вероятно
мощ
ет
вызвать
его
1'енучесть.
На
праJ(тике
это
представляет
опасность
для
трубы,
а
таЮliе
нарушает
наше
предположение,
что
разгружение
и
ЮСТ
упругий
характер.
ей
час
найдем
МaI{симальное
значение
р,
прп
котором
материал
трубы
после
е
разгр
жения
нигде
не
будет
напряжен
выше
предела
те!
учести
.
Такое
давление
HaflbJBa
тсл
n
р
е
Д
с
л
ь
в
ы
м
и
пред-
1.0
ПОJJага
т,
что
ссли
р
<
р
&
,
то
при
вто
t.51---
V
О
,
1
J
b!1I
Рис.
142.
=-
2k,
то
материал
ц
ричном
при
10Ж
ElЮf
внутреllП
го
дав
lения
можот
быть
достнгнута
зна
чительно
БОJ\ьшая
го
величина
пр
еж
Д
че
1
наступит
Tel{YLJeCTb,
у
что
с
начала
в
торичного
нагруж
е
пил
де
формации
будут
полностыо
упругимп.
В
оБJlасти
а
< r < R
на
основа
нии
(ХII.64)
~ ~
(Р
a~
)
ое
-
гг
= -
2k
-
-.
- 1 .
р.
г-
п
осколы<у
УСЛОDнем
тс"учссти
в
сжатом
СОСТОЯНJII1
буд()т
50
-
-;:;.
=
не
достигнет
т
ItучеСТrI,
ес:ш
~
а:
- 1 < 1
р r
р
г
2
11
Ш
-.
< 2
-т.
Сле
l
(овательно,
теку<[
1'&
uри
сжатии
наступает
р
а
сваtН!.ла
по
вв
утрепнему
ftOHTYPY,
где
00
= - 2k
(:.
-
1),
11
ее
не
еудет,
еСJlИ
р
<
2р*.
(
Н.66)
с
другой
стороны,
р
ДОЛЖIiО
БЫl'Ь
м
е
ньше,
чем
давление
р**,
вследствие
I
оторого
образуется:
ПОЛ1l0СТЫО
ПJIё1С1'ичсское
ко
ьцо.
Преде
!
1
п
аСТИ'Iеского
сопр
тивлешнr
поэтому
будет
м
еныпе
каж
дой
из
ве
J
IИ<lИН
2р*
н
р**.
Его
значеIJие
будет
;sависеть
от
отноше
ния
Ь/а
(рис.
142).
ЗАДАЧИ
1.
В
ПЛОСКО
[uаuряжеJJUОМ
СОСТОЯНИII
поллрныс
"ОМDОНСОТЫ
uапрящеНIIЯ
удовлетворнют
УСJJOвпе
ТСI{учести
8i)2
-7,:'80
+
d-I
=
}
~J.
Показать
,
ЧТО
существует
СJJедующее
р
ШСШIС
зтог
уравuеНIIЛ
.-....
2У
( n )
88
=
J
f
З
sin
ер
+ '"6 '
2.
Круглая
пластина
ра
диуса
Ь
со
де
Р)lШТ
пеuапрящ
нно
е
!{ОllцеПТРII'lССКОII
отверстие
радиуса
а
n
uаходится
под
доiiстuием
все
сто
роинего
растященпя
Т.
260
AOCTaTO'lIlOfO
ДЛЯ
того,
чтобы
сдс
ать
пластипу
ПОЛНОС'fЫО
пластп'Тпоii.
С'IП
тая,
что
р
ШОПII
раан
1lIJ1'1
в первоii
задаче
удовл
творяет
уравп нпе
равпо
пе
сн
я,
IIОIШ
3
ть,
что
110
будет
представллтъ
вапряжеппое
СОСТОЯllllе
на
ион
туре
радпу
са
Г,
ес.
н
-
З(q>-6
7t
)
3
а
2
,'}.
=
--,'~
__
е
2 cos
q>
ПOl{азать
таl,ще,
что
требуемая
веЛПЧlJна
дуlOЩНМ
образом:
ь
а
3'
уз
(ФЬ
-
~)
_ =
___
ecq>b
e
•
~
2 '
т
связана
с
отношеНl1ем
Ь/а
сле-
т
2
У=-У--3'-
3.
Прп
нanрлжеl1Н
м
СОСТОЯIJIIII
(Х
11.20)
покаваТI"
что
оно
мож
Т
быть
ло
луч
ВО
пз
(XII.49)
при/
=
О,
n = 1
11
траектории
касатеЛЫIЫХ
u:шрященr1ii
ЯВ
.1НIOТС
Я
двумя
с
м
iicTB8MIJ
равноугольных
СQпра
lеП.
_
а
2
4.
Пря
знаЧС1llIЯХ
I (z,
z)
= -=
и
n = 1
в
формуле
(Х
II
.49)
получить
Z~
состояние
«ВИХРОВОГО
потока»
HaAarf
с
J(омнонсптами ваПРnЩОDlIn:
-;:; = k
[2
1п
{у-,2
-
а
2
+
ОО
=
k[2IП
\
У-i~-а2
+
.--..
ka
2
,6
=--.-
.
Г·
74
]
+Bk;
;2+
а
2
)
+
У7
4
]
+Bk
i
НаЙТII
таю!\е
общиii
BJJA
уравне
ний
длl1
нормальноii
и
касательuой
ско
рости.
п
РUЛQжеl
·
tuе
1.
МАТЕМАТИЧ
'СКИЕ
МЕТОДЫ
97.
В
EI{ТО
Р
НАЯ
АЛГЕБРА
Обозначим
вснтор
А,
а
его
скалярную
в
личину
-
С
л
о
ж
е
п и
е
в
е
l~
т о
Р
о
в
осуществляется
по
правилу
па-
...
-
раЛJJелограмма.
Если
оБОЗEfачить
(рис.
143)
стороны
ОР
и
OQ
че
рез
А
и
В
,
то
...
ОТ
=
А
+
В.
(1.1)
Опред
лим
отрицательный
в
ктор
-
В
,{аЕ{
равный
по
в
личин
и
ПРОТИВОПО
J
IОЖliО
направленный
BCF(TOpy
В
,
тю{
на"
в
рассматри
ваемом
случае
пенторы
не
относят
I{
определенной
'l
'
ОЧJ<е,
...
...
OR = -
в
и
OS
=
А
-
В
=
ОР.
(1.2)
т
Единичный
иеRТОР
~
---"7f
равной
единице,
обозuачим
а
и
с
длиноii,
будем
счи
Bel\Topa
А.
R'-----
~
Рис.
143.
тать
,
что
он
имсет
liаправлсние
JIедователъно,
А =
Аа.
(1.3)
Если
вектор
А
спроеf{тировать
на
осп
пря
моугольных
I{оординат
Ох,
у,
z,
"0
проеJ<ЦИИ
его
на
оси
ноординат
будут
A
1
,
А
2
,
Аз.
Введя
единичные
веиторы
i,
j, k
по
направлению
ос
й,
мож
М
на-
писать:
(1.4)
Напри
{ер,
р
а
Д
и
у
с
-
в
е
н
т
о р
r
(не
единичный
вентор)
точки
р
(
х
,
у,
z)
относительно
начала
Rоординат
О
r = xi + yj + zk,
(1
.
5)
единичный
вектор
р
с
напраВJIЯIOщJtМИ
J{осинусами
(l,
т,
n)
р
= li + mj + nk. (1.6)
ЕСJПr
8 -
угол
между
направлениями
веиторов
А
11
В
,
'1'0
С
I{
а
л
[l
Р
Н
О е
п
р
о
и
з
в
е
Д н и
е
их
А
·
В
=
АВсоэ8,
(1.7)
2
62
8
'Jсрез
декартов
ы
компон пты
этих
веrпоро
в
А
.
В
= A1B
1
+
А
2
В
2
+
АзВ
з
.
(1.8)
в
J(
т
о
l'
R
О
е
про
и
з
в
е
Д
е
н
и
е в
}(
т о
р
о
n
А
11
В
равно
по
модулю
АВ
ill
е
u:
является
вектором
в
направ
л
НИИ
пормали
р
к
ПJ
lосr<ОСТlJ
BelHOpOB
А
и
В
.
Единичный
вектор
р
выби
patJT
я так,
что
положительно!)
(по
часовой
стрелке)
вр
ащение
вокруг
вего
повораЧlJвает
А
к
В
*
A x B =
(ABsin0)
p. (1
.9)
Через
деl,артовы
компоненты
в
«торов
А
и
В
k
А
х
В
=
А
1
A
z
Аз
В
1
В
2
В
з
(1.10)
Если
сила
F
ПРПJlOжена
I<
ТОЧI
С С
радиусом-веI<ТОРОМ
Г
,
ее
век
торный
момент
относительно
начала
координат
r
Х
У,
а
I
<О
МПОН
В
ты
этого
nРОП3В
девия
будут
мом
нтами
относительно
осей
lЮОР
динат
.
т
р
о
11
в
о
е с
J\
а
л
н
р
R
О
е
про
и
3
В
Д
е
FI
и
е
**
А
.
В
х
х
С
в
де1<артовых
компонентах
заПllсьшастсп
в
виде:
А
1
А
2
Аз
.
В
Х
С
=
В
1
В
2
B~
(1.
11)
С
1
С
2
С
э
т
р
о
'й
н
о е
в е
к
l'
о
Р
п
о
е
про
п
З
в
е
Д
е
п
и
е
***
А
х
х
(
В
х
С)
представляет
собой
вектор,
лежащий
Б
ПЛОС
I
{ОСТИ
вси
торов
В
и
С
А
х
(
В
х
С
)
=
(А
.
С
)
В
-
(А
.
В)
С.
(1
.12)
98.
ВЕ
RТОРНЫИ
АНАЛИЗ
А.
Дифференциальные
ф
ормы
Вснтор
А,
I<ОМПОП
НТЫ
которого
явлmотся
ФУIlКЦИЯМИ
точ
ки
(х,
у,
z),
пазывастся
nентором
пол
я.
налогичво
J<аляр
V
MO~l\eT
танще
быть
ФУП!{П,11ей
положепия.
r
р
а
Д и
п
т
с!{
а
л
я р
а е
ть
векторпая
вели'Шпа,
!{оторая
обозначает
на!(
grad
V,
в
Д
KflPTOBbIX
I
оордипатах
011а
яме
l'
вид:
d V
av.
+
oV
. + oV k
(1
13)
gra =
ах
1
оу
]
Oz·
.
*
ЕДllllllqllыii
n
тор
р
направлеlJ
о
ТУ
CTO
POLlY
откуда
RратчаЙШIIU
[1000-
рот
от
ОСJlтора
I(
В
соо
рша
тсл
11
DО
J
IOЩlIтеЛЫJОМ
nanpaD
J
ICH1I1I
(например
110
ча
oooii
CTP<'JIKU).-
Прuм-.
ред.
*.
I
ОТСЧС
тоонн
ii
JlIlTCp
aTY
Po
ПРlIм
е
ннотся
TepMTIEl
*смсшанпое
IlРОИЗ
BCJICIlIIC
BCKTOPII»
IIЛИ
«вскторно-скаллрное»
LlРОllзводеllllО».-
Прuм-.
ред.
***
у
ш\с
это
назыоаlOТ
ЩООU:
lJо
еВСI\ТОР
lJое
I1РОИЗВСДСШJО».-
Прuм.
ред.
263
д
и
в
е
р
г
е
н
Ц
и
я
в
е
к
т о
р
а
А
явля
е т с
я
СJ<ЭЛЯРПОЙ
во
ли
чино
й
И
В
декартовых
координатах
div
А
=
д
А
1
+
дA~
+
дА
з
• (1.
14)
дх
ду
д:
В
и
х
р
ь
в
е
},
т
о
Р
а
А
является
в
е
кт
о
рн
ой
вели1JИНОЙ,
ко
тор
ая
в
д
е
картовых
I{оор
д
иватах
записыnа
етс
я
та
/{:
j k
д
д
а
rot A =
дЖ
ду
iJz
(1.15)
A
1
A
z
Аз
Более
к
о
мпактное
выражение
э
тих
n
еличтш
мож
т б
ыть
по
IY-
чено
с
пом
ощь
ю
векторного
оператора
t7
.
a+
.
a+
k d
V= l
-a
)
-д
--а
'
х
у
z
Т
огда
из
(1.8)
n
(1
.10)
на
й
де
f:
grad V = VV; )
div
А
= .
А;
ro
tA
=
х
А.
(1.1
6)
(1.17)
Э
т
от
оператор
может
таJ<же
быть
использован
дл
я
того,
<Jтобы
выразить
главную
ч
аст ь
пр
иращения
l
{а
лярной
фушщии
поля
V
(или
вентора
А),
!
{огда
I\оординаты
по
л
учаю
т
приращепия
d.x
,
dy
,
dz.
Так,
е
сл
и
Р
(х,
у,
z)
и
Q
(х
+ dx,
у
+
ау,
Z +
dz)
яв л
я
-
-+-
ются
соседни~1И
ТОЧI{ами
поля
и
PQ
=
dS
= dxi + dyj +
dz
k,
то
с
помощью
ряда
Тейлера,
прен
б
р
егая
!{ва
драТ
I\МИ
и вы
с
ши
ми
степенями
малых
величии,
ПОЛУ1JИм
iJ
V
iJ
V
iJV
V (Q) = V
(Р
)
+
iJ
"""i""
dx
+
дi/
dy
+
д;.
dz;
(1.1
)
V(Q)
-
V(P)
=
dV
=
(ds
.
v)
V.
ВеJ{ТОРВЫЙ
оператор
может
быть
прим
нен
при
ФОРМ
УЛИ
Р
ОDI{О
теор
мы
Эйл
ра
для
однородной
функции
от
х,
у
и
z
ст
п
е
п
и
n,
имеlOщей
вид
в
этом
случае
iJ
l' QV
iJ
V
х
-+
у
-
+ z- ,- = nV
д
х
ду
д1.
или
(r.
v)
V = nV.
(1.1
9)
264
Оп
ратор
Лапласа
(1.20)
может
быть
примеu
п
кан
н
сналярпым,
так
1I
к
векторпым
функ
ция
1.
В
посл
ед
н
м
случа
Bel{TOp
2
А
им
ет
в
Д
картовых
ося
х
компопенты
2А
р
2А
2
,
2
А
з
,
тогда
нак
в
КРИВОЛ
И
Dейных
ко
ординатах
оп
долж
n
быть
за
писал
как
divgrad
.
г
де
необходп
мо
У'lИтывать,
что
Д
ИlIИЧПЫ
в
кторы
являются
перемеПНЫ1l1И
в
е
ЛИЧИl:raмп.
В
цилиндрических
l{оординатах
(УП.
1)
(см.
рис.
80)
d V
- Bl' . I 1 81/ .
t-
дУ
•
gra
-
a;-
1
1
Т
-;:-ao12
- dZ
I
з
,
(1
.
21
)
д
2
У
1
8У
t
Q~V
~V
2У
=
д
,-2
+
-;:-
а;-
+
-;т
802
+ 8Z2 .
(1.22)
В
сферичеСI
их
J<оордипатах
(
П
.
2)
(см.
рис.
88):
d
V
81' . + 1
а
У.
+ 1
дУ.
gra
=
-а-
11 -
-д
6
I
~
-'--0
-а-
1з
;
г
г
-
г
SID
ер
(1.23)
2 1
д
(
дУ
) 1 8 ( .
av
) 1
a~v
V =
-!
-д
r
-а-
+ -.,-.
-о
-д
6
SII1 8
-;;--
0
+,..,
6
-8
., .
г
Г Г
г-
S
ln
о,...
Ш"
qr
(1
.24)
ПРИВ
Д
м
ря
д
пол
зн
ых
соотношений,
в
справ
дл
ивости
кото
рых
м
ож
но
беДJ1ТЬСЯ,
если
рассмотреть
Д
картовы
J{омпопенты
правых
и
левых
равенств:
di
rotA
=
О;
roL
grad V =
О;
div
(УА)
= V div
А
+
А
.
grad
У;
rot(VA)
=
гоtА
-
А
х
gradV;
dj
v
(
А
х
В)
=
В
.
го
t
А
-
А
.
го
t
В
;
rot
r
ot
A = grad dlv
А
- div
grad
А
;
11
(VIV~)
=
У
1
2V
t
+ 2
arad
V
1
•
grad
У
2
+
У
2
2V
1
.
Б
.
и
uтегра
J
I.
ыJ
е
e
Ф
ОР
llf
Ы
(1.25)
Если
фУНКЦЯЯ
поля
f
(х,
у,
z),
которая
в
данном
слу
ч
ае
fOiltет
быть
сю}
ЯРНОЙ
или
В
"ТОРНОЙ,
задана
во
всех
ТОчнзх
в
нутри
И
на
за?>
I1ШУТОЙ
пов
рхности
S
объема
V
(рис.
1
L
14.,
а),
ТО
о б
ъ
~
I
-
пый
интеграл
Вт
."-J f
(х
,
у
,
z)
dv
= S f
(х,
у,
z)
dv.
d
l1
-+
0
11
1>
(1.26)
265
Подобным
образом
можно
определить
п
о
в
с
р
х
н о
с т
в
ы
ii
11 11
Т е
г
р
а
1
по
заМЮIУТОЙ
поверХIIО
ти
(plIC.
1q4.
б)
l
im~!(x,y,z)d
=Jf(x,U,z)d
'. (1.27)
dS-О
S S
И
лииеiiпый
ИIIтегра
lirn
1:.!(х,
У,
z)ds = r
!(х,
у
,
z)ds,
ds_O
с
С
(1
.2 )
гд
С
-
10шет
быть
заМlшутоii
КрllDОИ
или
частью
иривоii.
При
вычислешш
прив
деппых
ИJJТ
гралов
11
обходимо
при
r -
JJЯТЬ
соотв
тствующую
систему
ноординат,
при
этом
интегралы
р
(1
.26)
и
(1.27)
замепЯlОТСЯ
соотв
тствеа-
c;:j
s
по
ДВОЙl1ЫМ
И
TpoiinbIM
интегралами.
ds
~
s р
Зам
нив
фупицию
f
(х,
у,
z)
выт
-
°dv v S
с
у.казаuнъши
дl1фф
ренциаЛЬПЫМI1
фор-
а
ds
Ь
маыи,
придом
J(
Пf>I{ОТОРЫМ
важным
TeopeMa~l.
Рис.
144.
т
е
о
р
о
1\1
а
Г
р
и
п
а.
ЕС
J
Ш
u (1
.26)
j
(х,
у,
z)
зам
нить
на
djy
А
,
то
r
di
у
А
аи
= r
А
. d
v
:s
(1.29)
то
соотпошение
щшеСТIIО
кан
т
е
о
р
l\f
а
r
р
и
R
а
*.
ИПТ
г
рал
в
правой
части
рав
пства
пазыва
тся
nOTOI\OM
в
ктора
А
че
р
з
поверхность
S.
Существует
другая
ФОlmа
этой
т
ор
мы:
J
~~
dv = J
IAd
, (1.30)
v S
г
д
е
(l,
т,
n)
-
направляющие
но
ипусы
ДИl1l1Чllоii
I10рМЭЮf
Р
)
пов
рхпости
в
dS.
Т
е
о
р
е
м
а
т
о
I~
С
а.
Эта
т
орема
ПРИ.\!ОIlЯ
тся
к
ПОJIУСф
-
ричеСRОЙ
пов
рхпости
(см.
рис.
144,
6)
11
может
быть
заПllсаuз
J\aI
s rot
А
. dS = S
А
. d
(1
.
31
)
•
с
Интеграл
в
пра
в
ой
части
называет
я
J~ИРJ
уляци
Й
А
по
С
и
ИJlОГ·
да
за
п
исьшается
как
~
А
.
а
-.
Частuыii
лучай
этоn
ТООР
~!Ы
воз
JJинает,
!{огда
А
являет
я
двумерным
BeJ{ТopOM
Fi + Qj,
а
зам
кнутой
частью
п
лоскости.
Им
м
.\.
(
д
~
-
~:)
ахау
= J
F{lx
+ Qdy.
•
с
(1.32)
•
Теорема
Гаусса-ОстрограАс.l\ого.-
Прuм..
ред
.
266
Это
соотношеJlие
также
вазывается
теоремой
Грина.
В
другом
виде
:эта
теореМА
записывает
я
:как
J
~~
d = S
lQds,
s
с
99.
РЯ
Д
Ы
Ф
Р
ЬЕ
.\
тnPds.
с
(1.33)
Если
t
(х)
п
е
риодич
ская
фушщия
с
периодом
2л,
то
опа
lОжет
быть пр
дставл
на
в
виде
тригопометрического
ряда:
00
00
f
(х)
= +
а
о
+
~
а
т
о
rx + .I
Ь
т
io
rx.
т
=
1
т=
1
(1.34)
Функция
должна
быть
ограниченной
и
о
д
нозначной
в
иптервале
-
л
,,;::
х
-<
л
и
ПМ
ть
кон
'lНoe
число
разрывов.
Представляет
И/JТ
р
С
прим
fI
lIие
тригоuом
трического
ряда
ДJI
Я
раЗЛОFI
ния
таl{ИХ
фуuкциii
.как
и
х х
2
,
хоторые
не
являются
периодическими
фушщия
IИ.
ДЛЯ
этого
используется
толы{о
часть
ф
ункции
.
ле
жащая
D
пр
ДСJl
nХ
от
-
11:
до
л.
Тогда
ряд
(1.34)
будет
пр
дставлять
да
нную
фуrJlШ
,
ИЮ
D
И.IJТ
рвале
-
л
-<
х
-<
л.
Bl:le
этого
ИИТ рвала
ряд
буд
ет
пр
д
таплять
J<РИВУЮ,
подученную
повтор
ни
ем
этого
учаСТJ(а
13
пре
лах
всех
ЛJ1Т
рвалов
2л.
В
ТОЧJ<е
разрыва
р
яд
бу
д
т
давать
рс
д пее
значение
функции.
Для
пол
q
НИЯ
I{ОЭффици
IIТОВ
ряда
Фу
р
ье
(1.34)
дан
пой
фУlIК
ции
используем
формулы:
ан
= n
.f
f
(х)
cos
nхах;
)
-
п
n
1
\.
1t
1
\.
а
о
= n . /
(х)
ах;
-
п
Ь,\
= - t
(х)
sin nxdx. J
n .
-
п
Для
случаев,
упо
{ЯlJУТhIХ
выше,
х
= 2 {
in
х
- +
in
2
х
+ + in
3
х
. . . } ,
-л
<
х
<
л;
1
-
л
-<
х
-<л
.
I
(1.35)
(1.3
6)
в
п
рвый
ряд
вхо д
ят
только
с
инусы,
а
во
второй
-
только
хо
синусы
.
Тю\О
упрощение
оБУСJlавлива
тсл
т
М,
что
х
-
IJ
четuа
я
фУЮЩИЯ,
а
х
2
-
четная
.
Четные
функции
ИА'Iеют
в
общем
случае
вид
]{ривых
1
И
2
(рис. Н.5),
а
нечетпые
-
},ривы
1
11
3.
Интег
ралы
(1.35)
функций
:
267
четно
й
t(
t(
2 r 2 r
а
о
= n
~
f
(х)
ах;
а
n
= n
11
t
(х)
со
nхах;
Ь
n
=
О;
(1.37)
нечетпой
t(
2
('
а
о
=
а'
l
=
О;
Ь
n
= - J f
(х)
sin
nxах.
n
о
(1.38)
Таким
образом
облегчает
я
нахождение
коэффицпеВТОD.
ти
формулы
Т3I<Же
могут
быть
испол
ьзов
аны
для
получ
IIИЯ
П
О
Л
У
пер
и
о
Д
и ч
е с
}{
И
Х
Р я Д
о
в.
По
фор
lулам
(1.35)
I
I
х
х
Ji
71
з
Рис.
145.
Ри
с
.
146.
дпозначно
опред
ЛЯIOтс
я
члены
ряда
Фурье,
пре
дстаВЛЯlOщего
фушщию
f
(х)
в
пределах
-n
<
х
-<
n.
Пр
дположии,
что
ряд
пр
дстав
lяет
фуuкциIO
(кривая
1
на
рис.
145)
только
в
пределах
О
-<
х
-<
n
и
в
то
же
время
сохраняет
п
риод
2n.
Отрицательпая
половина
интервала
может
быть
тогда
запо
IВ
на
любой
кривой,
н
априме
р,
иривой
4,
И
таким
образом
можао
получить
б
еС
I
(ОП
ч
по
'шело
рядов.
В
частности,
если
I<ривая
2
JJСПО
IЬ30В3П3
со
в
мест
п
о
сиривой
1,
то
получим
n
о л
у
пер
]J
о
Д н
ы
ii
Р л Д
n
н
о
с
и
н
у
с
а м,
если
использована
кривая
3 -
п
о
л
у
-
пер
и
о
Д
п
ы
й
р я Д п
о
с
и
н у
с
а
м.
Коэффициенты
:>тих
двух
важных
рядов
находятся
соотв
тственно
)[3
(1
.37)
и
(1.3 ).
Далее
потребуем,
чтобы
ряд
с
периодом
2nпр
дста
влял
фупкциIO
f
(
х
)
ТОЛЬНО
дЛЯ
четверти
интервала
О
~
х
-<
nj2,
а
остальные
Трl!
ч
тв
рти
могли
бы
быть
заполнены
ПРОИЗВОЛЬПО.
ТСIOда
вы
т
-
:кает
возможность
получить
сипусные
или
косипусные
ря
ы, В
ноторых
отсутствуют
четные
или
неч
Тl1ые
гармоники.
Тан
в
случае
кручения
балки
с
прямоугольны
r
или
ceKTopHЫ~!
с е
ч
нием
(см.
35.
Р
е
шения
в
ря
дах
Фурье)
был
иc.nользован
ко
и
яусный
ряд
С
погаш
нной
четной
гар
IOнИl(ОЙ,
который
можно
ПОЛУЧИТЬ,
придавая
функции
винт
рвале
- n
~
х
< n
симметрич
ную
форму, как
показано
на рис
.
146.
Коэффициенты
будут
им
еть
вид:
26
8
п/2
4
а
о
=
О,
а2'1+1
= - f
(х)
со
(2n
+
1)
xdx.
л
(1.39)
Если
фУНКЦИЯ
f
(х)
Cai\Ia
оказывается
четпой
l,ак
в
случае
упо
МНIlУТЫХ
выше
вадач
па
кручеuле,
то
ряд Фурье,
полученный
из
(1.
9),
будет
представ
ять
е
в
интервале
-л/2
-<
х
-<
л
/
2.
Рядом
Фурье
IOжно
представить
фУНКЦИИ
с
любым:
конечным
периодом,
преДПОЛОil
Ш1
2L,
путем
вамены
хна
Т(x
/
L
в
приведенном
выш
разложении.
В
общем
виде
ряд
мож
е
т
быть
записан
тюс
00
{(х)
= +
а
о
+ 2
а
г
со
,
~x
+
~
Ь
Т
'
in
,
~
x
,
а
с
коэффици
нтами
L
т
=
!
r= 1
L
t \.
а
о
= L . f
(х)
dx,
1 nJU
а
"
= L . f
(х
)
со
-т;-
dx,
-L
- L
L
1 l' .
n
n
х
Ь
N
= L J
t(Х)S\П
-
L-
dx
.
- L
Все,
ч т
о
было
J
азано
о
полупериодных
рядах
с
различными
по
гашенными
гармоuика~ш
сохраuя
т
силу,
и
(1
.39)
запишетс
я
L
I2
4
l'
(2n +
1)
1tX
а
2
n+!
= L J f
(х)
cos
L dx.
о
100.
РЕШЕНИЕ
ПЛОСl<ИХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ
И
БИТАРМОНИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИn
(1.40)
За
исключением
нескольких
специальных
случаев,
общ
е
Р
"
ш
ние
дифферепциальных
уравнений
с
частными
прои
зв
одныr.rи
представляет
собоii
очень
сложную
задачу.
Даже
если
такие
ре
щеuия
и
удается
получить,
то
они
вrшючают
в
себя
про
изволыrые
ФУШЩlIП,
которыо
нельвя
определить
при
решении
праltтич
ских
задач.
Оказыва
тся,
что
многие
задачи
можно
решить
пут&М
ис
польз
ванил
решений,
записываемых
в
вид
произведенип
функ
циii
J1езавиеимых
пер
шнных.
По
;)то~ry
сначала
исследуем
'l'O.Юfе
решения
для
гар
юнического
уравпен-ия.
2у
a
2
V +
д2V
О
1 =
д
х2
д
у
2
= .
В
соотв
е
тствии
с
этим
будем
ИСJ,ать
реmспия
в
виде
V =
Х
(х)
У
у).
Подставляя,
найдем,
что
269