Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
5.
Если
?х
= -
Т,
уу
=
Т
,
;у
=
о,
ч'
=
;;
=
о,
то
е
=
о
11
Ф
=-2Т.
. n
-1-
Для
на
п
равления
под
углом
n
4508'
=
О
и
ф'
= -
2Те
<!
=
2iT
.
Отн:уда
;;-n
=
;;
=
о,
;;s
=
Т,
т.
е.
по
лучим
чистый
сд
виг
.
6.
Ненулевыми
:КОМПОFJентами
налряжепия
будут
ТОЛЫЮ
XZ.
yz,
?Z.
Главные
напряжеuия
наUдеr.1
из
ураваепия
-л
о
xz
О
-л
yz =
О.
xz yz
zz
-
л
О
тнуда
или
1
.'.
л
= +
т
± (+
т2
+
q~J2.
Этот
результат
непосредственно
примеНИJII
н
бал]{е
лод
действием
J<р
учения
или
изгиба
со
сдвигом.
10
8.
К
Г
ЛАВЕ
11
1.
k
rotD
=
с
д
д
д
=
0.
эх
ду
'дZ
(10х
+
Зу)
(Зх
+
2у)
6z
8
хх
=
1
0е
,
8
уу
=
2е,
8
и
=
ОС.
8
ху
=
Зе,
8
у
•
=
8х:
=
О.
Главн
ые
удлинеlШЯ
определяются
зпачениюш
t,
ПО.ТJ
чепными
из
уравнения
(
1
0е-
t)
Зе
О
Оп
,уда
t =
с,
6е,
Н
е.
280
3с
(2е
- t)
О
о
о
=0
.
(6е-
t)
2.
Вследствие
аналогии
(1.18)
п
(
II
.11)
ДОI{азате
IbCTBO
следует
непосредствеuпо
из
(1.32):
8%%
+
8
УII
=
О;
•..
8
n
п
+
8.
в
=
О,
•..
8
пn
= 8 •• =
О,
+
2
·
2' 2ia
€
xx
-
81111
t8%1I =
юе
;
8
"
п
- 8 •• +
2i8
ns
=
2ia;
8
п
•
=
а.
-
3.
Принять
8
х
:
= 81
И
8
х
%
=
82'
а
ХОх
=
а.
Для
второй
де-
формации
8
х
:
+
i8
11l
= 82 (cos
а
+ i in
а).
С.1Jедовательпо,
суmшрная
де
формация
сдвига
будет
8%%
= 81 + 82 cos
а,
811%
= 82 in
а
с
р
зультирующей
1
{
8i
+
8~
+
28182
соэ
а
}Т
.
4.
TaI{
как ураnЕ
ния
преобразования
l
ДЛЯ
I\омбипаций
Д
формаций
подобпы
та-
кпм
уравнениям
ДЛЯ
комбинациИ
напря-
ж
нии,
то
ДЛЯ
главных
деформаций
можем
n l--'R
,.j--
~
r--;
+-t
-+;
прпмеш(ть
круговую
диаграhНfУ
Мора
(
с
м.
рис.
150).
82
=
С
+ r
со
2у
;
81
=
с
+
гсо
(2у
+
2а);
Рис.
150.
8
з
=
С
+ r
со
(2у
-
2а).
И
ключив
С
J1
Г,
иайдем
требуемый
УГОЛ.
Главные
д
е
формации
ОА
=
8
р
И
ОВ
=
89'
Если
а
=
лj4,
1 t
82
=
Т
(8
р
+ 8q) +
Т
(8
р
- 8
q
)
соэ
2у;
1 1
81 =
Т
(8
р
+
8q)
-
Т
(8
р
- 8
q
)
in
2у;
1 1
88
= 2"'
(8
р
+
8q)
+
т(8
р
- 8
q
)
in
2у,
что
приводит
К
требуемым
результатам
для
8 р
и
8q.
5.
~
=
T.
т
8
Х
%=Е'
уТ
81111
= 8
n
= -
Е
•
другие
компопепты
равны
пулю.
281
тз..-...
.-...
-...
Из
(X.21)
rv
=
2Е'
хх
=
уу
=
zz
=
Т,
остальные
компоненты
равны
пулю.
На
основании
(
11.
34)
(1
-
2\1)
Т
В
хх
=
В
Уll
=
В
..
=
Е
Остальные
компоuенты
равны
нулю
зТ'~
... w =
2Е
(1
- 2v).
109. I(
ГЛАВЕ
Ш
1.
Обр
ащаясь
R
рис.
19,
б,
найдем,
что
и
о
= -
z2/2R,
~
= -
z2
/2R',
а
полныii
прогиб
V =
-z2/2R
o
,
определяем
по
фор
f)'Л
у
2
=
=
и~
+
~2.
2. tg
(Хl
= -
+,
[
х
= +
аЬ
З
,
[у
=
-}
аЗЬ
и
таЮ1J\J
образом
из
(III.14) tg
~1
= (+(
3.
жимающая
сила
Р
действует
в
точке
(а,
Ь),
так
что
L = -
РЬ,
М
=
Ра,
R
'
= _
4Еа
2
Ь
ЭР
.
1
1
ЭР
(a~
+
ь!)2
Используя
решение
задачи
1,
ПОЛУ'l
~
аем
R = 4
Еа
2
Ь
2
о
Направлени
е
плоскости
и
з
гиба
найдем
иа
равенства
Я'
а
tg~l
=л=
7)'
Из
(111
.
16)
получаем
уравнение
нейтральной
оси
z
у
1
4+7)
+з=
0.
Теперь
леГI{О
находим,
что
отношение
пл
ощади
сжатия
({
площади
растюкения
равно
47
: 25.
4.
Пусть
Ох,
Оу
есть
главные
центральные
оси
[
х
=
а~Л2,
[
11
=
a~
/24,
(Хl
= 135
о
и
по
этому
tg
~1
= -
3.
Криви
зны
КООР-
282
диватных
плосностей
найдем
из
соотношений
(ри\;.
151)
G
Еl
ж
L =
J!
2=Л-
1
36
У2С
.
7Г=
-g;;.
-
lIf
=
~
= _
Е/1/
. 1 _ j 2 J
f
2G
2
Л'
, .
'Л'
-
-
-
Еа
4
-
Полное]]
р
е
мещ
ние
центра
тяжести
О
в
DЛОСI(О
СТ
И
изгиба
равно
ON;
кривиз
-
ПЛО
С
l(осmо
и
Э
?
fJ6й
..
1
245С
на
8
этоu
ПЛОСl\оСТИ
Л
О
=
-
E
~
Величины
1/R
и
1/R'
ЯВllЯIOТСЯ
1<РИВИЗ
нами
проекций
ОСИ
на
координатные
ПЛОСНОС
Т
П,
а
так
[(а!(
они
пропорцио
l1алыlы
компоu
еllта
f n
ремещевия
по
;JТИМ
uаправления
1,
то
ИХ
можно
раз
по})
ить
В
ЛlOбоfi
ПЛОСJ{ОСТИ
и
таким
обр
з
ом
ПОJlУЧИТЬ
НРИВИЗlIУ
проекции
Рис.
151.
оси
на
;JTOll
ПЛОСI{ОСТИ.
В
частности,
вертикальная
кривизна
1 1
о
48G
- =
-
Л
cos(135
-~l)
=
-
Е
4 .
ру
о
а
И
u
ф
1
JI1
1
з
про
тои
ормулы
R =
ЕТ ,где
-
момент
инерции
попер
еч-
ного
сечепия
ОТlIосительuо
оси
пары,
раВ6ЫЙ
~
(/
х
+ /1/) =
а'/36,
1
36С
31
тан
что
-
л
-
=
-
Е
4 = -4
-.
Тю{
J{aK
плоскость
изгиба
и
lJЛО-
~
a
Ру
сность
прило
жеН
lIОЙ
пары
не
совпадают,
то
обычная
фОРМ
Уll
а
не
может
быть
з
ь
ПРИl\lев
на.
«ГоризоптальпуIO
!,ривизну»
най
дем
из
выражения
_ 1_ = R
1
sin (1350 -
~l)
= -
21
_1_.
Р
Il
О
ру
5.
Ц
IlТр
тяж
ст
п
паходится
па
оси
симметрии
на
раССТОЯ6ИИ
a~
+
аЬ
-
Ь
2
Р
от
внешнего
угла,
г
де
р
= _ .
Главные
10менты
от-
2
(а
+
Ь)
посит
ЛЬНО
оси
сими
ТрПИ
И
перпеНДИ1<уляра
к
пей,
проходящ
е
го
через
цептр
тлшести,
равны
1
а
2
Ь
2
(а
2
-
Ь
2
)
1
/
Х=
12(а
4
-
Ь
4
)-
2(а
+
Ь)2
,
111
=
12
(а
4
_Ь
4
).
Так
же
]
ак
и
в
предыдущей
задаче
(а
=
135j
1
РII
_
Sill(
1
35°-~
L)
tg~
L
+
1
'1/-Т"
- 1- -
cos{135
°
-~L)
=
-
tg
-
~1-1
=
11/
+ I
x
Pv
28
3
6.
L = -
P~
=
Е;
k~
n
М
=
Ра
= -
~~
k~,
Т
= -
Р/А.
"Уравпение
нейтральной
о
и
(I
II
.16)
прим
т
теперь
требуемый
вид
.
3ха
3y~
Для
прямоугольного
сечения
~
+
Ь
2
+ 1 =
О
.
Если
по
ч
пию
отверстия
действу
т
СiJ\имающая
сила,
эта
ПРЯlll
ая пе
д
олж
н а
перес
е
нать
его
1<ОНТ
р.
ИСI\ЛIОЧ
шrеll1
яв
ля
тс я
слу
ч
ай,
I
огда
2а/з
зhjl{
'-
:А
~
<:>
-
~
r
.-
f-c-,.,
~
'2а
Зh
а
Рис.
152.
пейтральн
а
я
о
ь
про
х
одит
через
угол,
наприм
р
,
чер
з
ТОЧНУ
а
р
1
(-
а,
-Ь),
Т.
.,
когда
а
+
ь
= 3
и
тогда
точка
(а,
Р)
де»
вт
.,х
+
у
1
Н
Ш1
прямои
а
ь
=
3'
а
основ
ании
симметрии
ч
ТЫр
.
нвадраа-
тов
находим,
что
точна
при
доже
ния
нагрузки
должна
на одиться
в
с е
р
дине
ромба,
1<ан
поназ
ан
о
на
рис.
152,
а
(заштриховапuые
оБJIасти
называются
яд
ром
поперечного
сеч
ния,
J{OTOPO
име
Т
в
ажное
зпачение
в
теории
нагруж
нных
HOJIOHIl).
ДJIЯ
I
<РУГЛ
ОГО
сечения
(см.
рис.
152,
б)
ypaBIl
ние
п
еllтралыюй
ОСИ
будет
а
2
xa
+
Y~
+T=
O'
Т. е.
нейтральная
ось
прохо
дит
вне
01<РУ
ЖНОСТJI
r =
а,
CC
J
III
а
2
+
~2
<
(:
)2
.
Для
равно
сторо
пне
г
о
треугольпина
(см.
ри
с.
2
7)
пеiiтра
л
ыlнH
h
2
ось
ха
+
у ~
+"2 =
О
проходит
через
вершину
(- 2h,
О),
СЛll
а
=
h/4
.
По
симметрии
получаем
треугольник,
ПОl<азаППЫll
на
рис
.
152,
в,
ра
з
fepbl
которого
уменьшепы
в ч
тыр
раза
по
с
р
авнепию
с
ра
з
м
е
р
ам
и
исходного
треУГОJIЬПИl\а.
-
Су
7.
ЕДИllственньш
напряжением
здесь
будет
zz
=
т
'
ОТl
tуда
B
zz
=
су
.
и
таним
обра
зом
иа
(Х
.
2
1)
EI
284
Полная
эиергия
деформации
па
ДЛИЕrу
l
r WldA =
G2l
\"
2dA
=
~
.
.\
2Е[2
.
У
2Е/
А
А
110.
R
ГЛАВЕ
rv
1.
Из
(IV.31)
результирующая
попер
ечная
сил
f
q =
a22~'
Ь
2
'
a~y2
+ b
4
x
2
j2
.
Длипа
пери
нди/{уляра
из
центра
на
I{асательиую
плос/{ост
ь
р
=
~-=;=;;;==;=~=
уа
4
у
2
+
Ь
4
х
2
Таким
образом,
па
основапии
(IV.30)
2!l"C0.
2
b
2
2N
q = (0.2 +
Ь
2
)
Р
=
п
абр
.
1
2.
Для
эллипса
А
=
nаЬ
,
J =
1;
nаЬ
(а
2
+
Ь
2
),
3.
Для
сечения
(см.
рис.
29)
из
(IV.63)
аЬ
2
,~
=
агсо
0-
--
cos8.
r
Траектории
I<асательных
напрнжепий,
определяемые
из
условия,
будут
иметь
уравнения:
аЬ
З
1
Х
=
агсо
8 - - r- cos 8 -
т
г2
= cons
t;
(г
2
-
Ь
2
)
(
-7-
cos
о
-
+)
= const.
4.
Преобразоваuие
единичной
окружности
в ~
плоскости
зада
етс
я
формуло
й
i~
i~
2
Z = re
iO
= +
а(1
+
е
Н
})2
= f
ae
i
~
(е
2
+
е
-2) -
=
2асо
2{}.
ei~
=
а(1
+
со
{})ei~.
От/{у
да
r =
а
(1
+
со
{})
и
8=
{)
и,
следовате,;r:ЫIО,
Оl{ончательп
о
получа
ем
требуемую
I{ардиоиду
как
образ
у.
Трае/{тории
({асатель-
1
ных
вапряжениii
нах
одим
из
условия
Х
=
'ф
-
-
2
-
г2
=
const,
ДJIЯ
это
го
необходи.м
ком
плексны
й
потенциал.
И
з
(lV.70)
__
t_
S
+ia
2
(1
+
а)2
(1
+
+)2
u)
(~)
-
2ш
а
_
~
аа
+
соп
t
,.
'v
Используя
формулу
(2.16)
из
приложения
2
u)
(~)
= +
ia
2
(~2
+
4~)
=
ер
+
i\j>.
Т
перь
~
= V
::
-
1.
Таким
образом
\j>
= +
а
2
{1
+ :
cos
е
+ 2 V
~
со
{-}
ИЗ
уС.повия
Х
=
011
t
получим
ИСI<ОМО
уравнею:r
.
5.
Если
~
=
e
l
~,
z =
(а
+
Ь со
'I'l)e
it
',
то
еДИRИЧllая
онружностъ
i
преоб
разу
ется
в
кривую
r =
а
+
Ь
соз
е.
Из
(1
.70)
w
(~)
=
2~i
.\
i
{аа
+ +
ь
(1
+
02)}{
~
+ +
ь
(1
+
--\-
)}
/~
~
=
v
= i (
ab~
+ +
b2~2
)
.
Далее
из
(1 .72)
на
основании
Teope~fbl
u
вычетах
(см.
формулу
(
.1
::»
из
при.'10жения
2)
=
Re[
+~1:i
J
{а
2
+
аЬ
(0 +
+)
+
+ +
Ь
2
(
02
+
~2
+ 2)
}[
2
(аЬ
+ +
Ь
2
о)
-
-
{+
+
~
Ь
1 +
~2
)
}
(а
+
ьа)]
ао
=
:6
n~'(8а4
+
8а
2
Ь
2
+
Ь').
6.
U)Щ=2~"
(аО
+
Ь0
4
)(..!:..
+
-;-)
аа
+ const =
ia
b
~
3+
col1
t.
Л~
'\1
(J (J
(J
-
да.1ее,
как
и
в
задаче
5, = +
n~Т
(а
2
+
2Ь
2
)2.
tIJ,
К
ГЛАВЕ
V
1.
,
10а:nо
по"азать,
что
дапн.ое
пере~'lещеFIие
удоn.тrеТВОРJlет
(П.З8).
Из
ФОР
)
I
у.-
J
Ы
(1.15)
ПРи:Iожения
1:
l'otD
=
С
[
~
~
+
а х
у]
i -
С
[
:;
+
(1
-
а)
(Z2
-
х
2
)
j -
2CayZk
286
и
r
ot
rot
D =
2С
(1
-
2а)
(Zi + xk).
Из
отдел
ьпых
}(о~шонентов
2
О
= -
С
(1
-
а)
(Zi + xk).
Используя
(II
.33)
и
(VI.
О),
мощно
про
верить
равен
с
тво.
Составляющие
дефор
мации:
Е
хх
=
ЕУ!I
= - CaxZ;
€zz
=
С
(1
-
а)
xZ;
2
-
С
д!р.
2 -
С
r
дч>
2
2}
О
Е
у:
-
ау
, €
x:
- \ ах +
ау
-
х
,
Еху
= .
Составляющие
папрящ
пия:
хх
=
уу
=
-;
= 2flCxZ;
?z
=
CII
f
дч>
'
ay~
- .2
2}
.
~
= Cfl
дч>
?у
=
О;
г
\
ОХ
I ,
ду
,
~
=
C~t
{
::
+
ау2
-
х
2
}
;
yz
= - Cfl
~
.
Рассматривая
реЗУJ[ьт
ирующи
е
силы
и
пары
по
поперечному
сечению
(c~r.
12.
Р
ЗУ:I
ЬТl1рующие
си
и
моментов
по
попер
'lНor.fY
сечеНИ
I),
С.1И
llачало
координат
uахо
ится
в
центре
тяжести
се
че
н
ия:
х
= S ?zdS = .\
х
д~
d =
2flCi;
s s
у
=
.\
Yzd
s
\
.
д';;
d 2
СЕ!
у
-
= fl ;
s
д:
z = r
;;а
=
о.
s
П
О
TO.IY
РС3У:
IЪПIРУlOщ
а
я
касательпых
наПРЯi-I,епиЙ;J.
iicTByeT
под
УГ.l0\{
al'clg
~
j,
ОСН
х.
Тра
КТОРИИ
RacaTe.'Ibиыx
наП
РЯЖ
СUЮJ
- -
су
d'x
на
jiдем
нз
уравненпя
lx
z +
ту::.
=
О,
где
l =
d$,
'n
= -
cL<
-
наПРII.В.
Т
IЯIOщне
КОСИПУСЫ
НОР~Ш.III
({
ЛИJПlП
касательн
ого
наПРЮl\е
I'ШТ.
ПодстаВ
:
JЯЯ
сюда
з
пачеп
ия
ПЗПрЮl
Flиii,
ПО.1I
УЧП~
1
.!!JL
i
Uф
+
а
2 _
х
2
)
+
dx
дч>
=
О
а$
\
оу
у
ds
ох
и
л
и
d'Ф
+ ay
2
dy - x2dy =
О.
287
Если
1jJ
=
Ау
+
В
(~
уЗ
_
х2у)
ТО
d
(х
9
)
+ 8 + t
~
=
3
'd!J
8
у
=
~~+
8 + 0
У
8
у
В '
т.
е.
получаем
линейпо
е,
первого
порядка
дифференциальное
урав
нение
относительно
х
2
,
интегрируя
которое,
получим
ответ.
Для:
1 2 3 +
2v
1 1 +
2v
круглого
контура
А
=
Т
а
1 + v '
В
= -
т
-Т:tV
.
ТаlШМ
образом,
линии
касательных
папряжений
приобретают
вид:
З+2
v
х
2
+
у2
_
а2
=
Ку
1
+2v
.
2.
По
окрушности
радиуса
r
S x
2
dy = S
(г
2
-
у2)
dy =
г~y
- +
уЗ.
Поэтому
па
ОКРУЖНОСТЯХ
r =
а
11
r =
Ь
1jJ
=
r
2
у
-
+(1
+
а)
уЗ
+ const =
+(3
-
а)
r3
in
О
+
+
112
(1
+
а)
r3
sin 38 + const.
Для
того,
чтобы
удовлетворить
краевое
условие
данным
'Р,
DОЛО-
жим:
в
1
Аа
+
а
=
т
(3 -
а)
аЗ;
1
С
=
12"(
1 +
а);
АЬ
+
~
=
~
(3
-
а)
Ь
З
или
А
=
~
(а
2
+
Ь
2
)
(3 -
а),
В
= - +
a'1.b~
(3
-
а)
,
,-огда
~ ~ ~
W[д
Ф
rz = xzcose + y
zsinO
=
2г
aycosO-
(X
2
_ay2)COSO-
-
дф
sin
е]
=
~
[...!..-
дф
-
г
2
(со
2
О
-
а
sin
2
О)
cos
е]
дх
21
r
д6
и
окончательно
~
W
(а
2
_r
2
)
(г
З
-
Ь
2
)
rz
= 2n (3 -
а)
cos
е
(а4
_
Ь
4
)
г
2
112
.
К
Г
ЛАВЕ
VI
1.
Используя
(VI.69),
найдем
21!D
=
{(kA
-
С)
ln r -
2Br2
-
F}
+ (Ak +
С)
ie
+
+ (
Bkr2
-
А
-
~)
е2
Щ
•
Краевые
условия
имеют
вид:
на
новтуре
r =
а
D =
а;
на
ковтуре
r =
Ь
D =
О.
Отиуда
и
F =
2kA
ln
Ь
-
2ВЬ
2
•
На
основании
(VI.38)
Х
+
iY
= - i I
[<р
(z)
+
zq;'
(Z)
+
'i'
Й]
1,
где
выражение
в
квадратны
скобках
означает
приращевие
функ
ции
за
один
обход
контура.
Таким
образом
Х
= 2n
(А
_
С)
=
__
2л-!-J.Ld_k->.(k_+-=---1.:....;)
(,-а
2
_+,--Ь2..:....)
_
а
k
2
(a
Z
+
Ь2)
ln
_ -
а
2
+
Ь
2
Ь
2.
Нагрузку
по
контуру
можно
пр
ед
ставить
в
виде
ряда
Фурье,
J{оторый
всле
дствие
си~1Метрии
относительно
нуля
и
'ЛJ2
будет
ко
с
пнусным
рядом
с
четной
гармоникой
(см.
99.
Ряды
Фурье).
Поэтому
'-'
__
1
~
f
(е)
=
(гг
+
irO)r
=a =
2'
а
о
+
~
а
2n
cos
2n8,
n= 1
г
де
n
1.}2
(х,
а
о
= n J
не)
de
=
_...2.L
r
ае
= -
:!!.!!:...
n
.J
n
о
и
n
4 2
а2
n
= -
\'
f
(е)
со
n,
а:
2n8de = -
~
r cos 2n8de = -
...3L
sin
2na,
n J
nn
о
о
19 Д
.
Е,
Р
.
Гор.фри
289