Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
найдем
и
з
(IX.62)
_ k
1
М
(z
+
Аа
2
)
_
~
z (1 _
A~~)
_
м
(z
+
~2
+
са
4
)
=
о.
4р
%
4
Р
%2
2Р
% ?
При
z =
ae
i6
(k
1
A +
2)
e-
i8
+
(k
1
+ 1 +
2В)
e
i8
+
(2С
-
А)
e
3i8
=
О
.
Откуда
получаем
следующие
значения
коэффициентов:
211
А
= -
k;'
в
=
-""2
(1
+ kJ,
С
= -
т.'
Необходимые
ко?шле:кспые
потенциалы
теперь
принимают
вид:
М
{
2а
2
1}
<р
(z)
= -
4Р
z -
--т;
-:
;
М
{1
а
2
а
4
1}
'ф
(
z)
= -
2Р
z -
""2
(1
+ k
1
)
"7
-
т;
zЗ
•
В
точке
(Т,
е)
пластины:
;ё
= +
м
[(1
+
")
(1 -
;:)
+
+
(1
_ ") {1
__
4'11
_ _
а_
3
_
~(
_
1
_
-
_
V
_
)
_
а
4
}
со
3 +
'11
г~
3 +
'11
г
4
er
= +
м
[ -
(1
+
")
(1 +
~)
+
+
(1
- ") {1 +
_
4_~
_ 3(1 -
'11)
~}co
3 +
'11
г
2
3 +
'11
г'
ее
= -
;,.
= - _1
М
(1
_ ") [1 _ _
2
~
(1
-;-
-_v
-,-
)
4 2 +
2 3 +
'11
тз
+
3(1-'11)
~]
.
2е.
3+'11
га
SlD
,
4Ма
2
rz =
-,.э-'
1-'11
3 +
'11
cos2e;
1-'11
.
2е
3 +
'11
sш
.
I
(IX.71)
(
IX
.72)
j
Хотя
крутящий
момент
не
обращается
в
нуль
вокруг
отверстия
,
легко
убедиться
в
том,
что
(
-)
~
1
дгг
rz
-~-
=
0.
а д6
r-o
Таким
образом
обобщенная
поперечная
сила
равна
нулю,
как
и
следовало
ожидать.
Вместе
с
теы
по
контуру
отверстия
радиа
ль-
210
вый
элем
нт
подвергается
действию
изгибающего
момента
8,.
=
-М(1
+
оу){1-
2~
+
:}
соз20}
М
=
(1
+
,,)
(5 - ,,)
при
наибольшем
'шслеаном
эва
чевии
3+ "
В.
Чистый
всесторовний
изгиб
большой
пластины
с
квадратIIыJ\f
отверстием
В
этом
примере
будет
использован
прямой
метод
Мусхелишвили.
Снова
пр
образуе
1
квадрат
в
единичную
окрущность
I
~
I = 1
в
плоскости
Z,
с
помощью
преобразовавия
(VI.134).
В
обозначениях
(см.
55.
Прямой
{етод
Мусхелишвили)
комплексные
потенциалы,
соответствующие
состоянию
чистого
всестороннего
изгиба
на
боль
ших
расстояниях,
при~ryт
вид:
М
<р*
Ш
= -
2Р(1
+
")
z
(~);
'I'*Ш
=
о.
}
(IX.73)
Следовательно
<p(~)
=
-
2P~
~
V)
(+
-
+~З)
+
<Ро(~);
} (IX.74)
'~Ш
=
'l'оШ
,
где
<Ро
Ю
и
'1'0
(~)
определяются
из
соотношений
(VI.120).
Краевое
условие
(IX.62)
в
плос}<ости
~
принимает
вид:
k1<рШ
+
:
(~
<р'
(~)
+
'I'а)
=
о
z'
Ш
- 1
или
на
единичной
окружности
при
~
= -
(J
k,~(a)
+
,,(+)
~,(
+)
+
ф
(+)
~
о.
(IX.75)
Подставляя
комплексные
потенциалы
(IX.74)
в
(IX.75),
найдем
k1<po
(а)
+ +
а
2::
+
~
<p~
(+)
+
'Ро
(+)
=
Мс
(1
1)
(IX.76)
= -
P(1
-
v)
,а
-
т
uз
,
что
является
условием,
которое
должны
удовлетворять
<Ро
(~)
и
'1'0
{С)
на
единичной
окрущности
I
~
I = 1.
Теперь
мощно
применить
метод
Мусхелишвили,
и,
интегрируя
так
же,
1<IШ
и
в
случае
урав
нения
(VI.136),
получаем
Мс
Ч:о
(~)
= -
6Р(
3 +
")
~3.
(IX.77)
211
Возьмем
от
(IX.76)
сопряженную
ФУНIЩИЮ
и,
заменяя
а
на...!..,
~
а
будем
иметь
k1cPo
(
~
) +
3~
~
=-
в:
<P~
(а)
+
'1'0
(а)
= -
р
(
/~
v
(
а
-
~з).
v 1 1 u
J
множая
на
2лi
а
_
~
и
интегрируя
по
едипичпои
окружности,
получим
в
данном
случае
_
Мс
Мс
~
(1-6~4)
'1'0
(~)
- -
Р(1
_
")
~
+
6Р
(3
+
")
2 +
~4
=
'1'
"). (IX.78)
Из
(IX.74)
и
(IX.77)
(
1')
_
м
с
{1
1 1 -v
з}
<р
."
- -
2Р
1 + v
т
- 6
(1
+
")
(3 +
")
~
.
(IX.
79)
l;
-
гра8
.
Рис.
119.
Теперь
найдем
изгибающий
момент,
дей
ствующий
на
элементы,
перпендикуляр
ные
К
контуру.
В
полярных
коордпнатах
р
и
(}
наш
контур
является
одной
из
окруж
ностей
семейства
р
= const
(рис.
119).
Следовательно,
изгибающий
момент,
дей
ствующий
на
лежащий
в
направлении
'1'}
= const
элемент,
запишется
как
(}р.
Изгибающий
момент
на
саМОЪf
контуре
будет
pt),
который
в
данном
случае
ра
вен
нулю.
Таким
образом, если
л'
=
p~
-
t}p
= -
2Р
(1 +
")
{
<р:
Ю
+
~'
~б
} _
z Ю z'
(.)
I t \
_1
<р'
(<1)
= -
4Р(1
+
v)Re
z
'(a)
,
(
i
)
__
~
13
+
3\1
+ 8
соз
4{)
Р
р-!
- 3 + v 5 + 4
соз
4{)
•
~.
КРУГ
ЛАЯ
ПЛАСТИНА
Приведем
несколько
важных
задач
для
I<РУГЛОЙ
пластины
и
при
этом
воспользуемся
возможностыо
показать
метод
решения
без
ИСПОJIьзо
вания
комплек
сных
потенциалов.
Все
необходимые
эле
м
енты,
характеризующие
напряженное
состояние,
выразим
через
п
е
ремещение
срединной
п
лоскости
ш,
которое
в
свою
очередь
дол
ж
и
удовлетворять
уравнение
(IX.47).
Исходя
из
известных
решений
;}
то
г о
уравнения,
построим
решения
для
рассматриваемых
кр
а
е
вых
задач.
212
Для
начала
выразим
необходимые
нам
соотношения
в
полярных
ноординатахо
Быражеппя
для
комбинаций
момеВ1;НЫХ
напряжений
А',
Г'
t
могут
быть
получены
из
(IXo41)
и
(IXo42):
- -
А'
=
re
-
er
=
л
= -
р
(1
+
")
V
2
w
(IX.80)
Так
как
н
из
(УПо11)
а
1
iO
(
а
i
а)
a"i
==
т
е
Тr+
Tдe
о
Найдем
после
некоторых
преобразовавий:
-
р
a
2
w
р2
re
= -
(1
-
")
aг~
- v V
ш;
)
-
B2w
О,
= -
Р(1-
")
а
г
е
+ PV
2
w;
(IXo81)
,:; = -
ее
=
Р
(1 -
")
:г
(+
::)
о
Также,
на
ОСDовании
(IXo43)
Танин
образом
~
д
rz
= -
Р
тr
(V2
W
);
~
Р
а
ez
=
-7ае(
2
ш
)о
I
(IXo82)
Подобные
выражения
могут
быть
получены
для
любой
системы
криволинейных
координат
*
о
Условия
(IXo53)
и
(IXo54)
для
свободно
опертого
и
защемленного
контуров
r = const
также
легко
выражаются
в
полярных
коор
ди
натах.
•
Ао
С.
S t
е
v
е
n s
о
n, Philo
Mago
, vol. 34,
ро
105.
213
Свободно
опертый
контур.
Поскольку
W =
О
для
всего
контура,
D
2
w
т.
е.
для
всех
в,
д(}2
=
О,
то
исходя
из
ТОГО,
что
изгибающий
МО-
-
мент
те
таЮl\е
равен
нулю,
02
W
'у
дto
-
д
·
+--0
-
=0.
,.. r г
(IX.
83)
Защемлепныii
контур.
Непосредственно
из
(IX.54)
находим
Ow
Ш=дг-=О
.
(IX.84)
D
2
w
Здесь
также
08
Z
=
О,
поэтому
изгибающие
моменты
па
ItOHType
при
учете
(IX.81)
будут иметь
вид:
(IX.85)
или
вт
= - vr6.
(IX.86)
Эти
результаты
оиазываются
верными
для
защемленного
I{ОН
тура
любой
формы
и
часто
позволяют
получать
общий
момепт
за
щемления
в
точие
контура,
где
нормаль
имеет
направление
n,
- -
ПОСКОЛЬКУ
из
(IX.80),
тю,
как
Л'
= nS - sn,
(IX.87)
Все
рассматриваемые
здесь
пагрузки
симметричны
относитель
но
оси
Z,
так
что
перемещевие
w
не
будет
зависеть
от
в.
В
соответ
ствии
с
этим
(IX.47)
упрощается
и принимает
удобный
для
инте
гри
рования
вид
V
4
-
р
W - -
21
tP ,
(IX.88)
где
(IX.89)
Легко
пров
ерить,
что
частный
интеграл
уравнепия
(IX.88)
в
слу
чае,
когда
р
= const,
равен
ш=-
рг
4
128hP
(IX.90)
Для
того,
чтобы найти
частное
решение
дифференциального
урав
нения,
напишем
(IX.91)
21~
TaR
что
Ш
1
удовлетворяет
уравнение
+.
~
(Т
~1)
=
О.
От)<уда
после
ив:тегрирования
получаем
Ш
1
=
А'
ln
Т
+
В'.
На
основании
(IX.91)
частное
решение
теперь
удовлетворяет
урав
вени
- . -
Т
-
=
ПТ
+
1 d (
dW)
А'
1
В
'
r dr
аг
'
иnт
е
грирование
которого
дает
частное
решение
(А
1
т
2
+
В
J
ln
Т
+
+
С
1
т
2
+ D
1
,
откуда
получаем
полное
решение
уравнения
(IX.88)
в
виде
W = -
1~hP
{
(Ar2
+
В)
ln
Т
+
Cr2
+ D +
т
4
)
,
(IX.92)
где
А,
В,
С,
D -
произвольные
постоянные.
В
paCCMOTpeRRЬL~
виже
примерах
не
ставили
перед собой
цели
дать
исчерпывающий
перечень
уже
решенных
задач
*.
но
привели
примеры
на
разны
е
типы
нагрузок
и
RpaeBblX
условий.
А.
Равномерно
нагруженная
круглан
ПШiСТпва
Так
l<ак
центр
пластины,
где
т
=
О,
является
точкой
с
конечным
прогибом,
то
решение
(IX.92)
дЛЯ
W
в
применеиии
к
дапвому
слу
чаю
не
будет
иметь
членов,
содержащих
ln r,
следовательно
W = - tz%hP
(C,.s
+ D +
т4)
.
Для
свободно
опертого
края
из
(IX
.83)
р
(2
_2)
(' 5 +
"2
2)
W = - 128hP
а
-
г
, 1 + "
а
-
Т
•
(IX.93)
Для
за
щемлеНRОГО
края
из
(IX.84)
р
(2
2)2
W = - 128hP
а
- r .
(IX.94)
5+ "
Лег
о
видеть,
что
.8
случае
свободно
опертого
края
прогиб
в
1 + "
раз
больше,
че
{
в
случае
защемленного
края.
Б.
Давлеппе,
равномерно
распред
еле
нное
по
части
поверхности
Предположим,
что
пластина
равном
е
рно
нагружена
по
концен
трично
му
ей
((ругу
радиуса
Ь.
Изогнутая
поверхность
пластины
выразится
сл
дующими
уравнениями:
• D
е
n
Н
а
r t
о
g, Advanced Strength
of
Materials,
р.
127.
215
при
0-<
r
-<
Ь
Ш=-
р
(Cr
2
+ D + r
4
);
128hP
(IX.95)
при
Ь
-<
r
-<
а
Ш=-
1~hP {(Ar2+B)ln
r
+F~
+
G
J
.
Так
же,
как и
в
теории
балки,
условия
при
r =
Ь
требуют
непре
рывности
угла
наклона,
прогиба,
изгибающего
момента
и
попереч
-
ной
силы.
Поскольку
изгибающий
момент
r8
непрерывный
и
вклю
-
dw
d2w
чает
в
себя
проивводвые
-а;:-
и
([;Г,
то
nследствие
непрерывности
~
функция
'::r~
также
будет
непрерывной.
Ив
(IX
.82)
касатель
ная
результирующая
определится
выражением
~
d
{еРш
1
dW
}
rz=-P-
--
+-
--
drdr
t
rdr
'
d'ш
так
что
она
будет
непрерывной
при
непрерывности
-;r;:г.
Легко
убедиться,
что
функция
W
и
ее
произво
дные
до
третьего
порядка
должны
быть
непрерывными
на
контуре
r =
Ь.
На
контуре
r =
а
оба
условия
будут
определяться
харю{тером
опоры
.
Всего
мы
име
ем
шесть
условий
для
определения
шести
постоянных,
входящих
в
уравнения
(IX.95).
ДЛЯ
защемленного
внешнего
контура
максимальный
прогиб,
который
имеет
место
в
центре,
составит
Ш
О
= -
1:В~P
(
4
д
2
-
3b
Z
-
4
Ь
2
]n
-+)
,
-
рЬ2
(2
2
Ь
2
)
а
момент
защемления
- r8 = 16ha
2
а
- .
Для
свободно
опертого
внешнего
контура
ма
к
сималыIый
про
гиб
равен
_
рЬ'
( 3 +
'v
2 7 + 3v
Ь2
Ь
2
1
а
)
Ш
О
- - 32hP 1 +
'v
а
- 4 +
4v
- n
т
.
В.
Сосредоточенная
нормальная
сила
Исследуем
сначала
результирующую
напряжений,
соответствую
щую
перемещению
W = Ar
2
1n
r.
Из
(IX.82)
касательная
результирующая
равна
4АР
rz
=
---
г
'
216
(IX.96)
(IX.97)
и
хотя
она
стремится
к
бесконечности
при
r
-+
О,
направленная
вверх
результирующая
сила
на
цилиндрической
части
пластины
с
центром
в
начале
координат
будет
конечной.
Так
как
результиру-
ющая
;;
была
выражена
на
единицу
длины
С
1
,
а
также
была
осред
нена
по
толщине
пластины,
эта
результирующая
сила
составит
(рис.
t20)
2n_
I rz2hrde =
-16АhnР.
С
уменьшением
радиуса
цилиндра
напряженное
состояние
станет
Z
Z~
Р
Р
,!.ШJJ--
--
а
j
Рис.
120.
Ри
с.
121.
8квивалентным
действию
нормальной
сосредоточенной
силы
W,
приложенной
к
началу
l{оординат,
где
W
А
= - 16nhP , (IX
.9
8)
а
сила
W
направлена
в
сторону
отрицательных
значений
оси
Z.
ДЛЯ
того,
чтобы
получить
правильвые
условия
на опертом
крае
r =
а,
воспользуемся
уравнением
W = -
16~hP
(r
lnr
+
ста
+ D).
ДЛЯ
защемлепного
1<онтура
W = - w
(а
2
_
r'J.
_ 2r21n
~)
32hnР
r
- W
С
моментом
защемления
те
=
8hn'
Для
свободно
опертого
1<онтура
_ W { 3 +"
(2
_~)
2 2 1
а
)
W - - 32hnP 1 + "
а
-
г
- r n
-,-
f .
Дальнейшее
решение
задач
на
сосредоточенные
силы
дано
Лявом·
.
Г.
Пластина
с
RонцевтричнЪJ
[
круглыи
отверстие
"
м
Пусть
в
свобо
дно
оп
рТОЙ:
круглой
пластине
радиуса
а
имеется
концентричное
круглое
отверстие
радиуса
Ь,
край
которого
явля
е
!'ся
неопертыы
(рис
.
121).
По
кольцу
отверстия
действует
нормаль
-
•
А.
Е.
Н.
L
о
,ТЬеогу
of
Elasticity, 4th edn.,
р.
489
.
21
7
ное
давление
р
.
Используя
(IX.92),
найдем,
что
искомыми
умов».
ими
будут;
те
исчезает
на
контурах
r =
а
и
r =
Ь;
ш=о
на
г
=а;
;:z=o
на
г
=Ь
(так
как
гг
=
о).
Из
четырех
возникающих
при
этом
ура.внениЙ
найдем:
4а
2
Ь
2
{
4.Ь2
а
}
А
= -
8Ь
2
;
В
= 1 _ v
а
2
_
Ь2
(1
+
'\1)
ln
ь
-
(3
+
'\1)
;
С
= -
~(3
+
'у)
(а
2
_
Ь
2
)
+
8ЬЗ
(а
2
lп
а
_
Ь
2
lп
Ь)·
1 + v
а
2
-
Ь
2
,
D = -
а'
-Аа
2
10
а
-
Bln
а
-С
а
2
•
Максимальный
прогиб
по
кольцу
r =
Ь
бу
дет
рав
н
)
_
р
(а
2
-
Ь
2
)
[ 7 + 3v 2 5 + v 2
4а'Ь%
(ш r=
Ь
- 128hP 1 + v
Ь
- 1 + v
а
+
(1
_
'у)
(а2
_
ЬЗ)
Х
х
а
2
_
Ь
2
Ь
-
(3
+
")
10
-1-
.
1
4
(1
+
'у)
Ь
2
ln
~
)]
ЗАДАЧИ
1.
Коническая
куча
песка
с
радиусом
а
при
основании
и
общим
весом
W
лежит
на
тош,ой,
плоской
и
однородной
круглой
пластпне
радиуса
4 .
При
ус
ловии,
что
край
пластины защемлен
горизонтально,
а
давление
па
плаСТЩf
У
в
любой
точке
пропорциональuо
высоте
столБИJ(а
неска
в
этой
ТОЧ1(е,
DОШl
эать,
43
Wa
2
что
центр
пластшIы
иагибае
тся
па
велnч:иву
1600
ЛD.
Весом
пластины
нревебречь.
2.
Тонкая
кольцеобразная
пласти:иа
ь;;;;;;
r ..;
4,
защемлеивая
по
обоим
контурам,
находится
под
действием
нормального
давлеНИR
р.
Доказать,
!{то
нрогиб
пл
.
астины
W = -
1~hP
{(r'
-
42)
(r
2
-
Ь2)
+
А
(r' -
а
2
)
ln
т
+
+
в
(r
2
-
Ь
2
)
In
-;-}
удовлетворяет
дифференциаЛЬRое
ура
.
внеНВ8
для
ш.
Определить
А
и В,
удов
летворяющие
кра
е
вые
условия
для
w
и
иaiiти
момент
аащемлеnия
по
обоии
контурам.
з.
Большая
пластипаподвержена
изгибающему
моменту
~
=
М,
прило
жеnному
по
вс
е
му
контуру
на
большом
расстоянии
от
начала
координат.
В
пластиве
имеется
отверстие,
в
приближении
предстаВЛllющее
собой
рав-
218
ИОСТОрОВ1IПЙ
треугольRИК,
являющийся
преобразованием
l'
I = 1
по
за:коку
:;
=
с
(
т+
+
С
2
).
Край
отверстия
свободен
от
напрmкениЙ.
Найти
коми
лекспые
потенциалы,
задающие
напряженное
состояние
в
пластине.
4.
Топкая
I<руглая
плоская
пластина
ра
диуса
а
С
центром
в
ТОЧJ{е
О
за
щемл
}lа
по своему
}<раю.
А,
Б
-
иn:верснъrе
точки
(ОА
.
ОБ
=
а
2
)
по
от
НОШ
нию
К
кругу
11
ОА
=
с
«а).
Р
есть
любая
точна
пластины,
w -
попе
речное
перемещ
впе;
РА
= R
и
РВ
=
р.
Показать,
лто
перемещение
IOжет
rJOддержпваться
еДlIнствев.поЙ
сосредоточевной
силой
W,
прплощеШJОЙ
в
точ:ие
А,
и
uайти
веЛЮl1l
НУ
К.
Пока
зать,
что
защемля
юЩ]]
й
момепт
равен
W
(а
2
-
с
2
)1
т8
=
-::--:--::-
-'---::-::-'--
8лhа
2
R2
5.
Плоская
пластина
эллиптпчесного
коптура
с
полуосями
а
и
Ь
защем
лена
по
краю
п
находится
под
действием
равномерпого
давления,
распреде-
л
енного
по
ОДllОЙ
из
ее
плоскостей.
Слитая,
что
w =
К
(1
_
~
_
~:
)2
являе
тс}}
решением
дпфферепциапы!Ого
уравнения
для
ш,
найти
момент
защем
ления.
6.
Свободно
опертая
прямоугольнзя
пластина,
ограничевная
прямЪПIIИ
% =
О,
ох
=
а,
у
=
О,
у
=
Ь,
находятся
под
действие
{
постоянного
нормаль
ного
давпенПJ1
р.
Показать,
что
поперечное
переъtещекре
задаетс/{
выражеR1l
еы
.
mлх
.
nnу
W = - --.!!.-.
---=---о-___:__=__
16
~~
sm--а-sш-
ь
-
n'D
т
n mn [
::
+
-v
]2
где
СУИШJрованJt
пропзводится
по
всем
нечетRым
положительпым
целым
значениям
т
в
n.