Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
или
(1
.1
)
раввенияраВНОDесияпоэтому
будут
им
ть
фОР~I
'
(1 . .
16)
-ОХ.
l
).
76.
ЧИСТЫ(
ИЗГИБ
ПЛАСТИНЫ
Прежде
чем
перейти
к
более
о б
щему
р
е
шению,
расс
IOтрим
с
лу
чай
прямоуголыlii
пластины
со
сторонами
2а
u
2Ь
,
Jj
!{ol'opo
ii
I
П
J
гпбающ
п е
}IOмепты
приложеnы
по
всеъry
периыетру.
Если
п
о
лн
ы
и
з
гибаЮЩll
е
MO~leflTbI
M
1
приложепы,
как
ПОI
аз
1:10
па
рис
.
11
6,
z
у
Рис
.
116.
по
одному
1I
В
противоположных
и
нп
р
а в
лениях
!(
стороuам
параллельвой
оси
у
,
т
о
срединная
ПЛОСI\ОСТЪ
буд
т
д
формиро
ваться
в
поверхность
с
радиусом
кривив
ны
R
1
,
где
-
ЕI
М
1
=
4Ы~xy
= R
1
))
,
а
прогиб
срединной
п
~OCKO
ти
1
w = -
2В
1
Ix
2
-
vy2
j.
(IX
.
19)
(IX.20)
Аналогично,
если
изгибающие
моменты
L
1
д
ей
с
твуют
по
сторонам,
параллельным
оси
х,
ТО
пластнна
будет
1
З
ГНU
[\
ТЬСЯ
в
поверхность
с
радиусо
r
НРИВИЗНЫ
B
'l
'
где
-
Ejx
L
1
= 4altyx = -
]г
;
з
(IX
.
21)
1
w = -
lЛ
,
{
у2
-
vx
2
}.
(IX
.
22)
tlолный
изгиб
срединной
ПЛОСJ\ОСТИ
составит
(
IХ
.
2З)
На
основании
формулы
(1.52)
прnложепия
1
напишем
это
выра
)I'еШ1
е
в
виде
(IX
.
24)
д
2
ш
V 1
k
ll
=
дх
2
=
т-
-
я
;
2 1
200
(IX.25)
ПОСliОЛl
ну
k
12
=
О,
то
k
ll
И
k22
являются
главными
I<
р
и
ви
зна~m
4 4
среДlНlН
ОЙ
повеРХILО
тп.
ПОМНЯ
,
ЧТО
I
x
=
за
hЗ
и
111
=
з
Ьh8,
пе
-
м
реПJ1Ш
.1
выражения
(IX
.
19)
и
(IX.21)
в в
иде
2:
= - D
(k
u
-г
Vk
22
),
L
2~
= D
(1.'22
-t- "k
ll
),
где
3J~8E
D=
3(1-"')
(1./.26)
ЯВ.1ЯFOТСЯ;1>
('
Т
1,0
С
Т
Ъ
10 D
Р
И
И
3
Г
П
б
е*
пластины
.
Для
НОР~1алъвых
(lX.
26)
наПРЮ1
'
нии
будем
и
мет
ь
где
p
=
~
2h
есть
f
О
Д У л
ъ
п
л
а
с
т
и
н
ы
.
(IХ
.2
7)
(IX.28)
Напряжение
(IX.27),
выращ
вное
через
перемещение
срединной
ПЛО
СI
ости:
- ( a
2
w a
2
w)
- ( ifJw a
2
w )
х
у
= -
р
дх
2
+ V
ду'
;
ух
=
Р
ду'
+ V
дх2
.
(IX.29)
Таким
образом,
любой
об1-емвый
эл
емент
S
(рис.
116),
сечение
I<OTOPOfO
есть
прямоугольп
ик
с
о
сторона~ш
,
пара
л
лелыIмии
сторо
н
ам
пластины,
будет
подв
ржен
дейст
вию
т
олько
изгибающи
х
мо
м
нт ов
.
Расс
мотрим
элемент
прямоугольного
сечения,
стороны
ко
торого
ориентированы
по
напр
авлениям
n
II
S
(см
.
рис.
6),
и
найдем
мом<>нтные
напряжения,
действующи
е
по
этому
элемепту.
-
Для
состояuия
чпстого
изгиба
,
так
как
уу
=
О
,
HO:lmOH
eHTbl
(1Х
.
14)
:запншутс
я
n
вид:
- - -
ns =
ху
со
2
а
-
ух
sin
2
а;
-
--
SS
= -
(ху
+
у
х)
in
acosa.
I
(IX.3
0)
- - -
sn = -
ху
in
2
a +
ух
со
2
а
;
•
Ц
и
лппдрн
ч
еСJ<Оii
жеСТ1(ОСТЬЮ.-
Пр
и.",.
ред.
201
Подставляя
юда
зпачепия
изгибающих
ыомеПТОD
(
IX
.27),
пол
qlШ
llS
= -
р
!
(k
ll
со
2
а
+ k
22
in
2
а)
+ v
(k
22
О
2
а
+ k
ll
in
2
а)
1;
sn =
Р
{(k
ll
sin%
а
+ k'J2
со
2
а)
+ v (k
n
in
2
а
+ kll.
со
t
а)
)
;
ss
=
р
(1 -
v)
(k
l1
-
k~2)
in
а
СО
'
а.
(IX
.
3!)
Эти
фориулы
упростят
Я,
сли
их
выразить
чер
з
!<ривнзпы
D
па
правлеuии
осей
1~
и
S.
При
таном
повороте
о
ей
КООРДllllат:
х
=
nсо
а
-
ssil1a;
}
у
= n in
а
+ s
о
а.
(IХ
.32)
ел
д
овательно,
2ш
= (k
1t
СО
2
а
+
k~2
in
2
а)
n
2
+ 2ns
(k
22
-
1.]1)
il1
а
. cos
а
+
+
(k
ll
sin
2
а
+ k
22
со
2
а)
S2.
(IХ
.
3
3
)
Ураввепия
(IX.31)
теперь
запишутся
в
воде:
(IX.34)
ЭiJемепты,
ори
птированиые
по
паправл
ШIЯМ
n
и
S,
по
верг
1ОТСII
деiiствию
не
только
изгибаIOЩИХ,
н
также
и
КРУТЯЩIIХ
мом
нтов.
Это
обстоятельство
и
получ
епны
ураВlIеilИЯ
будут
испош,зоваllЫ
нами
дл
я
построения
бол
е
общ
ей
т
ории
изгиба
пластины
.
Э
'"
d}.
IIN
,.,
.
..,
.
,...
~
'"
D
<ltoJ
Ь
Рис.
117.
P
aCCMOTp}JM
два
частных
с
lУ
чая
изгиба
пла
тины.
А.
Ч"стыj
'
В
есторuшщii
JI
згиб
ДЛЯ
Т81\ОГО
СОСТОЯDИЯ
(ри.
117,
а)
им
ем:
ху
=
М;
ух
= -
М;
уу
=
О
.
(!
•.
35)
Следовательно,
на
основании
(IX.27)
1.11
=
"2
2 =
КaI<
=
2М
и Г
=
О из
(IX.13),
л'
=
2М,
Г'
=
О.
м
р
(1
+ v) . Tal'
Отнуда
n-;
=
М,
s~
=
-М,
; =
О.
ледовательuо,
1'Ю<О
остояние
изгиба
ДОЛЖЕlO
обющать
oceBou
симмет
рией
относительно
оси
Z.
Поэтому
срединная
пов
РХНОСТЬ
будет
частью
сферы.
202
Б.
Ч
lI
cT
bIii
Цll
Л
IIН
Д
Рllч
еС
КII
Й
ИЗГllб
Е
ли
ср
Дl1нвая
пов
рхпость
Иll1
Т
фор~(у
цишш
д
ра,
то
одпа
из
главных
I
{
РИВИЗН,
снащем
k~2
=
О
И
х
у
=
М,
следователыlO
из
(
lX
.2
7)
fI1
ух
=-
,\
'ху,
kll
=-
p '
(IX.36)
попцепы
?110М
НТЫ,
Н
оБХОДИМI.1
}
lЛЯ
того,
ч
тоб
ы
вызвать
Т31,ое
СОСТОЯJlИ
изгиб
а,
ПОН<I
:.!ё
ШЫ
11<\
Pl1
c.
117,
б.
77,
IIOP~
I
ЬН
О
II
лг
r
ЖЕ1
Ш
А
Н
пл
ТИ Н
Рассмотрим
С,IУtшй,
,ог
дн
lIеРХIIНН
пов
е
рхно
сть
пласТIШhl.
на
ГР.
щеJlа
JlормалыlОЙ'
с
илой
р
(х
у),
тог
да
"ак
нижпяя
повер
.'
Н
ОСТ
Ь
своБ
О
}
luа
от
lIапрmн
виii
.
Это
II
РИВО
Д
IIТ
1,
с](()дующим
напрл
)1,
пил
1:
чг
=
о
zz
= -
р
по
Z = h
и
Ч'
=
о,
?z
=
о
по
Z = - h,
Tal,
что
у
равп
е
ния
раппов
спя
ПРИl:Iимают
ви
д
~
+ a'l'o =
_р_
dz
д:
2/~
(IХ.37)
и
д~
+
~=
'1'0'
д
.
д;
(IX.38)
и
НЛI
qJJВЧ'о,пОЛ
У
'lИМ
d
2
f
д~
д~Г
Р
iiiF
+ 2
azd"i
+
д;}
=
2h'
(IX.39)
т
п
рь
Н
обходи
10
HallTll
мом
I1ТЫ
напря
н;
ния
И
,
сл
дователь-
110,
Л
И
r
в
выр
аже
нии
чрез
прогиб
ш,
производимыи
ПЭГРУЗ
I
{оii:.
'
д
ла
~r
пр
Д
ПОЛОil\еви
,
что
ураВl1
ния
(IX.34),
выведенные
д
я
tПlСТОГО
изгиба,
такн'е
примепимы
и
д
ля
дапного
с
л
у
чая, где
уж
юrсют
м
сто
J
асатеЛЬНbl
напрлжеuия.
Поэтому
у
раnН()IJИЯ
(l X.34)
зап
ишем
так:
(IX.40)
20
3
ущность
ТОГО
предположения
заключает
я
в
том,
что
для
плас
тины
любой
формы
элемепт
S,
прямоугольное
чеuие
которого
ориентировапо
по
паправл
пию
главных
I<РИВИЗН,
п бу
д
т
под
вержен
действию
КРУТЯЩИХ
мо
,('нт
ов.
В
противпом
случае
воз
ниt<Н
Т
I<рутящиir
)-fомепт,
определяемый
третьум
11З
ураВl1еЯlfU
(IXAO).
Развивая
э
то
предположепие,
выразим
сначала
ураnli
IIИЯ
(IX.4.
0)
ч
е
рез
комплексны
координаты
Z lJ Z
С
помощью
преобра
зовави
я
(VI. 6).
ТaJШМ
образом
Л
=
ху
-
y~
= -
р
(1 + )
(~;
+
~~)
=
8
2
ш
= -
4Р(
1
+
")--=
(IX.41)
OzO:o
в
- - - ( fIlw
д
2
ш
д
2
ш
)
r =
ху
+
ух
+ 2iyy =
Р
(1
-
")
д
у
2
-
дж
2
- 2i
джду
=
д
2
ш
=
-4
P(1
-v)-.
a7J
Ре
з
ультирующие
касателъны
напряжениii
на
основании
теперь
буд
т
заданы
11
виде
КОАШЛ
J<СВОЙ
I\омбинации
(IX.42)
(IХ.З
)
{jЗш
Ч'о
= -
8Р
--
_
-
.
OzOz
2
(1 '
.4
)
По
дставля
я
Бl!
ДIЯШ
и
r
в
(IX.39),
ПОJlУqим
фундам
нтальвое
ура
вне
-
д
4
ш
Р
16
--
= - - . (IX.44)
д=~д?
2hP
Полезво
B~
еть
запись
последних
двух
уравнеuий
в
декартовой
форме.
ВСП
ОМJlИМ,
что
V2ш
=
fIl~
+
д
2
ш
= 4
д2и:..
(1
.45)
дж"
д
у
2
OzOz
'
та"
что
из
(lХ
.43)
Ч'о
=
;z
+
iyz
= -
2Р
~
(V
2
ш)
= -
Р(
~
+ i.:
v
)
v%ш.
OTJ<Ylla
Следовательно
~
д
lI
Z
:2
-
Р
дv
(V
2
ш).
(IX.46)
204
Уравнение
для
w
принимает
вид
4
ш
_
841/1
+ 2
84w
+
a4w
__
_
р
_
-
дх
4
дж
2
д
у
2
д
у
4
-
2hP'
(IX.47)
В
случае,
lюг
да
р
-
величина
постояввая,
реш
ение
для
w
может
быть
Шlйдепо
из
(IX.44)
в
выражении
через
два
комплексных
по
ТСIЩlН1ла
в
виде
lV
= +
(i
cp
(z)
+
z(p
(z)
+
Х
(z)
+
(Х)
(Z)I
-
12:
hP
z2
Z
З.
(
IX
.
4)
ТаJiИ~{
образо
1
на
основании
(IX
.4
1)
-
(IХ
.43
)ПОЛУ'IИ.Мследующие
liомбипацпи
для
MoMeHTныx
напряжений
и
ре
зу
льтирующих:
\.
= -
2Р
(1
+
v)
(
ер'
(z)
+
(р'
(i)
} +
:h
(1
+
v)
zz;
(IX.49)
r = -
2Р
(1 -
v)
(Z
(j)N
(z)
+
'1>'
(z)
} +
1
~h
(1 -
v)
Z2;
(
IX
.
50)
':['0
= -
4Pip
h
(z)
+
~
z;
(
IX
.51)
где
Х'
(z)
=
'1>
(z)
. (
IX
.52)
78.
I
~
РА
ЕВЬШ
УСЛОВИЯ
11
реДПОЛО)1ШМ,
что
на
рис.
11
4
J(ривая
С]
являет
с
я
средней
ли
Ю\
ii
части
ноптурпого
сечения
пластины.
Н
агр
узк
а
по
I{OHTYPY
мощ
Т
состоят
ь
из
изгибающего
и
крутящего
моментов
B!tJecTe
с
касат
J
IЬnОЙ
р
езу
льтпр
ую
щ
еЙ~.
При
1
ем
;;;. =
;;
=
О,
если
к
плоско
ТУ
пластины
не
прил
ож
пы
никакие
силы
.
Пр
и
этом
могут
ВОЗ1Ulкnyть
три
ти
па
l
<рае
вы
х
условий.
СвоБОДIIО
оn
е
Р1
'
ЫЙ
J(ОИТур.
Для
того,
чтобы
и
збешат
ъ
возмож
ного
n
'
рем
щепия
пл
аСТИ
lJЫ
,
прс
д
положим
ч
то
J<ОП
ТУР
удерlI
ива
~тс
я
между
дву
{Я
прпзм
еFlны~m
опорами
на
расстоянии
2h,
позво
ляю
щими
свободпо
изменять
панлон
п
ластины
.
.искомое
условие
w =
О
,
ns =
О
.
(IX.53)
3а
ще
шенны
й
коптур.
Т
акая
задеЛl\а
препятствует
перемещепию
11
IIзменению
ню,лова
пл
аСТИlJЫ,
так
что
81/1
ш
=
о,
--an
=
О
.
ОХ.54)
с
п
оБодныJ
краН.
т
т
случай
сводится
к
тому,
чтобы
J<ОПТУР
был
с
вобод
н
ым
от
касательной
результирующ
ii
п
момеитRЫХ
папр
я
жепn:Й.
Вм
сте
с
т
м
рассмотр
пие
условий
по краю,
который
нахо
д
ится
под
действ
и
е
м
касат
льн
о
й
результирующ
ей
и
крутящего
юм
lIта
,
может
быть
упрощено
тем,
что
t<рутящий
мом
е
нт
заменя
ется
некоторым
распредел
епие
[
l{асательной
результирующей.
205
1
рутящий
ыомеl:lТ,
действующий
на
см
ЖffЬте
ЭЛ
м
пты
ds
сре
дилной
ЛИВИИ
C
1
зftменяется
:ЭКВИОЭJIентпыми
ом
,
равпыАш
и
ПРОТИВОПО:IО;I
·
НО
напраВJIенными
Сl1JН1МИ
по
НОIIЦЯМ
:)ле
ыпта
•.
ПОМНЯ:,
что
n12
в
любом
случа
вырпжа
тся.
па
единицу
ДЛШIЫ
ЛИ
ПИИ
И
на
едипиц
ТОЛЩIl1IЫ
пластuпы,
получим
что
ДЛИ
1.1.
'llТpaJIb
ного
:элем
нта
11
двух
сме;>!
пых
с
НИМ
ИСI<ОМЫМII
СИЛ.аМН
буд
т
-
-
Оns
-
д
/т
d
1212,
NN
+
т
ds,
nn
-
d~
S
11а
единицу
толщины
П,13Стrшы
.
Эти
С
:
ИllЫ,
ра
·пр
ДeJJСШlые
по
со
ответ
ТlIующ
е.
\I
1
менту,
пока
залы
на
plfC.
11
,
а.
СУШПfруя,
найдем
(рис.
11
, 6),
что
(вива
лентпая
касftТ!П
ы:Iяя
резул
ьтпрующая:
llа
ДИJ(ИЦУ
Д !иuы
ЛЮПШ
nп
nп
n
nп
..
$fдdS
о
Рис.
118.
-
С
д
/lI1
1
состаВЛff
т
-
~.
Таним
образом,
МО;ЮIО
считать,
что
наг
рузна
по
1(ОПТУРУ
HBJfBa
-
леuтпа
MOl\lelITlloMY
напряж
-
ЮIIО
12s
И
ка
ат
JDHOU
реЗУ
J
IЬ-
•• D
/l/l
Т:ИРУlOщеи
12z
-
тs
на
еди-
'f'пщу
кривоii
С
1
•
Выразим
условие
ДЛЯ
li
-
напряженного
копт
ра
при
Чl1СТОИ
изгиб,
т.
е.
когда
р
=
О,
через
НО~IU
r
1·
IIЫ
пот
Dциалы
<р
(z)
и"
(=).
Пол
н
а
я
касательная
результирующая
вдоль
С
1
от
11
которого
фИl{си
р
оваппого
начала
координат
мож
т
быть
записана
R
виде
f = J
(т
-
д;;)
ds
= f
mds
-
n~.
(!
.55)
ДllЯ
того
чтобы
ПОЛУЧИТЬ
эначени
этого
интеграла
в
выращ
I:IИИ
че
р
з
i\ОАшлексвые
потеlщиалы,
заи
тим,
что
па
основаEIИИ
(I . 1),
при
Р
=
о
и
испо
ьзуя:
( I.29),
, - -
ia
- - i - - - -
д;
'1'0
= nz + isz =
е
-
Ч'о
= -
4Ре
-
сх<рн
(z)
= -
4Pi<pN
(z)
-.
QS
Это
Bblpa,l·
ви
легко
интегрируется
по
s,
имеем
"-
---
- -
s
(nz
+
isz)
ds
= -
4Pi<p'
(z),
u
т
аи
что отд
лив
веществеппую
часть,
LlЭЙД
м
'-
- -
r
12zds
=
2Pi
{
<р'
(z)
-
<р'
(z)
J.
(IX.56)
()
2()6
Подставив
это
выражепие
в
(lХ
.56),
получи'м
1 =
2Pi
{
q>'
(z)
-
<р'
Й}
- nn.
(IX.57)
Обрааовав
КОМШI
НСIJ
L
комБUlJацlПО
ns +
iJ,
смощем
выразить
ВСС
"ояту
рные
нагрузки
через
J{о~mлеf
(С
IIЫС
поте11циалы,
тю{
KaI{
- - - _ - 1
1/.$ +
iJ
= ns - inn -
2Р
'(
'(z)
-!р'
(z)
1 =
т
I +
e-
2iaf
l_
-
2Р
q/
(z)
-
-,
(z)l.
Подстав
lЯЛ
I
да
злаче
лин
\
и
['
из
(IX.49)
и
(
IX
.50),
а
также
вс-
д
:
-~
k
..
d-
]]ольз
11
то
об
тоятсль
тво,
что
а;
= -
е
-
а:'
с
М
.
(V
I.28)
и
( J.29),
lIайд
ы
после
11
р
ГРУППИРОВl
и
членов
(n~
+ i/)
:~
=
Р
(1
-
)~
{
k1(p
(z)
+
zc?
(2)
+
,,
;
(z)}
,(
IX.5 )
Инт
ГРI1!1УН
ОХ.58),
получим
сл
дующ
е
у
лови
Jrl<p(z)
+
='
(Z)
+
Ф(Z)
=
11
+ i/
2
,
где
•
1
\'-
/1
+ i/
2
=
Р
(1
_
'11)
/)
(n$
+ if) dz.
(IX.59)
(IX.60)
(IX.61)
Праоан
часть
по
ледного
урави
ния
может
быть
вычислена
из
да
НllЫХ
"ра
вых
ул
овиЙ.
атем
подбираются
такие
к
о
~mл
J{слые
поте1JЦfJt1лы.
ноторые
уДовлетворнют
уравн
ние
(JX.60).
В
сл
-
чае
ненаГРУilцmllОГО
контура
(IX.62)
79.
ЧИСТ
ЫЙ
ИЗ
ГИБ
БО
ЛЬ
ШИХ
П
Л А
С
Т
И
Н
С
ОТ
ВЕ
Р С
ТИЯМИ
Р
ЗЛ
ИЧНЫХ
ФОРМ
Пр
ДПОJIОiЮНI,
что
ДЛ
Иlluая
пластина
подвергается
Д
й
'J'IIИЮ
и
згиба
ющих
момеllТОВ,
создающих
состояние
циливд
р
ичеС
I
ого
изгиба
.
Е
ли
пла
тина
содержит
отверстие,
ноторое
может
быть
]<ОИФОРМlIО
отображено
иа
единичную
он
ружность
В
плосности
~,
то
к
р
ш
юно
таJ{ОЙ
задачи
может
быть
прим:евел
общ
и
й
под
ход
(см.
51..
Прим
11
яие
1\0Н
Ф
ОРМRОГО
преобразо
в
ани
я
и
55.
Пря
мой
метод
Мусхелишвил
и
).
207
А.
Чистый
осестороmmй
изгиб
илаСТПllbl
с
КРУГЛЬВt
ото
реТlIе.1
Исполь
зуя
комплексные
потенциалы
<Р
(z)
=
Az,
Ч'
(z)
=
О,
(I
.t
.63)
на
основании
(IX.49)
и
(IX.51),
при р
=
о
и
А
-
вещ
твенuой
постоянной,
найдем,
tJТo
= -
4Р
(1
+
v)
А,
Г
=
'1'0
=
О
.
Сравни
в
эти
соотношения
с
(IX.35),
убедимся,
что
они
соответ
с
тву
ют
всестороннему
изгибающем
моменту
1IJ,
С
J
IИ
М
А
= -
2Р
(1
+
")'
(
1.\
.6
1)
где
момент
М
оыражсu
на
единицу
длипы
ДУГII
J\OH'J'
ypa
11
н
а е
д
и
ницу
толщины
ШI8СТllПЫ.
Для
исследоваНIIЯ
напряmенпого
со
с
то
яния
вокруг
круглого
отверстия
радиу
а
а
с
центром
в
1I
,\
qал
~
координат
используем
выражение
момеНТlIЫХ
lJ
а
ПРЮJ\ений
в
по
лярной
форме.
Так
как
=
2М,
Г
=
О
,
'1'0
=
О,
то
А'
=
re
-
ЭГ
=
2М;
- - -
Г'
=
ге
+
Эг
+
2iee
=
о
и
Откуда
г
=
м,
Эг
= -
И,
00
=
О,
;:;
= oi =
О.
Следов
а
тельпо
край
круглого
отверстия
свободен
от
касательн
о го
-
напряжения,
по
подвержен
действию
изгибаю
ще
го
мошшта
/
·
е
=
111
.
Его
можно
устранить,
если
взять
повые
комплексны
е
по
т
нциа
лы:
М
<Р
(z)
= -
2Р
(1
+
")
z +
<Ро
(z);
Ф
(z)
=
Ч'о
(z),
]
(lX.65)
где
СРо
(z),
'Фо
(z)
не
должuы
оказывать
влияние
l1а
СОСТОЯlIие
изгиба
на
больших
расстояниях,
паприиер
при
I z I -
,.
00.
в
этом
случае
добавоч.ные
коr.mлеI<сные
потенциа
л
ы
легко
могут
быть
получены
методом
подбора
и
принимают
вид:
В
<Ро
(z)
=
О,
'Фо
(z)
= - . (1.\.66)
%
208
Из
краевого
условия
(IХ.62),
принимая
z = a
2
/z,
находим,
что
Ма!
В
= -
P(t
-v)
,
п
окончательно
м
Ма
2
t
<р
(z)
= -
2Р
(1
+
'у)
z,
\jJ
(z)
= -
р
(1
_
'у)
• z
(IХ.67)
Использу
я
(IX.49)
и
(IX.50),
найдем
также,
что
в
точке,
удален
ной
на
расстояние
т
от
начала
координат
;о
=
M
(
1-~)
r2 ,
- (
~
) -
ет
= -
м
1 +
;2
,
ее
=
о.
(IX.6
8)
Следо
вательно,
радиальные
элементы
по
краю
отверстия
наход
ят-
-
ея
под
действием
изгибающег
о
мо
1ента
напряжения
ет
=
-2М.
Б.
Чистыii
цuлиндрический
изгпб
пластины
с
КРУГЛЫ~I
отверстием
В
рассмотренной
выше
задаче
можно
заметить,
что
касательна
я
ре
зульти
рующая
':1'0
= -
4P~'
(Z)
будет
равна
нулю,
так
I
<a
K
из
(
IX
.
67)
следует,
что
<р"
(z)
=
О,
даже
когда
пластина
содержит
круглое
отверсти
е.
Введение
отверстия
в
плаСТИНRУ
при
чистом
изгибе
приводит
к
касательному
напряжению
и,
в
частности,
по
краю
отверстия
будут
действовать
изгибающие
и
крутящие
момен
ты
совместно
с
касательной
результирующей.
Если
хотим
сделать
отверстие
нев
а
пряженным,
целесообразнее
использовать
условие
(
IX
.62),
чем
находить
действительные
момептные
напряжения
во
круг
отверстия
.
Таким
образом
оба
источника
касательной
резуль
тирутощей
припимаются
во
внимание.
Чисты.й.
цилиндрический
изгиб,
описываемый
уравнениями
ОХ
.
36},
может
быть
получен
из
комплексных
потенциалов:
м
м
<p(
z) = -
4Р
z;
\jJ(z)
= -
2Р
z.
(
IX
.69)
При
этом
отверстие
не
будет
невапряжеввым.
По
этому
к
КОl\шлекс
ным
потенциалам
(IX.69)
добавим
члены,
стремящиеся
к
нулю
при
I z I
-+
00,
так
что
пластина
по
-
прежнему
остается
в
состоянии
чистого
изгиба
на
достаточных
расстояниях
от
отв
ерсти
я.
Используя
и
м
{
Аа
2
}
J
<р
(z)
= -
4Р
z +
-z-
м
Ва
2
Са
4
\jJ(z)
= -
2Р
{z
+
-z-
+
-~-}
(IX.70)
14
Д.
Е
.
Р
.
Г
ОДфр
а
209