Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
Изохроматические
кривые
таЮI{е
проходят
чер
злачало
коорди
нат.
Вместе
с
тем
можем
найти
траеI{ТОРИИ
главных
напря»<еиий,
"
потому
что
вследствие
ОРТ
=
~
-
в
(рис.
106)
на
освовашш
- 1
(VI
II
.53)
ОРТ
= 90 0 - "2
в,
ОТ1чда
~
t dr 1
r,tgOPT = - r
IЮ
=
tgT
e
.
х
d
Рис.
106.
Рис.
107.
Интегрируя
это
дифференциальное
уравнение,
получим
семейство
парабол
2l
-=
1
+
со в
r '
(VIII.54)
общий
фОI<УС
которых
расположен
в
начал
J<оординат
.
Ортого-
2l'
нальная
система
определяется
уравнением
- = 1 -
со
е,
где
l
r
11
l'
-
произвольпые
постоянные.
Б.
Равпомерное
давление
в
средоей
части
ПОЛУПЛОСКОСТII
Давлеиие
р
действует
по
участку
ДЛИF!ОЙ
2d,
раСПOJl0ж
е
НIJОМУ
сим
метрично
относительпо
начала
Iюординат
(рис
.
107).
Если
при
в
-
Д
пвое
выше
решение
повторить
дважды
для
точ.
К
01
И
02
как
па
чало
координат,
и
затем
полученные
ре
зул
ьт
ат
ы
вычесть,
ПОЛу<rИ
М
искомое
напряжение.
Используя
(VIII.39)
и
(VIII.4
0)
совместно
с
(УlII
.5
1)
паi1дем
комплексные
потенци
а
лы:
ip
ipd
,
-ф(z)
= -
-2-
Z1
-
--;;-
On
:
1
т
1),
я
.::Л
(УIII
.5
5)
которые
определяют
давлеJ1Ие
рот
01
до
-
00
,
1
О
Аналогично
для
случая
давления
р
от
02
ДО
-
00
используем
:
tp 1
q>
(z)
= 2n Z2 n Z2;
Iр
ipd
\jJ
(z)
= - 2n Z2 + 2n
(10
Z2 + 1).
)
(VПI
.
56)
Вычитал,
получим
следующие
коt.шоненты
напрюнения:
(VIII.57)
.......,
р
ху
= 2n
(
со
281
-
со
202
1·
На
о
uо.ваlJИИ
этих
уравнений
функция
Ф
для
комбипироваНIIОГО
решения
(VПI.5
)
Та1\ИМ
образом
изохромаТИLJ
с)
ие
линпи
задаются
уравнением
61
-
~
=
СОII
t,
ноторо
опред
ляет
семейство
о}<ружностей,
про
ходящих
чер
з
01
И
02.
Изоклины
представляют
собой
систему
прямоугольпых
гип
рбол,
ПРОХОДЯЩТ1х
через
точки
01
и
02,
име
ЮЩl1Х
уравнение
n +
01
+
02
=
COJ1st.
70.
ПРО
СТ
РАНСТВЕllJ-l
Я
НАГРУЗКА
Общий
подход
к
реш
нию
задач
на
сосредоточенные
силы
и
мо
менты,
приложеUJlые
)<
трехмсрпым
отличныи
от
пла
стины
телам
подоб
н
то
f'j,
который
был
нзложен
рапее
(см.
65.
Плос
на
я
нагруз
ка
-
сосредоточен
пая
сила),
и
заlшючается
в
том,
что
находятся
реш
ШIЛ
Фундам
IJтальпого
ураВJlепиятеорпи
упругости,
и
[
еющи
особеппо
ти
в
вид
бескопеЧIJО
больших
п
ере
lещепий
и
напряже
lП'1U
в
Ш'I
оТорых
точках
пространства.
Т
аюrе
точки
будут
заl(Лl
О
чаться
в
сфеР
П
'1ескую
или
полусферическую
полость
в
зависимости
01'
т
r ,
где
находится
точка
-
BHYTP~[
или
на
к
.
онтуре
области
.
Найдя
результир
ющую
силу
и
момент над
поверхuо
тыо
TaI\Oii
полости,
мы
УВИДJlМ,
что
они
пеS8ВИСИМЫ
от
радиуса
поло
тв.
1\0-
торыН
МОЖ
т
быть
принят
нак
угодно
малым
,
и
таким
образом
мы
получим
изо
шрованную
особенную
ТОЧ1(У.
Необходимо
решить
уравнение
(П
.37)
или
(1[ .38),
J\ОТО1Jые
без
учета
объе
mой
силы
прrfПимаlOТ
вид:
grad div D
I-
(1
-
2)
2D -=
О
и
roL
1'0tD
+
2(1
-v)
2D =
О.
III.59)
III
.6U}
181
деСI.
,),
и
11
вы
ражены
чеv
ез
\,ООФФI1ЦII(:JEIТ
П
уассопа.
Р
шенин
этих
уравп "ИЙ
были
получелы
Бус
си
"
с\юм
*
В
выраж
е
н:ии
налярпых
IfЛТl
UСl\торгаРМОlШЧ
сних
(ПОТОI:ЩIНlЛЬВЫХ)
функций,
т.
.
фУLlК
IJllii,
удовлетворяющих
ураnп
uиro
ЛаПШJса.
div gr
arl
<р
==
!<р
=
О
.
(VIII.bl)
13
случае
о
е
Ю
'
ОРI10
-
П
ОТС
llllи
ал
I,ПОU
фуш{ции
А
мож
е
м
с
читать
,
что
IJРИ
2
А
=
О
n
Д
к
а
ртоны
J
<O
МDOll
eI1T
bI
А
ЯDЛЛl
ТСН
ГI1РМ
О
UИ
'I
('('IО
ШII
фуннциями,
О
lI
a
l\
O
ор"
ИСПОЛЫЮНЗIIИП
других
с
ист
е
\
\iOUP
;lI1I1HT
мы
ДОJ
I
;J
пы
быть
о
'Гороаш
ы,
ТЗl<
К/Ш
СДИНИ'IUЫ
векторы
:
Н\ВIJСЯ'J'
от
I{
OO
p
ltllUa
T (
М
.
59.
ЦПЛ
И
UДрl1'!
с
ки
по
ля
рны
l,OOP
-
"
lIlJli'lTbl.
62.
Сф
РН'l
е(жис
полярны
е
коор ди
паты).
1
PYl
'
зада
ч,
1\0
-
тор
ые
БЫЛ/l
р
еше
llЫ
Д
О с
их
пор,
огранич
е
н
из-за
СЛОi!OIОСТИ
УРНВ
Jlemtii:
и
I
,pa
вых
услониii.
Случай
И
30
ЛllРО.8
"Ш
ПОЙ
с
илы
13
Т
Л
0'1('111>
(j
льшого
lIротяж
е
пия
был
пп
рвы
IJЗУЧ
Н
f\
ел
ьвипом,
а
аатем
были
Jlai.i
IIЫ
реШОПИfJ
для
силы
и момента,
прилож
нпых
1<
Ш!ОС
KO~ry
I'ОIlТУРУ
(z =
О)
ПОJlуб
СI\ОIIО<\ПОГО
про
траllстnа,
д
ЛЯ
"ОТО
ТЮГ()
Z
~
О.
,
i/час
мы
привенем
ll
C
I{OTOpble
и
з
ЭТИХ
р
е
lll
('
lJиii
.
71.
СО
С
1'IЦ
ГОЧЕ
ЮIАЛ
с
rtЛА
и
10
ШlfТ
U
ТЕ
J
Ш
БОi1ЫUОГО
ПРОТЛЖЕIiИН
Ра
сс
маТРl1IJНН
СlIн
ч а
l
а
со
р
едото
ч
IШУЮ
силу,
УСl'НIIН
IIJlиn
а
М,
что
о
= z grad
q>
-
(3
-
4.V)
q>
k
(V
JП
.62)
ЯlJ
л л
етс
я
р
ш
е
llи
е~
!
уравн
нил
(VIП
.59
)
,
гно
С
l\
аJlЯ
Рllая
ФУIIIЩIIR
q>
'
ДО
ВJlетnоря
т
уравнению
(VIII.61).
В
остаnших
я
параграфах
пастолщей
главы
11
0
буД
м:
пользо
в
ат
ься
!{омплеНСllОЙ
пере~fOlilIОЙ
ПО
::
JТому
букв
ой
z
будем
обозпа
чать
т
р
тыо
J<ООРДИllату.
На
о
'
ноn
а
Нl1И
формул
(1.25)
прилож
е
llИЯ
1
и
(
Ill
.6
1)
(1
i v
О
= Z
V'2q>
+ grad z gr
ad
q>
- (3 -
4.v)
~;
=
= - 2
('
1 -
2у)
~~
. (
Ш
.
63)
и
= z
"ср
.
'/
дх
'
~
=
:
;~
-
;
-
(
-
4v)~.
r
(VIII.64)
• J.
В
о
и
'
i
по
s
q,
ApplicutiuJls
(1
'
.~
J'ut
(·
Jltial · ... (1 8
).
182
Та
lШ
{
об ра
зом.
и
с
пользуя
(1.25)
прило>!
епил
1
2
u
= Z
-
дО
2
<р
+ 2 grad z .
grad
{)fJ
q>
+
д{)~
!z
= 2
d
д2
дq>
•
х .L
Х
Х.:
l
i,l,1\OГl
I
ЧНО
iP
•
<fl(p
2
и
= 2
-а
а
11
·Ш
= 2
-д"
•
т
"к
что
комбrtНIIРУЯ
"-'С.
У
=
z-
lIaii
JtC
M
\,2
О
= 2
:.:
(
gr
ad
<р)
= 2
grad
:;
.
ll
uщ:таnи
в
( JIf.
G3)
и
(V
IT
f.
G-)
в
(VI
II
.59) ,
у
бе
дим
'
Н
в
том,
что
(VIII
.62)
является
р
Ш
СНl1ем.
J{
р
м
Щ
11И
(
IП
.б2)
приnодит
};
коы
-
ЛОIIСПТ<1М
Д 'фор
"
ЩИН
Н
отсюда
к
I\OMIIO-
11
I!
та
м
lIаЛРЮ1,СII
Я,
I\оторые
также
мог
ут
f)bI"I, n
ЛУ'
l
е
llЫ
lIf'посредствеuно
из
(II
.:
:
Ю)
.
Ti.l1{
"<1К
1Ы
же
1а
м
исследовать
1I8ПРЯН,
'-
(
Ш
Ij5
)
у
JlII
\
Д
jj
ТВУIOЩ
Сt'
по
ферс
\
радну
а
r
Р
ис
.
JUbl.
Ц
lIТ[>ОМ
В
lI
<)
ч
аЩJ
1(0
РДIfШIТ
буд
Т
удоб1l0
СII<l
'l
ала
вычислить
nСI\ТОР
папряжения
R
r
(рис.
108).
П
ом
ия,
что
Jlаправляющие
косинусы
радиального
един
и.
чного вектора
со
тав
-
JlЯIOТ
- ,
':""
,
:"
н
а
ОСIIОВаНИИ
(
1.
9)
п
о
луЧ1lМ
(
Х
"
')
г
г
r
гН
,
=
х
Н
",
+
у
Н
у
t-
zR
,
.
(VI
II.66)
П
ОДСТ:ln
ИU
3
11
8че
IJ
t
я
(
II
.36),
найд
м
t 2"
-
г
R
r
= 1
2
1
·div
D
+
v
(
rD
)-
D
+
(
гv
)
D
.
fJ.
- v
ГНРМОlll1ЧС
НОН
Ф
]IНЦИЯ
<р
тепсрь
приmщает
ВИД
С
<р
=
-;:-
,
ГЩ'
С
-
ПU
СТО
f!Нll
а
я
.
Н
.
I
(
II1
. 63) (liv D =
~
1
-}
Y)C.
11
113
(V
llI
.6
2)
J)
= _
~~
r _
С
(3
-
4'\1)
k
r3
г
'
(
VIII
.67)
(
VIII
.68)
(V
Пl
.
6
~»)
'11 0
НlllЯется
Д
В
родноj.j
фу
нк ци
е
й
от
х,
у,
z
п
е
рв
о
й
степен
и
.
Таl\ИМ
обри
н
о
.
vr
на
ос
н
о
в
а
нии
т
е
ор
е
мы
Эйл
р
а
(см
.
ф
о
р!<
ryllУ
(1.
9)
u
1111)1
Оfl\t'
IIИ
Н
1)
у
-+
z - D =
-
о
.
d
д
)
dv
д;.
1 3
Под
тавовка
в
(VHI
. 67)
при
водит
к
выраж
ИИI0
R
-
6CJJ.Z
+
2C~L(1-
2v) k
r - r
4
r
г
2
•
Расс
мотрим
результирующую
силу
и
пару,
возuикаJ
щи
D
резуль
тате
деiiствия
этого
l:IаПРЮl,ения
по сф
р
.
Р
езу
льтирующ
зя
сила
состав
ит
S RrdS =
2~JJ.
1 {
3;:
j +
3::
j + (
;:'
+ 1 -
2V
) k} d .
С
оставлиющие
этой
силы
по
о
ям
х и
у
ввиду
ПМ-М
тричности
сферы
равны
нулю,
а
составляющая
по
о и
z
в
ферич
СНИХ
коор
динатах
(VII
.
2)
равна
n n
2с
2 -2
r
~
J.L
8 J
.f
(3
со
2
Э
+ 1 - 2v)
г
2
io
Эdf>d<р
= 16nC
f.L
(1 - ")'
О
О
Тан
как
эта
составляющая
не
зависит
от
радиуса
r
,
которы.й
юшет
быть
припит
!,ак
угодно
малым,
то
решение
соотn
т
твует
с
ил
е
F
прилошенной
в
направлеnни
оси
z,
при
F
С
= - 16nJJ.(1 -
v)
.
(V
IIl
.70)
Результирующая
пара
составит
J
(г
х
R
r
)
dS
=
2CJJ.
(1
г
:
2v) J
(г
х
k) dS =
2C
J.L
(1
r
:
2v)
У
(yi - xj) dS
s s
и
вви
У
симм
трии
оиа
будет
равна
нулю
.
И
ию,овец,
компоненты
перемещ
е
lШЯ
(VIII
.64)
будут
им
ть
вид:
F xz
и
=
16nJ.L
(1
-
")
~;
и
=
F
~.
16nl1
(1
-
")
~
.
F { z2
W =
16nJJ.(1-v)
га
+
(УIIl
.
71)
в
CJlучае,
когда
сосредоточенная
п ара
прило}\{
па
в
начале
КООР
Дllиа
т,
воспользуемся
пер
еме
щени
ем
D =
rotA
,
J<OTopoe
явля
е
тся
реш
е
ние
1
уравнении
(
III
.59)
при
2А
=
О.
1 4
(VШ
.
72)
(VШ
,
7З)
Примем
в
качеств
е
частного
значения
А
гармонический
вектор
Blr,
где
В
-
постоянный
веI\ТОР.
Тогда
В
1
В
Х
r
D =
rot-;:-
=
grad-;:-
х
В
=
г
з
(VIII.74)
и
на
оооовании
(VIIl.67)
Н
•
= _
311.
В
Х
r
г
г4
(V
III
.75)
Проиптегрирооав
по сфере
S,
ПОl\азаUIIОЙ
на
рис.
108,
найдем,
что
результирующая
сила
равна
нулю,
а
результирующая
пара -
ВпрВ.
Отсюда
видно,
что
решение
соответствует
о
обенному
зна
чению
G
сосредоточенной
пары,
приложенной
в
пачалеl\оордипат,
где
G
В
=-
8'Ч
L
(V
III.76
)
72.
НАГ
.
РУ3КИ,
ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА
ГРАНИЦЕ
ПОЛУБЕСIЮПЕЧНОГО
ПРОСТР
АИСТВА
Рассмотрим
группу
важных
задач,
в
которых
упругие
тела
боль
ших
раз
I
ров
имеют
плоскую
грапь,
принимаемую
за
координат
ную
ПЛОСI\О
ть
Z =
О.
Соср
доточенные
и
распределенные
наГРУЗI\И
ПРИJl
аг
ar
тсл
1\
плоской
грани,
когда
тело
зашнrает
объем,
дл
я
хоторого
z >
О
.
Р,
А.
ВормаЛЬU<'\11
со
редоточеflная
сила
Легко
убедиться,
что
D = grad
\jJ
(VIlI.77)
является
решевиом
фундаменталь
ного
уравнеиия
(VIII
.60),
когда
2'IJ
=
О.
(VIП.7
)
Рис.
109.
t(x
•.
у,)
Используя
линейную
хомбинацию
этого
решения
с
решени
ем
(VIII.62),
можем
получить
з
начение
результирующей
СИЛЫ
по
по
лусферичесхой
ПОJJОСТИ
S 1
(рис.
109),
а
также
получить
нена
пря
жен
ный
контур
z =
О
(кроме
пачала
координат).
Рассматривая
сна
чма
кра
е
вое
условие,
найдем
вектор
напряжения
Н
.
внекоторой
ТО'1к
(х
1
,
Уl)
на
основании
псремещеuия
D =
А
grad
'IJ
+
в
Iz
grad
qJ
-
(3
-
4v)
qJk
J.
(V
ПI
.
79)
Гармо!lИЧ
с)(ие
функции
qJ
и
'IJ
зададим
в
CJJедующем
виде
'IJ
=
lп
(z
+ r) (VIII.80)
185
и
дф
1
<P
=
Тz
=
Г-
'
(VШ
.
1)
1
где
r =
{
х!
+
у2
+
z2
jT
-
р
а
сто
яни
от
В
I\OTopoil
ТОЧI\II
Р,
лежа
щ
ей
внутри
~{атериала,
до
Jlачала
ноординн
т
.
Н
а
о
с
н
ова
нии
(II
.36)
_1_
Н
•
= -1 2 ? k
di\'
D +
aiJ
D + g,'
ad
ш
.
( III. 2)
11
- _" z
и
D
ль
з
уя
(V[1I .6
3)
И
(
III
. 1),
di\
' 1) = -
2В
(1 -
2\
.)
~;
(
\'111
. '3)
" " rau
ш
=
grad
(!I
~
+
в
"
z
д
ер
- ( - 4 )
ер
)'
А
"
ни
m
1-
ь
I
д=
\
д:
1'
"
-j
В
l
~;
k + z
grad
~~
- (. - ") grf\d
ер)
=
=\
Л
-
В(,
- 4v)}
grad
.\-
В
\
о;
k i Zgl
'f\(
\
:;}
.
и
n
окончатель
н
о
)!
виде
Ее
111
Т
перь
НОJIОil
i
ИТЬ
(\'lI1
.•
4)
Т
()
( 'lIJ
.<
5)
Н
а !(ОIlТУР'
Z =
О
этот
u I
(TOP
пр,Илима
т
з
ннч
IIИ
:
(R
l
).=
11
-
21lB
I
~;)
k = i 2
1!
: =
).
=
О
.
\ .=
/1
\
,.=
и
OTI(
YAa
ВИ
Д
II
О,
что
'ОНТУР,
КрОМ
точки
н
ачала
I
(оорд
и
пат,
явля
ется
lJ
е
u
а
ПРЯ
ЖОЛJl
ЫМ
.
И
з
(V111
.
67)
най
де
м
т
перь
в
It
то
р
ваПРЮ1,
uия
Н
г
,
й
ТВУ
ЩИЙ
по
полу
Ф
РИ
'
l
еС
I(О.й:
поло
ти
\.
llо
дс
тавляя
:
шач
нил
•
ер
и
'ф
в
(VII1.79),
п
олуч
им
сл
дую
щ
е
3
11
а
ч
Юlе п
р
мещеllИН
D =
В
[{ 1 -
2\1
_ 3 - 4" } k
..L
f 1 - 2\/ _ ..;...} _r
].
(
УШ
.
6)
L z +
г
r ' l % + r
г'
r
Та}(
что
j~
ti
и
(rD) = -
JB
(1
-
")
{+
-
~}.
'1'
..
IЭ
Вр
/1;
~~L
(1
-
2'
1 ( k _ )
п
P
I,
IJ;
I
)Ц(,~I,
Ч
I'
{)
"'
г
=
-
г
-
~
- r
г~
(: +
г
)
Z
r,
и
ре
-
зультирующая
:э
того
u
ктора
110
nов
РХ110
1'11
1
равн
а
tЩ
f.1Вk.
С:
I
J
tOU<1TC
11>110
,
псрем
Щ
IlИС
(VIII,
6)
соответств
ует
соср!щото
Ч('IIIIUИ
СН
( F Jl()ii
'ТUУIOЩ
й
норма
lbllO
D
ааЧЗJ1С
I{оордипат,
где
р
В
=
---
4Л
l1
I
\О
МПО1l('I~ТЫ
п
е
р
~fещеllНЯ
u
1'0'11<11:\,
ра
nОJlожеВIIЫ
не
0'1
IIЬ
близ\{
Т
начала
IНЮРПИllат.
nринимают
DИ
J:
х;
'"
(1
-
2у)
х
j
II
-=
~
-;:з
-
4лf.L
r
(=
+
г)
, I
F
у:
Р
(1
- 2v)
у
• I
v
4J1~t
fз
- 2nlt r
(=
+
г)'
I
F
z
~
Р
(!
-
v)
1 I
w
-'
4
Л
~L
тз
+
-
2~7
( III. '
7)
Б.
СОСРСДО1'очеПRая
пара
Ес
111
п
а
р.
G -
Gk
приложенз
ОТНОСИТ
ЛЬ1l0
о
И
Z,
то
реш
Jlие
I
бун
r (
[]
1.7")
при
в
= Bk.
Таl
им
образом
D
1
1:)
k
Х
r
В
( . t ') R 3
В
k
Х
r
-
'.J
-
г
-
З
-=--;:З
-
У
I
Х
]
11
r = -
f.1
-
г
4
-'
(
ПI
.88
)
РеЗУЛЬТI1РУlOщан
"ара
по
пол)'
фер
.
t
да
т
В
=
4~"'"
Н
обхо
ДИМО
l
1С С
le
J
tOlJa1'b
в
КТОР
R
z
}
tЛН
того,
чтобы.
убедиться
в
том,
ЧТ
DЛОСИО
1'1>
Z =
О Л
.
вля
тсл
IL
I13IlРЯЖСllilОЙ.
Таи
нак
D =
О,
а
из
(
IIТ
.
) w
О.
на
осноuзвии
(VIII
.82) R, =
3f.1
B
(yi
-:5
xj
)z,
JiOTOPU\:'
J1
'Iсз
аст
при
.:
=
О
.
Компоненты
n
ремещ
ни
я
поэтому
со тавят;
u
=--
G
_L
' l
4
л,...
rII'
G
Х
j
V =
4Л,...
-;s;
ш=о.
(VШ.89)
{87
В.
Плоская
грань
под
действием
задапного
давлеmш
Пусть
к
TotJ]{e
Q
(см.
рис.
109)
плоскости
z =
О
ПРИЛО>liено
Д:\В
!(е
пие
р
(х!,
У1)'
ЭТО
давлеЮiе
может
быть
неравным
нушо
в
неко
торых
обла
тих
S
плос}(ости
И
равпо
нулю
во
вс
х
точ:ках,
не
при
lI
адле)нащи
х
::ЭТИМ
областям.
начале
на
стоящего параграфа
l
Ы
предполагали,
что
н
ормальная
сила
pd
действует
на
все
::эл
емеН1Ы
.
и
пу
т
ем
интегрирования
того
решен:ия
по
получиJШ
реmени
для дапной
задачи.
ТaI<ИМ
обра
зом
.
'Р
= S
р
(х
1
•
YJ)
10
(z
+ '1)
dS,
(VIII.90)
s
г
де
r
1
= PQ.
и
ер
=
~
= s
р
(%1
'
У
l)
dS.
(VIП
.
91)
д:
s
Гl
П
е
ремещение
(VIII.
79)
принимает
вид
:
D =
--i-
{
(1-
2v)
grad '" + z
gradep
-
(3
-
4v)epk
}. (VIII.
92)
Шj.L
И
з
(V
III
.85)
после
некоторых
упрощений
находим
z
(o,o,Z)
Р
IIС.
llIJ.
(VIII.
9:3)
Формально
решение
J\Ю,JШО
считать
вавер
ru
еП
IlЫМ
ибо
тан
IШК
давл
ние
р
(Х
1
,
yJ
зада
но
а
'Р
и
ер
могут
быть
най
дены
ив
(VIII
.9
0)
Jr
(
VIII.91),
то
перемещеви
D
полу'lПМ
из
(VIII
.92).
О
дпано
на
практине
значит
ЛЫIЫ
трудно
тл
возникают
в
связи
с
вычисл
е
шrем
ЮIТ
гралов
для
ер
и
'Р,
даще
когда
давл
ние
по
с
тоянно.
Сейчас
рассмотрим
случай,
когда
рав
померное
давя
пие
действует
по
площади
круг
а
радиуса
а
11
с
центром
в
начале
КООРДШI
8Т.
В
частности
пайдем
перемещ
ние
в
точке
на
оси
z.
Из
(Y
I
11
.92)
это
n
р
еме
щепие
составит:
ш
=
--
(1
-
2v)
-+z-_
- (
-4v)
ep
=
1. {
д'I!
д<р
3 }
4n
j.L
д
:
д~
(0.0.1)
= - - z - - 2
(1
-
v)
ер
.
1 {
д<р
}
41tj.L
Oz
(0,0.2)
(VIII.94)
т
п
с
рь н
обходимо
определить
фУНlщию
ер
(О,
О
,
z)
на
основании
(
'
ПI
.9
1
)
ер
(О,
О,
z)
=
р
~
~S
•
s 1
(
'
де
d = 2nRdR;
и
r
~
= Z2 +
R2.
188
Ивтегрируя,
пайдем
(jJ
(О,
О,
z)
= 2np
/У
аЗ
+
zЗ
-
z}.
(УlII
.9
5)
l]одстаВJ
IЯЯ
в
(VIII.94) ,
получии
пер
емещение
в
точке
па
оси
z
Ш
=
2
Р
{2
(1
-
v)
+
у
z }
/Vа
З
+ Z2 - zl
1.\.
а
2
+ z2
.и
в
частно
f
случае,
когда
ТОЧI(а
совпа
дает
с
началом
Iюординат.
Ш
О
=
.l!!!:...-.(
1
-v).
!1
Найдем
теперь
сжимающее
н
ап
ря
жение
на
оси
z
а
~
3
р
~.
z
3
dS \
RdR
zz
= - -
--
= -
3
р
z
З
=
~
~ .
~
s J
О
(Н
2
+
"~
I
-=-
что
rоашо
п
р
о
пи
с
ать
в
ви
д
7z
= -
p(1
-с
о
sЗ
а.),
(VШ.96)
где
2а
-
угол
при
точке
(О,
О,
z),
опираroщийся
на
диаметр
круга.
Легко
видеть,
что
н
пряжевие
и
перем
е
щевие
стремятся
к
нулю
при
z
-+
00.
Г.
Касание
сфе
рических
тел
И
зл
оженная
Bыme
теория
может
быть
использована
для
опре
делени
я
площа
ди сопр
ююснов
ени
я
двух
касающихся
друг
друга
тел
под
действием
силы
*.
Предположим,
что
оба
тела
обладают
осевой
СИЬ1метрией
отпосительпо
оси
Z,
ТaI(
что
площадь
соприкос
новения
является
кругом
радиуса
а,
а
сжимающ
а
я
сила
р
(R) -
фунтщией
от
расстояния
R
д
о
оси
z.
Если
радиусы
кривизliы
R
1
И
Rz
припять
больши~m
по
сра
вн
ению
с
а,
то
привед
енное
ВЫПIе
реш
нпе
дл
я давлени я
по
плоской
грани
будет
с
достаточной
1'0'1
-
востыо
подходить
д
ля
дaнnoгo
случ
а
я
.
Из
гео
lетрич
ес
ких
сообра~кепиii,
если
А
и
В
сть
две
то чки,
l\OTOpble
при
жимаю
тся
друг
к
другу
при
ложевпой
силой
(рис.
111),
то
(VПI.
9
7)
•
Зада
ча
была
вп
ер
вые
решена
Герцем
.
см.;
J. Math. vol.
92
(1881).
189