Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
(УII.24)
используются
в
линейной
ко
1бинации
для
того,
чтобы
удовлетворить
как
можно
больше
число
краевых
условий.
Это
з
ам
ечание
было
сделано
в
связи
с
тем,
что,
как
помнит
чита
тел
ь,
дажев
задачах
со
стержнями
в
главах
111, IV
и
V
мы
не
имели
воз
р
Z
Рис.
83.
у
можности
получить
пр
дписапuого
распре
деления
напршкевии
по
I,Оlщам
и
поэтому
был
применен
принцип
Сен
-
В
нана.
Так
же
и
здесь,
самое
большое,
чего
удалось
достигнуть,
это
получить
точны
условия
по
граням
Z = ± h,
а
результирующие
силы
и
мом
нта
подбираются
таЮill\Ш,
что
бы
удовлетворить
условия
по
краю
r =
=
а.
В
данном
случае
будем
счптать,
что
пластина
свободно
опертая,
так
что
тр
буемые
условия
будут:
?z'
= -
р,
;;
=
о
по
Z = h
для
вс
ех
значений
т;
?z'
=
о,
7z
=
о
по
Z = - h
для
всех
значений
т.
Общая
радиальная
сила
на
единицу
длины
обода
должна
быть
1,
.--
равна
нулю,
т.
е.
5
(rr)
_adZ =
О,
-h
общи
й
изгибающий
момент,
отнесенный
к
единице
длины
окруж-
h
.--
ности,
должен
быть
рав
R
нулю,
т.
е.
J
(rr)
r=a
ZdZ
=
О.
-h
Искомая
функция
напряжений
должна
быть
вида
(VII.25)
Последовательно
раскрывая
напртI<ения
(УII.6)
и
затем
подставип
их
значения
11
приведенные
выше
условия,
ПОЛУЧИll1
неоБХОДИllIые
уравнения
для
опреде
J
rения
шести
постоянных
из
(VII.25).
Окон
чательно
система
напряжениii
будет
иметь
следующий
вид:
;;. _
~[~
(2
+
,,)
(3h
2
-
5Z
2
) -
332
(3
+
,,)
(а
2
-
Т
2
)];
- h
3
40
ее
- pZ
[_1
(2 +
,,)
(3h
2
-
5Z
2
) -
~
1
(3
+
\1)
а
2
-
-
h'
40
32
-(1
+
3\1)Т
2
1
];
~
= -
4~8
(2J~
-
Z)
(h
+
Z)2;
~
3рг
(h2
Z2)
rz =
8h
3
-
•
150
(VIJ.26)
Б.
Вращающuй
ся
ДJJCK
Пусть
па
рис.
83
изображен
диск,
вращающийся
относительно
оси
Z
с
угловой:скоростыо
00.
Здесь
также
положим
(УII.27)
так
КaI<
У
нас
нот
оснований
С'lИТать,
что
в
радиально
направленном
элементе
возвикают
касательные
напряжения.
Объемная
сила
(см.
53.
Реш
иня
для
областей
с
}<руглыr.m
конту
рамп)
F
r
=
oo
2
r.
Таким
образом,
уравнения
равновесия
(V
II
.13)
примут
вид:
cr
+;,:-
-
ее
+ 2 _
о.
-ar r
pror-,
в;;
=
о
BZ
•
(УII.28)
(VII.29)
Объемную
силу
в
этой
задаче
лучше
всего
представить
как
под
ывт
гральвую
функцию
интеграла,
опре
деляющего
нап
р
яжения,
кото
рый,
предположим,
принимает
следующие
значени
я:
;:;. = Ar
2
+
BZ2:
ее
=
BZ2;
; =
Cr
2
•
(VН.ЗО)
0'1
видно,
что
эти
значения
удовлетвортот
уравнения
(VII.28)
и
(VII.29),
если
(VII.З1)
При
тю<ом
ПОДХОД,
когда
заданы
компоненты
напряжения,
необ
ходимо
с
помощью
зависимостей
:!ежду
напряж
ени
ями
и
де
форма
цишm
найти
в
личины
В
и
С.
Отсю
да
получим
!<омnоиенты
пере-
r
щения.
Из
(УН
.ЗО)
!1
=
;;
+
00
+ ; =
(А
+
С)
r + 2BZ2
и,
далее,
из
(11.34)
и
(11.35):
В и
•
Е
а;:-
=
(А
-
vC)
r +
(1
-
v)
BZ2;
и
т
Е
-
=
-
v(А
+
С)г
2
+
(1-v)ВZ2;
r
д и
Е
-%
=
(С
- vA)
г
2
-
2BvZ
2
•
az
'
(
Вит
ди
•
)
Е
az
+
---а;:-
=
О.
ИСJ(ЛIOЧИD
и
т
И
U
z
,
найдем
В
- 2
(1
+ 2v)
(1
+
v)
С
_ 2 1 + 3v
- -
роо
6v
(1
-
v)
, -
pro
- 6-v- '
(V
Il.
32
)
что
приводит
К
следующей
системе
напряжений:
--
___
1 2 { 2 +
(1
+ 2v)
(1
+
")
Z2}.
)
ГГ
- 3
рro
г
2" (1 _ ") ,
00
=
__
1_
ro2
(1
+ 2v)
(1
+
")
Z2.
6
Р
v
(1
-
")
•
(УII
.33)
--
1 1
+3"
zz
=
т
рro
2
v
г
2
•
На
основании
полученных
р
ешев
ий
1ы
еще
не
имеем
свободных
от
напряжений
граней
Z = ± h,
поэтому
к
получ
нным
решения
l
должны
добавить
решения
для
фующии
напряжений
(УН
.34}
Используя
(УII
.
16),
без
учета
объемной
силы
придем
к
следующей
системе
нанряжений:
;;. = -
А
ь
(180г
2
-
24.0Z
2
)
+
B~
1
(36
-
54.'\1)
г
2
+
+
(6
+
108'\1)
Z2
1;
00
=
А
ъ
(-
60г
2
+ 240Z
2
)
+
В
ь
{(
12
- Mv)
г
2
+
+
(6+108'\1)Z2};
z"z
=
А
ъ
(240г
2
- 480Z
2
)
+
В
ь
1
(-
102 +
54'\1)
г
2
+
+
(96
-108'\1)
Z2
};
;;
=
480А
ь
г
Z
-
Во
(96
-
108'\1)
rZ.
Поскольку
компонента;;
должна
быть равн
а
нулю,
40А
6
=
(8
-
9'\1)
Во.
(УII.35)
(УII
.36
)
Так
как
суммарное
значение
;;,
полученное
из
(УII.33)
и
(VП.3
5
).
также
должно
равняться
нулю
но
Z = ± h
для
всех
значе
ний
Г,
то
В
1 2 1 + 3"
240А
о
+
(-102+
54'\1)
ь+т
рro
v = 0
(VII.37)
и
-
4.80А
5
+
(96
-
108'\1)
В
Ь
=
о.
(VII.З8)
152
Это
уравнение
является
совместным
с
(VП
.36),
поэтому,
решая
их,
найде
i
А
ь
и
В
ъ
,
а
таJ<же
суьшарвую
систему
напряжений:
А
_
pw
2
•
(8 -
9'\1)
(1
+
3'11)
Ъ
- 12960 v '
В
-
pw2
1 +
3'11
(VII 39)
ъ
-
324'
'У;
•
r;
= _
рro
2
{_1_
(3
+
v)
г
2
+
'11
(1
+
'11)
Z2}.
\1
8
2(1
-
'11)
,
ее
= _
рro
2
{~
(1
+
3v)
г2
+
'11
(1
+
'11)
Z2}.
8
2(1
-
'11)
'1
Z"Z
=
О;
;;=0.
J
(УII
.4
0)
Нахонец,
рассматривая
напряжеввое
состояние
на
цилиндриче
ской
поп
рхности
r =
а,
найдем,
что
она,
будучи
свобо
дн
ой
от
,(а
сательных
напряжений,
подвержена
действию
результирующей
силы.
Следовательно,
результирующая
сила
на
единицу
длины
дает
среднюю
растягивающую
силу
на
единицу
площади,
величи
на
J<ОТОРОЙ
составит:
2 { 1 (3 + ) 2 +
'11
(1
+
'11)
h
Z
}
-рro
8 v
а
1
-v
' 6 .
Ее
можно
устрапить,
добавляя
1<
;:
равное
и
противоположное
еIlfУ
радиальное
напряжение,
TaJ<
что
результирующие
силы
и
момен
та
по
боковой
поверхности
будут
равны
нулю.
Rоr.mоиеит
должен
быть
изменен
иа ту
же
самую
величину,
так
как
он
входит
в
член
(;.
-
W)/гуравнения
равновесия
(УII
.28)
.
ОI<ончательиый
вид
J<OA1
-
поневтов
напряжения
будет
ледующим:
r;
=
рro
2
{~(3
+
v)
(а
2
_
г
2
)
+ V
(1
+
'У)
(h
2
_ 3Z
2)}
.
8
6(1-v)'
e8
= pro2{i-(3 +
v)a2-+(1
+ 3v)r
2
+
)
I
(VIl.41)
+
'11
(1
+
v)
(h2
_
3Z
2
)}
.
6(1-v)
,
z"z
=
О;
;;
=
0.
Необ
'одиъiO
отметить,
что
если
эти
результаты
осре
днить по
толщине
2h
пластины,
получим
те
же
значения,
что
и
решения
(VI.79)
дЛЯ
обобщеввого
плоского
напрященного
состояния.
И
наконец
максимальное
радиальное
перемещение
в
r =
а,
Z =
О
составит:
153
В.
Кручени
е
вала
переl\l
е
вного
поп
р
чпого
ечеппя
Рассмотрим
вал,
имеющий
форму,
образованную
вращением
твердого
тела
BOI{Pyr
оси
Z,
И по
концам:
которого
приложены
рав
ные
в
противоположно
направленные
моменты
отво вт
льно
оси
Z.
Пре
д
положим.
что
единственным
ненул
вым
КОАшонентом
пер
-
мещепия
есть
Ив,
и
что
он
независим
от
е.
Расс
{атривая
урав
пения
равновесия
и
зависи~fOСТИ
между
напряж
IШяъm
и
дефор-
lаЦИЯl\m
в
связи
с
этими
даПllЫМИ,
сможем
получить
решение
для
напряжений.
l\о:r.шовенты
Д
формации
(
П.7)
примут
вид:
В"
=
в:в
{
д::
=
e~:
}
О;
1
див
)
8,.е
=
Т
дГ
-
-г-
j
Вв.
=
т·
az
•
(V1l.42)
Это
приводnт
J{
J{ОlofПонентам
напряж
ения
;е
=
~
{дд:
в
_
и:},
е;
=
~
:~
,
(VII.4З)
а
остальные
J{о~mонепты
равны
нулю.
Исключив
Ив
из
по
следних
двух
уравнепий,
получим
уравнение
совместпости
д;е
де:
е?
az-=-rr--7
(УII.44)
Уравпенпя
равновесия
(VII.12)
сводятся
к
ОДНОАry
уравн
НlIЮ
д;:О
де;
2
~
-rr-
+
aZ
+ 7
те
=
О,
которое
пер
ШШIем
как
д
~
д
~
dГ
(г
2
ге)
+ aZ
(гЧ3z)
=
о
.
(
ll
.45)
Теперь
можно
вв
ести
функцию
напряжений.
Пусть
~
1
aq>
~
1
aq>
rO
=
-_·_·
{)z
=_
· -
r
az'
г
2
д
г'
(VII.46)
где
<1'
есть
функция
от
r
и
z.
Ясно,
что
она
удовлетворяет
уравп
пие
(УII.45)
.
Подставим
эти
напряжения
в
(VII.44) ,
тогда
уравн
пве,
которое
должна
удовлетворять
функция
<1',
примет
вид:
oJq>
зaq>
olq>
д
г
2
-
г
д
г
+
OZ2
=
о.
(VII.47)
Для
того
чтобы
контур
АВ
(рис.
84)
был
свободным
от
напря
жений,
необходимо
чтобы
результирующая
I{асательвого
папря
жения
была
направл
на
по
касательной
к
АВ
в
точке
Р
.
Отсюда
.-...-..
. dr
dZ
с
ледует,
ezsin
а-те
со
а=О,атаккакsша=Тsисоsа
=
Тs
'
154
па
основании
(УII.46)
па
контуре
д<р
dr +
д<р
dZ
_
О
T'Тs
дZ'Ii$-'
(VII.48)
Таким
образом
~=O
ds
(
П.
4
9)
или
<р
= const
на
Rоптуре.
Найде
f
т
п ерь
},оъшовент
перемещепия.
На
основании
(VII.43)
и
(V
II
.
46)
напишем
f
д<р
{
див
ив
} f
д<р
див
-
-;:Г'
az
=
J.L
Т
-
-г-
,
7'
д
r
- =
J.L
az
июt
1
д<р
д
(ив)
f
д<р
д
(ив)
-
-,:з'
az =
J.L
тг
-;:-
,
-;:3'
т
=
J.L
oz
-;:- •
По
сл
исключения
<р
и
з
последних
двух
уравнений
получии:
:г
(тЗ
.
Z)
+ :Z
(г.
: ) =
О,
r
(VII.50)
где
'Ф
=
uolr
-
уравнение,
из
ROTOPOfO
найдем
компонент
ив.
у
р
а
вn
ние
(V
II
.50)
Та!ш{е
мо
-
О
жет
быть
ваписапо
в
виде:
~
3
дф
д2
\jJ
8r~
+-;:-
·Тг
+ 8
1;1
=
0.
(VII.51)
~
5
r:J.
dr
dZ
z
Ри
с.
84.
и
накопец
найдем
крутящий
момепт
N
RaK
результирующую
пару
относительно
оси
OZ
напряжений,
ВОЗПИRающих
по
конце
вому
сечению
радиуса
а.
Рассматривая
рис.
85
и
используя
(VJI.46) ,
получим
о
а
N = J
8Z2nr
2
dr = 2n S
~<p
dт
= 2n
(<Ра
-
<Ро)'
о
о
r
(УН.52)
Вал
оо
с
толппого
еченuя
.
Пусть
функция
<р
=
Ar
t
.
Она
является
решеп.ием
уравпеп.иЙ
(УII.47),
а
также
является
постоянной
при
r =
а.
Эти
условия
определяют
случай
постоянного
сечеп.ия
КРУ
т
ящегося
вала.
Единств
енным
непулевым
коъmонентои
напряжения
будет
Oz
=
ЧАт,
(VП.53)
а
так
как
крутящий
момент
N =
2nАа
4
,
суетс
я
с
(IV.27).
Конический
вал.
Можно
показать,
что
..-.
2JV
то
Oz
=
--4
Т,
что
согла
па
(УН.54
)
155
также
является
решением
уравнения
(VII.47)
при
р2
=
r2
+
Z2.
(VII.55)
Если
точка
Р
(рис.
86)
лежит
на
поверхности
ABCD,
то
Z =
=
р
cos
а.
Следовательно
функция
ер
является
постоянной
на
ко-
В
z
с
Рис.
85.
Р
ис.
86.
нусе,
у
которого
половина
угла
при
вершине
равна
а.
Компопепты
напряжения
(УII.46)
примут
вид:
- Ar2
ArZ
r8
= -
Oz
= -
-----,..,-
(r
2
+ Z2)'/. '
(r
2
+ ZZ)'/. '
(VII.56)
где
ноэффициент
А
может
быть
найден
ив
(VII.52).
N
А
=
-
(2
1 .
2п
т-со
ct+тсоsзct)
(VII.57)
Ранее
были
найдены
решепия
для
других
J\OHTypOB
...
,
а
мето
д
цилиндрических
ПОЛЯРНЫХ
координ
ат
был
испольвован"''''
для
за
дачи
кручения
прямого
вала
круглого
сечения,
у
которого
один
конец
в
результате
заданного
распре
делени
я
напряжений
ИС1(РИВ
l1ЯЛСЯ
или
оставался
плоским.
61.
IIЛОCI\ИЕ
IIОЛЯРНЬШ
КООРДИНАТЫ
Решение
вадач
с
при
1
енением
ПЛОСНИХ
полярпых
координат
и
комплексных
потенциалов
уже
было
рассмотрено
(см.
53.
Решения
для
областей
с
круглыr.ш
J<онтурами).
Здесь
установим
основные
уравнения
теории
упругости,
а
также
функцию
папряжепий
Эри
в
системе
плоских
полярных
координат
.
Положив
и%
=
О
И
считая
все
величины
независимы?tш
от
z,
по
ЛУЧИМ
состояние
плоской
деформации,
для
которой
буд
1
I1
:
Меть
следу
ющую
систему
уравнРtmй
равновесия:
*
ТЬ.
Poschl. Zeitsch.riCt
Сш
aIl
gewan
dte
Mathematik
und Mec/1anic. vol.
2,
(1922),
р.
137.
**
А.
Л
1I
В.
Математическая
теорил
упругости.
Перевод
с
4
-
го
апгn.
иэ,!!;.
М.-Л.,
ОНТИ,
1935 (§226).
156
о;;
+ _1_ . a;f) ...l-
;;
-
ее
=
о.
д
г
r
д8
I r '
д
;е
+ _1 .
д
ее
+
:J.r6
=
О
д
г
r
д 8
r .
j
(УН
.
58)
Эти
уравнеlШЯ
тождественно
удовлетворяют
нот
е
ния:
следующие
соот-
- 1
дах
1
ах
гг
=
"7
.
дЕР
+ r .
дГ
;
-
{р
х
ее
=
0,
2 ;
(УJI
.
59)
;:е
= _
~
(~.
ах)
дг
r
д8'
где
Х
-
ес
ть
Ф
У
НКЦИЯ
папряжеlШЯ
Эри.
А
Jl
ал
о
г
ично
и
з
м
няются
Iюмпоненты
деформаций:
ди
•
1
д и
в
и
•
j
В
..
=
дГ{
'
В
ее
д
= r
a
·
де
+
-}
Т
•
8
п
=
О;
(УlI.60)
1 1
и
•
ив
и
в
8re =
Т
r
де
+
дГ
-
г
'
8
г
%
=
ев
:
=
о.
Но
мпо
н
нт
ы
п
е
р
ем
еще
ния
могут
быть
записаны
в
виде:
r
дг
де
'
2"
u,.
=
_!!:...
+
(1
-
'У)
r
Офl
. j
2
1
дХ
t
~
(УП
.
61
)
f.1
ue
=
-тае
+
(1-v)r
де'
г
д
е
\72'Фl
=
о;
~
(
д
ф!
I -
\72~
д
г
r
д
6
- .
Л
еГ
RО
ПОJ{а
з
ать,
что
послеДlШе
уравнения
приводят
к
т
ам
папряж
е
lШЯ,
иоторые
согласуются
с
(УII
.59),
а
у
словия
совместности
приводят
к
с
ледующеиу
уравнению
У'
4
Х
=
о
.
(УII
.
64)
(VII.
62
)
(УII
.
63
)
KOМDOHeH
-
у
В
каче
ст
в е
при
м:
ра
рассмотрим
длинную
привиу
(к а
м
е
нну
ю
пло
т
ину)
формы
клина
с
углом
2
а
(рис
.
87),
J{
о
д
ной
грани
кото
рого
е
=
С%
прилощ
е
но
норм
а
льное
давле
ние
р,
а
другая
грань
е
= -
С%
является
с
вободвой
от
напряж
е
ний
.
Принимая
з
а
начало
J{оординат
верrп:ину
клина,
бу
де
м
иметь
следующие
нраевые
условия:
Рис.
87.
00
= -
р;
;:е
=
О
на
е
=
С%;
ее
=
о
;
;:е
=
О
на
е
= -
С%.
)
(УII.65)
157
Легко
убедиться,
что
функция
х
=
r2
(A
cos
20
+
BSin
20
+
С
+
ПО)
(УП
.
66)
является
решением
уравнения
(УП.64)
(с
1.
формулу
(1.47)
при
ло
жения
1).
При
этом
значении
фУЮЩИИ
Х
I
,ОМПОП
нты
напряжения
(УП
.
59)
примут
вид:
;:;.
= - 2
(А
cos
28
+
В
in
28
-
С
-
DO);
)
~
= 2
(А
cos
28
+
В
si
n
20
+
С
+
ПО);
r8 =
2А
sin
20
-
2В
cos
20
-
D.
(VII.67)
Подставляя
эти
значения
в
краевые
условия,
найд
м,
что
А
=
О;
В
-
р
•
с
=
_L
. D = _
рсо
з2а.
- 4
(2а.
соз
2а.
-
sin
2а.)
, 4 ' 2
(2а.
соз
2а.
-
sin
2а.
)
так
что
в
окончательном
виде
I{о~mоненты
наПРllжения
буд)
т
иметь
вид:
z
;:;.
=
--21
Р
+
-.!..2
Р
in
20
+
28
со
з 2а.
.
sin
2а.
-
2а
cos
2а.
'
00
= _ _ 1_ _ _1_ sin
28
-
28
со
2а.
.
2
Р
2
Р
sin
2а.
-
2а.
соs
2а.
'
е
1
со
28
- cos
2а.
r =
2""
р
sin
2а.
-
2а.
cos
2а.
.
1
I
I
(VH.68)
62.
СФЕРИЧЕСКИЕ
I\ООРДИНАТЫ
Пусть
i
1
•
i
2
,
i
з
сть
единичные
векторы
в
ТОЧJ{е
Р
с
направлению.m
r,
О,
<р
соотв
т
~----I=::::~~I'r:-J
ственно
(рис
.
88).
В
этом
случае
ии
один
из
этих
единичных
векторов
Не
являетСЯ
постоянным
и
изм
няет
паправление
с
из
менением
8
и
<р,
и
лишь
при
измен~нии
~
__
+-_
Y_
Iiоординаты
r
при
постоянных
8
и
<р
на
правление
их
не
меняется.
нимат
льно
рассматривая
геометрическую
сторону
за
дачи
(см.
59.
Цилип
дричеСI<ие
координа
ты),
установим
степень
измепения
f<аж
д
о
-
Рис.
88.
го
единичного
вен:тора
при
И3l\1
нении
од
-
ной
из
координат
при
остальных
двух
постоянных.
Таким
обра
зом,
про
слеДИl\1
за
изм
нением
этих
Be
l{
-
торов,
ногда
точка
Р
движется
в
доль
ОР,
по
меридиану
С
1
и
ПО
ОНРУiКности
С
2
•
158
Это
приводит
К
следующей
системе
производных:
Oi
1
-
О
Oi
1
-
Oi.
.
е-
1
r - •
де
= 12.
д<р
=
SlD
18;
ai,
_
О
Oi
z
•
ai,
е"
t
дг
- •
де
= -
11
.
д<р
=
COS
'3;
(
Oi
a
.
е-
е"
I
-д- = - SID 1] -
COS
'
2-
<р
,
Oi
a
=
О
дi
з
-
О
дг
•
де
- •
(УН.69)
Перемещепие
составит
О
= u
r
i
1
+
uei2
+
uфi
э
.
(УН
70)
Снова
используя
(П.10)
и
формулу
(1.21)
из
приложения.
00-
лучим:
2
"(-)
D
+"
("
) D " 1 OD
+"
OD
8rв
= 11 12 V ' 2
1)
V =
1)
r
д6
12
дr
"
Подобным
образом
найдем
выражение
ДЛЯ
друг
их
Kor.mOHeHTOB
.
На
основании
(УII.69)
и
(УII_70)
получим
следующую
систему
ком
понентов
деформации:
ди
,
'
е
гг
=
а;:-;
i
див
""
евв=-гае+-':-;
1.
дu
ф
и
,
г
ив
ctg
в
8w
= r
зiп
е
дер
+ r + r
1.
ди
•
U
ф
дu
ф
281"ф
= r in
е
д!р
-
-г
+
---ar
;
(УII
.
71)
1.
ди
,
"в
див
2е
г
в
=
-
г
-
д6
- -,:- +
дr;
i
дu
ф
и
ф
ctg
е
i
див
2е8ф
=-
-
--
- +
--;--,;,-
7
де
7 7 sin
е
д<р
)
'Уравнепия
равновесия
найдем.
рассматривая
равновесие
l<рИВО
линейного
элементарного
объема:
д"
+
~
д;:{)
+
_1_
дгч>
+
~
-
ве
-
q;q,
+;:0 ctg
е
+
дг
r
де
r sin
е
д<р
7
+
pF
r
=
О;
д;:О
+
.!..
две
+ _ 1_
a8q,
+
з;:(j
+
(ве
-~)
ctg
е
+
д
г
r
де
7
зiп О
д<р
7
~
(УII.72)
+
pFe
=
О;
д~
+
~
дfч>
+
_1_
д<р<р
+
з~+
2~ctge
+
дг
r
де
7
зiп
О
д<р
r
+
рF
ф
=
0"
t59