Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
характ
ризуют
вапряж
вно
с
со
толни
.
В
на
толщ
вр
МИ
с
у
Щ
ствует
много
численных
методов,
позволяющих
усп
шно
выпол
нять
обработку
результатов
ФОТОУПРУГИХ
испытаний.
ЧlIтатель
найдет
эти
методы
в
уп
МЯlJУТЫХ
выше
}{урсах.
Е.
Тр
еХ!IIерн
ая
Ф
от
о
уоруг
о
ть
Т
р
аектория
луча
монохроматичеСI{ОГО
света
и модели
из
фото
у
пру
гого
материала
при
трехмерном
напрюкенном
со
тоя:нии
чрез
вычайво
сложва
всл
дствн
того,
что
главные
папраnлеuин
в
шобых
двух
ТОЧI(а
е
будут
в
общем
случ
ае
не
одинаковыми.
сп
шuым
Ol{азался
метод
з
а
м
о
р
о
ж
е
в и
о
il
[
о
Д
л
11,
при
KOTOPO~1
пагружевная
модель
пагреваетсн,
а
зат
1
ме
л
нпо
охлаж
даотся.
Было
замечено,
что
после
удалевия
н агрузки
юд
ль
дает
фото
упругую
J{артипу,
соответствующую
l1апряж
иному
состояниЮ
под
наГРУЗl{ОЙ.
Отрезанный
от
заморон
IШОЙ
таким
образом
про
-
т
равственной
мод ли
тонкий
слой
может
быть
подвергнут
опи
<lН
Ш,[М
выше
испытаниям.
При
анализ
результатов
ЭТIJХ
и
пыт
а
llИй.
ИСПО
J
IЬЭУЮТСЯ
вторичные
главные
вапряжения
P
1
JI
QJ
(СМ
.
\:J.
Инварианты
напряжений).
Если
1Одель
разр
зать
по
ШIОСКО
тн
nOs
(см.
РИС.
8),
а
за
тем поместить
в
ПОЛЯРИСI(ОП,
л
.
уч
I{QTOPOf
им
ет
направление
Ot,
то
фотоупругую
картину
rожво
иит
рпр
-
тироватъ,
зам
няя
главные
напряж
пия
Р
и
Q
наприжеllИНМИ
P
l
и
Ql.
ЗАДАЧИ
1.
Круговой
ЦИJIUJ:JДР
большоii
длll!lы'
радиус
поп
реЧIJОГО
С(''IеIlПЛ
I(O
TO-
рого
равен
Ь,
находится.
внутри
концентричного
е
му
жесткого
ПУСТОТ
N
IОI
·О
l<pyrO
.
Boro
цuливдра
большой
ДЛШlы
ра
диуса
а.
Пространство
меж
ду
ЦИЛIIН
Д
рам
л
заполнено
УПРУГIШ
материалом,
l<О:Jффицпент
жесткостJt
l\ОТОРОГО
JI
I!
ко
ффпцаепт
Пу
а
ссона
v,
н
который
ПРllлега
т
){
цплп:nдру
без
зазоров.
ВнутреlШ1lЙ
ЦП
:IIUlД
Р
фикспроваu,
а
внеШШIU
мош
т
жестко
перемощаТI>СН
lIа
малое
раССТО
Я
lluе
d
вдоль
осп
х.
Найти
в
ещественные
постоянные
А
,
В,
С,
F
п
G
таJШМ
образом,
чтобы
решение
заданалось
l<омuлеl<сны~m
потеUЦИ8ла
111
G
ер
(z) =
А
In
z + 8 z
2
,
1jJ
(z) =
с
lп
z + F +
-2
'
Z
П
поназать
,
что
сила,
которая
должна
быть
ПР
lJ
ложе
н
а
к
ЦIIЛIIIJ
ДР
У,
раfill
Э
х
=
__
2П....:..IJ._d_k..:...(k_
+"---'
l)
'-'
(_а
~_+'--
Ь2..:...)_
а
k
2
(а
2
+
Ь
2
)
ln
_ -
а
Э
+
Ь
2
Ь
2.
П
усть
пластипа
больших
размеров,
напряжеИIlЯ
на
l<OTOpon
I]а
б
ско
вечностп
равпы
нулю
,
имеет
нруглое
отверстие
раДIlуса
а,
нагружеНLlое
Tal"
что
rr = -
р
при
-
а
<
е
<
а
и
1t
-
а
<
е
<
1t
+
а,
·
Те
=
о
uри
О
<
е
<
21[.
Испол
ьзуя
комплексные
потепциалы
~
(:!
\
-n+
1
Са
2
ер
(z) =
а
'"'"
А
n
-;;-)
,1jJ
(z) =
-,;-
2
~
CO
(
~
)-n-I
а
8
n
- ,
а
1
паiiТII
касательное
напря.жение
BOl<PYf
отвеРСТIIЯ.
140
З.
Показать,
что
ФУЮЩIIЯ
Z =
е
(~
+ t
cos
2ае
iC),
~
=
~
+ i
1'],
О
<
а
<
1t
/2
RонфОРМIIО
от
бража
т
верхдюю
полопuпу
}{оъmлексuой
ПЛОСКОСТII
~ в
верх
вюю
половину
ПЛОСI{О
СТ
П
:;,
ограПlIчепноii
ТРОХОIIДОЙ
1']
=
О.
lIайти
1(Q~1IJ
J
I
ксны
постояпnые
А
~1
В
так,
чтобы
КОh1Плексные
потен-
1
.
~
1
цналы
<Р
Ю
=
"4
Те
(~
+ )le
1
),
Ф
Ю
z'
(~)
=
"4
Те
2
(В
-
21')
опре
дел
яли
ре-
шени
для
11
лубескоп
чuоii
пластипы
с
волпистым
надрезанпым
хра
ем
(1']
=
О),
находнщ
йся
под
деiiст
пиом
простого
растяжеrmя
Т
,
параллель.IIОГО
OCll
х,
ПрllложеLШОГО
н
больших
расстояциях
,
причем
ВОЛRlIСТьШ
край
пла
с
ТIlПЫ
своб
Д
u
от
растнгив
аЮЩIlХ
СIIЛ.
Доказать,
что
напряшеuие
в
осн~вании
каж
ого
lIa
l
~p
за
составлн
т
Т
ctg
2
а.
4.
Б
скоп
чuая
ПJlаСТIНlа
еДIID11ЧПОn
толщппы,
закрепленная
на
б
СКОllеч
IIОСТИ,
содеР>ЮIТ
шесткое
ЭЛЛ
IJDТИ'l
ское
включение
с
ося~1И
2а
IJ
2Ь,
П
ЛОТIIО
прuл
гающее
I{
плаСТllu
е.
Rоптур
ВI,ЛЮЧ
пия
является
конформным
отобрu
ж
UПСМ
Д
llнпчпоii:
ОI{рущностlt
в
RОШIлскспоii
плоскости
~
по
закопу
z =
=
е
(~+
~).
Выразить
л.
и
е
через
а
и
Ь.
Доказать,
что
еСЛ
I!
момент
С,
ось
которого
перп
еид
ltкулярна
ПЛОСКОСТII
пластипы,
ПРИЛОЖСН
но
в
'
к
лючвншо
И
Сl{руч:ивает
пластину
па угол
6,
то
ХОМ
плеКСГIЫЪПl
пот
uцuалаМIl
получеlJПОГО
паПРЯЩСНllОГО
СОСТОЯlIИЯ
будут
Прll
подходящих
значепи
ях
в
ещественных
ПОСТОЯНFlЫХ
А,
В
n
С:
q>
(
:;
) =
t~e
;
Ф
Ю
::'
Ю
=
i~e2
+
i~:2
.
П
оказать,
что
С
1I
Р
связав:ы
уравнением
G =
n~P
j
k(a
+
Ь)2
+
(а
-
Ь)2).
5.
Исполь:!уя
прямой
м
тод
Мусхелпшвили,
наiiти
тапгеЕЩllаJlЬ8ые
папря
жегшя
вокруг
нруглого
отuеРСТIJЯ
о
пластине
больших
размеров
в
результ
ате
ЧIIСТОГО
н
згиба,
DЫЗВa.uuого
IОмептом
М,
прилошепllым
па
большом
расст
оя
ЮН!
оТ
ОТООРСТIlЯ
.
.
Показать,
что
по
заJ(ОlfУ
z =
е
(
-[
+
~
~2)
еДJLПпчная
Ol(P
ущность
в
плоскости
~
отображается
в
заillШУТУЮ
KPllBYlO
в
ПЛОСКОСТII
Z,
которая
очень
близха
paBHOCTopOHHe~{y
треУГОЛЬПllКУ.
Выразить
радиус
крпвизны
при
вер
Шl!нах
чер
з
высоту
треугольпика.
ПОI,азатт),
'lTO
если
в
пластине
БОЛЬШ!1Х
размеров,
нагруженной
одно
ос
uьш
растЛ>кеннем
Т
на
бескопечвости,
пмеется
отверстие
форыы
такого
тре
Уl'ОЛЬНО1(а,
то
напряжеЮJОС
состояние
пласткllЫ
будет
задано
комплеКСНЫ
~
1IJ
оотеJlциала~Лl:
7.
ПОl{азать,
что
длн
тяжелой
упругоii
плаСТIIНЫ,
на
'од
ящ
ейс
я в
состоя
ВIlII
обоGщевпого
плоского
напряженного
СОСТОЯRI1Я
(ось У
направлена
верти
ка
л
ьновв
ерх),
средние
напряжения
определяются
из
Dырашеннй
....."
IPX
....."
IPX
д
2
Х
и
=
--+pgy,
уу
=
--,-
+рк
!!,
ХУ
=
----,
д!!~
дx~
дхд!!
с
х
=
О.
ПОJ<азать,
что
1.
=
~~2
(5х
Z
уЗ
-
15Ь
2
х2у
-
у5)
удовлетворяет
бпгармо
ВIIчеСКОА1У
уравпепию
и дает
паоряж
ПIJЛ
в
горпзоuта.1ЫJОЙ
баю,е, ТОЛЩII
пой
2h,
огравпчеlшоii
ПЛОСКОСТШIII
х
= ±
а,
у
= ±
ь,
np/J
атом
по
l(раим
!J
= ±
ь
папрлжепия
равпы
пулю
.
IIаiiти
общую
сдвигающую
силу
IJ
изги
бающпu
10мент,
)(оторые
должны
быть
ПР//
J
lOжепы
l(
I(раям
х
= ±
а.
8.
ДШ"I'DlIая
прямоyrольвая
полоса,
ограПI1ЧСFJна
я
lJРЯ~{bIМll
у
= ±
а
1I
х
= ±
l,
находится
в
СОСТОЯЯПIl
обобщеппого
'IJlОС"ОГО
наорлж
ппп
(объ
1-
пые
СIJЛЫ
отсутствуют).
Доказать,
что
Х
1
=
схх
З
,
Х,
=
~r!J,
Х
З
=
ууЗ,
Х.
=
,
1)
= 6
(r
уз
- 5
~
есть
рещентш
уравнения
·Х
=
О.
Определить
xapat<TC!>
контурных
наПРJLш
ен
пii,
задавасмых
ЭТI1Ю
I
решеRmтъш
по
l(р3Л
I
У
= ±
а
11
найти
результирующие
силы
по
краям
х
= ± l.
НаЙТII
сх
~.
у,
6,
слп
фУIII
,
Ц13я
папряще[/пй
Х
=
~
+
X~
+
1.
з
+
1.4
определяет
р
m
[/ие
длн
pallllo-
м
ерпо
распределенной
нагруз/ш
IIJlTOI1CHBJlOCTJI
w
по
краю
у
=
а.
Кр
й
у
= -
а
пе.вапрященnый.,
а
по
"раям
х
= ± l
по
Шlе
е
тся
ре
з
ультпрующ
е
l
'
О
юмента
или
растяжевив
.
9.
По"аеать,
что
при
состоянии
обобщенного
вапряжсп[/я
толщппа
плас-
2hv
тины
2h
уменьшается
на
веJJU'lИНУ
-л-
во·
r
лава
VII.
ЗАДАЧИ
В
КРИВОЛИНЕЙНЫХ
К
ООРДИНАТА
r
•
ВВЕДЕНИЕ
Для
р
шен.ия:
большипс
тва
зада'!
в
пр
ДЫДУ
ЩПХ
гла
в
ах
была
ис
пользована
си
тема
Д
иартовых
НООРДИlIат,
так
как
ко;\шоненты
деформаци
и
и
равпения:
р
а
в
но
в
ес
ия
удобпо
выра
жаютс
я
в
этон
исте
1 .
[ы
рассматривали
равuов
ес
ия
и
де
фор
~13Ц
ИИ
:щемента
тела,
положение
НОТОРОl'О
опред
л
я
лось
шесты
о
rrовными
п
о
верхност
я
ми
и
ст
.
1ы
ноордипат.
Для
.
случая
денарто
ны
'
коор
ди
нат
эти
ш
пов
рхпо
тими
являются
ПЛО
СliОСТ
И
Х
=
соп
t,
Х
+
+
dx =
соп
t,
у
= c
on
st,
у
+
dy
= const, Z =
оп
t, z +
а:;
=
=
соп
t,
обраЗУIOщие
обычRый
приllIоуголыrый
параллелепипе
д.
Су
щ
ес
твует
J\ШОГО
координатных
сист
е
м,
в
которых
ИСПОЛЬЗУIOтся
д
ругие
пов
рхности
,
например:
ци
линд
р,
сф
ра,
тор,
эллипсоид
и
т.
Д.,
В
которых
координатные
поверхност
и
также
пересекаIOТСЯ:
ортогопальпо.
Такие
систе&lЫ
называются
о
р
т о
r
о
п
а
л
ь
н
ы
-
~
и
к
р
и
в о
л
и н
е
й п
ы
1
и.
Рассмотрим
па
и
более
у п
отреби
-
т
льные
из
НИХ.
А.
ЦИЛIIпдрич
е
tш
е
п
о
л
ярны
е
координаты
(Т
,
е
,
Z)
Завис
и
мость
между
этими
коордипатаJ\Ш
и
де
l<
арт
ов
ьш
и
I<
О
О
Р
дпuатаМJJ
определ
я
ется
ледуIOЩИМИ
ура
в
нени
я
ми:
Х
=
Т
'0
8;
I
у
=
Т
in8;
Z = z.
(У
II
.
1)
На
рис.
80
ПОJ<а
ЗD
Л
:элемент
объема,
ограш1чевный
ц
илинд
рами
Т
=
с
оп
L,
Т
+ dr = const;
плоскост
ю
m,
п
р
ох
о
д
ищи
ми
ч
е
рез
OZ,
е
= const, 8 +
d8
= const,
и
ПЛОСI<ОС
ТЯМИ
Z = const,
Z +
dZ
=
соп
t.
Б.
Сф
е
рически
е
ПОJlярные
КООРДИВ8ТЫ
Эти
координаты
определяютс
я
ура
в
нени
я
ми:
Х
=
Т
sin 8
со
<р;
)
у
=
Т
in 8 sin
<р;
Z =
TCOSe.
(УII
.
2)
143
На
рис.
81
показан
элемент
объема,
огравич
пвый
сферами
r =
=
соп
t, r +
dr
= const,
конусами
е
= con' t,
е
+
de
=
соn
t
и
ПЛОСI<О
СТ
ЯМИ
<р
= onst,
<р
+
d<p
=
соn
t.
Легко
уб
ДИться,
что
В
обоих
случаях
поверхности,
образую
щие
объемный
элемент,
П
ресекаются
под
прямыми
утла
IИ.
ДЛЯ
плоских
задач
могут
быть
получены
истемы
ПЛОСIШХ
ИРИВО
лиuейных
координат.
Например,
на
рис.
80
ABCD
является}
рп-
z
z
у
Рис.
80.
Рис.
1.
волип
йным
элементом
площ
ад
и
в
ПЛО
СltИх
полярных
коорди
натах
r,
е.
Другие
ортогональные
СИСТ
мы
на
ПЛОСIЮ
СТfl
можем
ПОJlУЧИТЬ,
используя
конформ
ное
пр
образование
(VI.96),
где,
как
это
может
быть
ПОI\азаво,
кривые
~
=
соп
t
и
,,
= con t
всегда
пересеl{аются
под
прямьаш
УГJlами
и
по:)тому
могут
быть
приняты
за
новую
коордипатнуlO
систеt.ry.
В
каждой
из
систем
опр
делен
не
ТОЛЬJ<О
ЭJlемент
объ
ма
D
ll
е
которой
точке
Р, по
и
три
взаимно
перпепдикулярпы
'
паправл
ПИЯ
,
проходящие
чер
ез
эту
точку.
Эти
напраВJl
ния
п
казапы
на
рис.
О
и
81
){ак
три
ребра
элеиента
объема,
которые
с
'
О
ятся
В
ТОЧI{е
Р
.
При
использовании
такой
системы
I<оординат
ДllЯ
задач
TeOpJm
упругости
прид
тся
оставить
выраж
ния
для
I
<ОМПОlJеАТОВ
Д фор
маций
через
J<Оt.шон
нты
перем
Щ
Ш1Я,
ра
зложеUlJые
по трем
8а
правл
пиями,
а
та!
же
разложить
векторы
uапряж
пий
по
ним.
Также
необходимо
будет
рассмотреть
равновесие
КРИDОЛИU
йпого
элемента.
Несмотря
на
то
,
что
поставлепная
задача
может
быть
решена
для
общего
случая
*.
рассмотрим
метод,
по
зволяющий
}ШТОР
пр
ети
ровать
кажl1.ЫЙ
случай
индивидуально
и
опред
лить
КОМПО-
•
А.
Л
я
в.
МатемаТlI'l
ес
к
ая
теор
uл
упругости.
Пор
ВОД
с
4-го
(
ШГЛ.
И
ЗД
.
М
.-
Л
.,
ОНТИ,
1935 (§ 19, 58).
144
ненты
деформации
(11.1
О),
которые
могут
быть
выражены
в
любой
системе
.координат.
Зависимости
между
напряженияьш
и
дефор
мациями
будут
исполь
зованы
в
форме
(II.34)
и
(П.35),
где
n, q
и
r
теперь
уже
будут
относиться
.к
криволинейным
координатам.
59.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
IЮОРДИНАТЫ
Пусть
i
1
,
i
2
,
i
з
единичные
векторы
в
точке
Р
(см.
рис
.
80)
с
на
правлениями
т,
в,
Z
соответственно.
П
е
ремещение
D
запишем
в
виде
(УII.3)
Вместо
индекса
z
для
обозначения
компонентов
напряжений
или
деформаций
используем
Z,
так
как
это
не
приведет
к
путанице.
Заметим
также,
что
i
з
есть
постоявJIый
вентор
(в
декар
товых
](00
рдинатах
он
соот
ветствует
вектору
k),
а
век
торы
i
1
и
i
2
не
являются
пост01JШlЫМИ,
TaI(
кан
их
на
правления
изыеняIOТСЯ
с
из
м
еневием
е.
При
малом
изыенении
dB
у
гла
в
вектор
i
1
приниыает
р
д
'
а
Рис.8
2
.
з
начевие
i
1
+ di
1
,
одна.ко
ыодуль
его
остается
равным
единице.
На
рис
.
82,
аРА
=
РА'
= 1,
т. е.
треугольник
РАА'
равнобедрен
ный,
и
в
пределе
при
dB
-+
О
сторона
АА'
перпендикулярна
сторопе
Р
А
и
(УII.4)
Апалогично
из
рис.
82, 6
найдем
di
2
•
7=-
11
'
(УII.5)
Тан
нак
ребра
элемента
объема
равны
dr,
rdB,
dZ,
то
градиент
i
д
+. t
д
+.
д
(VII
6)
V
==
1
ar
12 r .
де
·3
BZ
• .
ИЗ
(П.10)
дЛЯ
комnопентов
деформации
получим:
28
pq
=
Р
(qv)
D + q
(PV)
D,
где
ри
q
могут
быть
заыененЪ1
любым
из
векторов
i
1
,
i
2
i
s
.
Т
6
.
('
) D .
BD
ди
т
аким
о
разом
8
тт
=
'1
11
V = 11 ar =
дr'
и,
следовательно,
10
Д
.
Е
.
Р
.
годфри
145
единичные
векторы
независим:ы
от
т
.
Далее,
на
основании
(УII.4
)
и
(УII
.5)
2
.
('
) D
+.
('
) D . 1
д
D
+.
д
D
8rв
= 11 1
2
V 12 l
1
V = 11 r
--ае
12
дr
=
1 .
{ди
т
•
д
i
1
див
.
дi,
ди.
• }
= 7 11
де
11
+
u"дe
+
86
12 +
UО
ав
+
ав
1а
+
ди6
1
дl~т
"6
ди6
+
a;:-=7дЕГ--r-+
а;-.
Поступая
таким
же
образом
для
других
КОАшонентов,
найдем:
дr,т
8 _ _
О
rr -
д
r
'
1
ди6
"Т
866=-'
-
+-'
r
де
r'
8rв
=
~{_1
_
ди
т
+
див
_~}.
2 r
д е
Or
r'
(VП.7)
1
(ди
о
1 B"
Z)
86%
=
Т
az
+ 7
7ifГ"
•
В
этом
случае
уравнения
равновесия
получим
из
комплексных
уравнений
(VI.7)
и
(VI.8)1
дФ
д
дЧ'
дz
=
д;:
(6
-
2рИ)
+
дZ
=
О
;
дЧ'
дО/
д
~
0;-+
дz
+
~(zz-pU)
=
о.
Полярные
компоненты
напряжения,
как
и
раньше,
представим
в
виде
комбинаций:
8'
=
;:;.
+
00
= 6;
- -
~
2
iB
ф'
=
гг
-
ее
+
2irO
=
е
-
Ф;
(УН.8)
'I!' =
;;
+
i8z
=
е
- i6'1',
где
z = re
i6
;
z =
re--
i6
,
(УII.9)
- 1 z
так что
r2
=
zz;
е
=
2т
ln
~
.
(УII.10
)
в
системе
полярных
координат
д
1
-16
(
д
i
д)
д
1
(6
(
д
i
г
)
Oz
==
те
""дi'"
- r
де'
д
;
е=
те
дr
+ r .
де
. (VI1.11)
Первые
два
уравнения
равновесия
будут
преДСТ8ВЛЯТЬ
собой
вещественную
и
мнимую
части
полученного
после
подстановки
(УII
.8) -
(VП
.11)
в
(VI. 7),
а
третье
уравнение
получим
,
преобразуя
146
тг
+ r
дО
+ dZ +
--
г-
+
рJI,
=
u;
д;{)
+
~
дБО
+
дО;
+
~
;:e
+ F =
о.
д
г
г
де
oz
г
Ре.
(УII
.
12)
д;;
+
~
дО;
+
д";;
+ ;; + F =
О
а
г
г
д8
oz
г
Р
z •
гд
Р"
Р
е
•
Р.
-
ко~товепты
объемпой
силы
в
цилиндрических
по
лярпы
координатах.
60.
ЕСИМ
lEТРИЧНЫЕ
ЗАДАЧИ
Приведеввые
выше
уравнеrrnя
оказываются
СЛИШJ<ОМ
сложпы
ми
для
получ
е
JIИЯ
общ
го
р
шения.
два
ко
в
случае
вращающ
гося
тв
рдого
т
ла
fOжем
получить
р
шение
в
выражении
ч р
з
фунr\
цию
вапряж
вий
х.
Примем
ось
Z
за
ось
симметрии
и
для
начала
сд
ла
1
сл
дующие
пр
дположенпя:
все
величины
пезаВllСШfЫ
от
9;
rO
=
ez
=
о
.
в
таком
случае
уравнения
равновесия
примут
вид:
д;;'
+
~
+
;:;:
-
00
_
д
У
=
о.
д
г
OZ r
Р
д,
•
~
+
д~
+
;:;
_
д
У
=
О
д
г
oz
г
Р
oz ·
г
д
V -
пот
пцпал
объемной
силы.
I
(VП.13)
ависимости
Jежду
напряж
вия
m
идефор
fация
m
(11.34)
JI
(II
.35)
ввиду
(УII.7)
зanиmyтся
следующим
образом:
~
ди,
rr
= M+
21L
_ ·
r
д
г
•
~
и
69=М
+
2,,
_
Т.
r r •
..-..
ди
хх=М+2
"
~
.
r
az
•
,-..
(ди,
ди
г
)
rz =
~
7fГ
+
az
I
ди
,
и
,
ди.
где
6
-=
- + - + - - .
дг
г
az
10
'"
(Уll.14)
(VII.J5)
147
Уравнения
(УII.13)
-
(УII.15)
решаются
так
*,
что
все
f<омпонен
ты
напряжения
и
деформации
Оl<азываются
выращенными
через
функцию
напряжения
"1.:
и
~
а
[
а
з
х
]
гг
=
az
vVZX
-
а
г
2
+ 2pvW ;
~
а
[ 1
а
х
]
еэ
=
--
VV2X- - - +
2pv~V
.
п
r & '
~
а
[
а
2
Х
]
zz
=
az
(2
-
v)
"у
2
х
- aZ
2
+
2р
(1
-
v)
W ;
~
а
[
д
2
Х
]
rz
=
дr
(1
-
v)
-У2Х
- aZ
2
+
Р
(1
-
2v)
W ,
2 _
i}'J
1
д а
9
г
д
е
V =
д
г
2
+ r .
7fГ
+
дР
aw
у
=
az·
I\омпоненты
перемещения
примут
вид:
а'Х
2J.LUr
= -
Oraz
;
а'Х
2J.Lu
z
= 2
(1
-
v)
vsx
-
aZ
1
+
2р
(1
-
2v)
W
1
(VII.16)
I
}
(VII.17)
(V1I.18)
I
(УII
.
19)
и
дифференциальным
уравнением,
которое
должна
удовлетворять
функция
Х,
будет
"У'Х
= _
1-
2v
vzW.
Р
1-v
(УIl
.2
0)
Таким
образом,
в
случае
отсутствия
объемных
сил
~
является
бигармонической
функцией.
Перед
тем
как
приступить
к
рассмотрению
задач
необходимо
иметь
удобные
решения
бигармонического
уравнения
в
цилиндри
ческих
координатах
.
Хотя
различные
решения
получаются
с
по
мощью
специальных
функций
**
,
например
функций
Бесселя,
здесь
используем
только
полиномы
степеней
r
и
Z
вида:
Z
n
+
'7'1l
- 1
Zn
- 2 2 n
Хn
=
а
о
a1u r +
~
г·
..
anг
.
(VII.21)
Можем
получить
две
группы
таких
полиномов.
Заметим,
что
реше
ния
уравнения
-у
2
х
=
О
также
обязательно
бу
д ут
гармоничесюши
•
А.
Л
л
в
.
Мат
е
матичеСI(ал
т
е
орил
упругости.
Пер
е
во
д
с
4-г
о
анг
л.
и
зд.
М.-
Л.
,
ОНТИ,
1935 (§
188)
.
••
А
.
Л
л
в.
Мат
е
матическая
теория
упругости.
Пер
е
во
д
с
4
-
го
аа
гл.
И
8
.11.
М
-
Л.
,
он:ти
(§ 189).
148
фУВlщиями
.
Подставляя
различные
степени
полиномов
(УII.21),
легко
найдем:
Х
О
=
А
о
;
хз.
=
A1Z;
~
=
А
2
(2Z
2
- r");
Ха
=
Аз
(2Z
З
-
3r
2
Z);
Х.
=
A~
(8Z· - 24Z
2
,-2
+
3т
4
);
Х
ь
=
A~
(8Z
6
- 40Z
3
r
2
+
15Zr4);
Х&
=
А
в
"(
11
5
Z&
-
+Z4
r
2 +
{-
Z
2
r4
-
4~
те).
(УIl.22)
Теперь
можно
по}{азать,
что
если
\72Х
=
О,
где
Х
-
полином
сте
пени
n,
то
фующия
(УIl.23)
является
биг
а
рмовиче
скоii
функци
ей.
Используя
оператор
V
2
на
основании
фор
ryлы
(1.25)
из
прилож
е
ния
1
V2U
=
(т
2
+
ZS)
V
2
X +
+ 2 grad
(т
2
+
Z2)
grad
Х
+
х
2
(т
2
+ Z
2)
=
(г
2
+
Z2)
V2X
+ 2 (2ri
1
+
(
dX
д'Х.
)
+ 2Zi
a
)
grad
Х
+
6Х
=
(,-2
+
Z2)
V2
X
+ 4 r
а,:-
+ Z
BZ
+
6Х.
По
тео-
ре
{е
Эйлера
r
~;
+ Z
:~
=
nХ,
ТaI<ИМ
образо
f
V2U
= 2
(2n
+
+
3)
Х,
2
х
=
О
.
Снова
прим
ен
яя
оператор
V
2
,
по
л
учим
V(U =
О,
так
что,
умножив
прив
еденп
ые
реш
ени
я
(УII
.
23)
на
т
2
+ Z2,
най
де
{
решения
бигармоничеСI{ОГО
уравнения:
и
2
=
В'},
(Z2
+ (
2
);
U -
в
(ZЗ
+ r
2
Z)'
з
-
з
,
и
4.
=
В(
(2Z' +
r2Z
2
-
т');
и
ь
=
В
ь
(2
Z
6
-
г
2
Z
З
-
3т'Z);
1
I
(УII.2
4
)
и
в
=
ВВ
(ZB
- 2Z'r
2
-
2;
Z2
r
4 + {-
те)
.
Rомби
.
вации
этих
функций
будут
и
спольэ
овавы
для
решения
не
которы
х
задач.
А.
Толстая
круглая
пластина
под действием
равномерного
пор
,а.l1ЬНОГО
давленпя,
ПРИJJOженного
l{
одной
из
ее
граней
Возьмем
пластину,
ограниченнуIO
ПЛОСIЩСТЯМИ
Z = ± h
и
ци
л
индром
r =
а,
и
пу
сть
1<
плоскости
Z = h
приложено
давление
р
(рис
.
83).
Рассматриваем:ыii
здесь
ме
то
д
явля
етс
я
более
полуобратным
чем
пря
fЫM,
так
как
различные
бигармонические
функции
(УII.22)
и
149