Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
1
р
д
положи
!,
что
э
то
уравпеНl1е
мож
т
быть пр
д тавлево
в
ви
де
zz
= t
(z)
+
t(
z
).
(IV.59)
Т
о
гда
искомой
функцией
комплексного
потенциала
00
(z)
=
it
(z)
+
00
t.
Леп\О
в
и
еть,
что
она
удовл
творя
т
слови
(1\"
..
2).
Рассмотрим
н
с
[
{олыю
Jlучаев
прим
JJ
е
ния
излош
нпых
выт
\
со
обр
аже
н
иii.
3JUШ
D
.
рав
n
ние
::
+
t~
= 1
можно
запи
3ТЬ
в
внд
2а
2
Ь
2
+
a~
-
Ь
2
(z2
+
Z2)
.
zz
=
а
2
+
Ь
2
2
(а
2
+
112)
Та
l
{ЮI
образом
oo(
z) =
а
2
_
Ь
2
i~2
2(а
2
+
Ь
2
)
w •
(IV.6 )
P
aBUO
C
TOPOIJElJUf
тре
угольш
1К.
Обращаясь
к
рН
.
7, n
редста
ЯШI
ураВlIепие
контура
в
виде
JI
доватсл
bIlO
у
х
Ри
с.
:':9.
Z3
+
:;
3
Шt
(IV.6!)
R
руг
л
ыi
i
ва
л
•
вы
т
оч
ко
й
.
Рас мот
рим
Itp
yr
-
лый
вал
ра
ди усом
а
с
I\РУГОВОЙ
В'ЫТО
ЧI
ой,
Ц
птр
которой
JJежит
н
а
онружности
с
'Ie-
пил
вала
(рис.
29),
таl{
что
с о
р
=
Ь
/
2а.
(
IV
.62)
ПРlJм
е~
(
Ц
нт
р
ВЫТОЧI{И
за
lIа'l
ал
о
1i00Р
Д
1-
Щ
I
Т.
Тог
д
а
ураВllеllИ
б
I1Х
I{P
Жl:Iостсii
ПРИ~l
е т
B
J<
JД
(х
2
+
у2
_
Ь
2
)
(х
2
+
у
2
-
2ах)
=
О,
11IИ
в
J
,О~
IПЛ
1
СIIЫХ
ноорД1
J
н
а
тах
zz
=
Ь
2
+
а
(z +
:)
-
ab~
(+-
+
~
).
'
л
д
овnт
ел
ыю
,
. iab
2
oo(z)
=
La
Z -
-_-о
(
IV
.6Э
)
За
м
етим,
ч
т
о
от
рицате
л
ьван
с
т
п
епь
z
возмошuа
зде
ь
,
так
I
ак
начало
RООРДИJlат
не
входит
в
материальную
часть
ссченил
и
по
;)'f
O~IY
напрюнелил
остаются
}{оп
еч
пы
fИ
n
ТОЧJ<ах
,
пр.ащ
lД
ежащих
это.и.
части
сеч
ния.
60
в
Д;\UПОJlr
случае
интересно
вычислить
мом
нт
крученпя
т
аlШЧ
о бра
з
ом,
чтобы
можно
было
определит
.
ь
ионцеllтрацию
НЗПРR:iJ\
е
JН'й.
в о
поваlШI:l
выточии.
И
З
(IY.5G
)
v -
l3
е
Щ
ССl'
В
С
llll
а
л
'I;\C
Tb
т
i
/A't
.\
{z
"ia +
i:
~
~
)
- i
.:
z}
d
1I
;lll
r =
~
't
J
{х
2
+
у2
-
х
а
-
X
:
~
I/
~
: dS = 2
1J
'ta'K
1
,
(lV.6
4)
Г;J.
К
1
=
..,
1,
(
.·
i"
~
B
+ in 2B
...L
12В)
-
~Ч
-
~
лi
( in
2В
+
2т
+
~
/..~
in
р
- +
/"
1(1;
/..,
=
Ы
а
=
2с
В.
Н
а
ПРЮ1
'
[rи
я
~I
гу
т
быть пайд
111>1
нз
(1 .
5).
Ч'
=
~t't
{iZ
_ ia _
i~:2}
;
..-..
f
2
а.Ь
2
ху
].
........
- [
о.Ь
!
(
ZZ
-
1/2)
]
.т
:
f!
't
-
У
+
(
х
2
+
у
2
):!
' yz -
f.!'t
Х
-
а
-
(%
2 +
у:!
)2
• (IV.65)
RРУЧС
Jш
е
~PYI'JlOrO
Ba
.!Ja
с
вы1очJ\оu..
В
осно
.
вапип
I,анавки
........
........
N
xz =
О
I!
yz = - j.t't
(2а
-
Ь)
= -
2o.
4
K
1
(2а
-
Ь)
и
з
(IV.6
1.).
Ф
"
нтич
СJ<И
ЭТО
есть
максимальная
рез
у
льтирующая
касательпых
на
пряжепии,
а
тю
,
[ан
маис.ималь
пос
напряжение
для
кр
ГО80ГО
2N
с
е
чения равно
-3-
'
то
коэффИЦИ
=ta
ент
иондеuтраЦllИ
папряжепиii
/,
n
K
(2а
-
Ь)
=
t.
~
(2 -
/..t)·
1
0.
J
и'l
(lY.
66)
в
случае
малой
l\aJIЭВКИ,
дЛЯ
КОТОРОЙ
л,1
-
ве
J
IИчина
малая,
а
3
К
.
К
Н
z
КОЩ
JФ
IJЦIJе
нm
К
ОН
·
ценmft,ЦIJg(J:lj&
Я
Ж<
/
/)
а
\
r~
®
,...
V
0.25
0,5
о/а
Рис
.
30.
-
0.
15
1.0
[(1
~
тr./4,
I\ОЭффИЦИ
пт
концептрации
напряжений
равен
2
(рис.
30)
.
На
рис
.
30
ПОI{эзаны
значения
коэффициента
[
<
Оlщ
е
нтраЦИIiI
папряж
е
ний,
соответствующие
возрастающим
величинам
разме
ров
}{ан
вки.
61
Б.
Конфор
мп
о е
преобразоваЮIе
Предположим,
что
сечение
S
балки
l{ОНфОРМВО
отображено
п
а
Вll
треПRОСТЬ
ед
иничной
ОI{РУЖНОСТИ
у
В
плоскости
~
(рис
.
31),
г
д
е
~
=
1:
+
iч.
П
у
сть
преобразовавие
соверша
тся
по
заl\
Оll
l
-
п
л
оскос
т
ь
а
JI1В
O
i-
l, a
н
(см.
приложеви
2)
z =
z(~)
*.
(IV.67)
€
Если
~
=
<1
= eit>
сть
Т О
Ч/
НI
"---+-~.;.
н
а
у,
то
учитывая
,
что
о-
= 1
/0
1;
-
л
л
о
с
кос
т
ь
6
Р
ис
.
31.
краевое
условие
(IV.52)
(s)
(<1)
- (s)
(а
-
l
)
=
-
iZ
(<1)
z
(a
-
l
) +
COD
St, (1 .6 )
где
(J)
(<1)
= (J)
{z
(а)
}
.
1 d(]
на
-
2-
'
---
,
г
д
е ~
-
точка
внутри
у
,
и
инт
егри
р у
я
1tL
(]
-
по у
-
~
-
~
1 S
<JJ«(])d(]
__
1_. S
<JJ«(]
)
ао
= _1_ r z«(]) z
(a
) da. (
IV
.6
9)
2л
i
(]
-
~
2щ
(]
-
~
2л
.J
(]
-
~
у
у
у
Порвый
интеграл
л
вой
части
по
интегра
л
ь
н
ой
теор
м
е
:Коши
(
~
C
(2.12),
приложение
2)
равеп
(й(~).
Для
вычисления
второго
J\П
те
г
-
рала
напишем
(J)
(~)
= (J)
(О)
+
(J)'
(О)
~
+ (J)"
(О)
~
~
+ ....
- 1 - - 1 1 - 1
Поэтому
(J)
(а
-
) = (s)
(О)
+
(й'
(О)
cr +
21
(й
"
(О)
a~
+ ...
Таким
обра
з
ом
,
сог
lа
с
во
т
еореме
выче
т
ов
(
с
м.
(2
.
1.
),
прило
ш
ю
r
е
2).
•
Обо
з
начение
z
(~)
мы
ввели
для
того,
чтобы
н
е
вво
д
ить
повых
о
боз
ва
lIевn:й,
а
таюне
потому
,
что
в
тапом
обо
з
вач
е
но\!
Я
С
IIО
ука
з
ывается
з
аВII
С
II
мость
z
OT
~
.
Подробно
э
тот
метод
см
.:
Н
.
И
.
[у
с
х
е
JI n
ш
в
fI
Л п
.
Н
е
IЮ
торые
освовны
задач:n
математичеCl
.
ЮЙ
теории
упруг
сти
.
И
з
д
-
во
АН
СССР.
М.,
1954,
стр
.
283; 523.
Раэвитпе
и
прп
л
ожеште
раЗЛI1ЧПЫ
Х
м
е
то
д
ов.
11
та
Юi,
з
адачи
даны
D
ИОIlографИl1:
Н.
Х.
А
Р У
т
ю
11
Я
п,
Б.
Л.
А
б
р
а
м
fI
В.
Круч
ни
е
упр
у
гих
тел
.
М
. ,
Физматгп
з,
1963.-
Прuм..
р
е
д.
62
Нз
(IV.69)
величина
~омплеl{СНОГО
потепциала
формально
может
быть
заШlсаuа
в
виде
t f z
(а)
:
(а-
1
)
u>
(~)
=
--
~
da + const.
2л
cr
-
~
у
(IV.70)
ПОСТОЯllПЗЯ
вели<шна
не
оказывает
влияuия
па
напряжеНJI
JI
.
1И
момепт
кру<юш/Я
для
матерпальпого
ечепия,
так
как
онн
включают
только
производпые
функции
u>
Ш
.
На
осповаНlfИ
(IV.55)
папряжения
вычисляют
я
непосредствен
-
110
из
u>
(~),
та
'{
J{aJ,
'У
=
1!1:
f
iz
Ш
+
~
(
~
},
j
:,'
(
~
)
1
рутящиii
)!О\1ент
определяется
выражением
N
в
е
щ
твепная
ча
тъ
OT
+
f..L1:.\
z(a)z(a-
I
)/2u>'(a)-
у
Нише
мы
ра
смотрии
l1eJ\oTopble
прилон'ения
этого
метода.
Гофрироваlшая
труба,
Рассмотрим
преобразовавие
z =
c~
(1
+
л~!t).
Еслu
~
=
eit}
]1
z =
re
i6
,
то
"e
i6
=
с
(e
i
"
+
Л,е<П
+
1)
i
1t).
От
нуда
(IV.71)
(IV.72
')
(IV.73}
(IV.74)
н
тру
д но
видеть,
что
кривая
точеJ,
z
с
изменением
t)o
будет
ле
жать
)l
енщу
J(ВУМЯ
ОI<РУЖН
стями
с
радиусами
с
(1
±
л)
и
ИАf
ть
n
ВОРШИll
(рис.
32).
Чтобы
преобразование
было
конфОР~ШЫJl1
во
всех
точнах
внутри
)1,
функция
z'
Ш
внутри
)1
не
должна
обра
-
щаться
в
нуль,
т.
е.
1
л
<
n=FТ
'
(IV.75)
Rоr.шлеI\СUЫi.i
потенциал
(IV.70)
U>
Ш
=
2
1
л
,\
с2
(1
+
лаП)
(1 +
у
+
~)~,
а
учитыва
я
(2.17) ,
приложепия
2,
а"
cr
-
...
U>Ш
=
;с2Л~'t.
(IV.76)
1
РУТЯЩИU
момент
найдем
из
(IV. 72)
N
веществ
ав:ая
часть
от
+
f..L
1:
J
с'!,
(1 +
лаП)
(1
+
a~1
)'
{2iс2лnа
n
-
t
-
i~~
(1 +
:n
) [1 +
л.
(n
+
1)
аn
]}
dcr
=
= +
f!тлс
4
11
+
41..2
+
1..4
(n +
1»).
(т
.
77)
п
редстаВЛ
ЯI
т
интерес
неlюторы
е
ЧДСТllые
Луt]ан,
11
н
:JToii
сuя
~1I
заметим,
что
стороны,
ваприм
р
АВ
па
рис
.
32,
Ю)!
ЫО
сп
ря
мить
в
средних
ТОЧ1<ах,
т.
е.
сде
зть
крипиз-
у
пу
равной
НУЛЮ,
приним
ал л
= 1
/(12
+
1):1.
В
соответствии
с
этим
м",
можем
поло
щить:
n = 4
и
л
=
1/
25
'
что
да
т
в
приБJПШ
е
llПИ
квадрат;
n = 3
и
л.
=
1/16'
что
дает
в
приБЛlШ,СIllЦ{
равносторонниii
треугольвин.
KapAlfon
Aa
.
Рассмотрим
пр
еоб
ра
зован
ие
z
=
+a(
1
+
~)2.
(IV.78)
Если
~
=
eit}
и
z = re
iO
,
то
re
iO
=
2а
сos
2
+\}e
i
",
r -
2а
сos
2
~
\}
11
е
=
{Т.
Оп,уда
r =
а
(1
+
со
8).
то
уравн
пие
кардиоиды.
Из
(IV. 70)
без
учета
постоянной
(j)(
~)
=
_1_
S _1
а2
(1
+
а)2
(1 + _1
)Z
~
=
2n 4
(J
(J -
~
v
= 1
ia
2
(~2
+
4~).
Тогда
веЛИ'lина
I
рутящего
MO~IeHTa
N
17
~
=
i6
f!лта.
37.
ДВУХСВЯЗНЫЕ
СЕЧЕНИЯ
(IV.79)
Подобные
:JЛЛlШСЫ.
Рассмотрим
КОНЦ6НТРИ:'I
СЮfе
эллипсы
64
х
2
у
2
x~
у
2
7 + 7 = 1
и
7+
/)2
=
1..2
,
где
л
<
1.
Принимая
для
Х
форму
(IV.29),
по
лучим:
по
внешнему
эллипсу
а
2
Ь
2
Х
=
а2
+
Ь
2
(
х2
у
2
)
1
----
= 0
а
2
ь2
'
по
внутреннему
эллипсу
(IV.
о)
1
Так
J<aK
эти
величины
ПОСТОЯННЫ,
а
Х
+
"2
(х
2
+
у2),
ка({
извест-
но,
является
гармоничеСl{ОЙ
функцией,
то
краевую
задачу
можно
считать
решенной.
Крутящий
момент
в
этом
случае
мошет
быть
найден
на
основании
начальных
положений.
Таиим
образом
)
(
д
Х
д Х
)
= - /!'t
х
-+
у
-
dS.
•
д
ж
ау
а'
Отнуда,
подставляя
(1
.80),
N
=
Щ.Lt'аЗЬЗ
(1
_
~
4).
a~
+
b
~
'"
Эксцепт
рuчесrш
е
круги.
Рассмотрим
преобра
з
оваl1Ие
1
z
=
ctg
T~
'
тде
ляя
вещественную
часть
от
мнимой,
н
а
ходим:
'1']
и
~
можпо
наити
из равен
ств
а
х
2
+
у'
+
2сх
ctg
~
-
с
2
=
О;
(IV.84)
х
2
+
у2
-
2су
coth
'1']
+
с2
=
О,
(IV.85)
от
куда
видно,
что
кривые
=
соп
t
и
'1']
= const
пред
ставляют
собой два
ортого
uа
льных
семейства
окруж
но
стей,
ЛИШJИ
Ц
нтров
кото
рых JI
жат
на
осях
соответ
с
твепно
х
и
у
.
в
частности,
о
бе
ОI\РУЖНОСТЯ
'1']
=
'1']1
И
'I'j
=
'1']
2
(рис.
33)
можно
при
нять
за
внутр
нний
и
внеш
шrii:
1\0НТУРЫ
круглой
трубы
с
sinh
1']
у = - --::--:-
--,;
,--
COS
S +
со
h
1']
\
г·
Лl10Clфсmь
Рис
.
33.
(IV.81)
(ТУ.
2)
(IV
.8
3)
( =
consf.
--',
"-
\.
х
\
\
\
\
J
I
с
Эl\сцеllТРИЧEIЫМ
отверстием
.
Координата
~
изменяется
вдоль
1
РЯБЫХ
'1']
= const
и
в
точке
А
ПРИIrимает
ЗIrачение
n,
уменьшаясь
до
нуля
в
В
при
движении
по
ОКРУЖIrОСТИ
'1']
=
'1']2
по
часовой
с
тр
ЛI<е,
и,
наНОl1ец,
после
возвращения
в
ТОЧI<У
А
становится
равной
- n .
Заштрихованная
часть
рис.
34
изображает
площадь
материального
сечетхя
трубы
.
Радиусы
r
1
и
r
2
трубы
и
рас
стоя-
5
д
.
Е
.
Р.
Го
д
ф
Р
II
65
иие
d 1
жду
центрами
контуров
можно
выра
з
ить
следующюt
образом:
г
1 =
С
со
ech
1)1;
]
Г
2
=
С
со
8ch
1)
2;
d =
с
(
otl1
1)2
-
coLh
1)1)'
(IV
.8
6)
ти
равенства
служат
для
вычисления
1']1'
1']~
И
с
.
ВеЛlIчина
с
опре
деляется
из
выражения
4.c
2
d2
=
(Г
2
+ T
1
+
d)
(Г
2
- T
1
- d)
(Г
2
- T
1
+
d)
(Г
2
+
Г}
- d).
(IV.
7)
Т
перь
р
ШIНl
кра
вую
задачу,
выразtiВ
е
чер
з
~
D
1'].
Из
(IV.83)
п
(IV.85)
'Ган
что
1
'Х
=
Ч>
-
--;:-;-----',--
+
"2
с2.
(IV.
т
перь
ДОЛiIШЫ
пайтитаную
гармонич
CJ<YIO
--;~--+-------:!~
~
(
функцию
'IjJ,
чтобы
'Х
па
ваутр
ЯН
м
и
ВПСЩ
-
-я
7i
l;-nnоскосmь
нем
ноптуре
была
nелпqиной
постошшоii.
В
системе
I<оординат
~,
1']
уравпепие
2'IjJ
=
О
принимает
вид:
Р
ис.
34.
д'~
ф
if1ф
д~2
+
aI'J2
=
О,
(IV.
~)
8
его
решения
будут
иметь
форму
(прюroжеl1И
1,
(1.42):
00
,."
=
~
(А
l1
е
Щ1
+
В
l1
е-
l1
Т)
со
n~.
(IV.90)
n= !
П
ерепишем
(IV.90)
00
:1
Е
l1
(1'])
со
~,
n= !
где
(IV.
1)
Поэтом
у
00
'"
c
Z
со
11
11
1
ос
=
kJ
Е
n
(1))
с
n~
-
cos
~
+
со
h
11
+
-у
с2
n= 1
И
иа
обоих
нонтурах
должны
выполняться
условия
66
n
Эти
уранп
пия
будут упоил
твор
е
ны,
если
принять
Ф
с2
COsL
1
111
за
ко
ффИЦИ
IlТ
ряда урье
ДЛIl
фУI/IЩИИ
; + }- .
соэ
со
'
)
111
Ана.'1ОГИЧПО
по
тупаем
в
случае
Е
"
('12)
Е
()
2 2 h
11\,
со.
n
~d::'
I n
1')1
= n
с
со
1')1. cos
~
+
co~ь
1'}I
о
(1
.92)
Этот
иптеграл
ВЫЧflСЛЯ
тся
"ак
чаСТl1ыii
случай
ип
т
грала
,
пр\[
в
ед
lШОГО
n
lШИГ
* J.
Ed,
ards,
Inl
gral Calculu. ,
vo
l.
ii,
§
111
·
~.
Им
AI
о
Подставляя
(l
.9
)
в
(IV.92),
п
ол
ЧШ1:
Е
"
(111)
=
(-
1)"2c
2
e-
nl1
'
'ol
ll
ТJI;
Е
n
('1
2) = (-
1)
n2c
2
e-
n
l1
'
co
Ll1
ТJ
2
'
ОУ'
.9
)
}
([У
.
91)
Эти
р
зуль
таТlil
13
с
Ч
таl1ЛИ
с
(1
.9
1)
по
з в
ол
нют
а;
нин
дЛ
Я
А
,.
И
B
Il
:
получить
IJ
blpa-
(-
1)П
с
2
е
-П
("
,+
",)
(COt
I1
1'}I
- coth
1'}2)
А
n
=
~--~----70--~--~~
----~-
iпl)
n (t). -
1'}2)
)
(1
.95)
Для
вычи
сл
I:IИЯ
момента
круч
l!ИЯ
исполь
з
у
~!
(IV.22),
так
что
N = f.l"t[J - "l
",cpd'P+
"l
",cpd'P].
(IУ
.9
6
)
Отсюда
во
з
пика
т
зада
ча
пахождепия
(
Р
прп
заданном
,~,
решается
n
ПРJl
л
оа;
нии
2,
(2.22).
В
даllПОМ
случае
которая
~
(А
п"
В
-'1
")
.
...t
ср
=
'"
.
п
е
-пе
IП
' '''6'
(1
.97)
л
fltO
убедиться
в
том
,
что
эта
фУНКЦИЯ
вм
есте
с
фупкцпеu
'Р
(IV.90)
удовлетворяет
за
ВИСЮI0СТЯ~1
Коши
-
Римана:
дч>
дф
.
aq>
д
ф
IV
9
дГ
=
дil'
дil=-aг
( . )
КРИnОЛИl1
ипы
е
интегралы
10ГУТ
быть
вычислены
в
ПЛОСКОСТII
~
по
прямоугольпИl
У
PQRS
(рис.
34).
Так
как
при
~
= ±
n,
~
=
•
м.
таЮf(е:
И.
1.
Р
1>1
Ж
11
1\,
И.
. r
р
а
Д
щ
Т е
ii
н.
Таблицы
иu
тегра
лов.
1.,1
9- 1,
стр.
1 t
.-
1Jpu
,!/-.
р
ед.
5*
67
=
О,
то
члеllЫ,
возникающие
при
иптегрировании
по
сторопам
QR
и
SP
отсутствуют.
Рассмо
трим
1t
S
<рd
<
ф
= S I
~
(А
n
е
n11
•
-
В
1
,е
-nТ]
,)
sin
n~
I
х
1]
=
11
-п
Х
1
.....
(
АnеnТ\'
+
В
n
е-
nll
.
)
(-
nsin
nS»
)
dS.
1t
Та!<
кан
при
rn
=1=
n f sin
~
in
m~a~
=
О
-п
1t
Л
прп
т
= n f in
n;sin
m~dS
= n,
-п
то
S
<рd'Ф
=
n1:
(- n)
(An
e
nТJ
>
-
B
ne-
nТJ
.
)
(A
ne
nТJ
,
+
В
n
е-
nll
.).
11
=
11
.
По
тупая
та!<им
же
обраЗО~1
со
вторым
иuтегр
ало
м
(1
.96),
после
пр
об
разований
найдем,
что
=
I-L't
[1
+
2л:С4n~!
n
(p
n
e-
2nТJ
.
+
Q
ne-2nТ\,)
со
с
Ь
2
n
(''Ъ
-
Т12)}
(lV.99)
где
Р
"
= coth
2
'11.
inh 2n
(111
-
'112)
- 2coth
'111
coth
'11
2;
Qn
=
Cot11
2
'111
sinh 2n
('111
-
'11
2) + 2coth
'111
oLu
'I1
з;
38.
МЕТОДЫ
АНАЛОГИй
},
(IV.100)
(1".101)
Задача
!<ручеuия
решается
математичеСIШ
(см
.
30.
Компоненты
паПрЮl
ения)
,
если
решепие
для
Х,
найденное
из
(IV.11),
удовле
твор
яет
!<раевое
условие.
Все
другие
величины,
связанные
с
зада
ч
й,
могут
быть
выведены
из
Х
и
е
прои
зводпых.
ИсслеДОВ8ПИЯ
nо!<азали,
что
существуют
и другие
физические
состоя.пия,
в
КО
торых
пе!<оторая
фундаментальная
величина
должпа
удовле
тв
о
рять
те
же
дифференци
альные
уравнения
и
краевы
условия,
что
i!
В
задаче
кручения,
во
в
которых
э
та
велпч.ива
может
быть
лег!<о
измер
па
.
Это
позволяет
получ
ать
данные
из
аПз'ЛОГПЧllОй.
задаЧJJ
и
на
их
основании
выводить
р
е
ш
ния для
задачи
круч
е
пия,
ногд
а
форма
п
оперечного
сечения
ие
позволяет
р
шить
зада
чу
т
оретп
Qecl
и.
Здесь
мы
коснемся
трех
та!
их
физи(!еСЮJХ
апалогий,
во
прежде
чем
приступить
lt
детальпому
излож
ен
ию,
рассмотрим
гео
метричес!<уIO
сторону
задачи
нручения
.
Линии
l{асательных
напряжений,
к
которым
р
зультирующа
и
касательных
напряж
нии
является
касательной
(см
.
33
.
Теории
касательных
наДРRжений),
определЛlОТСЯ
уравнениями
Х
(х,
у)
=
68
= const.
Поэтому,
если
рассмотреть
поверхность
Z =
f.L'tX
(х,
у)'
то
сечепие
ее
ПЛОСRОСl'ЫО
Z = const
дает
новтуры,
I{OTOpble
в
Щ>О
еlЩИИ
на
плоскость
хОу
будут
линиями
I<асате1lЬПЫХ
напрящепиЙ.
Если,
нроме
того,
Х
=
О
ПО
кон
'['Уру,
то
эта
поверхность
пересе-
1<ается
с
плоскостыо
хОу
по
про
филю
сечения
балки.
Такое
поло
}кение
показапо
на
рис.
35,
где
С
поперечное
сечение
балки,
aS
1
линия
I<асательных
напряжений,
соответствующая
с
чепиIO
поверх
пости
Z =
f.L'tX
(х,
у)
ПЛОСRОСТЫО
n.
Рассмотрим
теперь
касательпую
прямую
к поверхности
в
ТОЧI<е
Р
(рис.
35),
которая
составляет
с
пертиюlЛЫО,
пропедениой
через
точку
Р
плосность,
образующую
гол
а
с
плоскостью
xOZ.
На
L
у
Рис.
35.
ОСflовашш
свойств
производпой
по
направлению
(см.
(1.48),
при
лошение
1)
ваклоп
зтой
касательной
определится
из
выра
ж
ПИЯ:
(
дХ
.
дХ
)
f.L't"
ах-
С
О
а
+
ду
ina,
иоторое
с
учето
м
(1V.9)
примет
вид
xz
sin
а
- yz
соз
а.
(1
.1
02)
с
и
зменением
а
маI,сималъное
значение
этой
величипы
составит
1
(?z2
+
Yz2
(F
=
q.
Таким
образом,
результирующая
касательных
нanрюнеnиi.i
(
faКСИМУЫ)
в
любой
точке
Q
поперечного
сечения
мо
жет
быть пре
дста
влепа
маRсималъвым
наI<ЛОНОм
поверхности
Z =
f.L'tX
(х,
у)
в
ТОI1I<е
Р.
На
основании
(IV.21)
крутящий
MO?teHT
равен
удвоепп
оиу
объему,
огравичепноиу
поверхностыо
и
пло
-
костью
хОу.
А.
Аналогия
с
lсмб
раJJоii
(МЫ
:
lь
ная
олсшta)
Впервые
Тal<УЮ
апалогию
продемонстрировал
Прандтль,
а
по
зд
нее
она
была
развита
Гриффитсом
и
Тейлором
*.
Рассмотрим
мем
брану,
ЗaJ<репленвую
по
краям
к
плоскому
профИЛIО
С
и
нахо
дя
щуюся
под
действием
всесторонвего
растяжепия
Т.
Если
теперь
•
А.
G r i
.f
r i t
Ь
and
G.
Т
а
у
1
о
r,
ТесЬ.
Rep. Adv.
Сотт.
Aeronau-
tics, vol. 3,
рр
.
910
and
938
(1917-
1918
).
69