Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
t9
.
ЭНЕРГИЯ
ДЕ
ФОР
1
ЦИИ
Если
упругое
тело
по
в
ергается
действию
пов
pXBocTnЫ
на
пряжений
R
p
и
объемных
сил
F,
то
внешние
СИЛЫ
совершают
рабо
ту.
Поскольку
ко
ячес
тво
тепла,
входящее
в
н
ргетичеСIШЙ
ба
ланс,
ничтожво
мало,
в
вашем
случае
можно
прираВRЯТЬ
работу,
совершаемую
внепшими
СJшами,
R
упругой
энеРГ
ИII
пли
э
пер
г
и
п
Д
е
фор
м
а
Ц
и
и
самого
тела,
та"
ка"
ир
дполагается,
что
в
деформировавпом
состоянии
устана
влива
стся
равновссие.
ту
потенциальную
эв
'
РГИ10
выразим
через
;щергюо
отн
севпуlO
к
единице
объема
W,
ра
ссматривая
приращени
ее
dW
прп
измене
вии
деформации
на
dD.
При
таиом
приращении
полная
работа
поверхностных
СИЛ
вы
разитс
я
интегралом
S (dDR
p)dS
по
поверхностп
тела
.
Рабо-
•
та,
совершаемая
объ
емными
силами,
равна
интегралу
f
(d
D
f,!F)du
v
по
объему
тела.
Сумма
тих
д вух
работ
равна
полпому
прира
щению
пот
е
нциальной
энергии
деформаци
и
,
котору'
можно
полу
ЧИТЬ
JШтегрируя
приращение
dW
по
объ
му
т
.
1[1.
'Гаl\ПМ
образом,
учит
ывая
(1.9),
имеем
J
(атУ)
аu
= S
(dDR
p
)
dS
+
.\'
(dDpF) dv =
V s V
= J
dD
(l
R
",
+ mR
y
+ nR
z
)
d +
.r
(d
DpF)
dl',
• V
где
(l
т,
n)
-
направляющие
косинусы
нор
taлп
поверхности
лед
овательно
,
при
J
еняя
веIПОРНУТО
теорему
(1.20)
из
ПРШlо>ке
ния
(dW)
аu
= . [
:Х
(d
DR
x
)
+
~
(d
D . R
y
)
+
~
(сЮ·
Rz)]
du
+
v V
r r { aR,. aR
y
aR. 1
+
j(dDp
F)
dv=.J
dD
(jj-
+
ay
+ a
z·
-t
pF
Jd
u+
V V
+
.\
{а
(
~~
) R
x
+ d (
~~
) R
y
+ d (
~
~
i R
'}
а
и
.
V
lIервыд
интеграл
уммы
на
основаНИlI
(
1.17)
равсн
нулю,
а в
то
рой
может
быть
выражен
через
составляющие
BCI\TOpa
D
и
векторов
напря
жений.
по
сI<
олы(
y
эти
IIRтегралы
могут
быть
написаIfЫ
для
элемент
арного
объем
а
можно,
при
равняв
подынтегральные
выра
жения
,
ПОЛУЧИТЬ
прпращение
энергии
деформации
в
точне,
и
ото
рое
после
векоторы
.
преобразовавий
примет
вид:
dW =
;;ае
хх
+
yydE
II!J
+
?z'de
zz
+
(
П
.25)
30
3атем,
пр
дположив,
что
величина
W
записит
только
от
иомпоuеи
тов
деформации,
т. е.
не
зависит
от
того,
каким
пособом
тело
из
недеформпроваНI!ОГО
состояния
приводится
в
деформированное,
выведем
ПСl<оторые
диффер
нциальные
соотношения.
Б
это
1
слу
чае
W = W
(8
ж
...
,
8
уу
,
•..
).
Дифферент(ируя,
получим
aw
aw
ow
d W =
-а--
ае=
+
-а--
d8
VV
+
-а-
.
- de
..
+
Е
хх
Е
уу
E
zz
a
\I\I
iJW
aw
+ - 0
--
d8yz +
-,,-.-
d8
жz
+ -0
--
df.
"y.
Е
у:
vE
xz
еху
Сравнивая
с
(П.25)
получим
iJW
1
iJ
W
-а--
=
ХХ
и
Т.
д.'
т--а::--
=
х
у
[1
Т.
д.
Е
...
х
~xy
(II.26)
20.
ЗАВ
И
С
ИМ
СТЬ
rEЖДУ
Н
llРЯЖЕНИЕМ
И
ДЕ
ФОРМ
ЦИЕЙ
Для
получения
зависимости
м
жду
напряжением
и
деформацией
приходится
обращаться
к
:
н<сперименту.
Простые
ИСDытааия
образца
на
растяжение
позволяют
сделать
выводы,
па
!<ОТОрЫХ
строится
общая
теория.
3десь
приво
-
дится
лишь
}(ратное
описание
ЭI(спери
мента,
таи
l{aI{
бол
е
подробное
описа
нпе
1ОЖEIО
найти
D
ившах
по
сопро
тив
)
!
шн
мат
риалов.
На
рис.
1.4
по1tазана
типичuая
ирилая
зависимости
1ежду
напрящепием
и
де
формаци
Й,
ПОJIуtIeнвая
дл
я
образца
при
д
йствии
постепенно
возрастающего
одноосного
растяжения
в
направл
нии
р.
Напряж
-
........
рр
пие
рр
ОТI(ладыва
тся
в
зависимости
от
Pll
C. 14.
де
формации
8
рр
'
С
увеличением
па-
Е
I'руз!{И
напрнжение
изменяется
пропорциональuо
деформа
ции
д
о
точ!ш
А
В
КОТОРОЙ
l{ривая
нач.инает
изгибаться.
Напряжение,
соотв
'l'ст.вуlOЩ
точке
А,
называется
п
р
е
Д
л
о
м
про
п
о
р
Ц
и
о
н
а
J[
L
Н
О
С Т
И,
но
дри.вая
может
подым.аться
до
точки
В,
СООТВ
тствующей
пределу
упругости,
и
все
же
при
разгрузке
об
разца
не
б
дет
ВОЗНИRать
заметны
остаточных
деформаций.
Если
в
точке
С
ПРОИ
З
DССТИ
разгрузну
дО
ТОЧI\И
D,
а
затем
не
rедл
ННО
наг
ру
зить
свом,
нривые
CPD
и
DQC,
соответствующие
нагруже
юно
и
раЗГРУЗI
о
образца,
н
совпадут.
Площадь
петли
равна
меха
ничеС
IЮЙ
работ,
которая
затрачивается
на
протяжении
цикла.
Мы
таюде
ви
д
им,
что
l<рИDая
DQC
парашrельна
ОАВ
и
после
ПРИJIо>непия
нагрузки
дривая
продо
лжается
так,
над
если
бы
ЦИКЛ
CPDQC
н
е
имел
места.
Таи
ИМ
образом,
деформация
в
тадой
точке
С
не
полностьто
восстанавливается
и
состовт
из
упругой
ч
асти
и
плаСТН'I
СI<ОЙ.
Расстояние
OD
представляет
OCTaTO'lВ
YI
31
деформацию.
Другим
свойством
материала,
вытекающим
из
диа
гра
1МЫ,
явлнется
то,
что
за
ЦИI
дом
разгружев.ия
и
повторного
прилощения
нагрузки
напрящевnе,
при
нотором
наступ.::IО
·Г
плас
тичность,
ВЫIJн",
чем
при
первоначалыlOМ
пагр
уже
uJ.lП.
то
явл
е
ние
повышения
упр
ги'
свойств
в
результат
е
пр
два
рит лы/ого
де
формирования
называ
етс
я
вarшепом.
Привед
вное
описание
является
общим,
хотя
разли'шы
ма
те
риалы
ве
дут
себя
по-разному
при
таких
испытаниях.
Ненотор
ые
матери;t
J
/Ы
обнаруживают
вн
запное
падепи
е
напряжения
непо
с
редственно
за
·
пр
делом
упругости
с
горизонтальным
участком,
/юторый:
называется
площадкой
текучести
(соответствующее
на
пряжение
называ
етс
я
пр
едело
м
ТОI<учести).
Рассмотрим
общую
за
висимость
м
еЖJ\У
в(шряжевие
[
и Д
фор
i\
1ацnей
в
преде
J
1ах
упругостл.
3аВJtlсимос'l'Ь
между
наllряжелп
ем и
деформацией
u
пластич
еС
I{ОЙ
области
будет
рассмотр
ена
в
главе
Х.
На
основ
lИИ
экспериментальных
данных
цол
сообразно
пре
д
ПОЛОЖИТЬ,
что
I{омпоненты
напряжения
и
дефо
рмации
связаны
л
·
инеКноЙ
зависимостыо
и
исчезают
одповр
'МСЮ
IO
с
устранением
нагрузки.
На
основании
уравнеВЕЙ
(П.2(:j)
W
явля
тся
oдnopo
д
ной
Фующией
деформаций
второго
ПОРЯ
Д
l{а.
Да
r
е,
сл
и
предполо
жить,
что
тело
является
однородным
11
изотропным,
то
ФУНlщия
Д
ОJ/жна
оставаться
неизменной
при
поворо
те
осей
II:ООР
Д
ИВ<И
' .
И
з
изложенного
об
инвариантах
папряж
е
ния
это
условие
требует,
чтобы
фующют
W
была
вида
W*
=
ali
+
Ы
2
,
(
П
.27)
:
:
по
наиБОJJeе
общий
способ
образования
ОДНОРОдной
фУНКЦИИ
вто
рого
порядка
из
равенств
(11.19)
и
(11.20).
Испо
л
ьзуя
(II.26)
и
учитывая,
что
11
=
б,
?х
=
2аб
-
Ь
(е
1l1l
+ e
zz
) =
(2а
-
Ь)
б
+
Ье
х
х
.
Теперь
введ
м
TaI,
называемые
постоянные
Ламе
/.1.
и
л
(не
смеши
вать
с
Л,
см.
6.
Главные
напряжения
и
16.
Главные
деформации
и
инварианты),
где
Ь
=
2/.1.
и
2а
-
Ь
=
л.
Отсюда
а
=
~
(л.
+
2/.1.).
СледоватеJIЬНО,
функция
удельноii
энергии
де
фОРlll
а
ции
после
aeJ,OTOpыx
преобразований
будет
W =
+М2
+
2/.1.
(e~z
+
e~z
+
e~lI)
+
/.1.
(
e~x
+
e~y
+
e;z),
(
П
.28)
•
Для
пепзо:гропвого
мат
е
р
па
ла
например
де
рова
,
ураОEl
Ы8е
(11.27)
пе
ПРИAlеuимо
п
JV
будет
выражатьсн
ур
внением
второй
стеоеlШ
более
общеl'
О
вида,
которое
может
содержать
до
21
ynpYl'oll
ПОСТОIlВlIОИ.
32
а
зависимость
между
напряжеНИЯ~1И
и
де
фор
м
а
Ц
и
е
й
выразится
следуюЩl'lМ
образом
(II.29)
где
р
принимает
значение
Х,
У,
z.
Для
номпонентов
({асательвого
вапряжения
(П.ЗО)
1 r
риведенвые
уравнения
ПОJ{азьrваIOТ,
что
напряшенное
состояв
и
однородного
изотропного
тела
в
пределах
упругости
зависит
только
01'
постоянных
Л
:и
11.
21.
УПРУГИЕ
ПОСТОЛНПЫЕ
1'И
постолuпые
определтотся
на
основаНИИ
дву
испытаний.
А.
Испытание
на
растяжепItС
Пр
д
положим,
что
в
ци.ТJиндрическом
образце
возни!
а
ст
рас"н
Гlшающе
вапрлн,;
нио
;;
=
т
в
направлении
его
оси.
И
;
J
рис.
1
/
t
шщ
uо
,
что
8;с;с
можно
записать
в
виде
Т
/
Е,
где
Е
е
ть
м
о
Л.
у
'
л
ь
у
л
р
у
г о
с
т
и
10
н
г
а.
Эксперимент
обнаруживает
такж
е
умень
ш
е
ние
поперечных
размеров,
ПРОIIорциональное
&х
х,
Т.
е.
8
Уl1
=
=
&и
= -
"8
х
"
где
упруган
постоянная
v
называется
к
о
э
Ф Ф
и
-
ц
и
е
н
т о
м
П
у
а
с
с
о
н
8.
Таким
образом,
из
(П.22)
б
=
т
=
(1-
2\!)
Е'
а
из
(П.29)
.-..,
т
~
2
т
2
Т
ХХ=
7=
",(1 -
")-к
+
f.t7f;
~
т т
уу
=
о
=
л(1-2
v
)
-к
-
2f.tv
IF
'
Решал
эт]{
уравн
нил
отIIосителыIo
Е
и
\1
IIай
де
м
Е
=
2Jt(1
+
"),
л.
\!
=
--=-2
"'
(л.-
+:--
~L
:-)
(П
.
З1)
Б.
Испыт:шие
11
8
кручение
(чи
стыjj
сдвиг)
Рассмотрим
прямоугольный
пара
IЛ
ле
пи:пе
д
с
ребрами,
парал
ле.lЬПЫ:МП
осям
координат,
и
приложим
I{
граням,
перпевдику
л
яр
ны
i
оси
у,
равномерно
распределенные
растягивающие
си
л
ы
Т,
а
к
граням,
перпендикулярным
оси
Х,-
сжимающие
силы
Т.
3
д.
Е.
р.
ГОАФРИ
33
Таким
образом
уу
= -~ =
т
(рис.
15).
Напряжение
в
н
которой
точке
Р
внутреннего
эл
мента,
наклоненного
под
углом
45
0
к
осям
х
и
у,
как
было
показано
во
втором
частном
случае
(см.
5.
Растя
жение
в
одном
и
в
двух
направлениях.
.
Растяжени
в
дв
х
взаимно
перпеН
Д
ИI<УЛЯРНЫХ
направлениях)
сводится
TO
J
lbI<O
к
,(а
т
I
у
I
7 -
т
т
т
Рис.
15.
-1
J(
сательпому
напряжению
Т.
Опыт
uые
данные
показывают,
что
Т
=
2Ge"
.
где
G
модуль
упругости
при
сдвиго
И
J
lll
модуль
сдвига.
В
это
м
случае
б
=
О
1f
из
(П.ЗО)
следует
Т
=
2""8"
0'
ТI.Н
(
ИМ
образом,
постоянная
Ламе
""
ото>'!
Д
'-
ствляется
с
G.
На
оспованШl
(II
.
1)
можно
написать
Е
=
2С
(1
+
'\1),
011\У
да,
определив
эксп
рим
ентально
веЛJ.1-
чины
Е
и
G,
найдем
I<оэффициент
Пу
ас
сона.
Нор
JaJtbHO
e
давлеmJе
на
обр
аз
ц.
Подвергая
небольшой
ПРЯМОУГОЛЫ
I
ЫЙ
параллелепипед
гидростатичеСI<ОМУ
давленmо
р
по
всем
его
граннм,
получим
ещ
одну
упругую
постоянную.
Предполагается
,
что
все
линейные
разм
е
ры
образпа
претерпевают
пропорциональные
из
мен
ен
ия.
В
соответствии
с
этим
-
р
=
ЗКВ
хх
=
ЗКВ1I1I
=
ЗКв
zz
,
где
К
-
мо
дуль
объемного
расширения.
Следоват~льно,
из
(II.22)
б
=
-
р/К
н,
таким
образом
,
К
есть
отношение
давления
к
расширению,
происmедm
е
му
под
этим
дав
лением.
Из
(II.29)
р
=
л
~
+
2""з~,
что
приводит
К
равенству
2
К
=
л
+
з
"'"
(П.32)
Если
считать
Е
и
v
фундаментальRыии
ПОС1
'
ОЛННЫМН,
то
Еу
Е
Е
л
=
(t+v)(1-2v)
""
=
2(1
+
У)'
К
=
3(1-2у)
(11.33)
Так
как
К
является
величиной
положительной
для
мат
ериалов,
которые
обычно
уменьшаются
в
объеме под
действием
гидроста"l'И
-
1
ческого
давления,
то
из
последнего
равенства
следует,
что
v <
"2
и
л
>
О.
22.
ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ
ДЕФОРМАЦИЕИ
И
НАПРЯЖЕНИЯМИ
'Уравнения
(П.29)
и
(11.::30)
могут
быть
р
ешены
так,
что
дефор
мации
выразятся
через
напряжения.
34
ПО
JJаган
=
хх
+
уу
+
ZZ,
най
де
м
из
(II.29)
6.
=
(3л'
+
2f.L)
б
=
3Кб.
Тогда
-
л.
2f.LEpp
=
рр
-
Э
К
6.
.
л.
v
И
з
(П.33)
выражепие
Э
К
= 1 + v'
ноторо
е
после
ПОl\ст
аНОВI
~
1J
в
предыдущее
у
равн
е
ни
дает
2f.L
(1
+
v)
8
Р1l
=
(1
+
v)
;;р
- v ,
пли
Е
в
lI
р
=
(1
+ v)
рр
- v ,
где
р
мож
ет
принимать
з
н
аче
ния
х, у,
z
и
E
Epq
= (1 +
v)
М,
где
р
=1=
q.
(п
.
4.
)
(п
.
5)
Эти
уравнения
устанавливают
с в
я
з
ь
м
е
ж
Д
у
д
е
фор
-
м
а
Ц и
е
й и н
а
n
р
я
)](
е
н
и
я
м
и.
23.
BEI<TOPHOE
УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ
ДЕФОРМАЦИЙ
Уже
было
показано,
что
проекции
вентора
напряжения
в
точке
должны
удовлетворить
уравнения
равновесия
(1.17).
На
основа
нии
уравнений
зависимости
между
деформациями
и
напряже
ниями
мы
можем
теперь
получить
уравнение
для
деформации.
Поскольку
R
x
=
;Xi
+
;Yj
+
~,
из
уравнений
зависимости
между
напряжением
и
деформацией
следует
R
=f
Лб
+
2
~)
i
+
~+~)
.
+
(~+~)
k
.
х
\
f.L
д%
f.L
д
у
дх
)
f.L
д:
д%
Аналогич:но
iJ
D
R
z
=
Лбk
+
f.LVW
+
f.L
a;;-.
1
}
Подставляя
эти
векторы
напряжения
в
(1.17),
получим
(11.36)
л'vб
+
f.LV
(::
+ :; +
::
) +
f.L
(=2
+
~~
+
~2)
D +
pF
=
О
З·
И.
'
III
,
используя
фор
fУЛЫ
(1.14), (1.16)
и
(1.2 )
из
приложевия
1.
найд
м
(Л
+
~l)gгаd
div D +
JJ.
2D + pF = 0.
(II.37)
1'0
фундаментальное
ура
пн
вие
дл
н
D * .
Ясuо,
что
р
w
НИ
то
го
раввениа
в
общ
1\1
ви
де
ЯВJlяет
я
весьмн
СJ
]ОЖВЫМ
,
по
тому
оно
будет
ИСIJОJlьзоваво
"олы<о
ДJlЯ
частных
случаев
(
м.
Г
1.
VH
и
111).
В
связи
с
этим
ПО
JlеЗ
RО запи
ать
у
раВП
Сl1И
(II.
7)
в
дру
roii
форме.
На
основании
фОРМУJlЫ
(1.25)
ИЗ
rrРИJlОЖ
НИЯ
1
roL
rot D = grad div D - 2D
им
м
(л
+
JJ.)
l
'Ot
roLD +
(')"
+
2JJ.)
20 + pF =
О.
(
Н.
3
)
в
:>то
м
случае
целесообразно
заГJИ
ать
уравuепие
для
R
p
,
где
1<aI,
и
раньше
р
= li + rnj + nk.
На
ОСllовапии
(1.
)
II
(2.36)
R
p
=
М
р
+
JJ.
(l
vu +
т
v +
nvш)
+
JJ.
(р
) D =
=
М
р
+
JJ.V(l
u +
mи
+
nш)
-JJ.(u
l +
vvm
+
ш
n)
+
~
(pV)
D =
=
Лб
р
+
JJ.
(II
D) +
JJ.
(
р
) D -
~L
(и
l +
l'
т
+
10
n)
=
=
М
р
+
2JJ.
(PV)
D +
pJJ.
roL
D.
(Н.39)
24.
УРАВНЕНИЕ
БЕЛЬТРА
IИ
J
\<lK
было
rrОJtазано
(см.
18.
Уравнения
совмсстности
деформа
](ий),
пеоб
'
одимо
,
чтобы
ком:поненты
дефор
1аЦИII
удовлетворяли
урuвн
ния
совмес'l'ПОСТ
.
И
(
П
.23)
и
(П.24).
Оqевидно
что
исuольз
Я
зависимости
между
напряжением
n
деформаци
ii,
можuо
под
'ЧIIТ
Ь
СИ
Т
му
уравн
КИЙ,
выражающих
сопмесrпос1'l,
J,ОМПОН
птов
па
прнжениЙ.
та
истсма
будст
состонть
ИЗ
ТРСХ
уравнешrii
'J'Jlпа
(1
,)
{2
д
2
?у
_
д
2
;;
_
д
2
уу
} .
-г дхду
dy~ дx~
~
-,
о
(1
1.40)
и
1'1
С
.'
раВflСЮIЙ
типа
(1
+
'\1)
I_д_
(дYz
+
д;;
_
a?u'
) _
U~?)
.J.
'\1
~
-
о
(П.l1)
t
iJz
dx
ду
и:
дхд
у
J '
uхду
,
каждо
из
ио'Горых
получается
1~1I1,
:
lI!q
cl<Olr
п р
стаповкоIr
у и
z.
СОLlетая
:>ТIl
уравuенин
с
:vравuеюrлмu
раВJlовеСllЯ
Б
дьт
ра
fИ
по.
У'ШЛ
уравнония
совместности
в
бол
'е
}{OMOanТLIOM
BI1J\ .
1lрсд-
• D -
оентор
перемсщеlll1Я
.
Гсчь
IIД
Т
об
уравuеЩIl1
.тJaMC
.
-
ПРUiК.
ред.
36
положии
что
в
ел
ичина
F
объ
мной
силы
на
еди
ницу
массы
J\10i,
ет
бы
'
гь
по
Iучена
из
пот
нциада
V,
т.
е.
F = -
grad
V.
(П.42)
Тогда
уравненнн
Ее'
ьтрами
могут
быть
за.Л
l1
са
ны
n
виде
(1 +
")
2
pq
+
a;;q
( -
2р
(1
+
")
V}
= 8pq
PV1(~~
")
V
2
V,
(ПАЗ)
Г
е
р,
q
МОГ
Т
принимать
значения
х,
у
JI
(H
Z
И
8pq
= 1,
IJС.тJИ
Р
=
q,
]j
ш
н
улю
е
J
IИ
р
=1=
q.
В
случа
отсутств
.
ИЯ
объс
(
НОЙ
СИЛЫ
ура
вп еu
ия
Б
льт
рuми
принимают
.вид:
--.
lPt1
(1 +
")
2
pq
+
opoq
=
о.
(Н
.44)
Выво
д
ЭТ
ИХ
уравв
лий
предоставллетсн
читателlO.
ЗАД
АЧИ
1.
ПОЩl33ТЬ,
что
сли
D =
с
( 1
Ох
+
Зу)
i
-!-
(Зх
+
2у}
j + 6zk},
ГДС
с
ПОСТОltUlНIfI,
ТО
11\1
В
oAlJoii
точк
ист
вращ
е
UJ111
н
uаiiти
гла
ввыед
ФОРЫIЩI1II
РЗСТЯШСIПШ
.
2.
В
оБО
З llзчеllllЛХ:
(см.
8.
Пло
,(
ос
напряже
нно
СОСТ01l
Л1l
С)
DОl{а
затl.o
,
что
е
n
n
+ 8
..
=
8
хх
+
8
уу
;
+
2
'·
- 2ia.( + 2'
}.
Е""
- 8
..
I~"
$
=
е
8
хх
-
81111
'8
ху
,
+
.
-ia.
( +' )
е
n:
IE,.
=
е
Е
жz
18
у
%
•
ДонаЗIIТЬ,
что
со
с
тоя,,\!
Д
формации,
заданное
ураВl1е
tltt
ЛМ
U
Е
х
у
=
О
со
2а,
8
уу
= -
Е",,,,
О
sin
2а,
8
уж
=
8",.
=
7Ж
=
О,
81Ш'Jвзлеuтuо
простому
с
д
вигу
от
О.
З.
Тело
подвсргает
с
"
ДВУМ
простым ПЛОСЮIМ
деформациям
сд
виг
а
8,
и
1'2
.
uaopaBllC
lIlJJJ
}(оторых
ОТЛ11Ч3l0ТСJl
1111
уго
1
а.
ДОJ<азать,
что
реЗУЛЬТllрующаJl
деформ:щня
со
таоит
~.
т
11
3
Щ
'
ТР"'I
снал
роз
е
тшJ.
OA
IIOBpCMeHHO
пзмерн
т
ТР
I1
растящ
BIIH
Et
,
e
~
,
8з
u
о
д
ной
ТОЧI\
С.
РаСТЯЖСUI1Л
образуют
с
осью
устройства
)'1
'J
[b[
-
а,
О.
а.
1l
0
1Ц
)
зать,
'/то
главные
осп
деформац
шt
образуют
тюше
УI'1Ш
)',
n
~-~
'\
' + -2
с
осью
т
Ll
З
ОЫ
тра,
что
Lg
2у
= +
28z
tg
а.
еl
ез-
13
ел
'1а
а
=
;1.
/4
до"азать,
'1то
главны.е
дсформаЦllf
1
будут
f
+(81
+
Е
з
)
±
Н
+ + (
"i
+
,,;)
- "1"2 -
ц
;
э}2
5.
ОПРОДIIЛLIТЬ
эверг
ш
о
деформации
па
еДИIllЩУ
объема
uри
чистом
р
CТlI
ж
еВ
ПI1
7',
всесторопнем
растяшеuпи
Т
(см.
5.
Растяженnе
в
ОДНОМ
и
двух
на
правлениях).
r
лава
!П.
ЧИСТЫй
ИЗГИБ
ЛRИ
25.
ПРИНЦИП
СЕН-ВЕНАНА
Б
этой
и
следующей
главах
рассматривается
действие
сил
и
пар,
приложенныx
1(
концам
прямолинейной
башш
ПОСТОЮUlого
сечен
ия
раЗЛlI'ШОЙ
формы.
Предполагается,
что
длина балки
на
много
превышает
ее
попереч:ны
размеры,
так
что
напряжения
в
части
балки,
расположенной
ближе
к
ее
середине,
н
зависят
от
Ри
с
.
16.
с
пособа
приложения
нагрузок
J{
концам.
Это
известный
прин
циn
Сеп-Венана:
С
J
IИ
па
пекотором
участие
1
конт
ра
тела,
на-
одящегося
в
равновесии,
распреде
l
lение
поверхностны
напряже
ний
изменне'l'СЯ,
то
распределени
напряжений
в
ТОЧI{ах
тела,
не
очень
близки
к
l'
будет
оставаться
неивмеЮlЫМ
при
уеловии,
что
новое
распределение
напряжений
статич
СIШ эквивалентно
нача
л
ьно
iY
распределепmо.
Б
случае
балок
этот
принцпп
сводитсн
К
тому,
'11'0
В
то
время,
RaK
крае
вы
е
условия
по
1{0НЦам
балки
(например,
напряжения
рапны
нулю)
югут
быть
определеJlЫ,
обычно
невозможно
пред-
тавить
себе
действительное
распределение
по
концам,
даже
ели
QIIO
пр:щтически
известно.
В
большинстве
случа
в
бывают
извест
ны
толы{о
результирующая
сила
и
результирующая
пара
внутрен
них
СШI
по
концам.
Привци:n
Се
н
-Вевана
позволяет
нам,
при
уело
вии
,
что
удадось
получи
'
гь
правильные
з
нач
ения
этих
результи
рующих,
утвершдать,
что
распределение
напряжениii
по
концам
38
ве
оказывает
влиянил
ва
напряжения
в
точках,
не очень
близко
расположенных
к
нонцам
*.
На
рис
.
16
покавава
картина
напряженного
состояния,
получен
ного
по
фотоупругому
методу
для
бащш
при
чистом
ивгибе,
т.
е.,
когда
н
концам
приложевы
только
пары
сил.
Черные
линии,
или
полос
ы,
в
области,
где
они
параллельны
контуру,
являются
в
этом
случае
линиями
постоянного
растяжения
или
сжатия,
и
видно,
QTO
эти
JI
1IВИИ
оДИнаново
прямоливейны
даже
внепосредственной
близости
от
опор.
При
реmении
задач
подобного
рода
будем
счи
тать,
что
результирующие
сил
и
пар
по
концевым
сечениям
балки
соответствуют
приложенным
наГРУЗI(ам.
26.
ПОЛУОБРАТНЫЙ
МЕТОД
Нак
было
показано
(с
1.
23.
Векторное
уравнение
для
деформа
ЦIТй),
прямой
способ
решения
задач
теории
упругости
заключается
в
отыJ(ании
решений
для
D
из
основного
уравнения
(II
.37)
и
ва
т
м
компоненты
напряжения
и
деформации
определmотся
таким
обр
азом
,
чтобы они
удовлетворяли
краевые условия
задачи.
Пран
ТJlЧески
это
возможно
только
в
неноторых
случаях,
и
мы
будем
применять
полуобратный
метод,
при
котором
неноторы
е
состав
ляющие
напряжения
и
деформации
берутся
на
основании
априор
ных
или
ЭI(спериментальных
данных.
При
этом
необходимо
будет
у
овлстворить
уравнения
равновесия
и
совместности,
краевые
усло
вшr,
а
также
проверить
нонцевые
результирующие.
Таная
постановка
требует
наличия
теор
мы
единственно
сти
,
согласн
о
которой
таное
решение,
удовлетворяющее
приведенuые
YCJI
ОВl.JЛ
,
является
единственным.
С
этим
вопросом
можно
озна
комиться
подробнее
в
курсах
теории
упругости
**.
27.
Б
ЛI(А
ПОД
ДЕЙСТВИЕМ
КОНЦЕВЫХ
МОМЕНТОВ
А.
Напряжения
Принимая
для
этого
случая
решение,
соответствующе
обы'IlJОЙ
т('о
рии
изгиба,
будем иметь
,.....
Еу
zZ
=
Н'
(III.1)
где
R -
постоянная,
которая
должна
быть
определена
(все
дру
гие
)(ОМJJонепты
равны
нулю).
Это
решение
удовлетворяет
уравне
пия
равно
в
сия
и
совместности,
при
это
м
напряжения
по
всему
J'ОПТУРУ
балrш
Оl\азывarотся
равНЪThШ
пулю.
•
Фраза
.ие
Oq
ль
БПl1ако~
ве
поддается
тоqвой
пптерпретацИ1l,
одпзко
то
u
ока
а
Ыllа
т сер
••
езпого
влляuия
па
состоятельность
получаеи:ых
реше
пий,
'l<8K
МОЖНО
БЫJ\О
бы
ОЖllдать
.
••
См
.•
напри
fep:
М. М.
Ф
и
л
о
н
е
п
к
о
-
Б
о
р
о
Д
R
Л.
Теория
упру
го
тв.
ОГИЗ.
1947.-
При",.
реВ.
39