Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
Таким
образом
напряжения
и
пер
мещение
(если
необхо
и
10)
могут
быть
получены
из
одной
функции
Х
(х,
у)
,
которая
известна
как
Ф
у н
I<
Ц
И
Я
Н
а
n
р
я
ж
е
н
и
й.
Чита
тель
должен
обратить
особое
внимание
на
такой
прием,
ПОСRОЛЬКУ
он
Яllшrется
удобuым
при
решении
уравнений
теории
упругости
дл
я
ряда
задач,
кото
рые
будут
рассматриваться
в
дальнейшем.
Т
еперь
мы
приступим
к
нахожденюо
I<paeBOro
условия
и
I<рутящего
мом
нта
N
чер
3
функциJO
наПРЯ>I
ений
и
таккм
образом
полностыо
решим
задачу
с
помощью
одной
этой
фунrщии
,
которая
сама
удовлетворяет
ве
хоторое
дифференциальное
уравнение.
Так
ка к
д2ф д2ф
дх
2
+
д
у
2
=
О,
(1
.
10)
то
на
основании
(IV.8)
(1
.Н)
в
случае
задачи
кручения
обычно
сначала
на
х о
д
ят
,~
,
ТЗI{
J,aK
уравнение
Лапласа
(IV.10)
имеет
больше
реш
ений,
чем
ypaBucНIle
Пуассона
(IV.11).
31.
КРАЕВЫЕ
УСЛОВИЯ
На
рис
.
23
локазано
ткповое
поперечное
с
чевие
ба
л
КИ.
Тtш
КaI{
напряж
ения по
поверхнос
ти
д
олжны
быть
р
авпы
пут
,
в'еоб-
с
(-m,f,О)
хоДИмо,
чтобы
У
s R
n
=
О.
(IV.12)
Рис.
23.
где
о
-
единичный
вен
т
ор
нормали
с
компонентами
(Е,
т,
о),
обра
зующи
й
с
осью
х
угол
а.
Используя
(1.9),
можем
записат
(1У.12)
lR
x
+
mН
у
=
О,
т.
е.
в
этом случае
(l?z
+ myz) k =
О,
отк
уда
'<раево
С
J
lовие
[;; +
m~
=
О.
(lV.1З)
Если
(х,
у)
координаты
точки
на
кривой
коп'!'
ра
се<fОПИЯ,
а
s
длина
дуги
контура,
то
по
НaIШОНУ
касат
ельвоii:
ау
ах
l=(i$;
m =
-(i$'
(IV.14)
Подставляя
ти
производные
и
(IV.9)
в
краевое
условие,
UО
J
IУЧИМ
.3!:...
dx
+
ах
..!!!L
=
о
дх
ds
ду
ds
ах
или
'"""ёf;"'
=
О.
50
Интегрируя
по
контуру
Х
= const
на
С,
(1
.1
5)
П
!
1
И
и
з
(1
.
8)
1
\1>
=
Т
(X
Z
+
у2)
+
const
на
С.
(IV.16)
в
случае
е
д
инственного
контура
всегда
стремятся
получить
реш
вие,
Д
rя
которого
постоянная
равна
нулIO.
Наша
задача
та
ким
образом
сводится
I<
нахождению
плоской
гармонической
фупт<
цип
\1>,
которая
на
контуре
принимает
энаqения,
заданн
ые
уравн
е
нием
(IV.16).
Такой
случай
часто
называют
<<первой
гармонич
СI{ОЙ
краевой
задачей
теории
потенциала».
Так
как
она
с
успехом
решена для
большого
числа
контуров
различной
формы
,
особое
внимание
в
этой
главе будет
уделен
о
мето
дам
решения.
В
проце
с
се
изложения
буду'!'
даны
решения
задач
для различных
счений.
32.
RРУТЯЩИЙ
:МОМ
.
ЕНТ
1\0
шонен
т
ы
напряжения
(IV.9)
могут
привести
}{
силе
и
паре
по
площади
S
сечения
(рис.
24).
Но
Х
= .
\?zd
=
f!'t
5 f ::
dxdy
= f!'t S
[Х
В
-
ХА]
dx
=
О,
•
т
а
к
I
{
аl{
на
контуре
С
ХВ
=
ХЛ
на
ОСНОlJанпи
(IV
.1
5).
Аналогично
У
=
О.
Таким
образом,
единствеНRЫМ
номпонентом
реЗУJIьтирующей
па
ры
будет
N = S
(;;х
- ?zy) dS.
(IV.17)
Вычислля
N
по
комполеН1
'
ам
ла-
пряжевия,
находим
величилу
't
и
таким
образом
форма
ьно
завер-
Р
ис
.
24.
хг
х
шаем
решение,
при
этом
иом-
пон
е
нты
I{асательного
напряжения
вычисляют
через
приложенвый
крутящпй:
момент.
Во
многих
случаях
удобно
вычислить
r
пепо
средствевво
из
фушщии
напряжетrй
Х
или
сопрюкеиных
фупкций
ер
и
\1>,
для
этого
соответственно
преобразуем
выражение
(1
.17).
Укажем,
что
прпвеJl,енныв
формулы
rrрименимы
к
расчету
полых
тр
б
под
д
йствием
крутящего
момента.
В
этом
СJIучае
могут быть
применевы
соотношения
(IV.9),
а
краевым
условием
(IV.15)
будет
ос
= const =
1.
,
яа
типовом
т,онтуре
С"
r =
1,
2,
3 ... ,
с
площадью
S "
наХОДflщемся
внутри
внешнего
контура
С,
00
t'OTOPOMY
1.
=
О
(рис.
25).
4*
На
основа
нии
(IV.9)
мы
lо
щем
написать
(IV.17)
в
виде
N = - f.1't'
(х
8Х
+
y~)
d ,
:S-
'
8х
ду
гд
S'
-
площадь
внутри
С,
но
вн
е
шняя
по
01'I~оruенИI
"о
нс
М
С,
-
,
т.
е.
соче
ни
е
.
алее
N = -
f.1'
.\
{
:х
(хХ)
+
:у
(УХ)}
d +
~I't
\'
2Уд
g •
и,
испо
rьзул
теорему
Грана
в
форме
(1.32)
приложения
1
получу
{
= -
f.1't
S
Х
(xdy - ydx) +
2J.L"t
r
Xd
. (JV.1 )
с'
S'
Н:риволиnейRЫЙ
пнтеграл
по
С'
выJIс-
л
я
ется
в
ПО
l
JOжительпом
паuраШI
IН1И,
т.
е
.
площадь
'
оста
'ГСя.
CJl
Б3
при
обхо
д
,
<онтура.
Таи
кан
С'
llКJlJочаст
н
ебя
С
н
ВС
С
Т
,
то
при
обходе
не
6,'0-
димо
переход
тъ от
ноптура
С
к
J\аilЩО
му
С
Т
И
обратно
на
С
по
~аJ{ОМ
пути
PQC
1
R
(рис.
25),
чтобы
дополшrте.1Ъ-
PIIC.
25.
ныс
ЧJlены,
возникающи
IJ
РОЗУ
J
Jътат
про
ож
де
вия
по
PQ
н
Л
вза111F10
уничтожались,
а
[,онтуры
С
Т
будут
обходиться
n
ОТРИЦlil.те:rЫIОА1
направл
ЮШ.
n
Таким
обра
зом
J =
.r
- ~
r·
С'
С
т
=
1
ё
т
На
основании
этого
(
IV
.18)
запи
ш
е~f
N =
2J.L't
r
r.,dS
-
f.1't
.f
Х
(xdy -
у
ах)
+
S'
С
n
+
f.1't
~
J
х
(xdy - ydx).
т
=
1
С
r
(IV.'l )
Ввиду
того,
что
Х
=
О
по
контуру
С
и
Х
Т
на
С
т
,
то
I(ри
во
линейвый
интеграл
примет
вид
Х
Т
j
С
Т
(xdy - ydx)
и
буде!
'
равев
(см.
п р
и
ложе
ни
е
1,
фор
мула
(1.32)
удвоенной
площади,
ограниченной
замк
п
тои
КРИВОЙ,
по
)юторой
он
берется.
В
l{онеч.ном
llиде
(JV.1
9)
n
N =
2f.1't
.r
'I.dS
+
211-'
~
xrS
r
•
В'
т
=1
В
СJlуч:ае
един
ственного
контура
С,
по
которому
00
=
о
52
N =
211-';
J
XdS.
s
(
IV
.20)
(IV.2i)
ДРУГОЙ
в
ариа
п
т
Форму.
1J
Ы
(IV.17)
ПО
У'lИМ,
И
СПО
J
IЬ
ЗУ
Н
(1 .
5)
и
теорему
Грина:
N =
!-L't"
(х
2
+
у2
+
Х
:
\Р
-
у
::)
dS =
5'
У
=
~1't"[J
- }
{:х
(Y(j)
-
:у
(X(j)}d ] =
=
!-L't"[J
-)
(j)(XdX
+ YdY)j.
где
'J
-
по
лн
рный
момент
инерции
сечения
относительно
начала.
Та1<
ка)(
,~
= +
ех
2
+
y'l.)
+ const
на
С
,
d'l) =
xdx
+ ydy
на
С,
то
n
N =
!-L
't"
[J
- J
(j)d1j>
+ i
.r
(j)d1j>]
.
С
r= 1
С
Г
(1 .22)
33.
ТР
ЕКТ
ОРИИ
КАСАТ
ЕЛЬН
ЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
В
дюбой
то
чк
е
тела
р
езульт
ирующая
]
,
аса
тель
ног
о
наuряж
·
'
НИЯ
оп
р
деШI
ТС.fl
нан
1
q = (
?z2
+
У;2)
2
.
(1 .23)
та
р
ЗУЛИ
ИРУIOщал
б.
дет
насательной
J(
крив
ым
(см.
26.
По
лу
обратный
метод),
ДЛЯ
ноторых
llыnолннетсл
услови
(1
.1
3),
J1,
r
довзтель
но,
у
р
ав
н
ение этих
кривы
х
или
"
р
а
(~
т
О
р
И Й
н
а
с
<1
Т
.1(
Ь
и
ы
х
н
а
n
р
я
щ
н
и
й
б
уд
l'
иметь
шщ:
Х
(
х,
у)
=
соп
t.
(1
.2
4)
На
основании
(IV.15)
о
д
ной
из
эт
их
к
рпвы
.
'
будет
1\ОНТУР
се
ч
лия.
Можно
понаЗ[lТЬ,
ч
т о
реЗУЛЬТИРУJOщаfJ
K[lCaTC
J
lbHOTO
наllРЯ
щен
ия
принимает
МCiI
има
/ьно
значе
ни
по
::>1
'
ОМУ
контур
*.
Т
n
р ь
найде
f
реш
ния
ДJIЯ
раЗЛИ1ШЫХ
сечений,
и хая упоми
на
(ось
выш
е,
онн
будут
к
лас
сифицироваться
в
зависимости
от
хараl
тера
ира
вой
задачи
.
0
'1'.
1
т)~M
таюн
,
что
реш
НИЛ
о т в ечаr
т
принципу
ен-
снана.
ЗIt.
РЕШЕНИ
Я
ПРИМЕНЕНИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОИ
ФУНКЦИИ
П
ОЛИ
НОМИАЛЬНОИ
ФОРМЫ
Действи
те
ьпан
и
l\ШИМА.fI
части
любой
фующии
КОМПJI
СJ\С
IIОI
'
перем
енн
ого
z =
х
+
iy
УДОDЛ
тВорЛ1ОТ
уравнение
Лапласа
(с
м.
форм
л
(2.8)
ПРИЛОiJ\еюtн
2).
Если
ВОЭЬМ
М
ПОJНШОМ
о
т
носи
т
';I
b-
*
C1
1
.,
наприм
ер:
Н
.
И.
М
У е
х
JJ
И
Щ
В
IJ
Л
Н
.
Некоторые
OCBOIНlbll
'
заД8<m
м
ате~t8Т!t'lееI{ОЙ
т
ории
упругости.
М
.,
И
эд-nо
АН
СССР,
1954.-
ПРШtl..
р
еВ.
53
по
z
степ
ни
n,
можно
образовать такие
полиномы
относительно
х
и
у,
которые
будут
удобны
ДЛЯ
решеНlIfl
гаРМОllIJЧ'
кой
краевой
задачи.
НеСI<ОДЫ,О
простых
выражений
можно
получить
ИЗ
функ
ЦШI
ZN
при
n =
О,
1,2,3
lШИ
4:
x
t
-
у2;
ху;
х
3
- 3
ху2;
3х
2
у
_
уЗ;
:l'У
(х
2
-
у2);
x~
_
6х
2
у
2
+
yl.
Ниже
рассматриваются
сеч
нnя,
соответствующие
Т11КИМ
формам
Ф
ЮЩИ11
'1/1.
Круг.
Пусть
'1/1
=
~
а
2
и
Х
=
~ (а
2
_х
2
_
у
2)
обращаются
в
нуль
на
контуре.
Касательные
составл
лющис:
из
(I
.9)
из
(IV.17)
х?
~
-/l''СУ,
у?
=
~t'tx;
=
It't
J
(х
2
+
у2)
d = Il'tJ.
s
(1
.25)
(I
.26)
ел
доnател
ьно
относите
lЬвыii:
yrOJ[
заl<ручивапия
't
опре
ДС.
1Я тсл
тим
уравнением
ДJIЛ
любого
крутsтщ
го
мом
нта
уммпруя
у
yi
f'j
8z
)(г
х
компопевты
(1".2. ),
находим,
что
в
точн
Р
результирующан
q
i\асатеJIЬНОГО
uапряжепил
направлена
по
J
асатеJlЬНОЙ
н
от
РУilШОСТИ
ра
ди
са
г
(рис.
~6).
Nr
q = I,
L'tr
=
у.
(1
.27)
Это
находится
u
соответствии
с
обычным
рс
ЗУЛЫ'атом
*,
по
важно
имет])
ввиду,
что
только
для
круговых
сечений
пол
чаем
р-
Ри
с.
26.
шения
в
таIЮЙ'
простой
форме.
Так
кан
<р
=
О,
депланацил
сечения
отсутствует.
Эл
юш
с
.
Пусть
;эллипс
с
полуосями
а
и
Ь
11
Ц
нтро
{ D
пача
JI
ноординат
располагается
симметрично
относительно
осей
КООР
диват
.
Возьмем
'1/1
=
А
(х
2
-
у2)
+
В.
(1
.2)
Тогда
Х
= (
А
- + )
х
2
-
(А
+
-+
)
у2
+
В
.
х2
уЗ
та
величина
будет
равна
нушо
на
I{ОНТУР
-а::
+ 7 -
1,
сли
А=
*
См.,
наПРl1мер:
Н.
{.
Б
е
л
11
е
8.
СОUРОТ
IJ8
ЛСUНС
~taтер
на
ЛО8.
М.,
Гос
IIJдат
технико-теоретической
J
шт
сратуры,
1951,
СТр.
J 93. - П
рu.ч.
реВ.
54
При
:этом
а2ь2
{
ж9 уЗ
}
ос
=
а
2
+
Ь
2
1 -
а2
-
Ь
2
•
1
рутящий
момент
определим
из
формулы
(IV.21)
1tf.L'tаЗЬ
~
=
а
2
+
ь2
.
Так
как
в
этом
случае
q>
+
i1jJ
=
А
iz
2
+
iB,
фующия
напряжений
будет
q>
= -
2Аху.
И
,
наl{Qнец,
I
(асателъные
напряжения
2J.L't"a
2
•
2f.L'tЬ2
xz=-
а
2
+Ь
2
у,
yz=
а
2
+Ь
2
х.
(IV.З1)
Результирующая
касательн
ого
напряжения
Д
стигает
маr(симума
в
точке
эллипса,
со
ответствующей
ег
о
малой
оси
и
при
а
>
Ь
2J.L'ta
2
b
lIрlm.имает
зн
ач
ение
а
2
+
Ь
2
'
(IV.29)
(
lV.
З
О)
у
Рис.
27.
Р
аВПОС1
~
ОРОНИuii
треуголыпш.
Для
треУГОJlЬВJша,
расположен
lIOrO
тю<,
J{aK
ПОIшзано
на
рис.
27,
напиЛl
м
следующее
уравне
ние
Т,ОlJтура:
(х
-
lt)
{
(х
+ 2h)2 -
З
у
2)
=
О.
llРllIlимая
.1
) =
~h2
__
1_
(х
З
-
З
ху
2)
получим
Х
=
~
h
2
_
't
3
6'~'
3
t 1 1
-
6h
(ХЗ
-
З
ху
2)
- 2
(х
2
+
у2)
= -
6h
(х
- h)
{(х
+
21~)2
-
3
у
2
)
.
ЛСВО,
что
для
всех
'
т
аст
й:
конту
р
а
эта
Из
(IV.21)
находим
крутящий
мо
{ент
в
ел
ичина
рав
на
нулю.
_
27f.L'th
4
-
5У3
(IV.32)
Тогда
но?шон
'IПЫ
I{асательного
напряжения
бу
д
т:
---.
u't
---.
IL
't
XZ=h
(x-h)y;
Y
Z=Тh{X
2
_
y
2
+
2h
x}.
(
IV
.ЗЗ)
Следовательно,
маl<симальное
зна ч
е
ние
результирующей
на
а
ТСJlЬНЫХ
нап
рmк
ний
соответ
с т
ву
ет
серединам
сторон
треуголь-
3
НИJ<а
и
СОС1
'
авляет
т
f.L"C
h.
35.
РЕШЕНИЯ
В
РЯДАХ
ФУРЬЕ
ПРЯМОУГОJ1ЫШК.
Пусть
стороны
ПРЯМОУГО
Л
ЪНИ1
<а
заданы
урав
н
пиями
х
= ±
а,
у
= ±
ь
(рис.
28). RpaeBoe
условие
для
'Ij1
,
Т.
.
'р
=
-}
(х
2
+
у2)
на
С.
В
соответствии
с
этим
коптуром
~>'
=
'р
- +
(х
2
-
у2)
-
Ь
2
=
у
2
-
Ь
2
па
С.
(IV.34)
55
Та
l(ИМ
образом
~'
=
О,
прич
м
у
о
а
ь
на у
= ±
ь
'Ф'
=
О,
}
а
а
а
х
= ±
а,
ЧJ'
=
у2
-
Ь
2
•
(IV.35)
--
0
,1-
--
-+
ь
--
Х
"---_1--_--1
Р
ешеm
ш
у
рана
вия
Лапласа
могут
б
ы
ть
получ
lIЫ
н
вид
произведения
фУНКЦИЙ
от
х и
у
пут
1\1
использования
метода
раз
дел
-
ния
лер
е
l
е
паых
(см.
прилож
ал
е
1 (1.44)).
В
соответствии
с
этим,
а
такж
е
L1след
ствие
си
lм
ет
ричвости
с
ч
ВlfЯ
отно
и
-
1'ельно
обеих
ос
й
*
,
С
Рис.
28.
'Ф'
=
~Aт
о
h
mxcosmy.
(IV.36)
П
рво
е
из
ус.ТJОВ
ИЙ
(IV.35)
требу
т,
чтобы
о
mЬ
=
О,
и
ли
mЬ
=
- (2n + 1)
~
, n =
О,
1, 2, 3 ... ,
а
второ
со
(2n +
i)
:ту
2Ь
(I
V:
7)
Это
усл
ов:и
может
бы
ть
до
вл
т
вор во
С
lJОМОЩЬЮ
гармонич
ского
ряда
Фурь
е
периода
4Ь
с
ВY
J
I
вой
четво
й
гармоникой
(см.
формулу
(1.40)
и
з
лрилож
ен
ия
1)
дл
я
функции
у2
-
Ь2,
где
-Ь <
у
<
Ь,
д
я
которой
коэффициенты
опр
Д
люо1'
'Я
И
З
BblPU
-
щ
е
ния
Отиуда
(2n +
1)
лу
2Ь
т
= (- 1
)П-I
3n2
.
~2
_""se---,
)l
,-m-:-a~
• (2n +
1)3
На
основ
а
нии
(1
.8)
и
(IV.34
)
(_1)П-'
(2n + 1)3
ау.
(IV.
Так
на"
'Х
=
О
по
С,
I';РУТЯЩИЙ
мом
пт
MOiН
Т
б
ыть
llайдсн
11
3
(J
.2
1)
.
r
1.6
Ь
3
=
!l
:t
-3-
а
-
,
00
tanh
та
]
(2n
+
1)
5 '
(IV.3~)
где
т
п
аЙДС~1
И
3
(1
.37)
.
..
13
работс
СОХрllЛСUЫ
старыс
оБО
,
lIYаче
uия
г
.
lluорБОЛIIЧССR(\
фУlllЩIIЙ
.
ПР
II-Ч.
ред.
56
Напря
жсния
югут
быть
полуqелы
из
приведеНElОЙ
выше
фор
My.lbI
для
Х
J{
иа
(lV.
9)
.
fаl<симаJIьпая
веJIичииа
реЗУЛЬТИРУIOщеij
ка
ат!.>
'ьного
папряж
11111'1
оотв
тствует
середине
больrnеii
сторо
ны
прямо
ГОЛhllика,
паприм
р
2а.
и
опрсделяется
быстро
сходя
ЩИ
.
I/ея
рядом
[
ОС
!'щ:ll
(2Тl
+ 1)
~
]
16~ITb
n~
...
2Ь
~
-8-
~
(
2n+
J)~
.
о
ДЛЯ
'J
I
чая
l<вэдраТIIОГО
с
ч
нил
был
DЫЧ1'l.СЛ
Н р
я
д
(lV.39)
и
ПО
J
IУ
-
9
q
па
ве
и'шпа
= T
I-'-Ta
4
,
а
маиспма
lьпо
е
значение
р
ЗУЛl>f\!
-
рующ
й
}{Э
31'
ЛЬНОГО
напряж
нил
ОК3ЗЭ
J
IОСЬ
приБЛИЖСП1JО
рав
ны
1
1,зsl-'--rа.
К1'Ор
I(руга.
ВыраЗИ~1
lIа'ШJlа
задачу
I,РУЧСНИЯ
в
полярны
х
]<оордиватэх.
Исполъз
я
(1.
7)
If
ри
. 26,
можно
записать
...........
..-...
'0 - -
rz + i8z =
е
-
1
(xz + iyz). (IV
.4.0)
Зам
IiИМ
Д
нартовы
J{ОМПОJ:l
вты
ПЗПРШl'ения
по
(I .
9)
J[
выразим
частные
прои"водuые
в
ПОJIЯРНЫХ координатах.
Тог
д
а
Краевым
усл
1
дХ
rz =
I-'-T-;:-
dO'
висы
будет
1
'1
) =
т
г2
+
оп
-
д
Х
8z
= -
fA.'t
т,:-.
(п
r
.
4.1)
t
ПО
контур
.
(1 ,42)
HOllfJaT
лъное
уравнение,
1
<01'
po~cy
УДОDЛ
творяет
Ф
нкция
'Ф,
будет
11М
ТЬ
вид:
d
2
ф
1
д
ф
1
д!
ф
dr2 +
-;:-
а;:-
+
7г
д82
= ,
(1
.4.3)
Д
,lЯ
1\ОТОРОГО
ущ
ствует
реш
ни
D
фор
1е:
'1
=
~
(Ащг
т
+
Втг
-
т
)
(С
т
со
'
те
+
О
т
sil1
те),
(1
.4.
[)
r
е
lIL -
ПРОИ
З
DОЛЬН8Я
в
ЛИ'ПJпа
(см.
формул
(1.1t6)
пз
прило
-
;t,
е
пия
1
).
IJ
'
ТЬ
Т
перь
1,0IlТУРЫ
с
ктора
заданы
у
р
аннеllИ
ЮIИ
е
=
-:-
а:
r =
а
n
по
агая,
'11'0
I<TOP
ИМ]I[етричен
ОТlIО
С
ПТС:IЬП
прнм
ujj
е
=
lI:1пише
t:
1 cos
28
( r
)Тn
Ч·
= "'"
,2
--2-
+
а
2
/
щ
-
со
.
тО
.
L.
со
а
.....
а
(1
.
15
)
t
По
1
,0IlТYPY
О
= ±
а.,
\1
= 2
г
2
при
С
та
=
О
IJЛI{
та.
= (2n +
1)
; .
(1 .
/(6)
57
По
иовтуру
r =
а
1 ( cos 26 )
~
""2
1-
cos2"
=
~
Атсо
тО
.
n=
!)
Этот
ряд
под
обеu
ряду
Фурье,
I{ОТОРЫ
Й
при
1
IiЯ
И
дл
я
прямо
угольника.
Коэффициенты
ряд
а
uайдем
из
выр
аil'
ния
А
т
= - r 1 -
--?
-
со
mOd8
=
1
а
( cos 20 )
(_1)n-
1
4
" d
со
~"
"т
(т
2
- 4)
(1 .4
7)
Сле
до
в
а
тельно
* =
...!.
r2
( cos 28 _ 1) +
4a~
~
(_
1)
"-1
(.!....)m
С
.
тО
(1
.4.
)
2
('оз
2"
"
~
а
т
(m
2
-
4)
•
n
=
О
а
кр
тящиii
мом
вт,
КОТОРЫЙ
MOi-I,(П
быть
н
аiiде
н
пепоср
ст
веиао
из
Oz.
опре
еляетс
я
Ji
a"
N =
\.
(гo~a
s
= +
lI.
а
4
[20: - tg
20:
+
3,,2
1]
(1\
4.9)
ч
r
rn
(т
- 2)
(т
+
2)~
. .
n=O
В
случае
по
лу
'
р
уга
~
= 0.296 f.I.a
4
•
36.
ПРИМЕRЕНИЕ
КОМПЛЕКСНОЙ
ЛЕРЕ
IЕННОй.
*
1
реш
пию
задачи
нручевия
можно
по
д
ойти
друпш
путем.
ес
IИ
выр
аз
ить
основны
е
уравнения
через
!{OMDJICJ,Cnble
ИООРДИ-
паты
z
11
:.
где
z =
х
+
iy'
z =
х
- iy.
(1
.50)
Сопряженные
гармониqесние
фУШЩИI!
ер
и
'Ф
также
задают
я
в
J
омплеисном выражении:
CJ)
(z) =
ер
+
i11'.
(
IV.51)
в
этой
связи
CJ)
(z)
обычuо
называет
я
l{ОМП
ЛtJi\С
JlЬШ
пот
IIЦИалом,
а
нраеное
условие
сво
д
ится
непоср
едс
тв
11110
'<
опред
л
IIШО
этой
Ф
ГПЩJПI
таиим
обра
з
ом
,
что
lНимая
часть
ПРИllпма
ет
з
пачени
е
-
~
(х
2
+
у2)
п
а
контур.
.rIед
ов
ател
ьно,
краево
условие
можно
за
писать
в
вид
е
CJ)
(z)
-
<1.-;
(
Z)
=
izz
+
011
t.
(IV.52)
*
Для
II
ЗУЧ
uяя
настоящего
р
аЗДС
J
,
а
со
вс
туо
м
'п,т
атеJJlО
озuаКО
МIIТЬ
СЛ
с
содержаuием
uри
ложе
штл
2.
58
Taf<
J.{aR
функция
00
(z)
может
быть
I(о~mлексной,
то
если хотят
1JОJ\азать,
что
00
(z)
есть
сопряженная
функция
номллексного
по
тенциала,
лад
ней
ставят
чеРТОЧI<У,
например,
если
00
(z)
=
ё:,2,
то
ffi(
z) =
-iZ2.
ПонаЖ6М,
что
компл
.
еJ<СНЫЙ:
потенциал
для
неl{ОТОРЫХ
из
рас
с
мотр
IШblX
контуров
имеет
простую
форму
и
получ
ается
из
(1
.52).
ОНlIако
главная
причина
такого
подхода
заключа
тея
в
том,
что
р
шеппе
прив
деппых
выше
задач
за
вис ело
от
зuавия
решения
уравпеШIЙ
Лапласа
и
умев.ия
их
применять
.
Н.
И.
МусхеШlllIВИ
ли
*
ПОRазал,
что
метод
I<омnлеl<СНОГО
перем
иного
при
Hel{O
-
торых
обстоят
льствах
может
привести
1{
общему
выражению
ГО~lDле(сного
потенциала,
соответствующего
даuно:му
I{pa
вому
УС
.
1JОВИЮ.
'
начала
поставим
задачу
в
ко
mлеI{СНОU
форм.
Нач:иная,
\'ак
и
рi1UЬШО,
с
компонентов
пер
еме
щений
и
напряжении,
запишем:
D =
и
+ iv;
Ч'
=
?z
+
{y~.
(IV.5З)
Из
(IV.2)
D = i'tzZ. (lV.
54)
Нел
льзуя
ураВllен:и.е
00'
(z)
=
~~
+ i
~~
,
на
основании
(IV.7)
'l'
=
I!'t
1
iz
+
(;)'
(z)] .
(1У.55)
КРУТЯЩИЙ
момент
выразится
в
следующеи
виде:
-
вещ
cT
BeНRM
часть
от
il!'t
.i·
{zool
(z)
-
izZj
d (IV.56)
s
И
:
Ш,
ИСПОЛЬЗУЯ
I{о~шлексную
фор~ry
т
оремы
Стон
с
а
(см.
формулу
(2.1
О),
при
ожение
2),
-в
ЩСС1
'
в
еI1Наяча
ть
0'1'+
~t't
S zzl2oo'
(z)
-
iz}
dz. (IV.57)
с
И~I
тея
два
способа
наХОiI<Дения
комплеl{СНОГО
потенциала. Здесь
рассмотрим
случай
простого
I{онтура.
А.
RОl\
IП
J
lекспо
е
уравпеЮlе
Iюнтура
ЗаВИСИlllOСТЬ
между
z
и
z
(компл
l
{CH
Oe
уравнение)
для
всех
1'0-
че!\
нонтура
получим,
подставляя
в
уравнение
I{онтура
в
декар
товых
1
оординатах
перемепные:
1 -
1-
х
=
т
(z
+
z);
у
= -
т
i
(z
-
z).
(IV.5 )
..
Н.
И.
1\1
у
с
х
е
л
II
Щ
n II
л
11.
Неl\Оторые
оснопиые
зада чи
ыатемаТIJ
чеСJ<оii
т
орни
ynpyroCTIJ.
М.,
Изд
-
оо
АН
СССР,
1954,
СТр.
283.
5
11