Годфри Д. Теория упругости и пластичности
Подождите немного. Документ загружается.
Это
выражение
можно
упростить
следующнм
образом:
1 , - 1 - -
1-2v
р=
4(1-v)
{/(z)+z!
(z)}
+
2(1-v)
g(z)-
1-v
pW
.
(VI
.2
2)
Используя
это
равенство,
можно
получить
комбинации
напряж&
пий
е
и
Ф
и
комплексное
перемещение
D,
выраженные
через
две
функции
z,
которые
перепишем
в
виде:
!
(z)
= 8
(1
- v)
q>
(z);
g
(z)
= 4
(1
- v)
'\J
(z).
Так
что
F = 2 {
q>
(z)
+
Zqj'
(z)
+
'\J
(z)}
-
Тогда
из
(VI.20)
1-2v
1-v
pW.
(VI.23)
2f.LD
=
(3
- 4v)
q>
(z)
-
zq>'
(Z)
-
;р
(Z)
+ 2
~1-_2:)
pW, (VI.24)
а
для
комбинаций
напряжений
на
основании
(VI.16)
и
- -
р
aw
е
= 2 {
q>'
(z)
+
<р'
(z)}
+
1=v
дZ
1-
2v
1-v
OW
р-
-
-
.
Oz
(VI.25)
(VI.26)
Решение
частных
задач
в
условиях
плоской
деформации
потре
бует
нахождения
таких
двух
комплексных
поте
нциало
в
q>
(z)
и
'i' (z),
чтобы
результирующие
компонентов
напряжен'Ий
и
пере
мещений
удовлетворяли
требуемые
контурные
условия.
При
обес
печении
равновесия
повсюду
может
воз
никнуть
необходимость
нахождения
ре
зультирующих
сил
и
моментов
по
все
ry
JЮНТУРУ
или
его
части.
В
обоих
случаях
целесообразно
выразит
ь
упомя
нутые
величины
через
комплексные
потенциалы
.
49.
К
РАЕВЬШ
УСЛОВИЯ
А.
Напряжения,
заданные
на
I(OnТ
уре
Вектор
напряя{ения
по
элементу
контура
в
состоянии
плоской
деформации
(см.
рис.
23)
будет
иметь
компоненты
;;n
и
;;;.
Будем
предполагать,
что
они определяются
на
контуре
каким-либо
внеш
ним
наложенным
усл
овием.
На
основаНИ'И
равенств
(1
.31)
эти
КОlошоненты
можно
выра
зит
ь
в
форме
комплексной
комбива
ции
;m
+ i
;;;
= +
(8'
+
ф'),
или
из
(1.33)
---. ---. 1 2ia
nn +
ins
=
2(6'
+
Ф
е-
).
(VI.27)
90
Правая
часть,
которую
Ibl
хотим
выразить
череа
комплексный
по
тенциал,
должна
выtJ'Исляться
по
контуру
С.
Так
как
z =
х
+
iy,
Oz
дх
.
ду
23)
то
-=
-д-+
t
-д-
'
и
(см.
рис.
s s s
Oz
.
+.
.
ia
'дS
= -
lD
c:t
t cos
c:t
=
(е
•
(VI.28)
Из
сопряженной
фующии
получим:
д:
.
-ia
-as=-
ze
.
(VI.29)
д;.
УМВОЖИМ
(VI .2
7)
на
ав:
2
(
-
+ .-)
д:
д:
+
ф
-2i(%.!a
t>:JO
Oz
Ф
о;
nn LnS
ifS
=
ifS
е
le
=
о
-as
-
-as
=
(на
основз-
нии
VI.16).
(V
I.3
0)
Интегрируя
по
контуру,
полyчn
1
•
F = 2
(nn
+
ins
-
ри)
ifS
ds + const.
J
.
----
-
д?;
(VI.31)
Без
учета
объемной
силы
на
осповании
(VI.2З)
будем
иметь:
•
<р
(z)
+
zij}'
(Z)
+
'ii
(z)
= s
(М
+
iШ)
::
ds + const =
о
=
11
+ if2
по
С.
(VI.32)
Отметим,
что
в
этом
уравнении
/1
и
12
бу
д ут
функциями
тольно
от
z,
потому
что
z
можно
исключить
с
помощью
контурной
нри.вой
С.
Б.
Заданное
оеремещение
Мы
уже
полу'IИЛИ
перемещение,
выраженное
через
ко:t.mлексные
потенциалы,
так
что
из
(VI.24)
(VI.33)
на
контуре,
где
k' = 3 - 4\'.
(VI
.З4)
Далее, если
отсутствуют
объемные
силы,
то
k'<p
(z)
-
z<p'
(z)
-
~
{z)
=
2/-L
(К1
+
ig
2
)
по
с,
(VI
.З5)
где
К1
И
К2
можно
представить
в
виде
функций,
зависящих
только
от
z,
если
исполь
зовать
уравнение
контура
в
коъmлексной
фор
ме.
91
5
0.
Р
ЕЗ
У
Л
Ь
ТИ
РУЮЩИ
Е
С
И
Л
Ы
И
М
О
1ЕН
т
ы
П
О
I
в
туРУ
Рассмотрим
часть
A1B
1
контура
(рис.
46),
па
l{ОТОРОЙ
компо
ненты
вектора
напряжения
в
декартовых
координатах,
действую-
щего
по
элементу
ds
равны
;;t
и
уп.
Выразим
ревультиру1ОЩ
10
этого
контурного
напряжения
как
силу
с
компонентами
Х
и
У,
д
е
йствующую
в
точке
О
совместно
с
парой,
момент
которой
рав
ен
у
у
>-
N
Х
О
П1
~
n
_
пп
8,
о:
хп
ds
N.
Компоненты
силы
лучш
всего
вы
разить
в
форме
комплексного
соч
та
ния
через
КОllmопепты
нормального
и
касательного
напрmкевий:
В,,.....
.-...
Х
+
iY
= S
(хn
+ iyn)
ds
=
х
А,
х
Рис.
46.
А,
В
,
_
..-....
.
= J (nn + ins) etads.
(VI.36)
А.
Используя
(VI.28)
и
(VI.30),
полу
чим:
В,
Х
+
iY
= - _1 i S
{BF
+
2рИ~
}
ds =
2 ds
Bs
А,
В,
1 . [F)B. .
j'
PU
Bz
ds
=
-21
А,-!
дs'
А,
и
л
и
на
ос
нов
ан
ии
(V
I , 23):
Х
+
iY
= - i
[<Р
(z)
+
zqJ'
(z)
+
'"
(z)
-
1 - 2"
pw]B
1
_
1-"
А.
В
•
-
- i S
PU
;:
ds.
(VI.37)
А,
Без
учета
об
ъ
емных
с
и л
Х
+
iY
= - i
[
<р
(z)
+ z
~'
(z)
+
;jj
(Z)]~:.
(VI.38)
Момент
N
опр
едел
я
етс
я из
в
ыражения
В
•
..-....
..........
N = S
(ху
n
-
ухn)
ds,
(VI.39)
А
,
н
оторое
можно
в
ы
р
азит
ь
н
а
к
ве
щ
ествевиую
част
ь
к
о
мпле
к
сной
фУНRЦИИ
[
В,
_
........
____
д
~
]
N =
Re
- 1 z (nn + ins)
д:
ds .
92
Исполъsуя
(VI.30),
получим:
N = Re { - +
l'
z· {
::
+
2ри
;; }
ш}
=
= Re{-
f'
:,
{ZZ
qJ'
(i) +
z
ф
'
{i)
-
OO(
z)} ds +
f'
ри
::
ш},
А,
А.
г
де
'Ф
(z) =
0'
(Z
).
(VI.40)
ОJ{
о
нчат
е
льно
в
,
az
N = Re
[0
(z) -
z
ч>(
z
)
-
zz
<p'
(z)]~:
+ S
ри
---as
ds
.
(VI.41)
А
,
5t.
ОБОБЩЕННОЕ
ПЛОСКОЕ
НАПРЯЖЕННОЕ
СОСТОЯНИЕ
При
пр
а
ктическом
использовании
условий,
определяющих
плос
кое
напряженное
состояние
и
плоскую
деформацию,
могут
возник
ну
ть
некоторые
затруднения.
Например,
при
решении
вадачи
плоской
д
е
формации
тот
факт,
что;;
=
'V8
(VI.19),
означает,
что
по
конца
1:
цилипдра
(рис.
45)
должны
действовать
нормальные
напряжения
такой
величины,
чтобы
волокна
вдоль
оси
Z
не
из
меняли
своей
длины,
поскольку
принимается
w =
о.
Можно
ожи
дать,
что
в
большинстве
практических
задач
эти
грани
будут
с
вобо
дn
ы
от
напряжений,
так
что
целесообразность
формального
р
е
ш
е
П1fЯ
бу
де
т
огр
а
нич
на.
В
случ
а
плоского
напряженного
состояния,
несмотря
на
упро
щающи
допущения
(vI
.2),
задача
остается
трехмерной
и
остальные
J{омпонепты
напряжения
являются
функциями
от
z,
Z,
Z.
Это
об
с
тоятель
с
тво
нес
.
КОЛЬКО
затрудняет
полное
решение
необхоД1D1ЫХ
у
равнений
.
Файлон
*
предложил
способ,
позволяющий
преодолеть
эти
т
р
у
дности
для
случая
нластинки,
в
предположении,
что
верхняя
и
нижняя
грани
пластины
Z = ± h
свободны
от
нанряжеllИ.Й
и
только
KOМnOHeвт
?z
должен
быть
равен
нулю
по
всему
объему
тела
.
Е
сл
и
в
то
же
вр
е
мя
Iшr.rпонепты
напряжения
усредняются
по
всей
толщине
пластины,
то
между
решением
этой
задачи
и
ре
шение
{,
уще
полученным
для
случая
плоского
напряженного
со
стояния,
может
быть
проведена
апалогия.
•
L.
.
G.
F i 1
оп,
Phil.
Tr
ans.
Ноу.
Soc., vol.
201
(190
3
).
93
Обобщенное
ПЛОСI<ое
напряженное
состояние
определяеТ
СR
сле
дующими
условиями:
;;
=
о
по
всей
пластине;
! (VI.42)
ч'
=
О
по
граням
Z = ±
h;
потенциал
объемн:ых
сил
U
(z,
z)
везавЦСЮl
от
Z.
Р
ис.
47
1 h
Усредненный
комnопент
напряжения
11.
pq
=
~
J
pqdZ.
(VI.4.З)
-11.
Комбинации
усредн
енных
компонентов
напряжения:
eo
=
~+yy;
Ф
О
=
~
-
уу
+
2i"Xg
j.
(VI
.44)
1 h
где
80
=
2h
J 8dZ
И
фо
=
2h
5
ФdZ.
-п
(VI
.45)
-п
Среднее
комплексное
перемещение
. 1 h
D
o
=
U
О
+Ш
О
=2JI
I DdZ.
(VI.46)
-п
Изучив
влияние
этих
условий
на
основные
уравнения
(см.
47
.
Основные
уравнения
в
КОАшлексной
фор
{е),
мы
увидим,
что
опера-
д
д
..
ции
дх
и
ту
взаимозаменяемы
с
операциеи
усредпеnия,
и
от-
д
д
сюда
из
(VI.6)
операции
-д
и
-=
также
взаимозаменяемы
с
этой
z
д:
операцией.
Таким
образом,
принимая
среднее
знач
ние
функций,
входящих
в
(VI. 7),
получим:
д
JC\
дФо
t
ш
h
О
-=-
(uo -
2рИ)
+
-д-
+
-21
[т]
_п
= ,
д:
Z I
а
учитывая
второе
условие
из
(VI.42),
~
(80
-
2рИ)
+
дФ
д
о
=
О.
az
Z
(V1.47)
Далее, так
как;;
=
О,
из
(VI.12)
iJW
v
(aD
дУ>
)
эz=
--Т=V
д;-+
a"i:
.
Подставляя
это
выражение
в
(VI.11)
и
беря
среднее,
находим:
~
е
= 2
(aD
o
+ a
o
15)
1 + v
о
IA.
as
д:'
(VI.48)
14
Оl{ончательно
(VI.13)
принимает
вид
ФО
=
411
д~
• (VI.49)
az
Сравеение
уравнений
(VI.47) - (VI.49)
с
уравнениями
(VI.15),
(VI.17)
и
(VI.18)
показывает,
что
они
математически
подобны,
но
отличаются
тем,
что
были
использованы
средние
величиеы
для
обобщенного
плоск
.
ого
напряженного
состояния
и
(1-2\')
в
(VI.18)
заменяется
зеачением
~
+:
в
(VI.48).
Следовательно,
реш
ен
ие
уравнений
обобщенного
плоского
напряженного
состояния
будет
того
же
вида,
что
и
реш
ение
для
уравнеНИ'Й
при
условии
плоской
деформации,
если
заменить
l{оэффициент
Пуассона
"
величи
-
1-\/
ной
а,
где
--
= 1 -
2а
или
1+\/
'
(1
-
а)
(1
+
,,)
= 1. (VI.50)
Таким
образом,
если
уравнения
составлены
для
средних
значений
J{Оlo
fПонентов
наПРЮRепия
и
деформации,
постоянная
k'
в
(VI.34)
будет
равна:
3-\/
k =
3-4a=
1+\/'
(VI.51)
Т
ем
не
менее
необход
имо
заметить,
что
все
задачи
настоящей
главы
относятся
к
плоскому
напряженному
состоянию
.
Для
удобства
индекс
О,
обозначающий
среднее,
не
будем
применять
для
е,
ф
и
D,
но
при
этом
будем
считать,
что
они
обозначают
Rомбинации
средних
номповевтов.
Поэтому
итоговые
уравнения
обобщенного
п
лос
кого
напряжен
ного
состояния
будут
и
feтb
вид
:
F = 2 {
q>
(z)
+ z
q>'
(z)
+
'P(Z)}
-
\-=-2:
pW;
21lD
=
kq>
(z)
-
zq>'
(z)
-
ч'
(z)
+
2\;
~:)
pW;
- -
р
aw
е
= 2 {
q>'
(z)
+
<р'
(z)
} +
--т=-о
--az-
;
~
(V
I.52)
- - - - 1 -
20'
aw
Ф
=-
2
{z
q>"(z)
+
~
)
(z)
}+
1-0'
р
a"'i
•
Из
этих
уравнений
видно, что
в
случае
отсутствия
объемных
сил
КОАfПоненты
напряжения
остаются
такими
же
для
данной
зада
чи
и
в
случае
плоской
де
формации,
и
в
слуqае
плоского
напряжен
н
ого
состояния.
Однако
перемещ
ени я
,
а
следовательно,
и
деформа
ЦИИ,
будут
различны
в
зависимости
от
того
,
какая
постоянная
(k'
или
k)
входит
в
выражение
для
п
.
Выводы,
касающиеся
нраевых
условий
и
результирующих
напряжений
по
контуру
(см.
49.
Краевые
условия.
50.
Резу
льти-
95
рующие
силы
и
моменты
по
ROHTYPY),
сохраняют
силу
и для
рас
смат
риваемого
случая.
Из
этих
уравнений
и
условий
предполагается
найти
решения
дл
я
HeRoTopыx
праRтич
еСltи
важных
задач,
при
этом
главное
вни
мание
будет
уделено
нахождению
двух
номпленсных
потенциалов
ер
(z)
и
'"
(z),
Rоторые
удовлетворяют
RpaeBNe
условия
задачи.
С
помощью
простых
фУННЦИЙ
решается
обширный
RPYf
задач,
например,
может
быть
использован
TaR
называемый
метод
попы
TOR.
В
этом
методе
сначала
принимается
неRоторая
подходящая
форма
фУВRции
RомплеltСНОГО
потенциала,
содержащая
неопреде
ленные
Rоэффициенты.
Затем
их
определяют
тани
f
образом,
чтобы
удовлетворить
RpaeBNe
условия.
Приведенные
ниже
примеры
иллю
стрируют
два
подхода
к
решению
I{раевой
задачи:
известные
lюнтурные
напряжения
приводятся
в
соответствие
с
напряжениями,
вы
численными
на
основании
пробных
номплеl{С
выx
потенциалов;
краевое
условие
(VI.31)
или
(VI
.3
2)
уДовлетворя.ет
подхо
д
ящий
подбор
неопределепвых
коэффициептов
.
Более
сложные
случаи,
ногда
трудно
задать
начальную
форму
Rомплеl{СПОГО
потенциала,
бу
дут
решены
с
помощью
разработан
ного
МусхеJIИШВИЛИ,
прямого
метода,
в
котором
комuлеltсные
по
тенциалы
могут
быть
найдены
непоср
дс
твенно
из
RpaeBoro
условия.
52.
прямо
у
г
ОЛЬНАЯ
ПЛАСТИНА
Рассмотрим
прямоугольную
пластИllУ
со
стороны
2а
и
2Ь,
толщина
которой
равна
2h
(рис.
48). R
концам
х
= ±
а
приложены:
v
о
Ь
Ь
о
)(
различные
пагрузки;
определяется
Z
~r
I]h~
_
.
~
,
система
результирующих
папряже
-::._
пий
при
условии.
что
объемные
си-
лы
равны
нулю.
Сле
дуе
т
заметить,
что
в
этом
случа
должен
быть
при
мепен
принцип
Сеп
-
В
нана,
причем
решеаия
не
будут
иметь
силы
для
то-
Рис
.
48.
чен,расположеппых
близко
от
ковцов.
А.
Всесторопнее
растяшенпе
1
Примем
ер
(z)
=
т
Tz,
'Ф
(z)
=
О,
(VI.53)
так
что
из
(VI.52)
е
=
2Т,
Ф
=
О,
или
хх
=
уу
-
т
I{
ХУ
=
о
l'
(рис.
49).
Компоненты
перемещений
составят
и
=
Е
(1
-
\1)
х,
V =
'г
Е
(1
-
\1)
у.
96
Б.
Одноосное
растлженuе
нод
угло~(
а
R
оси Х
Прпмем
( )
1
Т
.1
, ( ) 1
Т
-
2i
a.
<р
Z
=""4
z,
'1' z = -
т
ze
.
(VI.54)
То
ща
е
=
Т,
Ф
=
Те
2
ш
и
по
рис.
23
получим:
f =
;;;
+
'ss
=
Т;
/
Т
у
м
(-+--=О,--+--",--+-+-
_
Р
ис
.
49.
Рис.
50.
Рис.
51.
Таним
обраЗОhf,
nn =
Т,
;s
=
;;
=
О,
что
дает
требуемо
напря
женное
состокпие
(рис.
50).
Если
а
=
О,
то
компоненты
перемещ
е-
т т
ния
и
=
Е
х,
v = -
Е
vy.
В.
Чистый
изгиб
Пр:пмем
<р
(
z)
= Az
2,
'/>
(z)
= BZ 2
И
выберем
коэффициенты
А
R
В
ТЮ(
чтобы
концы
у
= ±
Ь
были
свободны
от
напряжений
(рис
.
51).
На
осповаlШИ
(VI.
3)
и
(VI.52)
......
- 1 - - -
уу
+ ixy =
Т
{8 -
Ф}
=
<р'
(z)
+
<р'
(z)
+
z<p"
(z)
+
'/>'
(z)
=
= 2
(А
+
В)
z + 2
(А
+
А)
z.
(VI.55)
Таким
обра
з
ом
уу
и
ху
обращаются
D
нуль
по
всей
пластине
при
А
+
Х
=
о
и
А
+
В
=
О,
что
будет
иметь
место
при
А
= iC
и
В
=
-
iС,
где
С
-
вещественная
величина.
Напряжение
по
сечению
х
=
а
балки
может
быть
найдено
из
со
отношения
............
i -
---
хх
-
ixy
=
Т
{8
+
Ф
}
=
<р'
(z)
+
<р'
(z)
-
z<p"
(z)
-
'/>'
(z)
=
= -
8Су.
(VI.5
6)
7
.N
.
Е.
Р
.
ГодфРII
97
Пусть
Af
-изгибающий
момент
(В
:JTOM
случае
не
относительно
оси
у)
.
Тогда
b~
М
= S
xx21Lydy
= -
SC
J,
-ь
4
где
1 -
момент
инерции
сечения
отпосителыIO
OZ
= 3"
ЬЗlt.
И
наI>онец,
комплексные
пот
нциалы
примут
вид:
(
)
iM
. z ( )
iM
~
<р
z = -
lfГ
z ,
'ф
z =
8г
z-.
(VI.57)
ИЗ
(VI.56)
вытенает,
что
единствеnным
не
равны
f
ву
по
I>
OМJIOI1
н
T01l1
будет
~
Му
ХХ
=
- 1-
(VI.5 )
Ясно
,
что
это
решение
находится
в
соответст
вии
с
выводами
гл
.
III
.
Г.
Изгиб
со
CДBOГO~(
Покаже:м
другой подход
к
р
шению.
При
f {
<р
(z)
=
Az~,
(
1.59)
а
затем
найде
1
'ф
(z)
таlШМ
образом,
чтобы
концы
у
= ±
ь
были
свободны
от
напряжений.
В
соответ
твии
с
тахим
у
ловием
из
(vJ
.32)
следует,
что
'ф
(z)
= -
(jj
(z)
-
z<p'
(z).
(VJ.60)
Реш
нием
этого
уравнепия
является
z = z ± 2 ib,
что
в
свою
оче
р
едь
являет
я
комплеJ{СНЫМ
уравнением
прямых
у
= ±
Ь
.
Под
ставлян
(VI.5
9)
в
(VI
.6
0),
получим:
для
ирая
у
=
ь
'ф
(z)
= -
А
(z
-
2ib)3
-
(z
- 2ib) 3A
z
2 = -
(3А
+
А)
Z3
+
+
6
(А
+
А)
z
2
ib
+ 12Azb
2
- Aib
a
;
ДЛЯ
края
у
=
-
Ь
'\1
(z)
= -
(3А
+
..4)
zЗ
- 6
(А
+
.4)
z
2
ib
+ 12Azb
2
+ Aib
3
•
Надлежащий
результат
получим
(без
учета
постоя:нrrоii
,
которая
не
оказывает
влияния
на
напряжения),
если
поло)юать
А
+ -=
о
или
А
= iC
при
вещественном
значении
С,
а
1\1
(z)
= - 2iC
(zэ
+
6zb
2
).
1.61)
Используя
(VI.56),
найдем
J{омповенты
напрящ
ния
по
ечепюо
х
= const:
;х
= -
24Сху
,
;у
= -
12С
(Ь
2
_
у2).
(V
I.62)
I
Т
е
п рь
м
ы
моа,ем
опре
д
л
ить
результирующую
СИЛЫ
и м
о~
r
е п
та
п
с
е ч
пию
х
=
l.
Tal<,
компоненты
результирующей
силы
со
та
вят:
и
"
,
w
Ь
Х
= - 24Cl
.r
21
~
ydy
=
О
-1>
ь
У
= -
'
12С
f
(Ь
2
- y2)2hdy = -
24
С
1
.
-Ь
W{
~
__
--tt--
_X
, -
-'-
- ,I W
Р
IIС.
5:1.
Р
ис
.
53.
Р
ис.
54.
Для
то
г
о,
ч
т
о
б
ы
по
л
учить
ра
с
п
р
Д
е
пие
сил
,
показанл
о
на
ри
с
.
5 ~
,
П
О
.l0
~
ЮШ
W = 24.CI.
Изгибающий
момент
в с
чеюш
ь
л!
= -
24Сх
S
y2hydy
= -
24Cl
x = -
Wx
-
Ь
р
ав
е
н
нул
ю
в
сеч
е
нии
х
=
О
и
-
Wl
при
х
=
1.
Н
а
(}тоН
тадии
наш
р
е
mени
не
вполне
соответству
т
случаю
И О
1:I
С О
Л
If
(р
ис
.
52),
однано
такое
оответствие
мошет
быть
достиг
нуто
,
ел
и
д
обавим
решение
д
л
я
чистого
изгиба,
когда
момент
ра
в
н
1 - Wl.
Тогда
момент
заще
шенин
в
х
=
О
составит
Wl,
пол
ны
и
u
з
г
иб
а
тощий
юмент
па
расстоянии х
будет
W
(1
-
х),
а I<OМDO
н
н
ты
н
а
пряж
НИЯ
получим
из
(VI.58)
и
(VI
.
62)
в
виде:
~
=
W/
(l -
х)у,
:;-у
W
(Ь2
уЗ)
2г
- .
(VI.63)
53.
РЕШЕН
ИЯ
Д
11
ОБ
ЛАСТЕ
И
с
КРУГЛЫМИ
КОНТУРАМИ
I\омп
о
н
нты
напряжения
и
пер
мещенин
выразим
в
ПОЛЯРfJЫХ
коор
д
ин
а
тах
Г,
е
(рис.
53),
где
х
=
г
cos
е,
у
= r in
е
( I.64)
и
i8 - - i8
% =
ге,
z =
ге
.
(VI.6 )
99