Федченко Г.М. Лекции. Численные методы
Подождите немного. Документ загружается.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Очевидно, за границу относительной погрешности можно принять
отношение предельной абсолютной погрешности к модулю приближенного
значения величины:
(a) = , (a0). (2.3)
Формула (2.3) связывает абсолютную и относительную погрешности.
Из нее, в частности, следует важное соотношение:
(a) = |a|(a).
Зная относительную погрешность (a), можно получить границы для
точного значения:
a= a(1 (a)).
Относительную погрешность часто выражают в процентах:
(a) = 100%.
Верхняя граница относительной погрешности как и верхняя граница
абсолютной погрешности не единственна. Везде далее мы будем
использовать границы погрешностей и для краткости называть их
относительная и абсолютная погрешности приближенного значения. Как и
абсолютную погрешность, относительную погрешность записывают с
одной-двумя значащими цифрами и округляют при необходимости с
избытком.
Пример 2.3. При 3.14 можно принять (a) = 0.002. Тогда относительная
погрешность
(a) = = 0.00064 = 0.064%.
Заметим, что при фиксированном (a) относительная погрешность
тем меньше, чем больше модуль приближенного значения величины.
159
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
2.3. Десятичная запись приближенных значений чисел
Форма записи приближенного значения числа в виде a (a) не
всегда удобна. Целесообразно установить такой способ записи, который бы
позволил по десятичной записи числа определить абсолютную погрешность
приближения.
Пусть приближенное число записано в виде десятичной дроби:
a = ….…, т.е. (2.4)
a = 10+…+ 10+ 10+ 10+…+ 10.
Определение 2.7. Значащими цифрами десятичной записи числа называется
все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 2.4. В числе 0.0103 три значащие цифры (выделены), в числе
0.0103000 – шесть, в числе 1030 10– четыре.
Если же необходимо показать, что у числа 4000000 только два
значащих нуля, то это число следует записать в виде произведения 400·10,
или 0.400·10. Последняя форма записи называется нормализованной.
Определение 2.8. Значащая цифра в десятичной записи приближенного
значения числа называется верной (верной в узком смысле), если абсолютная
погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда,
которому принадлежит цифра .
Определение 2.9. Значащая цифра в десятичной записи приближенного
значения числа называется верной в широком смысле, если абсолютная
погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому
принадлежит цифра .
Таким образом, в десятичной записи (2.4) числа a цифра – верная в
широком смысле, если (a) 10, цифра – верная в строгом смысле, если
(a)pp0.5pp10, kp=pm,p…,p1,p0,p–1,p…,p–n.
Пример 2.5. Верная цифра может и не совпадать с цифрой соответствующего
разряда точного значения числа. Так a = 1.00000 является приближением
величины a= 0.99999 с точностью (a) = 0.1p10, причем все цифры числа a –
верные.
Определение 2.10. Цифры в десятичной записи приближенного значения
числа, не являющиеся верными называются сомнительными.
Количество верных значащих цифр числа тесно связано с его
относительной погрешностью: если приближенное число a имеет n верных
160
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
значащих цифр, то относительная погрешность
(a) , где – первая значащая цифра числа. (2.5)
Для решения обратной задачи – определения количества верных
значащих цифр числа, если известна его относительная погрешность – верно
следующее: если
(a) , (2.6)
то число a заведомо имеет n верных цифр.
Если приближенное число a имеет n верных цифр в широком смысле,
то оценки (2.5), (2.6) следует увеличить в два раза.
Пример 2.6. Если число содержит три верные цифры, то его относительная
погрешность не превышает 10=1%. А для того, чтобы число содержало три
верных значащих цифры, его нужно вычислять с относительной
погрешностью, не превышающей 10.
Правило. Приближенные числа принято записывать в виде a= a (a),
указывая в записи a и (a) одинаковое число цифр после запятой. Если число
a приводится без указания погрешности, то принято считать, что все цифры в
его записи верные.
2.4. Округление чисел
Округление – это замена числа приближением с меньшим
количеством значащих цифр. Если a – результат округления числа a, то
абсолютную величину разности | a– a | называют абсолютной
погрешностью округления. Округление отсечением состоит в простом
отбрасывании лишних цифр. Минимальную погрешность округления дает
округление по дополнению.
Правило округления чисел. Чтобы округлить число до n значащих цифр,
отбрасывают все его значащие цифры, стоящие справа от n-ой значащей
цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов (в случае целого
числа), заменяют их нулями. При этом:
1. если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые
цифры остаются без изменения;
2. если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но
среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последнюю
оставленную цифру увеличивают на единицу;
3. если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные
отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая
цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на
единицу, если она нечетная (правило четной цифры).
161
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Очевидно, что при применении такого правила округления
погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного
разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой. В
исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине
единицы последнего сохраненного разряда, то для компенсации ошибок
округления используют правило четной цифры.
2.5. Контрольные вопросы и упражнения
1. Сколько верных цифр в числе x=12.396, если (x)=0.03?
2. Определите абсолютную погрешность приближенного числа a=0.896, если
относительная погрешность (a)=10%.
3. Определите, в каком случае качество вычислений выше a=0.684;
b=p7.21.
4. Сколько значащих цифр будут верными в числе a=2.7182 при (a)=1%.
5. Представьте числа 175.4, –3.169, –0.00874 в нормализованном виде.
6. (*) Выведите зависимости между относительной погрешностью и
количеством верных значащих цифр приближенного числа 2.5 и 2.6.
162
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:
2002.
2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии
вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.:
Финансы и статистика, 2002.
3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа,
2002.
4. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы.
– М.: Просвещение,1990.
5. Исаков В.Н. Элементы численных методов. – М.: Изд. центр
"Академия", 2003.
6. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Гл. редакция физ.-мат. лит-
ры, 1978 .
7. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое
обеспечение. – М.: Мир, 2001.
8. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.:
программирование численных методов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
9. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов /М.П.
Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – М.: Изд.
центр "Академия", 2004.
10. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование
MATLAB. – М.: Вильямс, 2001.
11. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. – М.:
Дрофа, 2003.
163
Галина Михайловна Федченко
Численные методы: Курс лекций
План университета 2005г.