Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

рацию необходимое количество раз для других моментов времени

(4T

т. д.) и, соединив плавной кривой отмеченные точки, получаем

()t



(рис. 11.28, а).

Нетрудно заметить, что реакция нелинейного элемента, характери-

стика которого симметрична относительно начала координат, оказыва-

ется симметричной относительно оси абсцисс. Ее разложение в ряд

Фурье содержит только нечетные гармоники.

Ограничившись учетом лишь первой и третьей гармоник, можно

записать выражение потокосцепления, кривая которого приплюснута

вдоль оси потокосцепления по сравнению

с синусоидой, в виде

)3sin()sin()(

ttt











При этом амплитуды гармоник легко найти так называемым мето-

дом двух ординат. Измерив в моменты времени

 зна-

чения

11 2 2

() и (),tt







можно записать

11 31

21 3 13

(/6) sin(/3) sin() 3/2;

( /4) sin( /2) sin(3 /2) .

mmm

mm mm

  





  

  

11 312

Отсюда 2/3, .

mmm



 

Напряжение на зажимах катушки вычисляется по закону электро-

магнитной индукции:

( ) cos( ) cos(3 ),

ut U t U t





 

113 3

где ,3.

mmm m



  



Появление в напряжении третьей гармоники позволяет использо-

вать катушку индуктивности (или трансформатор) в режиме насыщения

сердечника для утроения частоты.

Пример 11.9

Известно напряжение на зажимах нелинейной индуктивности

() cos( ).

ut U t





Определить i(t).

Решение

Найдем потокосцепление

() () sin( ), где /,

mmm

tutdt t U





 



а затем посредством отображения кривой

()t



относительно ВбАХ,

(рис. 11.29) построим зависимость i(t).

В данном случае реакция цепи i(t) на синусоидальное воздей-

ствие

()t



получается более вытянутой вдоль оси тока по сравнению с

синусоидой. Поэтому при аппроксимации этой кривой по методу двух

ординат ее аналитическое выражение следует записать в виде

( ) sin( ) sin(3 ).

it I t I t







Пример 11.10

ВбАХ катушки с ферромагнитным сердечником задана в виде пет-

ли гистерезиса.

Определить в условиях предыдущего примера ток.

Решение

После построения подобного предыдущему примеру окажется, что

кривая i(t) не проходит через начало координат, хотя и остается сим-

метричной относительно оси времени (рис. 11.30).



Если теперь разложить эту зависимость в ряд Фурье, то выяснится,

что первая гармоника тока

(),it

которая показана на рис. 11.31, а пунк-

тиром, отстает от косинусоиды напряжения u(t) на угол







Это означает, что в сердечнике

даже идеальной (с пренебрежимо

малыми потерями в обмотке) нели-

нейной катушки индуктивности

существуют тепловые потери за

счет явления гистерезиса, которые

должны быть отражены в схеме

замещения нелинейным сопротив-

лением (рис. 11.31, б). Это сопро-

тивление может учитывать также

потери на вихревые токи.







Пример 11.11

Дроссель, сердечник которого подмагничивается постоянным то-

ком

(управляемая нелинейная индуктивность на рис. 11.32, а), под-

ключен к источнику гармонического напряжения

() cos( ).

ut U t





Найти зависимость i(t) при различных значениях управляющего

тока.

Решение

Если для упрощения анализа пренебречь тепловыми потерями в

обмотке с числом витков

а также магнитными потоками рассеяния,

то нетрудно найти и переменную составляющую магнитного потока в

сердечнике дросселя:

11 1

() 1

() () sin( ) sin( ), где .

tutdttt

ww w w







    



При общепринятых допущениях схема замещения магнитной цепи

будет иметь вид, показанный на рис. 11.32, б.

В ней действуют две МДС – постоянная

000

IwF



и переменная

111

.FwI

В нелинейном магнитном сопротивлении протекает магнит-

ный поток, который может быть представлен в виде суммы двух состав-

ляющих

)()(

tt 

и который вызывает на этом сопротивлении

магнитное напряжение

м 01

.UFF





Вебер-амперная характеристика

сопротивления

()U



подобна основной кривой намагничивания ма-

териала сердечника





,BH

поскольку





UHl

(рис. 11.33). Зная закон изменения магнитного потока во времени, мож-

но найти зависимость

()Ut

посредством отображения Ф(t) относи-

тельно кривой

().U

Если

0,I 

то и

0.

Значит, при сравнительно небольшой

амплитуде



переменной составляющей

()t



магнитного потока по-

лучим близкую к синусоиде зависимость

()Ft

с малой амплитудой.

Если включить подмагничивание

(0),I 

то та же самая пере-

менная, составляющая

()t

, будет совершать колебания относительно

прямой

const,

а магнитное напряжение – относительно прямой

const.F 

При этом намагничивающая сила

1M0

() ()Ft U t F





обмот-

ки

резко возрастает и становится несимметричной относительно оси

времени, так что ее разложение в ряд Фурье содержит и постоянную со-

ставляющую, и гармоники четных и нечетных порядков.



Но появление постоянного тока в обмотке

невозможно объяс-

нить при отсутствии в цепи источника постоянного тока или напряже-

ния. Очевидно, величина постоянной интегрирования



зависит не

только от постоянной составляющей МДС

, но и от ее переменной

составляющей

().Ft

Иными словами, значение



соответствует дру-

гому значению подмагничивающего тока





причем пунктирная

прямая

const

000









IwF

проводится таким образом, чтобы площади

кривой

()Ut

слева и справа от этой прямой были одинаковы. Тогда

разложение зависимости

0м1

)()( FtUtF









в ряд Фурье будет содер-

жать лишь гармонические составляющие.

Если изменить направление подмагничивающего тока

(0)I 

то,

как видно из рис. 11.33, зависимость

()Ut

изменит знак и сместится

вдоль оси времени на половину периода. Нетрудно показать, что в раз-

ложении по Фурье кривой

)()()(

0м1

tFtUtF









амплитуды гармоник не

изменятся, но четные гармоники изменят знак.

Что касается закона изменения тока

111

() () ,it Ft w





то к нему

можно отнести те же самые замечания, которые были сделаны по пово-

ду зависимостей

().Ft



Соответствующие кривые показаны на

рис. 11.34. Здесь налицо возможность регулирования переменного тока

()it

с большим действующим значением за счет изменения гораздо

меньшего постоянного



протекающего в обмотке с большим числом

витков

Не следует, однако, забывать, что в этой обмотке будет

наводиться большая переменная ЭДС. Поэтому нужно предусмотреть

защиту цепи постоянного тока от переменной составляющей, включив,

например, дополнительную индуктивность.













Если же пропустить по обмотке

синусоидальный ток

sin( ),

iI t





то несинусоидальной станет переменная составляющая

магнитного потока

()t

в сердечнике дросселя и, разумеется, напряже-

ние на зажимах этой обмотки. И в данном случае амплитуды гармоник

напряжения не будут зависеть от направления подмагничивающего то-

ка, будет меняться лишь знак четных гармоник.

Отметим в заключение данного раздела, что непосредственное

графическое определение реакции нескольких элементов на общее гар-

моническое воздействие возможно

лишь в достаточно простых случаях.

Например, если однородные элементы включены последовательно или

параллельно. Тогда для них можно построить эквивалентную характе-

ристику, как это делалось в цепях постоянного тока. Или в том случае,

когда элементы разного характера соединены последовательно и под-

ключены к источнику тока, или, если они соединены параллельно и

подключены

к источнику напряжения. Тогда их реакции определяются

независимо друг от друга, а потом могут быть просуммированы.

11.5.2.2. Аналитическое определение реакции нелинейного элемента

Этот процесс требует предварительной аппроксимации характери-

стики нелинейного элемента приближенным аналитическим выражени-

ем с последующим решением нелинейного уравнения, составленного по

законам электрических цепей.

Например, простейшая аппроксимация ВбАХ катушки (без учета

гистерезиса) осуществляется кубической параболой:

() .ia





Если

при этом, как в примере 11.9,

() sin( ),









то можно принять

, где ().

aIi





Тогда ( ) sin( ) 3sin( ) sin(3 ) / 4

it a t a t t





 

sin( ) sin(3 ),

tI t







313

где /4 /4, 3 3 /4.

mmm mmm

Ia I I I I   

Учитывая, что напряжение на катушке равно

()

() cos( ) cos( ), так

ut t U t



 

 

что





можно связать амплитуды гармоник тока с амплитудой напряжения:





Один из вариантов аналитической аппроксимации – замена реаль-

ной криволинейной характеристики нелинейного элемента ломаной ли-

нией – кусочно-линейная аппроксимация. Каждый участок ломаной опи-

сывается линейным выражением и уравнение состояния цепи оказыва-

ется линейным. Постоянные интегрирования, получающиеся при реше-

нии этого уравнения, определяются из условия согласования («припасо-

вывания») решений на границах участков.

Пример 11.12

В схеме (рис. 11.35, а) известны: ЭДС, которая изменяется по си-

нусоидальному закону

() sin( ),

et E t





сопротивление нагрузки

несимметричная относительно начала координат вольтамперная харак-

теристика нелинейного сопротивления

(()ui

на рис. 11.35, б).

Определить ток i(t) методом кусочно-линейной аппроксимации.

Решение

На рис. 11.35, б показана аппроксимация ВАХ диода двумя прямо-

линейными отрезками (при условии пренебрежения обратным током).

В первую половину периода ЭДС положительна, диод открыт, его

сопротивление

tg / .

Rmm





По закону Ома

ДН ДН

() ()/( ) sin( ), /( ).

mmm

itetRR I tI ERR



 

Во вторую половину периода диод закрыт,

() 0.it



На рис. 11.35, в показаны кривые

() и ().et it

Разложение послед-

ней в ряд Фурье имеет вид:

( ) 1 sin( ) cos(2 ) cos(4 ) ...

213 35

it t t t



 





   







Обычно

ДН

,RR

поэтому при расчетах сложных цепей с диодом

его сопротивление включают в сопротивление нагрузки. Тогда его харак-

теристика становится прямоугольной и сам диод обозначается, как пока-

зано на рис. 11.35, г. Такой идеальный диод работает как электрический

вентиль: если на него подать сигнал положительной полярности, то диод

открыт (i > 0, u = 0). При отрицательной

полярности воздействия диод

закрыт (u < 0, i = 0). Очевидно, вентили могут быть использованы в схе-

мах выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный.

11.5.3. Схемы и принципы работы

некоторых нелинейных устройств

11.5.3.1. Утроитель частоты

В примере 11.8 было показано, что магнитный поток в ферромаг-

нитном сердечнике, на котором имеется обмотка с синусоидальным то-

ком, несинусоидален за счет явления насыщения. Причем разложение в

ряд Фурье мгновенного значения потока содержит лишь нечетные гар-

моники. Если с помощью схемного решения удастся выделить третью

гармонику, то такую схему можно будет

использовать для утроения ча-

стоты. На рис. 11.36 показана принципиальная схема утроителя частоты

на базе трех однофазных трансформаторов. Их первичные обмотки со-

единены звездой без нулевого провода и питаются от симметричного

трехфазного источника тока, так что

sin( ), sin( 2 / 3), sin( 2 / 3).

mBm Cm

II tII t II t



 



В этом случае, как было отмечено, магнитные потоки в сердечни-

ках будут содержать нечетные гармоники. Учитывая лишь первую, тре-

тью и пятую, получим:

13 5

135

sin( ) sin(3 ) sin(5 );

sin( 2 / 3) sin(3 ) sin(5 2 / 3);

sin( 2 / 3) sin(3 ) sin(5 2 / 3).

Am m m

Bm m m

Cm m m

ttt





  

  

     

     

Вторичные обмотки трансформаторов соединены последовательно

и согласно, поэтому



223

() cos(3 ), где 9.

ABC m m m

ut w U t U w



      

Частота сигнала на выходе устройства оказалась втрое больше ча-

стоты на входе, так что получился утроитель частоты. Практически тот

же результат получится и при питании цепи от симметричного трехфаз-

ного источника напряжения. Хотя, как показано в примере 11.9, в этом

случае должен быть несинусоидальным ток. Но, поскольку первичные

обмотки трансформаторов соединены

звездой без нулевого провода, ли-

нейные токи не могут содержать гармоник, номера которых кратны трем,

как образующих систему нулевой последовательности. Гармониками же

более высоких порядков можно пренебречь и считать ток практически

синусоидальным со всеми вытекающими отсюда последствиями.

11.5.3.2. Удвоитель частоты

На рис. 11.37, а представлен один из вариантов схемы, используе-

мой для удвоения частоты. На двух одинаковых сердечниках находятся

по три пары одинаковых обмоток.

Источник тока

() sin( )

it J t





питает обмотки с числом витков

соединенные последовательно. По обмоткам с числом витков w

проте-

кает постоянный ток от источника

. Индуктивность

служит для

защиты цепи постоянного тока от переменной составляющей, вызван-

ной ЭДС взаимной индукции, наведенных переменным магнитным по-

током. Как было показано в примере 11.11, если одна из обмоток созда-

ет синусоидальный магнитный поток, а другая постоянный, то ток в

первой оказывается несинусоидальным, содержащим все гармоники.

В данном случае, наоборот, синусоидальный

и постоянный токи в об-

мотках вызовут в сердечниках А и В несинусоидальные потоки

ФиФ,

которые содержат как постоянную, так и гармонические

составляющие всех порядков.

Пары обмоток с числом витков

иww

соединены последова-

тельно. При этом они включены таким образом, что в левом сердечни-

ке (А) при обходе контура МДС

111 0 00

иFwi F wi



складываются, а

в правом (В) – вычитаются (схемы замещения магнитных цепей А и В

показаны на рис. 11.37, б). В этом случае в силу симметрии ВбАХ сер-

дечников относительно начала координат амплитуды соответствующих

гармоник магнитных потоков

ФиФ

оказываются одинаковыми,

но нечетные гармоники имеют одинаковые знаки, а четные гармоники и

постоянные составляющие – разные знаки, так что

01234 01234

..., ...

   