Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Действительно, если в цепи R, C мало сопротивление R, то

, тогда и .

uu iC uiRRC

dt dt

 

Наоборот, если в цепи R, L сопротивление R велико, то напряжение на нем

, тогда , следовательно .

uu diLdu

uu i uuL

RdtRdt

 

Обратим внимание, что в качестве коэффициентов пропорциональ-

ности между

и производной от

выступают постоянные времени

и .

RRC





Те же цепочки могут послужить и для интегрирования сигналов,

если включить их иначе и выбрать другие параметры (рис. 10.29). Так,

если в цепи R, C сопротивление R велико, то

iuu

, 

, тогда



 dtu

dti

C 12

Наконец, оставив в цепи R, L маленькое сопротивление, чтобы ока-

залось

uu

, получим

12 1

, тогда .

iudtudt uuRiudt

LL L

 

 

В интегрирующих цепях коэффициентами пропорциональности

между

и производной от

оказываются величины, обратные посто-

янным времени

и .



10.5.4. Обобщенные законы коммутации

Во время переходных процессов в цепях с индуктивными сечениями

и емкостными контурами может наблюдаться очень быстрая импульсная

начальная часть процесса, сменяемая более медленной частью или устано-

вившимся режимом. Для упрощения анализа переходного процесса им-

пульсную часть обычно считают происходящей мгновенно. При этом

приходится признать возможным нарушение законов коммутации, связан-

ных с непрерывностью напряжений на конденсаторах и токов в индуктив-

ностях. Иными словами, нужно допустить, что токи в индуктивностях и

напряжения на емкостях в момент коммутации могут изменяться

скачком.

В то же время законы Кирхгофа требуют соблюдения более общих

закономерностей в момент коммутации t = 0:

суммарный заряд конденсаторов в ветвях, подключенных к общему

узлу, и суммарное потокосцепление индуктивностей в ветвях, образую-

щих контур, в первый момент после коммутации

(0)t





сохраняют те

же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией

(0),t





и в дальнейшем начинают изменяться именно с этих значений.

Так что в момент коммутации для каждого из узлов контура, со-

ставленного только из емкостей и идеальных источников ЭДС, выпол-

няется

закон сохранения заряда:

(0 ) (0 ) или (0 ) (0 ).

q q Cu Cu

  



  

А для каждого контура, в который входят индуктивности, связанные в

узел вместе с ветвями, содержащими идеальные источники тока, спра-

ведлив

закон сохранения потокосцепления:

(0 ) (0 ) или (0 ) (0 ).

Li Li



  



  

Разумеется, непрерывными будут также суммарный заряд конден-

саторов и суммарное потокосцепление индуктивностей всей цепи.

Во время импульсной части переходного процесса в конденсаторах

возникают значительные (в идеализированных схемах – бесконечно

большие) импульсы токов перезарядки малой длительности (в идеале –

происходящие мгновенно). А на индуктивностях возникают импульсы

перенапряжений из-за скачкообразного перераспределения суммарного

потокосцепления

между ними.

В то же время энергия электромагнитного поля, связанного с цепью

(в конденсаторе запасается энергия

CЭ

CuW 

, в катушке индуктивно-

сти –

LiW 

), изменяется на конечную величину. Из-за предполо-

жения о мгновенной коммутации такое изменение совершается скачком

(так называемая «некорректная» коммутация). «Пропавшая» при этом

энергия выделяется в виде тепла в электрической дуге между контакта-

ми переключателя и в соединительных проводах, а также частично из-

лучается в окружающее пространство.

Пример 10.13

Известны параметры схемы, показанной на рис. 10.30, а.

Определить законы изменения тока i(t) и напряжений на каждой из

индуктивностей

() и ().

ut u t

Решение

До коммутации в первой катушке индуктивности протекал посто-

янный ток

до

,iER

а во второй ток отсутствовал

до

0.i



После размыкания рубильника катушки оказываются включенны-

ми последовательно, и в них протекает ток

Aeiti 

пр

)(

. Очевидно

(сравните с примером 10.4),

пр

12 12

и .

RLL







Постоян-

ную интегрирования можно найти из начального условия:

пр

)0( iiA 

предварительно определив начальное значение тока по закону сохране-

ния потокосцепления:

до

1212 112

(0)(0)(0)(0)или ()(0),Li L L i







 

откуда

11 2

(0) .

()





Тогда

))((

)(

21211

1221

LLRRR

RLRLE







и, наконец,

12 21

12 112

() 1 .

()

ELRLR

it e

RR RLL

































Поскольку токи в катушках в момент коммутации изменились

скачком, напряжения на индуктивностях наряду с экспоненциальной

составляющей содержат импульсную. Так,

12112

11 2 1 2

(0 ) (0 )

() lim

() .

()

ut L

tdt

EL L R L R

Lt e

RL L L L





































Аналогично

22112

11 2 1 2

() () .

()

EL L R L R

ut Lt e

RL L L L



































Обратим внимание, что второй закон Кирхгофа не нарушается, по-

скольку импульсные составляющие в катушках равны по величине, но про-

тивоположны по знаку, поэтому при суммировании уничтожают друг друга.

Схема рис. 10.30, а интересна тем, что в подобном режиме работа-

ют элементы реальных контактных релейных систем.

Пример 10.14

Известны параметры схемы, показанной на рис. 10.30, б, в которой

рубильник мгновенно перебрасывается из положения 1 в положение 2.

Определить законы изменения тока

()it

и напряжения

().

Решение

До коммутации первый конденсатор был заряжен до напряжения

до

u Е

а второй не заряжен

до



После коммутации напряжение

на обеих емкостях становится одинаковым и в дальнейшем не меняется

const.

u 

Для определения этой величины воспользуемся законом со-

хранения заряда:

1212 112

(0 ) (0 ) (0 ) (0 ) или (),

qq qq CECCu





 

откуда





Импульс тока в момент коммутации, который со-

провождает перезарядку конденсаторов, достигает бесконечно большо-

го значения в бесконечно малый промежуток времени:

22 12

(0 ) (0 )

lim ( ).

qq CCE

tCC













Энергия, запасенная в первом конденсаторе до коммутации

)0( ECW 



, больше той энергии, которая сохранилась в обоих

конденсаторах после коммутации

)(22

)(

)0(

uCC











Закон сохранения энергии при этом, конечно, не нарушается. Раз-

ница этих энергий

)(2

)0()0(

ECC

WWW







в процессе ком-

мутации выделилась в виде тепла и электромагнитного излучения.

11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

11.1. Основные понятия и определения

Нелинейной называется цепь, которая содержит хотя бы один не-

линейный элемент, т. е. элемент, чью характеристику нельзя адекватно

описать линейным математическим выражением.

Нелинейные элементы подразделяют на активные и пассивные,

двухполюсные и многополюсные. Пассивные элементы могут быть по-

требителями и накопителями энергии, инерционными и безынерцион-

ными, управляемыми и неуправляемыми (подробнее об этом

– ниже).

Среди характеристик нелинейных элементов различают статиче-

ские и динамические, а также импульсные. Каждая точка статических

должна быть получена при постоянных токах и напряжениях. Динами-

ческие характеристики снимаются при периодических процессах, при-

чем воздействие, как правило, гармоническое, а реакция в зависимости

от свойств элемента может быть как синусоидальной, так и

несинусои-

дальной. Импульсные характеристики отражают реакцию нелинейного

элемента на импульсное воздействие определенной формы.

На рис. 11.1–11.3 показаны обозначения простейших пассивных

двухполюсников и, в качестве примера, некоторые из их характеристик:

♦ вольтамперная характеристика (ВАХ) нелинейного резистора,

♦ вебер-амперная (ВбАХ) нелинейной катушки индуктивности,

♦ кулон-вольтная (КлВХ) нелинейного конденсатора.

udq

)(



()di





Характеристики могут быть несимметричные (рис. 11.1, б) и сим-

метричные относительно начала координат (рис. 11.2, б и 11.3, б), одно-

значные (рис. 11.1, б и 11.3, б) и многозначные (рис. 11.2, б).

В нелинейных цепях могут возникать явления, принципиально не-

достижимые в цепях линейных: выпрямление тока, умножение и деле-

ние частоты, модуляция и демодуляция колебаний, стабилизация тока

напряжения, усиление сигналов. Некоторые из этих явлений кратко рас-

сматриваются ниже, равно как и принципы действия нелинейных

устройств, их использующих. Более подробный анализ и расчет нели-

нейных устройств проводится в специальных курсах.

11.2. Общая характеристика методов расчета

нелинейных цепей

Главной особенностью нелинейных цепей с точки зрения их расче-

та является невозможность применения принципа наложения, что ис-

ключает использование большинства известных методов расчета ли-

нейных цепей (в частности методов контурных токов, узловых потенци-

алов, эквивалентного генератора в канонической форме). Общий подход

к расчету нелинейных цепей заключается в их систематическом упро-

щении

с заменой последовательно и параллельно включенных элемен-

тов одним эквивалентным и последующем применении графических,

аналитических или численных методов расчета.

Графические методы предполагают операции непосредственно с

характеристиками нелинейных элементов в соответствии с функцио-

нальными уравнениями, описывающими состояние цепи. Они просты,

наглядны, но не отличаются высокой точностью.

Аналитические методы требуют предварительной аппроксимации

характеристик приближенными аналитическими выражениями, которые

используются в дальнейшем при аналитическом (часто тоже прибли-

женном) решении уравнений состояния цепи. Их достоинство – воз-

можность получения решения в общем виде, недостатки – сложность и

опять же, как правило, низкая точность.

Численные методы [9] базируются на численном решении алгебра-

ических или дифференциальных уравнений и позволяют получить ре

зультат с заданной точностью, но при проведении исследований требу-

ют многочисленных повторений расчетов. Численным методам под си-

лу анализ весьма сложных цепей, в то время как остальные используют-

ся лишь для расчета достаточно простых цепей.

11.3. Нелинейные цепи постоянного тока

11.3.1. Схемы замещения пассивных и активных

нелинейных элементов

Как и в линейных цепях, напряжение на индуктивности при посто-

янном токе равно нулю и ее в схеме замещения можно замкнуть нако-

ротко. Конденсатор же можно рассматривать как разрыв цепи, так как

через него постоянный ток не течет (рис. 11.4).

()

dQ U



()





Так что в схеме замещения постоянного тока из трех двухполюсни-

ков, показанных на рис. 11.1–11.3, остается лишь нелинейное сопротив-

ление (рис. 11.5, а) с его статической ВАХ, которая приведена с новыми

обозначениями на рис. 11.5, б.





По характеристике можно найти статическое и дифференциальное

сопротивления нелинейного элемента:









СТ Д

tg и tg .

UI dUI

Im dIm





  

Здесь

mm

масштабы напряжения и тока соответственно.

Если характеристика обращена вогнутостью к оси токов, то

ДСТ

RR 

(точка 1 на рис. 11.5, б), если же вогнутостью к оси напряже-

ний, то

ДСТ

RR 

(точка 2).

Что касается нелинейного активного двухполюсника (рис. 11.6, а),

заданного внешней характеристикой

(),UI

то он может быть представ-

лен двумя схемами замещения (рис. 11.6, б, в).

В одной из них идеальный источник ЭДС

ХХ

()EU



включен

последовательно с нелинейным сопротивлением. Характеристика

этого сопротивления

)()(

ХХВН

IUUIU





определяется графически

(рис. 11.6, г) на основании второго закона Кирхгофа вычитанием орди-

нат U заданной внешней характеристики из величины ЭДС Е при соот-

ветствующих значениях абсциссы I.

Во второй схеме идеальный источник тока

КЗ

()JJ



включен па-

раллельно с нелинейным сопротивлением. Вольтамперная характери-

стика последнего

ВН КЗ

() (),

UI IU

которая показана на рис. 23.6, д,

строится по уравнению первого закона Кирхгофа вычитанием абсцисс I

все той же внешней характеристики

()IU

из величины J при соответ-

ствующих значениях ординат U.

Характерно, что ВАХ нелинейных сопротивлений в схемах заме-

щения различны, в то время как сопротивления в двух схемах замеще-

ния активного линейного двухполюсника были одинаковы.

11.3.2. Графический расчет нелинейных цепей

с последовательным и параллельным

соединением двухполюсников

ВАХ эквивалентного двухполюсника при последовательном соеди-

нении входящих в него элементов строится на основании второго зако-

на Кирхгофа по характеристикам исходных элементов путем сложения

напряжений при одном значении тока в них:

().

UUI





Пример 11.1

Известны вольтамперные характеристики последовательно вклю-

ченных нелинейных сопротивлений 1 и 2 (схема показана на рис. 11.7, а,

ВАХ – на рис. 11.7, в).

Построить характеристику эквивалентного нелинейного элемента

(рис. 11.7, б).

Решение

Уравнение второго закона Кирхгофа для схемы рис. 11.7, а имеет

вид:

Э 12

() () ().UI UI UI





В соответствии с этим уравнением на рис. 11.7, в построена харак-

теристика эквивалентного сопротивления. Для этого были просуммиро-

ваны ординаты

иUU

характеристик исходных элементов при од-

них и тех же значениях абсциссы I.

Если задана величина входного напряжения

то по эквивалент-

ной ВАХ можно определить соответствующее ему значение тока

Зная эту величину и используя характеристики исходных элементов,

находят и значения напряжений на них

10 20

иUU

(рис. 11.7, в).

Пример 11.2

Известны ЭДС E и характеристика U(I) нелинейного сопротивле-

ния (рис. 11.8, в), входящего в схему, показанную на рис. 11.8, а.

Построить ВАХ активного двухполюсника (рис. 11.8, б), эквива-

лентного схеме рис. 11.8, а.

Решение

Состояние схемы 11.8, а описывается уравнением

() () .

UIUIE





Поэтому ВАХ активного двухполюсника

()

получается пере-

носом кривой

()UI

параллельно самой себе вдоль оси U на величину Е

(рис. 11.8, в).

Если изменить полярность ЭДС на противоположную, то следует

переместить в противоположном направлении вдоль оси ординат и ВАХ

нелинейного сопротивления (пунктирная кривая







на рис. 11.8, в).

()



Если в той же схеме изменить направление тока I (рис. 11.9, а), то в

соответствии с уравнением

() ()

UIEUI





эквивалентная ВАХ будет представлять собой зеркальное изображение

кривой U(I) относительно прямой Е/2 (рис. 11.9, б).