Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Постоянные интегрирования

определяются из начальных усло-

вий (для их нахождения нужно иметь значения тока i и его

1n 

произ-

водных в первый момент после коммутации).

10.2.2. Определение начальных условий

Начальные условия принято подразделять на зависимые и незави-

симые. Независимые – это значения токов в индуктивностях и напряже-

ний на емкостях. Они не зависят от условий коммутации и определя-

ются по законам коммутации на основе расчета докоммутационной це-

пи в установившемся режиме:

до

(0) (0 ) (0 ) ( )

LL L

ii i it







;

до

(0) (0 ) (0 ) ( ) .

CC C

uu u ut







К зависимым относятся все остальные токи и напряжения и их

производные. Они находятся из уравнений, описывающих состояние

послекоммутационной цепи в момент

0.t





В дальнейшем знак «+» в

обозначении момента начала переходного процесса может быть опущен

и использование законов (10.1) и (10.2) при определении независимых

начальных условий будет считаться само собой разумеющимся. Так что

до до

(0) ( ) , (0) ( ) .

iit uut





Эти величины должны быть найдены до того, как придется определять

зависимые условия.

Пример 10.1

Известны параметры схемы, пока-

занной на рис. 10.2:

164 B;E 

0, 4 Гн;L 

10 мкФ;С



160 Ом;R 

250 Ом;R 

410 Ом.R 

Сопротивление

замы-

кается накоротко.

Определить начальные условия:

(0), (0), (0), (0).

CC L

iu iu

Решение

При разомкнутом ключе (рис. 10.3) ток протекает только во внеш-

нем контуре (через конденсатор постоянный ток не течет), причем ин-

дуктивность сопротивления не оказывает. Поэтому независимые усло-

вия легко находятся по законам коммутации с использованием закона

Ома:

до

123

/( ) 164 /(160 250 410) 0,2 A (0),

iERRR i  

до до

( ) 0,2 (160 410) 114 B (0).

uiRR u 

Для определения зависимых условий рассмотрим послекоммутацион-

ную схему в момент времени

0.t



При этом удобно воспользоваться

теоремой компенсации и заменить индуктивность источником то-

ка

(0),

а конденсатор – источником ЭДС

(0)

(рис. 10.4), сохраняя

направления токов и полярности напряжений (подчеркнем – как для

пассивных элементов).

В этом случае расчетная схема для



будет иметь вид, показан-

ный на рис. 10.5.

Состояние послекоммутацион-

ной цепи описывается системой

уравнений:

;

iii





(10.8)

;

iR E u





(10.9)

uiRu





(10.10)

Рассматривая эту систему при t = 0, определим зависимые началь-

ные условия.

Из уравнения (10.9) найдем

(0)

164 114

(0) 0,2 A.

250





Напряжения на элементах правого контура и в первый момент по-

сле коммутации сохранили свои значения, поэтому не изменился и ток в

ветви с ЭДС Е. А поскольку не изменился и ток

то сохранит свое

значение и ток

. Из (10.8)

(0) (0) (0) 0.

CEL

iii





В левом контуре

индуктивность примет на себя исчезнувшее напряжение с отключенно-

го сопротивления

. Из (10.10):

(0) (0) (0) 114 0,2 160 82 B.

uuiR 

10.2.3. Способы составления характеристического уравнения

Отметим возможность составления характеристического уравнения

без предварительного вывода дифференциального, которая может быть

строго обоснована после изучения операторного метода расчета пере-

ходных процессов. Существуют три способа составления характеристи-

ческого уравнения по операторной схеме замещения послекоммутаци-

онной цепи без источников. Для получения последней нужно в схеме,

получившейся после коммутации, замкнуть накоротко источники ЭДС

отключить источники тока, заменить индуктивность L сопротивлением

,Lp

емкость С – сопротивлением

1.Cp

Пример 10.2

Поясним способы составления характеристического уравнения на

примере операторной схемы без источников, которая соответствует ис-

ходной схеме рис. 10.2.

10.2.3.1. Метод алгебраизации

Для операторной схемы замещения (рис. 10.6) записать любую си-

стему уравнений, описывающих ее состояние (по законам Кирхгофа, по

методу контурных токов и т. д.), после чего приравнять ее главный

определитель нулю – это и будет характеристическое уравнение:





(10.11)

В рассматриваемом примере по методу контурных токов имеем:

11 2 22

12 2 2

()0;

(())0.

JR Lp R JR

JR J R Cp





 















122 2

Тогда () ( )( ( ) ) 0.pRLpRRCp R



  

10.2.3.2. Метод операторного сопротивления

Разомкнуть любую ветвь операторной схемы, найти относительно

образовавшихся зажимов эквивалентное сопротивление и приравнять

его нулю – это тоже характеристическое уравнение:

() 0.



(10.12)

Если в рассматриваемой схеме разо-

мкнуть ветвь с конденсатором (рис. 10.7),

то эквивалентное сопротивление относи-

тельно образовавшихся зажимов bc будет

равно:

1( )

() 0.

RLpR

Cp R Lp R



 



10.2.3.3. Метод операторной проводимости

Записать для той же схемы выражение эквивалентной проводимо-

сти относительно любой пары узлов, приравнять его нулю – тогда тоже

получится характеристическое уравнение:

() 0.Yp



(10.13)

В рассматриваемой схеме всего два узла а

и b (рис. 10.8), поэтому собственная узловая

проводимость равна сумме проводимостей

ветвей:

)(





 Cp

RLpR

Рис. 10.8

Во всех трех случаях после приведения к общему знаменателю по-

лучается одно и то же уравнение:

21212

() 0.LCR p L R R C p R R  

(10.14)

10.2.4. Алгоритм расчета переходного процесса

классическим методом

Анализируя материал предыдущих разделов, можно наметить сле-

дующий порядок расчета переходного процесса в линейной электриче-

ской цепи классическим методом.

1. Искомую величину записываем в виде суммы свободной и

принужденной составляющих.

2. Принужденную составляющую определяем из расчета устано-

вившегося режима послекоммутационной цепи.

3. Составляем характеристическое уравнение и определяем его

корни.

4. В соответствии с

видом корней записываем выражение сво-

бодной составляющей искомой величины в общем виде.

5. Входящие в это выражение постоянные интегрирования опре-

деляем из начальных условий.

Конкретизируем этот алгоритм применительно к цепи первого и

второго порядка.

10.2.5. Переходный процесс в цепи первого порядка

Состояние цепи с одним накопителем энергии описывается диффе-

ренциальным уравнением первого порядка – отсюда название.

Начнем рассмотрение примеров расчета со схемы, показанной на

рис. 10.9.

Пример 10.3. Короткое замыкание

катушки индуктивности

Известны параметры цепи.

(), ().

айти it ut

Решение

Состояние правой части цепи после коммутации описывается

уравнением второго закона Кирхгофа:

RLL

uuiRL

  

Запишем решение для

пр св

() () () .

LL L

it it it





В установившемся режиме после коммутации тока нет

пр

i 

Характеристическое уравнение запишем по дифференциальному:

0.RLp

Его корень

.pRL

Так что решение имеет вид:

св

ii Ae

До коммутации в цепи протекал постоянный ток, для которого ин-

дуктивность сопротивления не представляет, поэтому он сохранит свое

значение и в первый момент после коммутации (10.1):

до

(0).

 



Постоянная интегрирования

до

св 0

(0) (0) (0) .

iiiI



 

Если ввести в расчет величину, обратную модулю корня характе-

ристического уравнения

1,p





называемую постоянной времени, то

решение будет выглядеть так:

iIe







Физический смысл постоян-

ной времени можно определить, вычислив

() .

iIeIe







Постоянная времени численно равна интервалу времени, в течение

которого свободная составляющая уменьшается в

2,7118e



раз.

Чем больше τ, тем медленнее затухает экспоненциальная функция

и дольше длится переходный процесс. Практически свободная состав-

ляющая затухает за 5τ, в ориентировочных расчетах можно ограничить-

ся и временем 3τ. В данном примере





при этом

uL e RIe





 

Здесь

(0) ,

uRI





что следует и из уравнения Кирхгофа.

Графики зависимостей

() и ()

it ut

построены на рис. 10.10, где

также показана постоянная времени





Если провести касательную в произвольной точке В к графику сво-

бодной составляющей (в данном примере

св

() ())

it it



и опустить пер-

пендикуляр из этой же точки, то на оси времени получим отрезок CD.

С – точка пересечения перпендикуляра с осью времени, D – точка пере-

сечения касательной с осью времени. Из треугольника BCD определим

промежуток времени, соответствующий отрезку CD.



св

mBC Ie

CD m CD

tg m m tg p

Ipe







 



Отрезок CD в математике называют подкасательной, то есть по-

стоянная времени



с учетом масштаба равна длине подкасательной.

Пример 10.4. Включение цепи R L

на постоянное напряжение (рис. 10. 11)

Известны

ЭДС e(t) = E = const и параметры

схемы R, L.

(), ().

айти it ut

Решение

До коммутации тока в цепи не было

до

() 0.



Поэтому

(0) 0.

i 

В установившемся режиме после коммутации в цепи будет проте-

кать постоянный ток

пр

const.

iERI

А в любой другой момент

времени

0t 

согласно второму закону Кирхгофа

iR L E





И характеристическое уравнение, и его корень, и постоянная вре-

мени, и выражение свободной составляющей выглядят так же, как и в

предыдущем примере. Постоянная интегрирования определяется из

начальных условий:

св пр

(0) (0) (0) 0 ,

LLL

iii II   

так что

() (1 ).

it I e







Напряжение

() ,

ut Ee







причем

(0) ,



что удовлетворяет

уравнению второго закона Кирхгофа

(0) (0).

uERi





Кривые

() и ()

it ut

показаны на рис. 10.12.

Пример 10.5. Включение цепи R L на синусоидальное напряжение

Цепь рис. 10.11 подключается к ЭДС

() sin( ).

et E t









(), ().

айти it u t

Решение

Отличие от предыдущего случая – в принужденной составляющей.

При расчете установившегося режима после коммутации комплексным

методом

j( ) j( )

пр

mmm

Ee Ee E

IeIe

RL Z











 



откуда

пр

() sin( ).

it I t







Постоянная интегрирования

пр

(0) (0) sin( ).

Ai i I







 

По-

этому

пр св

() sin( ) sin( ) .

it i i I t e



 







  





Вид кривой

()it

зависит от момента включения.

Так, при







получается



тогда

() sin( ).

it I t





Переход-

ный процесс отсутствует, сразу наступает установившийся режим

(рис. 10.13, а).

Если же









то переходный процесс проявляется наиболее

сильно, особенно при







когда переходный процесс длится в

течение нескольких периодов изменения ЭДС источника. Тогда через

четверть периода ток достигает величины

уд





так называемый

ударный ток (рис. 10.13, б).

Резюмируя вышеизложенное, можно сказать, что во всех рассмот-

ренных примерах свободная составляющая представляет собой экспо-

ненту с постоянной времени





а характер принужденной со-

ставляющей определяется видом источника.

Если рассматривать переходные процессы в простейших цепях R, C

(короткое замыкание, подключение к источнику постоянного или сину-

соидального напряжения), то результаты расчета будут аналогичны по-

лученным при анализе цепи R, L. Больше того, даже формулы

()

будут подобны выражениям

()

(),

но постоянная времени

окажется равной





В сложных цепях с одним накопителем энергии для определения

постоянных времени



можно воспользоваться этими же фор-

мулами, заменив в них R на

которое определяется по отношению к

зажимам накопителя энергии в послекоммутационной схеме при за-

мкнутых накоротко источниках ЭДС и отключенных источниках тока.

Это легко доказать, если послеком-

мутационную цепь по отношению к

зажимам единственной индуктив-

ности (или емкости) заменить экви-

валентным генератором с парамет-

ами

ЭЭ

,eR

(рис. 10.14, а, б).

Очевидно, для таких простых схем характеристическое уравнение,

составленное по способу

() 0



примет вид:

0Lp R

или

() 0.СpR





Его корень соответственно будет равен:

111

или .

LRC



   

(10.15)

Во всех цепях первого порядка свободные составляющие токов и

напряжений во время переходного процесса изменяются по экспонен-

циальному закону. Форма принужденных составляющих определяется

характером действующих в цепи внешних источников.

Пример 10.6. Сложная цепь первого порядка

В схеме, показанной на рис. 10.15, а, действует синусоидальная

ЭДС

() sin( 90).

et E t







: 100 B; 1000 рад с;20Ом;100мкФ.

Дано ERC



  

Найти ток источника

().it

Решение

Запишем искомый ток в виде

пр св

() () (),it i t i t





где

св

() .

it Ae

В установившемся режиме по комплексной схеме послекоммута-

ционной цепи (рис. 10.15, г) определяем



пр

(3 2) ( j ) j100 1 30+1 20 j10

mm m C

IERERX 









 

j74,7

2 j7,33 7,6 А,e



 

так что

пр

( ) 7,6sin(1000 74,7 )it t



Корень характеристического уравнения (операторная схема без ис-

точников показана на рис. 10.15, д)

 

1 10 20 100 500 1 с.pRC   

Комплексная схема замещения докоммутационной цепи после пре-

образования параллельных ветвей имеет вид, показанный на

рис. 10.15, в. В этой схеме



10 Ом.







Если по отношению

к зажимам конденсатора всю остальную часть схемы заменить эквива-

лентным генератором, то его параметры будут равны:

2j50B; 45Ом.

mm Э

EE RR 



Теперь легко найти



 

до j116,57

ЭЭ

j j j10 j50 5 j10 44,72 B

Cm C

UXERX e



      





до

и ( ) 44,72sin(1000 116,57 ) В.

ut t



По второму закону коммутации

до

(0) (0) 44,72sin( 116,57 ) 40 В.

uu  



В послекоммутационной цепи при



(рис. 10.15, б – здесь кон-

денсатор заменен источником ЭДС

(0))

по первому закону Кирхгофа











(0) (0) 3 2 (0) (0) 100 30 100 40 20 6,33 A.

ie R eu R