Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Тогда после подстановки в формулу Дюамеля (10.33а) этих вели-

чин вместе с найденной в примере 10.11 переходной проводимостью





)(

, а также

()

CRC

yt e e







получим:

() [ ].

TTT T

ECE

it e e e d e e

TR TRC







 







10.4.3. Понятие об импульсных функциях

Если в примере 10.11 уменьшать сопротивление R, то начальное

значение тока, очевидно, будет возрастать с одновременным уменьше-

нием постоянной времени

.RC





При теоретическом рассмотрении

случая

0R 

получим бесконечно большой импульс тока нулевой дли-

тельности. Для математического описания подобных зависимостей ис-

пользуется так называемая функция Дирака (δ-функция или единичный

импульс), описание которой укладывается в две формулы:

() 1, () 0 при 0.tdt t t







 



(10.34)

Из этого определения δ(t) следует связь ее с единичной функцией

Хевисайда:

() 1(),

tdt t









откуда получается и формула () 1().





Тогда в нашем гипотетическом случае подключения идеального кон-

денсатора С к источнику постоянной ЭДС Е напряжение на конденсато-

ре и ток через него можно описать выражениями:

() 1(), () ().

ut E t it CE t



  

Реакцию некоторой цепи на импульсное воздействие

)()(





можно определить как

() (), где ()

t V kt kt





импульсная характе-

ристика этой цепи. Очевидна и связь импульсной характеристики с пе-

реходной функцией:

() ().

kt ht



10.4.4. Сведение расчета переходного процесса

к нулевым начальным условиям

Обратим внимание, что все выкладки и расчеты, описанные в раз-

делах 10.4.1 и 10.4.2, сделаны в предположении, что независимые

начальные условия – нулевые. Если же это условие не выполняется, то,

прежде чем использовать формулы Дюамеля, нужно привести расчет

переходного процесса к нулевым начальным условиям.

Докажем возможность выполнения этого расчетного приема как

при замыкании, так и при размыкании рубильника в одной из ветвей

сложной цепи с ненулевыми независимыми начальными условиями.

10.4.4.1. Замыкание рубильника (рис. 10.26, а)

Включим в ветвь с рубильником два одинаковых источника

ЭДС e(t) противоположной полярности. Токи в ветвях послекоммутаци-

онной цепи не изменятся при любых значениях ЭДС, так как источники

компенсируют действие друг друга.

Теперь применим метод наложения, оставив в одной из подсхем

все источники активного четырехполюсника и нижнюю ЭДС e(t), а

во

второй – только верхнюю ЭДС e(t) (рис. 10.26, б). Тогда ток в любой

ветви, например, ab или cd можно представить в виде суммы двух со-

ставляющих:

() () (), () () ().

ab ab ab cd cd cd

ititit ititit

 

 

Подберем величину ЭДС такой, чтобы в первой подсхеме и после

замыкания рубильника ток через него не протекал, т. е.





А зна-

чит, величина ЭДС должна быть такой, каким было напряжение на за-

жимах ветви cd до коммутации:

до до

() () ().

ututet

Тогда в этой под-

схеме будет сохраняться установившийся докоммутационный режим.

В частности, в ветви ab будет по-прежнему протекать ток

до

() ().

itit





Во второй подсхеме действует единственная ЭДС

до

() (),et u t

ко-

торая направлена по току рубильника в послекоммутационной цепи,

причем до коммутации ни токов, ни напряжений в цепи не было. По-

этому токи

пн пн

() () и () () ()

ab ab cd cd cd

itit ititit

 



будут определяться

при нулевых независимых начальных условиях. В верхнем индексе

«пн» используются первые буквы слов в выражении «

переходный про-

цесс в цепи с

нулевыми начальными условиями».

Таким образом, чтобы свести расчет переходного процесса к нуле-

вым начальным условиям, нужно пройти два этапа. Сначала следует

рассчитать установившийся режим докоммутационной цепи, определив

не только мгновенное значение тока в интересующей нас ветви, но и

напряжение на зажимах рубильника

до

().ut

А затем выполнить расчет

собственно переходного процесса в цепи с нулевыми начальными усло-

виями и с единственным источником напряжения

)(

до

(рис. 10.26, в).

Тогда искомый ток переходного процесса будет равен

до пн

() () ().

ab ab

ititi t

10.2.4.2. Размыкание рубильника (рис. 10.27, а)

Включим параллельно рубильнику два одинаковых источника тока

J(t) противоположного направления. Затем применим принцип наложе-

ния, оставив во второй подсхеме лишь правый источник тока J(t), а в

первой – все остальные источники (рис. 10.27, б). Тогда

() () () и () () ().

ab ab ab cd cd cd

ititit ututut

  

  

Подберем J(t) такой величины, каким был ток в ветви рубильника

исходной схемы до коммутации:

до до

() () ().

ititJt

Тогда в первой

подсхеме напряжение на зажимах ветви cd и после размыкания рубиль-

ника останется равным нулю:

() 0.





Иными словами, в этой под-

схеме после коммутации сохранится установившийся докоммутацион-

ный режим. Разумеется, в ветви ab будет по-прежнему протекать ток

до

() ().

itit





Во второй подсхеме действует единственный источник тока

до

() (),Jt i t

который направлен в сторону, противоположную току рубиль-

ника в докоммутационной цепи, причем в остальных ветвях этой подсхемы ни

токов, ни напряжений до коммутации не было. Поэтому ток

)()(

пн

titi





будет определяться при нулевых независимых начальных условиях.

Таким образом, чтобы и в этом случае свести расчет переходного

процесса к нулевым начальным условиям, нужно пройти те же два эта-

па. Сначала следует рассчитать установившийся режим докоммутаци-

онной цепи. При этом определяются как мгновенное значение тока в

интересующей нас ветви, так и

ток в ветви рубильника

до

().it

Затем

нужно выполнить расчет собственно переходного процесса в цепи с ну-

левыми начальными условиями и с единственным источником тока

до

(),it

направленным как показано на рис. 10.27, в.

И вновь искомый ток переходного процесса будет равен

до пн

() () ().

ab ab

ititi t

Для определения составляющей

)(

пн

в цепи с источниками сложной

формы уже можно применять интеграл Дюамеля. В операторной схеме за-

мещения цепи с нулевыми начальными условиями отсутствуют внутренние

источники (небольшое упрощение расчета операторным методом). Приме-

нение вышеописанного расчетного приема необходимо также в некоторых

вариантах частотного метода, речь о котором пойдет в следующем разделе.

10.5. Расчет переходных процессов

в сложных и специальных схемах

10.5.1. Понятие о частотном методе

Метод аналогичен операторному, но вместо преобразования

Лапласа использует преобразования Фурье – прямое и обратное:

(j ) ( ) и () (j ) .

fte dt ft F e d









 



 





Если рассматриваются

переходные процессы с нулевыми независи-

мыми начальными условиями

(а именно о них идет речь в этом разделе), то

можно воспользоваться прямым односторонним преобразованием Фурье:

(j ) ( ) .

fte dt













(10.35)

Оно позволяет по оригиналу

()

найти его частотный спектр

(j ).F



Формула (10.35) представляет собой частный случай прямого пре-

образования Лапласа (10.18) при замене р на j



. Поэтому для нахожде-

ния частотных спектров можно использовать таблицы перехода от ори-

гинала к изображению по Лапласу с той же самой заменой (см.

табл. 10.1 и в приложении табл.).

Следует только предварительно проверить, существует ли спектр

данной функции времени. Дело в том, что прямое преобразование

Фурье по сравнению с преобразованием Лапласа

применимо к более

ограниченному классу временных функций. Они должны быть абсо-

лютно интегрируемы, т. е. должен существовать интеграл

() .

tdt





Например, экспонента



при





имеет изображение по Лапласу,

но ее частотный спектр не может быть определен. Даже частотный

спектр единичного скачка Хевисайда можно найти лишь предельным

переходом от затухающей экспоненты. Действительно, поскольку

ee dt























то 1



Обратное преобразование Фурье

() (j )

tFed

















(10.36)

дает возможность по частотному спектру

(j )F



найти оригинал

().

А в частном случае, когда частотный спектр представляет собой рацио-

нальную дробь, для этой цели подходит и теорема разложения (10.26) –

опять же с заменой р на j



Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме имеют тот же вид,

что и в операторной, но вместо операторных изображений токов и

напряжений в них фигурируют частотные спектры соответствующих

величин, вместо операторного сопротивления – комплексное. Последнее

выглядит в буквенном виде так же, как в комплексном методе, но пред-

ставляет собой не комплексное

число, а функцию частоты.

Первый закон Кирхгофа для узла:

(j ) 0.I







Второй закон Кирхгофа для контура:

(j ) (j ).UE







Закон Ома для ветви R, L, C:

(j ) (j ) (j ).IUZ







Комплексное сопротивление ветви:

(j ) j 1 j .

RL C









В общем случае расчет частотным методом аналогичен расчету

операторным, но рассчитывается комплексная схема замещения после-

коммутационной цепи, которая, естественно, подобна операторной схе-

ме (сравните табл. 10.4 с табл. 10.3).

Использование частотного метода целесообразно, когда приходит-

ся производить одновременно какие-нибудь исследования, использую-

щие аналитический аппарат, основанный на преобразовании Фурье.

Примером могут служить системы

автоматического регулирования с

исследованием проблем устойчивости, качества регулирования и т. п.

Преимущества же именно частотного метода сказываются при рас-

четах приближенными методами переходных процессов в цепях высо-

ких порядков, особенно когда частотные характеристики цепи получены

в результате эксперимента.

Таблица 10.4

Элемент схемы Изображение Соотношения

Rtitu

)()(



(j ) (j )

UIR





tdi

Ltu

)(



(j ) (j )j

UIL







(0) 0

u 

() ()

ut itdt





(j )





Напряжение

не зависит от тока

Ток не зависит

от напряжения

Пусть, например, частотный спектр величины на входе некоторой

электрической цепи (рис. 10.23, а) известен:

(j )V



().vt

Тогда ча-

стотный спектр выходной величины

()

можно найти как

(j ) (j ) (j ).FKV







Здесь

j()

(j ) ( ) ( ) j ( )KKe BM









 

ком-

плексная передаточная функция, которая определяется расчетом ком-

плексной схемы замещения цепи или экспериментально. В свою оче-

редь

() (j) () ()KK B M

 

  амплитудно-частотная ха-

рактеристика,

() arg ( ) arctg[ ()/()]Kj M B



 

 

фазо-частотная

характеристика,

( ) Re (j ) ( )cos[ ( )]BKK







– вещественная ча-

стотная характеристика,

( ) Im (j ) ( )sin[ ( )]







– мнимая

частотная характеристика. Нетрудно заметить, что

()K



()B



яв-

ляются четными функциями частоты, а

()



()





– нечетными.

Если входная величина изменяется по закону единичного скачка

Хевисайда

() 1(),vt t



то ее частотный спектр, как показано выше,

(j ) 1 (j ).V





В этом случае оригинал выходной величины (переход-

ная характеристика) может быть найден как

() ()

tht

(j ) (j ) (j ).FK







Тогда по теореме дифференцирования при нуле-

вых начальных условиях

()ht



j(j) (j)FK







и с помощью

(10.36) можно найти

jj[()]

() (j ) ( )

()cos[ ()] ()sin[ ()] .

ht K e d K e d

td K td



  





  







 



 



 





Учитывая соображения о четности и нечетности частотных характе-

ристик, приходим к выводу, что первый интеграл – это четная функция ча-

стоты и поэтому его значения на интервалах

(,0)и (0, )





одинаковы,

а второй интеграл – нечетная функция частоты и равен нулю. Поэтому

() ()cos[ ()] .ht K t d















Если заменить в этой формуле t на



и учесть, что до коммутации

(0)t 

цепь не имела запасов энергии, так что

()0,ht







то окажется

()0 ()cos[() ] .ht K td



  







 



Расписывая тригонометрические функции суммы и разности двух

аргументов через синусы и косинусы каждого из углов, получим

() [ ( )cos( ) ( )sin( )] ,ht B t M t d















0[()cos()()sin()].

tM td













После почленного сложения и вычитания этих равенств придем к

формуле

() ()cos( )] ()sin( )] .ht B t d M t d



  











И, наконец, взяв интеграл







dtthth

)()(

с учетом

(0) 0h 

, получим:

2() 2 ()

( ) sin( ) cos( ) .

ht td td







  







Эта формула служит основой для приближенного вычисления пе-

реходной функции по вещественной или по мнимой частотной характе-

ристике.

Более подробное знакомство с частотным методом предполагается

в специальных курсах.

10.5.2. Понятие о методе переменных состояния

Уравнениями состояния называют в принципе любую систему

уравнений, описывающих состояние цепи, определяющих ее режим ра-

боты. В более узком смысле этот термин относят к системе дифферен-

циальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно про-

изводных. Число уравнений, как и число самих переменных состояния,

равно порядку цепи, который не может превышать суммарного количе

ства индуктивностей и емкостей.

Основными переменными состояния следует считать токи в индук-

тивностях (или их потокосцепления) и напряжения на емкостях (или их

заряды). Ведь именно эти переменные отвечают за энергетическое со-

стояние цепи в каждый данный момент времени

M Э

(, ),

WiWqu







именно их число определяет порядок

системы уравнений, именно эти переменные состояния оказываются

непрерывными величинами (а их начальные условия – независимыми,

которые определяются по законам коммутации).

Метод анализа цепи, основанный на составлении и решении урав-

нений состояния, называют методом переменных состояния. Он ис-

пользует две группы формул. Одна – это собственно уравнения состоя-

ния, т. е. система дифференциальных уравнений первого порядка. В нее

в качестве неизвестных входят переменные состояния

(),

а в качестве

известных – входные величины

().vt

Вторая – алгебраические уравне-

ния, связывающие выходные величины

()

со входными и с перемен-

ными состояния. В матричной форме система уравнений имеет вид:

;















xAxBv

fCxDv

Здесь

x, v, f – матрицы-столбцы соответственно переменных состо-

яния, ЭДС и токов источников, выходных токов и напряжений;

А –

квадратная,

В и С – прямоугольные матрицы коэффициентов, которые

выражаются через параметры цепи.

Чтобы записать эти уравнения для простых цепей, достаточно быва-

ет воспользоваться законами Кирхгофа. С применением принципа нало-

жения легко определяются матрицы коэффициентов. В сложных случаях

коэффициенты матричных уравнений определяют с помощью топологи-

ческих методов. А решают их обычно численными методами [9].

Метод переменных

состояния эффективен:

♦ при расчете переходных процессов с большим количеством

накопителей энергии;

♦ при сложных законах изменения

(),et

();

♦ при анализе многих вариантов с различными параметрами;

♦ при расчете нелинейных и параметрических цепей.

Пример 32.1

Составить уравнения состояния для уже знакомой по классиче-

скому и операторному методам цепи второго порядка (рис. 10.20, а).

Решение

По второму закону Кирхгофа для левого контура и по первому за-

кону для одного из узлов можно записать:

LCL C L

udu

uuiRL i iC

dt R dt



   

Отсюда легко находятся первые производные переменных состоя-

ния

и .

Полученные соотношения и представляют собой урав-

нения состояния:

;

11 1

dt L L

iu E

dt C R C R C











 

  

В матричной форме



CRC









 





 



 











Для решения дифференциальных уравнений численным методом

следует задать:

1) независимые начальные условия

(0) и (0);

2) расчетное время

3) шаг по времени h.

Расчет можно завершить при

pmax

3,t





когда переходный процесс

практически заканчивается. Строгих критериев для выбора шага нет, но

для первого варианта расчета можно принять

min

3.h





Здесь

max



min



соответственно наибольшая и наименьшая из постоянных времени

отдельных ветвей.

В рассматриваемом примере

2,5LR





мс,

2,5RC





мс –

это взятые по модулю величины, обратные коэффициентам при

Примем

0,75h 

мс и

7,5t



мс. Тогда при

(0) 0,2 A

i 

(0) 114 B

u 

решение уравнений состояния



164

400

40010

5,2400





























































методом Рунге-Кутта [9] дает значения, приведенные в табл. 10.5.

Таблица 10.5

мс

0 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4,5 5,25 6 6,75 7,5

мА

200 398 507 548 546 520 485

51 424 405 394

164

43,8 119,1 96,2 78,1 65,8 58,7 55,7 55,5 56,8 58,8

Этот результат хорошо согласуется с аналитическим решением

примера 10.8.

10.5.3. Понятие об интегрирующих и дифференцирующих цепях

Цепи, напряжение на выходе которых пропорционально производ-

ной или интегралу от входного напряжения, называются, соответствен-

но, дифференцирующими или интегрирующими. Их основное назначе-

ние – формирование электрических сигналов определенной формы.

Схемы простейших дифференцирующих цепей показаны на рис. 10.28.