Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.Д. Эськов, А.В. Каталевская
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Часть 2
Допущено Научно-методическим советом по электротехнике
и электронике Министерства образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
и 140200 «Электротехника, электромеханика
и электротехнологии» бакалаврской и магистерской подготовки
Издательство
Томского политехнического университета
2011
УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.21я73
Э88
Эськов В.Д.
Э88 Теоретические основы электротехники. Часть 2: учебное
пособие / В.Д. Эськов, А.В. Каталевская; Томский политехни-
ческий университет. – Томск: Изд-во Томского политехниче-
ского университета, 2011. – 192 с.
ISBN 978-5-98298-950-5
В пособие включены материалы, предусмотренные программой курса
«Теоретические основы электротехники». Во второй части пособия рас-
смотрены следующие вопросы: переходные процессы в линейных элек-
трических цепях, установившиеся и переходные режимы нелинейных це-
пей и цепей с распределенными параметрами, стационарные электриче-
ские и магнитные поля.
Предназначено для самостоятельной работы студентов Энергетиче-
ского института ТПУ.
УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.21я73
Рецензенты
Доктор технических наук, профессор
заведующий кафедрой ТОЭ ТУСУРа
В.М. Дмитриев
Доктор технических наук
профессор ТГАСУ
В.Л. Корольков
ISBN 978-5-98298-950-5 © ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Эськов В.Д., Каталевская А.В., 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
10. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ .............................. 8
10.1. Законы коммутации ........................................................................... 8
10.2. Классический метод .......................................................................... 9
10.2.1. Принужденная и свободная составляющие ............................. 9
10.2.2. Определение начальных условий ............................................ 11
10.2.3. Способы составления характеристического уравнения ....... 13
10.2.3.1. Метод алгебраизации ........................................................ 13
10.2.3.2. Метод операторного сопротивления ............................... 14
10.2.3.3. Метод операторной проводимости .................................. 14
10.2.4. Алгоритм расчета переходного процесса
классическим методом ............................................................ 15
10.2.5. Переходный процесс в цепи первого порядка ....................... 15
10.2.6. Переходный процесс
в цепи второго порядка ....................... 21
10.2.6.1. Апериодический разряд конденсатора ............................ 22
10.2.6.2. Колебательный разряд конденсатора .............................. 24
10.2.6.3. Критический процесс ........................................................ 26
10.2.6.4. Алгоритм расчета сложной цепи второго порядка ........ 27
10.3. Операторный метод расчета переходных
процессов в линейных цепях ......................................................... 29
10.3.1. Преобразование Лапласа и его свойства ................................ 29
10.3.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме ..................... 31
10.3.3. Операторная схема замещения ................................................ 32
10.3.4. Алгоритм расчета переходного процесса
операторным
методом ............................................................. 33
10.3.5. Комбинированный (операторно-классический) метод ......... 35
10.4. Применение принципа наложения к расчету переходных
процессов при воздействиях сложной формы ............................. 37
10.4.1. Понятие о переходных функциях ........................................... 37
10.4.2. Формулы Дюамеля ................................................................... 39
10.4.3. Понятие об импульсных функциях ......................................... 41
10.4.4. Сведение расчета переходного процесса к нулевым
начальным условиям ............................................................... 41
10.4.4.1. Замыкание рубильника ..................................................... 42
10.2.4.2. Размыкание рубильника . .................................................. 43
4
10.5. Расчет переходных процессов
в сложных и специальных схемах ................................................ 44
10.5.1. Понятие о частотном методе ................................................... 44
10.5.2. Понятие о методе переменных состояния .............................. 48
10.5.3. Понятие об интегрирующих и дифференцирующих цепях . 50
10.5.4. Обобщенные законы коммутации ........................................... 51
11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ....................................................................... 55
11.1. Основные понятия и определения ................................................. 55
11.2. Общая характеристика методов расчета нелинейных цепей ...... 56
11.3. Нелинейные цепи постоянного тока .............................................. 57
11.3.1. Схемы замещения пассивных и
активных нелинейных
элементов .................................................................................. 57
11.3.2. Графический расчет нелинейных цепей
с последовательным и параллельным
соединением двухполюсников ............................................... 59
11.3.3. Графический расчет нелинейной цепи с двумя узлами ........ 63
11.3.4. Линеаризация ВАХ нелинейного элемента
в ограниченной области .......................................................... 64
11.3.5. Расчет сложной цепи с одним нелинейным элементом ....... 66
11.3.6. Расчет сложной цепи с двумя нелинейными элементами .... 68
11.4. Магнитные цепи ............................................................................... 70
11.4.1. Основные понятия и определения
.......................................... 70
11.4.2. Законы магнитных цепей ......................................................... 71
11.4.3. Аналогия электрических и магнитных цепей ........................ 73
11.4.4. Расчет неразветвленной магнитной цепи ............................... 74
11.4.5. Расчет магнитной цепи с двумя узлами ................................. 76
11.5. Нелинейные цепи переменного тока ............................................. 80
11.5.1. Инерционные и безынерционные элементы .......................... 80
11.5.2. Исследование периодических режимов
в нелинейных цепях по характеристикам
для мгновенных значений ....................................................... 80
11.5.2.1. Графическое определение реакции безынерционного
нелинейного элемента на воздействие идеального
источника гармонического тока или напряжения ......... 80
11.5.2.2. Аналитическое определение реакции нелинейного
элемента ............................................................................. 86
11.5.3. Схемы и принципы работы некоторых нелинейных
устройств .................................................................................. 88
11.5.3.1. Утроитель частоты ............................................................. 88
11.5.3.2. Удвоитель частоты ............................................................ 89
5
11.5.3.3. Магнитный усилитель ....................................................... 91
11.5.4. Электрические цепи с вентилями ........................................... 92
11.5.5. Расчет нелинейных цепей по характеристикам для
действующих значений
(метод эквивалентных синусоид) ........................................... 95
11.5.6. Резонансные явления в нелинейных цепях ............................ 98
11.5.7. Векторная диаграмма и схема замещения катушки с
ферромагнитным сердечником ............................................ 102
11.6. Переходные процессы в нелинейных цепях ............................... 104
11.6.1. Принципиальное отличие переходных процессов
в нелинейных цепях от переходных процессов
в
линейных цепях ................................................................... 104
11.6.2. Метод условной линеаризации ............................................. 105
11.6.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации ........................... 106
11.6.4. Метод последовательных интервалов времени ................... 107
11.6.5. Особенности применения метода переменных
состояния к расчету переходных процессов
в нелинейных цепях ............................................................... 108
12. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ................. 112
12.1. Общие положения .......................................................................... 112
12.1.1. Основные понятия и определения ........................................ 112
12.1.2. Уравнения однородной двухпроводной линии
в частных производных ......................................................... 113
12.2. Установившийся синусоидальный режим работы
однородной двухпроводной линии ............................................. 114
12.2.1. Уравнения линии в установившемся
синусоидальном режиме ....................................................... 114
12.2.2. Бегущие волны ........................................................................ 115
12.2.3. Уравнения линии в гиперболических функциях ................. 118
12.2.4. Линия без искажений ............................................................. 120
12.2.5. Линия без потерь ..................................................................... 121
12.3. Переходные процессы в цепях
с распределенными параметрами ............................................... 126
12.3.1. Прямая и обратная волны ...................................................... 126
12.3.2. Возникновение волн с прямоугольным фронтом ................ 129
12.3.3. Расчет переходного процесса в нагрузке линии без потерь
при падении на нее волны ..................................................... 130
12.3.4. Переход волны с одной линии
на другую ................................................................................ 131
12.3.5. Многократное отражение волн ............................................. 133
6
12.3.7. Расчетные схемы замещения для определения
прямой волны при подключении нагрузки к линии
и отключении нагрузки от нее .............................................. 136
13. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ................................................. 139
13.1. Полная система уравнений электромагнитного поля ................ 139
13.1.1. Основные величины, характеризующие
электромагнитное поле ......................................................... 139
13.1.2. Первое уравнение Максвелла ................................................ 140
13.1.3. Второе уравнение Максвелла ................................................ 140
13.1.4. Постулат Максвелла и теорема Гаусса ................................. 141
13.1.5. Принцип непрерывности магнитного поля
.......................... 142
13.1.6. Соотношения, характеризующие свойства среды ............... 142
13.1.7. Полная система уравнений ЭМП
и оператор Гамильтона .......................................................... 143
13.2. Электростатическое поле .............................................................. 144
13.2.1. Уравнение Лапласа–Пуассона ............................................... 144
13.2.2. Теорема единственности и ее следствия .............................. 145
13.2.3. Граничные условия на поверхности
раздела двух сред с различными
диэлектрическими проницаемостями .................................. 146
13.2.4. Граничные условия на поверхности раздела
проводника и диэлектрика .................................................... 147
13.2.5. Плоскопараллельное и плоскомеридианное поля ............... 148
13.2.6. Расчет полей
в областях с простой геометрией ................... 149
13.2.6.1. Применение теоремы Гаусса
в интегральной форме .................................................... 149
13.2.6.2. Применение принципа наложения ................................. 151
13.2.6.3. Непосредственное интегрирование
уравнения Лапласа .......................................................... 153
13.2.7. Определение потенциала по заданному
распределению зарядов ......................................................... 154
13.2.8. Метод зеркальных изображений ........................................... 155
13.2.9. Метод сеток ............................................................................. 157
13.2.10. Расчет электрических емкостей .......................................... 160
13.2.11. Три группы формул Максвелла .......................................... 161
13.3. Электрическое поле постоянных токов
в проводящей среде ...................................................................... 165
13.3.1. Уравнение Лапласа ................................................................. 165
7
13.3.2. Граничные условия на поверхности раздела
двух сред с различными удельными
проводимостями ..................................................................... 165
13.3.3. Граничные условия на поверхности
раздела проводника и диэлектрика ...................................... 166
13.3.4. Аналогия между электрическим полем тока
в проводящей среде и электростатическим полем
в диэлектрике ......................................................................... 167
13.4. Магнитное поле постоянных токов ............................................. 170
13.4.1. Скалярный и векторный магнитные потенциалы ............... 170
13.4.2. Граничные условия на поверхности раздела двух сред
с различными магнитными проницаемостями ................... 173
13.4.3. Расчет магнитных полей в областях
с простой геометрией ............................................................ 174
13.4.4. Расчет индуктивностей .......................................................... 181
13.4.5. Теорема Умова–Пойнтинга ................................................... 186
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................................... 188
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ..................................................................................... 190
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ..................................................................................... 191
8
10. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
10.1. Законы коммутации
Переходным называется процесс перехода от одного установившего-
ся режима к другому. В установившихся режимах характер всех токов и
напряжений определяется видом действующих в цепях источников энер-
гии: постоянные, синусоидальные, несинусоидальные периодические.
Любые резкие изменения состояния цепи (переключения, скачко-
образные изменения параметров), называемые коммутациями, сопро-
вождаются переходными процессами. Даже за малое время
их суще-
ствования токи и напряжения могут во много раз превысить соответ-
ствующие величины номинального режима.
Вначале мы будем рассматривать переходные процессы в линейных
цепях, поэтому исключим из рассмотрения электрическую дугу, которая
почти всегда сопровождает переходные процессы и является типично не-
линейным элементом. Для этого будем считать, что коммутация происхо-
дит мгновенно
к
(0).t
Условимся также совмещать с моментом комму-
тации начало отсчета времени
(0).t
Будем, однако, различать
0t
(момент, непосредственно предшествующий коммутации, когда переход-
ный процесс еще не начался) и
0t
(момент, непосредственно следую-
щий за коммутацией, – фактическое начало переходного процесса). На
схемах условимся изображать коммутацию с помощью ключа, для которо-
го указано его положение до коммутации (рис. 10.1, а). На этом же рисун-
ке показаны состояния ветвей до (б) и после (в) коммутации.
Отметим важное положение: в реальной цепи действуют источники
конечной мощности, поэтому в момент коммутации мощность
t
WW
dt
dW
p
t
)0()0(
lim
0
не может достигать бесконечно больших значений. Значит, должно вы-
полняться условие:
(0 ) (0 ) 0.WW
В момент коммутации энергия,
связанная с цепью, не может измениться скачком.
9
Это относится как к энергии магнитного поля
2
М
2,WLi
запасен-
ной в катушке индуктивности, так и к энергии электрического поля
2
Э
2,WCu
запасенной в конденсаторе. Отсюда вытекают два след-
ствия, которые в силу их важности носят название законов коммутации.
Первый закон коммутации
Ток в катушке и ее потокосцепление в момент коммутации не мо-
гут измениться скачком:
(0 ) (0 ), (0 ) (0 ).
L
L
ii
(10.1)
Второй закон коммутации
Напряжение на конденсаторе и его заряд в момент коммутации
не могут измениться скачком:
(0 ) (0 ), (0 ) (0 ).
CC
uu qq
(10.2)
Иными словами,
и
L
C
iu
непрерывные величины. Поэтому
пропорциональные их производным напряжение на катушке и ток в
конденсаторе не могут достичь бесконечно больших значений. Сами же
и
L
C
ui
скачком измениться могут.
Все основные законы электрических цепей действуют и во время
переходного процесса.
Закон Ома:
.
R
uRi
Законы Кирхгофа:
0i
(в узле) и
ue
(в контуре).
Законы электромагнитной и электростатической индукции:
и .
C
L
LC
du
di
uL iC
dt dt
Чтобы рассчитать переходный процесс, найти закон изменения
определенной величины, нужно решить систему дифференциальных
уравнений. Существует несколько методов решения этих уравнений,
широко используемых в электротехнике. Рассмотрим некоторые из них
подробно.
10.2. Классический метод
10.2.1. Принужденная и свободная составляющие
Если свести систему уравнений, описывающих состояние цепи, к
одному уравнению с одним неизвестным (скажем, током в одной из вет-
вей, исключив остальные), то оно будет иметь вид:
0
().
k
n
k
k
k
di
aft
dt
(10.3)
10
Здесь
()
f
t
свободный член, содержащий как параметры источни-
ков, так и пассивных элементов схемы, а коэффициенты
k
a
зависят
только от параметров приемников. Очевидно, порядок этого уравне-
ния n не может превышать числа накопителей энергии (L и C) в схеме.
Полное решение
()it
уравнения (10.3) можно представить в виде
суммы общего решения и частного. Общее – это решение уравнения без
правой части, а, значит, не зависящее от параметров внешних источни-
ков. Поэтому его можно назвать свободной составляющей
св
().it
Физи-
чески ее существование можно объяснить изменением запасов энергии
в индуктивностях и емкостях. Со временем свободный процесс затуха-
ет, поскольку его энергия рассеивается на сопротивлениях. Теоретиче-
ски, при
t
этот процесс прекращается, так что
св
() 0.i
Тогда
наступает установившийся режим, где остается лишь частное решение.
Его форма определяется характером источников, поэтому его называют
принужденной составляющей
пр
()it
.
Таким образом, решение записывается в виде суммы принужден-
ной и свободной составляющих:
св пр
() () ().it i t i t
(10.4)
В этом и заключается сущность классического метода расчета пе-
реходных процессов. Фактически это метод наложения, причем обе со-
ставляющие действуют с самого начала переходного процесса.
Что касается принужденной составляющей, то для ее определения
нужно рассчитать установившийся режим послекоммутационной цепи.
Форма записи свободной составляющей, как решения однородного
уравнения (без правой части)
св
0
0,
k
n
k
k
k
di
a
dt
(10.5)
зависит от вида корней характеристического уравнения
.0
0
n
k
k
k
pa
(10.6)
Последнее можно получить из (10.5) заменой
,на
k
k
св
k
p
dt
id
в том числе
0
0
dt
id
i
св
заменяется на
0
1.p
В частности, при различных корнях
k
p
решение уравнения (10.5) можно представить в виде суммы экспонент
n
k
tp
k
k
eAi
1
св
. (10.7)