Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

От оригинала к изображению переходят с помощью обратного пре-

образования Лапласа:

() ( ) .

tFpedp















(10.28)

В часто встречающемся при расчете переходных процессов случае, ко-

гда изображение представляет собой рациональную дробь, оригинал

можно найти с помощью теоремы разложения. Если корни знаменателя

различны, то формула перехода имеет вид (10.26), представленный в

табл. 10.1. При наличии кратных корней формула усложняется (см. [2]).

10.3.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Свойство линейности (10.19) позволяет перейти от законов

Кирхгофа для мгновенных значений к законам Кирхгофа для их опера-

торных изображений

в узле:

() 0it





() 0,Ip





в контуре:

() ()ut et



() ().Up Ep





Падение напряжения на ветви, составленной из двухполюсников R,

L, C, складывается из трех составляющих:

() (0) .

di di

u t Ri L idt Ri L u idt

dt C dt C





    



(10.29)

Здесь (0) (0), (0)

idt q u q









заряд, накопленный на об-

кладках конденсатора к началу переходного процесса.

Используя теоремы интегрирования, дифференцирования и свой-

ство линейности, переходим от мгновенных значений величин, входя-

щих в формулу (10.29), к их изображениям:

.)()(где),/)0()0()()(

)/()(/)0()]0()([)()(

1











CpLpRpZpuLipIpZ

CppIpuippILpRIpU

Операторное сопротивление

()

по форме совпадает с комплекс-

ным сопротивлением

(j )





с заменой



на p.

При нулевых начальных условиях имеем знакомую формулу закона

Ома:

() ()().Up IpZp

При ненулевых в ней присутствуют так называ-

емые внутренние ЭДС:

(0),Li

направленная по току, и

(0)/ ,

направленная против тока, так что



() () (0) (0) ().

Ip Up Li u p Zp

Таким образом, уравнения, описывающие состояние цепи во время

переходного процесса в операторной форме, имеют тот же вид, что и

уравнения, описывающие состояние цепи постоянного тока. Следова-

тельно, все методы расчета установившихся режимов применимы для

расчета операторной схемы замещения цепи.

10.3.3. Операторная схема замещения

Эта схема составляется для послекоммутационной цепи. В ней каж-

дому внешнему источнику ЭДС

()et

или тока

()jt

соответствуют их

операторные изображения

()Ep

или

(),

которые определяются с по-

мощью прямого преобразования Лапласа и имеют ту же полярность.

Каждой индуктивности соответствуют операторное сопротивление

внутренняя ЭДС

(0),Li

направленная по току, каждой емкости – опера-

торное сопротивление

1/Cp

и ЭДС

(0) ,

направленная против тока.

Сопротивление R и его операторное изображение выглядят одинаково.

Схемы простейших двухполюсников и их изображения представ-

лены в табл. 10.3.

Таблица 10.3

Элемент схемы Изображение Соотношения

Rtitu

)()(



RpIpU

)()( 

tdi

Ltu

)(

)( 

)0()()( LiLppIp









dtti

utu

)(

)0()(

)()0(

)( 

Напряжение

не зависит от тока

Ток не зависит

от напряжения

В ветвях схемы протекают операторные изображения токов, кото-

рые вызывают на элементах схемы операторные изображения напряже-

ний. Схема может быть рассчитана любым методом (контурных токов,

узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д.), в результате

чего определяется операторное изображение искомой величины. Затем с

помощью теоремы разложения или специальных таблиц изображений

по Лапласу

находится ее оригинал.

10.3.4. Алгоритм расчета переходного процесса

операторным методом

Пример 10.9

Найти

()

в схеме рис. 10.20, а с теми же параметрами, что и в

примере 10.2.

Решение

1. Определяем независимые начальные условия, как это было

сделано в классическом методе

(0) 0,2 A и (0) 114 B.

iu

2. Составляем операторную схему замещения, как это было опи-

сано выше (рис. 10.21, а), и определяем ее параметры, в частности опе-

раторное изображение внешней ЭДС и внутренние ЭДС:

( ) 164

pEp p

В·с,

(0) 0,08



В·с и

(0) 114

up p



В·с.

3. Любым методом (например, методом узловых потенциалов)

определяем изображение искомой величины

()()

() () , где

()

Cab

EpYp

UpU p





21 21

(0)

/(0) 11

()() , () .

Ep Li

pY p Cp Y p Cp

RRLp p RRLp

   





Приведем операторное изображение к виду















































LCR

CRL

ppp

CRu

pup

)0(

)(

4. Прежде чем подставить числа, проверим размерности числи-

теля и знаменателя. Размерность всех слагаемых знаменателя



() 1c,Bp  числителя



() Bc,Ap  всей дроби





() Bc,

Up

как

это и должно быть у изображения напряжения.

Затем проверим выполнение теоремы о предельных соотношениях

(10.27). Она также выполняется:

112 пр

() ( ) () и () (0).

CCCCC

pU p R E R R u u pU p u



 

Операторное изображение после подстановки числовых значений

114 91200 26,24 10

() Вс.

( 800 410000)

pp p







5. Находим корни знаменателя, приравняв B(p) = 0. Два из них

оказываются комплексными сопряженными:

1, 2

400 j500 сp



 

совпадают с корнями характеристического уравнения, найденными в

примере 10.8, а один

0.p 

6. Для определения оригинала искомой величины применим тео-

рему разложения (10.26):

)(



()

() ,

()

ut e







где ( ) 3 1600 410000Bp p p



 

Знаменатель изображения можно представить в виде:

() ( )( ), тогдаBp pp p p p 

12 2 1

()()()()()Bp pppp ppp ppp



     

и легко вычисляется

().



Промежуточные вычисления:

( ) 26240000 Вс ;Ap 

01,2

( ) 410000 c ; ( ) 20480000 B c ;Bp Ap







j38,7 2

1,2

( ) (500000 j400000) 640000e c .Bp







  



Тогда

B.323264

640000

20480000

640000

20480000

410000

26240000

)(

)500j400(7,38j)500j400(7,38j

)500j400(

7,38j

)500j400(

7,38j

eeee

etu

























После перехода к вещественным числам имеем тот же результат, что и в

классическом методе:

B.)7,38500cos(6464)(

400 





tetu

График

()

построен на рис. 10.21, б. Затухающая косинусоида

400

св

64 cos(500 38,7 ) B

ue t







с постоянной времени

св

400 2,5 мс







и периодом

св

2 500 12,56 мсT





колеблется относительно принуж-

денной составляющей

пр

64 В.



К достоинствам операторного метода можно отнести возможность

использования методов расчета установившихся режимов при расчете

переходных процессов с предварительным определением только неза-

висимых начальных условий. К недостаткам – значительное усложне-

ние расчетов при наличии в цепи источников, параметры которых зави-

сят от времени. Упростить расчет позволяют некоторые специальные

приемы: использование комбинированного метода,

сведение расчета

переходного процесса к нулевым начальным условиям.

10.3.5. Комбинированный (операторно-классический) метод

Как и в классическом методе, решение записывается в виде суммы

принужденной и свободной составляющих. Принужденная, как обычно,

находится из расчета установившегося режима послекоммутационной

цепи. А свободная определяется операторным методом, для чего со-

ставляется схема замещения свободного процесса, в которой внешние

источники отсутствуют (ЭДС замыкают накоротко, источники тока от-

ключают), а внутренние

определяются по начальным значениям сво-

бодных составляющих

св

(0)

св

(0)

. Метод целесообразно

применять, например, при наличии в цепи источников, ЭДС или задаю-

щие токи которых являются периодическими функциями времени

(изображения таких функций дают по два корня знаменателя на каждую

гармонику).

Пример 10.10

Составить алгоритм расчета переходного процесса комбиниро-

ванным методом для схемы с гармоническим источником, показанной

на рис. 10.15, а, с теми же параметрами, что и в примере 10.6.

Решение

1. Определяем независимое начальное условие. При расчете схе-

мы рис. 10.15, в в примере 10.6 уже было найдено начальное значение

напряжения на конденсаторе

(0) 40 В.





2. Находим принужденные составляющие искомой величины и

непрерывной величины. В примере 10.6 уже определены и та, и другая:

пр пр

( ) 7,6sin(1000 74,7 ) А, ( ) 44,7sin(1000 26,5 ) В.

it t ut t  



При этом

пр

(0) 20 В.

u 

3. Определяем начальное значение свободной составляющей не-

прерывной величины

св пр

(0) (0) (0) 40 20 20

CCC

uuu 

и составляем операторную схему свободного процесса. Она показана на

рис. 10.22.

4. Рассчитываем по закону Ома операторное изображение сво-

бодной составляющей искомого тока:

св

св св

(0)

111

() Кл.

500

Ip R p

pCpRRCp



    







Затем по таблице находим оригинал

500

св

() 1 А.

it e





5. Суммируем принужденную и свободную составляющие и, как

в классическом методе, получаем

500

пр св

( ) 7,6sin(1000 74,7 ) 1 А.

it i i t e



  



10.4. Применение принципа наложения к расчету

переходных процессов при воздействиях сложной формы

10.4.1. Понятие о переходных функциях

Пусть на вход некоторой пассивной линейной электрической цепи

(рис. 10.23, а) подается сигнал (осуществляется воздействие)

()vt

и тре-

буется найти на ее выходе реакцию

().

Если

() const,vt V

то задача в принципе решается достаточно

просто классическим или операторным методом. Если это воздействие

появляется в момент

0t 

при нулевых начальных условиях, то его

можно описать как

() 1()vt V t

с помощью единичной функции (единич-

ного скачка) Хевисайда (рис. 10.23, б):

0, 0;

1( )

1, 1.













(10.30)

Если же оно возникает в момент

,tt



то

() 1( )tVtt



 

(рис. 10.23, в).

Реакция цепи

()

будет пропорциональна воздействию:

() ()

tVht

или при наличии запаздывания

() ( ).

tVhtt





()ht

называется переходной функцией (переходной характеристикой), оче-

видно, она численно равна выходной величине, когда входная изменя-

ется по закону единичного скачка.

()t

В электрических цепях возможны четыре разновидности переход-

ных функций в зависимости от сочетания входных и выходных величин.

Если входная величина – напряжение, а выходная – ток, то при по-

стоянном напряжении на входе цепи

constU



ток на выходе окажется

равным

() (),it U yt

где

()yt



переходная проводимость. Если же

нужно при той же входной величине найти напряжение, то оно опреде-

ляется по формуле

() (),

ut U h t

где

()



переходная функция

напряжения. Для определения этих переходных функций нужно рассчи-

тать переходный процесс в цепи с нулевыми начальными условиями

при подключении ее к источнику постоянной ЭДС Е = 1 В

(рис. 10.24, а). Тогда

() ()

() , где () .

EB EB

it ut

yt h t



(10.31)

Если же входная величина – ток, а нужно найти на выходе ток или

напряжение, то вводятся соответственно переходная функция тока

()

или переходное сопротивление

(),zt

так что при

const



получится

() () или () ().

it J h t ut J zt 

Для их определения нужно рассчитать переходный процесс в цепи

с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику

постоянного тока J = 1 A

(рис. 10.24, б). Тогда

() ()

() или () .

JA JA

it ut

ht zt



(10.32)

Пример 10.11

Определить переходную проводимость цепи (рис. 10.24, в) с из-

вестными параметрами R, C.

Решение

Переходную проводимость

()yt

определим по уравнению (10.31),

рассчитав ток при подключении цепи рис. 10.24, в к источнику ЭДС Е = 1 В.

Согласно классическому методу

пр св

() () ()it i t i t





В установившемся режиме послекоммутационной цепи постоян-

ный ток через конденсатор не течет, следовательно,

пр

0i 

. Тогда

св

() ()

it i t Ae

Характеристическое уравнение имеет вид:

() 1 0Zp R Cp 

, откуда

1pRC





До коммутации конденсатор не был заряжен, поэтому

до

(0) 0.



Постоянная интегрирования

(0)

iER



, так как в первый мо-

мент незаряженный конденсатор представляет собой закоротку.

Так что

ti )(

, тогда при Е = 1 В имеем





)(

10.4.2. Формулы Дюамеля

Если на вход некоторой цепи подключен источник, у которого ЭДС

()et

или ток

()jt

имеют сложную зависимость от времени, то при отыс-

кании тока i(t) или напряжения

()ut

на выходе цепи можно применить

принцип наложения. Для доказательства рассмотрим некоторую цепь с

переходной проводимостью

(),yt

на входе которой действует источник

непрерывной ЭДС, график мгновенного значения которой

()et

показан

на рис. 10.25, а. Заменим эту кривую ступенчатой линией через равные

промежутки времени





. Тогда можно считать, что в момент



включился источник

(0),e

в момент







источник

,e

при





ЭДС



e















Так что в момент





ток на выходе можно найти как сумму

составляющих от действия ЭДС, включившихся к данному моменту:

() (0) () ( ) (0) () ( ) .

it e yt e yt k e yt yt k











 





Устремляя





к нулю, учтем, что отношение конечных приращений

переходит в производную

(lim ),

ede











сумма бесконечно малых

превращается в интеграл, в результате чего получим формулу Дюамеля:

() (0)() ()( ) .

it e yt e yt d







 



(10.33а)

Используя свойства определенных интегралов и применяя инте-

грирование по частям, можно получить еще три формы записи интегра-

ла Дюамеля:

() (0)() ( )() .

it e yt e t y d











(10.33б)

() (0) () ( ) ( ) .

it y et e y t d







 



(10.33в)

() (0) () ( ) ( ) .

it y et et y d











(10.33г)

Здесь t – момент времени, в который определяется ток, а



– мо-

мент включения очередного бесконечно малого источника

() ,de e d







причем под интегралом t – переменная, не зависящая от



Если закон изменения

()et

различен на разных интервалах, при-

чем возможны разрывы первого рода, как на рис. 10.25, б, то и решения

для каждого из этих интервалов будут отличаться друг от друга:

11 1

() (0) () '( ) ( )

it e yt e yt d





 



для 0,tt

21 1

21 11 1 2

() (0) () '( ) ( )

[() ()]( ) '()( )

it e yt e yt d

et et yt t e yt d







 

  



для ,ttt

31 1 21

11 1 2 2 2 2

() (0) () '( ) ( ) [ ( )

()]( ) '()( ) ( )]( )

it e yt e yt d et

e t yt t e yt d e t yt t



 

  



для .tt

Отметим, что при записи решения на любом из интервалов времени

верхний предел последнего интеграла равен t (если, конечно, этот инте-

грал существует).

Пример 10.12

Определить ток в цепи рис. 10.24, в при воздействии ЭДС, изме-

няющейся по экспоненциальному закону:

() (1 ).

et E e





Решение

Учтем, что

(0) 0, ( ) .

eee







