Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Часть нисходящей ветви предельного цикла, лежащую во втором

квадранте, называют кривой размагничивания (КР). Она приводится в

справочниках в качестве основной характеристики магнитотвердых

материалов (с широкой петлей гистерезиса), которые используются, в

частности, для изготовления постоянных магнитов.

Геометрическое место точек, соответствующих вершинам симмет-

ричных гистерезисных петель, называется основной кривой намагничи-

вания (ОКН). Она

приводится в справочниках как основная характери-

стика магнитомягких материалов (с узкой петлей гистерезиса), из кото-

рых изготавливают статоры и роторы электрических машин, сердечники

трансформаторов и др.

Поток вектора магнитной индукции сквозь некоторую поверхность

()

ds









(11.5)

называют магнитным потоком [Вб].

По аналогии с электрическим вводят понятие магнитного напряжения [А]

().

UHdl









(11.6)

В основе расчета магнитных цепей с постоянными магнитными по-

токами лежат два фундаментальных закона.

Закон полного тока: циркуляция вектора



по замкнутому кон-

туру равна полному току, охватываемому этим контуром:

полн

() ,

Hdl I











(11.7)

причем направление обхода контура и принятое положительное направ-

ление тока связаны правилом правоходового винта («буравчика»).

Принцип непрерывности магнитного потока: магнитный поток

сквозь замкнутую поверхность равен нулю:

()0.

Bds













(11.8)

11.4.2. Законы магнитных цепей

Расчет магнитных цепей значительно упрощается при введении ря-

да общепринятых допущений.

1. При вычислении магнитного потока по формуле (11.5) считают,

что весь магнитный поток замыкается по сердечнику из ферромагнит-

ного материала (потоками рассеяния пренебрегают). В этом случае из

принципа непрерывности магнитного потока следует

первый закон

Кирхгофа для магнитной цепи: алгебраическая сумма магнитных по-

токов в узле равна нулю







(11.9)

Отходящие от узла потоки учитыва-

ются с одним знаком, подходящие к уз-

лу – с другим. Например, для узла, пока-

занного на рис. 11.21, можно записать

12 3

11 2 2

()( )( )0,

SS S

Bds B ds B ds

 

   



123

0.     

2. Для упрощения вычислений предпо-

лагается, что во всех точках поперечного се-

чения ветви магнитной цепи магнитная ин-

дукция одинакова и нормальна к этому се-

чению, тогда магнитный поток в k-й ветви

() .

к kkk

Bds BS 









3. Если в качестве контура интегрирования в уравнении закона

полного тока (11.7) выбрать замкнутый путь по ветвям магнитной цепи,

то в левой части уравнения получится алгебраическая сумма магнитных

напряжений

()

UHdl







на отдельных участках. Для упрощения

вычислений длина участка считается равной длине средней линии маг-

нитной индукции, то есть практически подсчитывается по оси участка;

при этом магнитное напряжение на участке

kkk

UHl



С плюсом учи-

тываются напряжения на тех участках, в которых направление потока

совпадает с направлением обхода контура.

4. Если к тому же контур пронизывает k обмоток с токами

числом витков

то

полн





По аналогии с ЭДС величина

kкк

FwI 

называется магнитодвижущей (МДС) или намагничиваю-

щей (НС) силой обмотки. Она войдет в правую часть уравнения с плю-

сом, если направление тока в обмотке и направление обхода контура

связаны правилом правоходового винта («буравчика»).

В результате получается

второй закон Кирхгофа для магнитной

цепи:

алгебраическая сумма магнитных напряжений на участках маг-

нитной цепи, входящих в замкнутый контур, равна алгебраической

сумме МДС в том же контуре.





(11.10)

5. Поперечное сечение воздушного зазора принимается равным се-

чению соседних участков из ферромагнитного материала. Магнитное

напряжение на участках из неферромагнитного материала

UHl l



  

Поэтому к ним применим закон Ома для маг-

нитной цепи

: магнитное напряжение на участке из неферромагнит-

ного материала пропорционально магнитному потоку.

,UR





(11.11)

где коэффициент пропорциональности – магнитное сопротивление



1 Гн .





(Сравните с электрическим сопротивлением





6. В качестве допущения для участков из ферромагнитного матери-

ала в расчетах не учитывается явление гистерезиса. Для магнитомягких

материалов в качестве зависимости используется основная кривая

намагничивания, а для магнитотвердых – кривая размагничивания.

Если значения В на графике В(Н) (рис. 11.22, а) умножить на S, а

значения Н – на l, то с

учетом принятых выше (п. 2, 3) допущений полу-

чим ВбАХ участка

)(

M kk

U 

(рис. 11.22, б), которая отличается от

кривой В(Н) лишь масштабом

11.4.3. Аналогия электрических и магнитных цепей

Если сравнить соотношения, приведенные в разделах 11.4.3 и 2.3.1,

то нетрудно заметить аналогию в описании состояния магнитных цепей

и электрических цепей постоянного тока (табл. 11.1).

Таблица 11.1

Закон

Цепь

Кирхгофа

первый

Кирхгофа

второй

Ома

электрическая







URI

магнитная









UR

В табл. 11.2 указаны соответствующие друг другу величины (аналоги).

Таблица 11.2

Электрическая цепь

I E U R

U(I)

Магнитная цепь

()U 

Если воспользоваться аналогией и известными приемами расчета

электрических цепей, то расчет магнитной цепи будет подобен расчету

нелинейных цепей постоянного тока с той лишь разницей, что ВАХ не-

линейных сопротивлений обычно заданы, а ВбАХ участков необходимо

построить с учетом их геометрических размеров и свойств ферромаг-

нитных материалов. При этом удобно использовать схему

замещения

магнитной цепи, в которой каждому участку из ферромагнитного мате-

риала соответствует нелинейное магнитное сопротивление с ВбАХ

(),U

каждому участку из неферромагнитного материала соответ-

ствует линейное магнитное сопротивление

каждой обмотке –

МДС, направление которой определяется по правилу правоходового

винта («буравчика»). В ветвях схемы протекают магнитные потоки, на

участках и между узлами возникают магнитные напряжения.

11.4.4. Расчет неразветвленной магнитной цепи

Пример 11.6

На рис. 11.23, а схематически изображен электромагнит. Сердеч-

ник его выполнен из листовой электротехнической стали (длина сред-

ней линии l

= 20 см), а якорь – из литой стали (l

= 6 см). Площадь се-

чения каждого из них S = 4 см

. Кривые намагничивания этих материа-

лов показаны на рис. 11.23, б. Сердечник и якорь разделены воздушным

зазором толщиной l

= 0,2 мм. На сердечнике размещена обмотка с чис-

лом витков

400.w 

Возможны две задачи: прямая и обратная

Прямая задача

. Известен магнитный поток (пусть, например,

Ф = 0,48 мВб). Требуется найти ток в обмотке, необходимый для созда-

ния этого потока.

Решение

Вычислим магнитное сопротивление зазора:

210 1

400000 .

Гн

410 410











 



Затем магнитную индукцию:

0, 48 10

1, 2 Тл.

410





 



Теперь по кривым рис. 11.23, б находим напряженность магнитно-

го поля: в сердечнике Н

= 6 А/см и в якоре Н

= 24 А/см.

По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи найдем МДС:

МC МЯ МВ CC ЯЯ МВ

22FU U U Hl Hl R   

6 20 24 6 2 0,48 10 4 10 648 А.



     

Наконец,

648 400 1,62IFw





Обратная задача. Известен ток, например, I = 1 А.

Найти магнитный поток.

Решение

Задаваясь различными значениями магнитного потока, придется

несколько раз решить прямую задачу, чтобы построить вебер-амперную

характеристику (ВбАХ) магнитной цепи

()U



(рис. 11.23, в) и по ней

определить магнитный поток по вычисленному предварительно маг-

нитному напряжению

1 400 400 A.UFIw  

Получается Ф = 0,36 мВб.

При необходимости можно вычислить статическую индуктив-

ность обмотки

400 0,36 10

0,144 Гн





 

и силу, с которой якорь притягивается к сердечнику,

2265

BMB

0,36 10 4 10

22 2 518H.

210





  





Здесь

BBB MB

WBHlS R

энергия магнитного поля, запасен-

ная в воздушном зазоре.

11.4.5. Расчет магнитной цепи с двумя узлами

В электротехнических устройствах часто встречаются магнитные

цепи, сердечники которых выполнены из листовой электротехнической

стали в виде трех ветвей с двумя узлами. Рассмотрим порядок расчета

такой магнитной цепи, схематически изображенной на рис. 11.24, а.

Пример 11.7

Известны геометрические размеры сердечника и характеристика

его материала. Сердечник выполнен из листовой электротехнической

стали, основная кривая намагничивания которой приведена на

рис. 11.24, б. Площадь сечения

см









сердечника в крайних стержнях

составляет

,SS

а в среднем стержне –

На крайних стержнях

длиной





смll

находятся обмотки с числом витков

и тока-

ми





, А .II

В среднем стержне длиной

имеется воздушный за-

зор толщиной

Требуется определить магнитные потоки в каждом из стержней.

Решение

1. Разбиваем цепь на участки и подсчитываем их длины и площа-

ди сечений.

В крайних стержнях имеется только по одному участку с одинако-

выми сечением и длиной. В среднем стержне два участка: воздушный

зазор и примыкающие к нему части второго стержня из

стали. Парамет-

ры участков сведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3

Номер

участка k

Материал

см

Сталь

Воздух

Тл B

A/cм

а б

Рис. 11.24

2. Составляем схему замещения магнитной цепи (рис. 11.25) и

определяем ее параметры:













111 3 33 М B02

А , А ,1Гн .FIw FIw R l S



  

3. Записываем уравнения ВбАХ ветвей и всей схемы соответ-

ственно по второму и первому законам Кирхгофа для магнитной цепи:

M1 M11 1

() () ;

UU F 

(11.12)

2M2M22M

)()(  RUU

; (11.13)

33M33M

)()( FUU



; (11.14)



 )()()()(

M3M2M1M

babababa

UUUU

; (11.15)

где при k = 1, 2, 3 имеем

kkk





(11.16)

kkk

lHU



. (11.17)

4. Задаваясь значениями магнитной индукции





Тл

по фор-

муле (11.16) находим магнитные потоки





мВб



[Вб]. Затем по кри-

вой намагничивания B(H) определяем

[

A см

]. После этого вычис-

ляем

[A] по формуле (11.17) и, наконец, по формулам (11.12)–

(11.14) находим значения

)Ф(

5. По результатам вычислений строим ВбАХ ветвей (кри-

вые

1, 2, 3 на рис. 11.26, а – нумерация соответствует нумерации маг-

нитных потоков). Затем строим и характеристику всей цепи (кривая

4 на

рис. 11.26, а), складывая потоки при одних и тех же значениях узлового

магнитного напряжения

. Абсцисса точки пересечения эквивалент-

ной характеристики с осью напряжений (







) дает значение

ординаты точек на ВбАХ ветвей, соответствующие этому напряже-

нию, – значения магнитных потоков



в стержнях.

Примечания

1. Обратим внимание, что если в уравнении ВбАХ ветви к магнитному напря-

жению участка добавляется МДС +

F, как в (11.14), то ВбАХ участка смещается па-

раллельно самой себе вправо вдоль оси

. А если МДС вычитается, то ВбАХ сме-

щается влево.

2. Характеристика ветви с воздушным зазором более полога.

3. Если один из магнитных потоков, например, Ф

направлен от узла а к уз-

лу

b, то уравнение (11.4) примет вид: U

(Ф

) = –U

М3

(Ф

) + F

. Соответствующая

ВбАХ участка зеркально отображается относительно оси

Ф и смещается на величи-

ну

(рис. 11.26, б).

В схеме рис. 11.24 есть лишь один воздушный зазор, поэтому мож-

но ограничиться построением лишь одной кривой

()





, изменив

порядок расчета.

Зададимся произвольным значением потока



По форму-

ле (11.16) вычислим

По основной кривой намагничивания

(рис. 11.24, б) найдем

Затем по формуле (11.17) подсчитаем

M20

а по формуле (11.13) –

Зная последнее, по формулам (11.12 и

11.14) найдем

M10 M30

иUU

соответственно. Затем, используя

(11.17), подсчитаем величины

а по кривой В(Н) определим

соответствующие им значения

После этого вычислим



по формуле (11.16). Суммируя все три магнитных потока, найдем





Теперь в осях

()



нанесем точку 0, абсцисса которой равна

,

а ордината –





(рис. 11.27). Обнаружив, что





не равна

нулю, зададимся другим значением магнитного потока в среднем

стержне



и повторим расчет, определив новое значение суммы пото-

ков





Если и в этом случае







то нанесем на график

()



новую точку 1. Соединим отрезком прямой точки 1 и 0. Определим коор-

динату



точки пересечения этого отрезка с осью абсцисс и вновь по-

вторим расчет, вычислив





Нанесем на график соответствующую

точку 3. Если и она не окажется на оси абсцисс, то через точки 0, 1, 2

проведем плавную кривую и определим координату



точки ее пере-

сечения с осью абсцисс. Очередное повторение расчета дает, как прави-

ло, результат

0



с удовлетворительной степенью точности.

Таким образом, используя метод последовательных приближений, мож-

но получить решение с меньшим количеством вычислений и построений.

11.5. Нелинейные цепи переменного тока

11.5.1. Инерционные и безынерционные элементы

В периодических режимах параметры нелинейных элементов опре-

деляются динамическими характеристиками. Характеристики даже одно-

го и того же элемента различны при разной частоте и форме воздействия.

Как уже отмечалось, важнейшим признаком для выбора методики

расчета является инерционность элемента. Если постоянная времени про-

цесса, обусловливающего нелинейность, гораздо больше периода воздей-

ствия, то такой

элемент называется инерционным. Его характеристика для

мгновенных значений линейна, поэтому при синусоидальном воздействии

его реакция также синусоидальна. А нелинейной оказывается характери-

стика для действующих значений. Примеры инерционных элементов:

лампа накаливания; электромагнит, изменение индуктивности которого

связано с перемещениями отдельных деталей; конденсатор, одна из пла-

стин которого двигается под действием приложенного напряжения.

У безынерционного элемента нелинейна и характеристика для

мгновенных значений. При низких частотах ее можно считать совпада-

ющей со статической, поэтому реакция на синусоидальное воздействие

оказывается несинусоидальной. Примеры безынерционных элементов:

дроссель, полупроводниковый диод, обычный конденсатор.

11.5.2. Исследование периодических режимов в нелинейных цепях

по характеристикам для мгновенных значений

11.5.2.1. Графическое определение реакции безынерционного

нелинейного элемента на воздействие идеального источника

гармонического тока или напряжения

Эта задача легко решается отображением временной зависимости

воздействия относительно характеристики элемента.

Пример 11.8

В схеме с идеальной нелинейной индуктивностью (рис. 11.28, б),

известны веберамперная характеристика (ВбАХ) катушки и ток источ-

ника

() sin( ).

it I t





Обе зависимости показаны на рис. 11.28, а.

Построить зависимость

().t



Решение

Задавшись определенным значением t (например,

6),T

по кривой

()it

находим соответствующее значение i, затем по ВбАХ определяем



и в

осях

()t



отмечаем его для этого же момента времени. Повторяем эту опе-