Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Пример 11.3

Известны вольтамперные характеристики параллельно включен-

ных нелинейных сопротивлений

1 и 2 (схема показана на рис. 11.10, а,

ВАХ – на рис. 11.10, в).

Построить характеристику эквивалентного нелинейного элемента

(рис. 11.10, б).

Решение

Уравнение первого закона Кирхгофа для схемы рис. 11.10, а имеет вид:

() () ()

UIUIU





Отсюда ясно, как построить ВАХ эквивалентного элемента. Нужно при

одной ординате U просуммировать абсциссы

исходных харак-

теристик. Серия полученных таким образом точек и создаст эквивалент-

ную кривую, изображенную на рис. 11.10, в и помеченную буквой

Э.

Пример 11.4

Построить ВАХ активного двухполюсника (рис. 11.11, б), эквива-

лентного схеме рис. 11.11, а.

Решение

Состояние схемы рис. 11.11, а описывается уравнением первого за-

кона Кирхгофа:

() () .

UIUJ





Поэтому ВАХ активного двухполюсника (рис. 11.11, б) получается

переносом кривой I(U) параллельно самой себе вдоль оси I на величину

J (рис. 11.11, в).

б в

Рис. 11.11

(U)

-J

I(U)

()IU



(U)

I(U)

Изменение направления тока источника на противоположное при-

водит к переносу ВАХ нелинейного сопротивления на ту же величину в

обратную сторону (пунктирная кривая

()



на рис. 11.11, в).

А изменение полярности U (рис. 11.12, а) и, следовательно,

направления тока I(U) заставит построить в соответствии с уравнением

() ()

UJIU





эквивалентную характеристику

()

в виде зеркального изображения

ВАХ сопротивления относительно прямой

(рис. 11.12, б).

11.3.3. Графический расчет нелинейной цепи с двумя узлами

Пример 11.5

Известны значения ЭДС:

26 В;13ВEE



и вольтамперные

характеристики нелинейных сопротивлений (рис. 11.13, б) в схеме, по-

казанной на рис. 11.13, а.

Найти токи в ветвях схемы.

Решение

Запишем уравнения вольтамперных характеристик ветвей, пред-

ставив узловое напряжение как функцию каждого из токов.

1111

() () ;

UI UI E





(11.1)

2222

() () ;

UI UI E





(11.2)

333

() ().

UI UI



(11.3)

Согласно этим уравнениям построим на рис. 11.14, а кривые с ис-

пользованием заданных ВАХ сопротивлений и значений ЭДС, как это

было сделано в примере 11.2. Характеристика первого элемента (

смещается параллельно самой себе вверх на величину

, характери-

стика второго (

2) – вниз на величину

, положение третьей ха-

рактеристики (3) не меняется (нумерация кривых соответствует нумера-

ции уравнений). Фактически мы рассматриваем каждую из ветвей как

активный или пассивный двухполюсник (рис. 11.14, б).

Затем построим ВАХ эквивалентного двухполюсника, изображен-

ного на рис. 11.14, в, который получается параллельным сложением

ветвей схемы рис. 11.14, б в соответствии с уравнением первого закона

Кирхгофа (пунктирная кривая

4 на рис. 11.14, а)

123

()() () ().

ab ab ab ab

IU I U I U I U 



(11.4)

Но для этого двухполюсника

()0.





Такому условию соответствует точка пересечения эквивалентной

кривой

4 с осью ординат. Ордината этой точки дает значение

13 B,

U 

зная которое, нетрудно по характеристикам ветвей (кри-

вые

1, 2, 3) найти значения токов:

12 3

7 А;5,2А;1,8А.II I  

11.3.4. Линеаризация ВАХ нелинейного элемента

в ограниченной области

Если приблизительно известно положение рабочей точки Р на

вольтамперной характеристике нелинейного элемента (рис. 11.15, а), то

близлежащий участок характеристики может быть заменен отрезком ка-

сательной к ней в этой точке. Иллюстрацией сказанному служит

рис. 11.15, б. Уравнение касательной в точке

Р можно записать в двух

формах:

0 Д

() ,UI E RI

где коэффициент

UEm









дифференциальное сопротивление нелинейного элемента в точке

Р;

– отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, а

mm

мас-

штабы напряжения и тока на графиках рис. 11.15, б.

0 Д

() ,IU J G U

где коэффициент

P Д

ctg ,

Um R





 

J 

отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс.

Соответственно, нелинейный элемент (рис. 11.15, а) можно заме-

нить активным линейным двухполюсником, который представлен двумя

схемами замещения, которые показаны на рис. 11.15, в и г.

Внешняя характеристика первой из них описывается уравнением

0 Д

() ,UI E RI

которое совпадает по форме с уравнением касательной

варианта 1. Уравнение внешней характеристики схемы рис. 11.15, г

0 Д

()IU J G U

совпадает по форме с уравнением касательной для

варианта 2. Сопротивление пассивного линейного элемента в обеих

схемах равно дифференциальному сопротивлению нелинейного.

Если ВАХ обращена вогнутостью к оси токов, как на рис. 11.15, б,

то, очевидно, величина

положительна, а

отрицательна, причем

0 Д 0

RJ Касательная в точке P к участку, обращенному вогнуто-

стью к оси напряжений (рис. 11.16, а), отсекает на осях отрезки

по другую сторону от начала координат по сравнению с предыдущим

случаем. Поэтому при той же схеме замещения меняются знаки перед

числовыми значениями ЭДС и задающего тока.

Если же известны лишь границы участка, по которому может пе-

ремещаться рабочая точка, то его можно заменить секущей, проходящей

через граничные точки. В этом случае можно говорить о

как услов-

ном дифференциальном сопротивлении нелинейного элемента.

Следует отметить, что коэффициенты

могут оказаться

отрицательными (например, для характеристики, изображенной на

рис. 11.16, б). В этом случае параметры схемы замещения имеют лишь

расчетный смысл.

11.3.5. Расчет сложной цепи с одним нелинейным элементом

По отношению к зажимам нелинейного элемента остальную часть

цепи можно рассматривать как активный линейный двухполюсник

(рис. 11.17, а), который можно заменить одной из двух схем замещения

эквивалентного генератора (обведены пунктиром на рис. 11.17, б, в).

Здесь

ГХХГКЗГХХКЗ

,, .

UJIRUI

Дальнейший расчет можно вести графическим, аналитическим или

численным методами.

Графический метод. Если в одних осях построить ВАХ нелинейно-

го элемента и внешнюю характеристику эквивалентного генератора, то

координаты точки их пересечения дадут значения тока и напряжения

нелинейного элемента (рис. 11.18, а). Решение просто и наглядно, но

точность его ограничена точностью графических построений.

Аналитический метод. Один из вариантов аппроксимации рабоче-

го участка характеристики нелинейного элемента – это описание ее сте-

пенным полиномом. Простейший способ аппроксимации ВАХ нелиней-

ного элемента рис. 11.18, б – заменить ее параболой:

() .UI aI

Коэф-

фициент а можно определить, скажем, для точки, соответствующей

напряжению

поскольку большего напряжения на нелинейном

элементе в схемах рис. 11.17 быть не может. Обозначим для сокращения

записи

XX X

(),



тогда



По второму закону Кирхгофа для

схемы рис. 11.17, б будем иметь:

ГГ Г

() .

IR U I IR aI 

ГГ Г ГГ

Отсюда 0, тогда .

ERRE

II I

aa a a

  

Решение получено в общем виде, поэтому любые изменения пара-

метров цепи легко учитываются введением в решение новых значений

коэффициентов. Точность решения зависит от того, насколько парабола

отличается от реальной характеристики нелинейного элемента.

Численный метод. Для решения задачи методом последователь-

ных приближений нужно составить итерационное уравнение, в котором

очередное

(1)k 

-е приближение искомой величины выражается через

предыдущее k-е. В курсе математики показано [9], что достаточно

быстрая сходимость итерационного процесса обеспечивается, если со-

ставлять уравнение для напряжения, когда характеристика обращена во-

гнутостью к оси напряжений (R

> R

) и для тока, когда она обращена

вогнутостью к оси токов (R

< R

). При этом в расчет целесообразно

ввести именно статическое сопротивление нелинейного элемента

СТ

как функцию соответствующей расчетной величины.

Так, для ВАХ рис. 11.18, а по закону Ома имеем:

)(

)(где,

/)(1)(

kkkk

RIR

IRR

I 











Если же ВАХ имеет вид, показанный на рис. 11.18, б, то итераци-

онное уравнение следует записать в форме

)(

)(/1

)(

ГГ

kkkk

URR

URRJ

URR

URIU











где () .

()



Нулевое приближение искомой величины задается произвольно (ра-

зумеется, должно быть

0 КЗ 0XX

0 и 0).II UU  

Например, для

схемы с сопротивлением, характеристика которого имеет вид, подобный

кривой с рис. 11.18, а, можно принять

0 КЗ

2.II



Потом по характери-

стике найти

()UUI



и вычислить

)(

0CT

и, наконец, подсчитать

Затем цикл повторяется. Расчет ведется до тех пор, пока

(1)k 

-е

приближение не станет равным k-му с заданной степенью точности.

Расчет легко алгоритмизируется и может быть выполнен сколь

угодно точно. При необходимости токи в линейной части исходной

схемы можно вычислить, заменив нелинейный элемент линейным со-

противлением, равным статическому сопротивлению нелинейного в по-

следнем приближении.

11.3.6. Расчет сложной цепи с двумя нелинейными элементами

По отношению к зажимам (a и b, c и d) двух нелинейных элемен-

тов, которые нельзя заменить одним, всю линейную часть цепи

(рис. 11.19, а) можно рассматривать как активный четырехполюсник,

которому соответствует одна из двух схем замещения, например,

Т-схема, показанная на рис. 11.19, б.

Здесь

11XX

,EU

22XX

,EU

причем напряжения холостого хода

определяются при одновременном отключении обоих нелинейных эле-

ментов. Сопротивления

соответствуют параметрам Т-схемы

пассивного двухполюсника, получаемого из активного при отключении

источников тока и замыкании накоротко источников ЭДС. Получилась

схема с двумя узлами, графический расчет которой был рассмотрен вы-

ше. Что касается метода последовательных приближений, то в данном

случае следует составить два итерационных уравнения с использовани-

ем статических сопротивлений обоих нелинейных элементов и с учетом

формы их характеристик.

Чтобы записать итерационные уравнения, заменим нелинейные

элементы их статическими сопротивлениями (рис. 11.19, б) и составим

уравнения с контурными токами, которые равны токам в нелинейных

элементах

11 2 2

(, ),JI J I

а затем решим эти уравнения с помощью

определителей.

Допустим, характеристика первого элемента обращена вогнуто-

стью к оси напряжений, как на рис. 11.18, б, то будем искать (k+1)-е

приближение напряжения на этом элементе. Если, в свою очередь, ВАХ

второго элемента обращена вогнутостью к оси токов, как на

рис. 11.18, а, то найдем

(1)k



-е приближение его тока. Причем то и

другое выразим через k-е приближения статических сопротивлений







, 

следующим образом:

1( 1) 1 2( 1)

,,где

kk k

UR I









CT CT CT CT CT CT

11 1 1 1 2 2 1

kkk k k k k k k

RR pR qR s aR b cR d          

определители системы уравнений с контурными токами для схемы

рис. 11.19, б. Здесь p, q, s, a, b, c, d – постоянные коэффициенты, учиты-

вающие параметры схемы замещения четырехполюсника.

Задаваясь произвольными значениями

10 20

иUI

(нулевые при-

ближения напряжения

и тока

находим последовательно

по ВАХ нелинейных сопротивлений, затем

СТ

по закону

Ома. После этого вычисляем определители



и, наконец,

первые приближения

11 21

и .UI

Расчет повторяем циклически до тех

пор, пока последнее приближение

иUI

не повторит предыдущее

с заданной степенью точности.

При необходимости токи в линейной части исходной цепи можно

найти, заменив нелинейные элементы их статическими сопротивлениями в

последнем приближении и рассчитав теперь уже полностью линейную цепь.

11.4. Магнитные цепи

11.4.1. Основные понятия и определения

Магнитной цепью называется совокупность устройств, содержа-

щих ферромагнитные тела и предназначенных для создания магнитного

потока и сосредоточения его в определенной области пространства.

Если вся цепь выполнена из одного материала, она называется од-

нородной. Если поток во всех сечениях магнитной цепи одинаков, она

называется неразветвленной. В разветвленной цепи используются поня-

тия ветви

, узла. Понятие «участок магнитной цепи» часто применяется

в узком смысле этого слова. Это часть цепи, выполненная из однород-

ного материала, имеющая неизменное сечение по всей длине, по кото-

рой протекает один и тот же магнитный поток.

При расчете магнитных цепей используют основные характеристики

магнитного поля: вектор магнитной индукции



и вектор напряженно-

сти магнитного поля







, который учитывает магнитные свойства

материала с абсолютной магнитной проницаемостью







Здесь





относительная магнитная проницаемость,

410 Гн м







–

магнитная постоянная. У неферромагнитных материалов





У фер-

ромагнитных





зависимость B(H) нелинейна и неоднозначна.

На рис. 11.20 показана эта зависимость

(петля гистерезиса), которая получается

при периодическом перемагничивании ма-

териала. Чем больше амплитуда напряжен-

ности магнитного поля

max

тем шире

петля гистерезиса, но лишь до определен-

ного предела (пока не наступит насыще-

ние). Эта наиболее широкая петля называ-

ется предельным циклом (ПЦ).