Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

111

Так что оказывается

12 12 12

12 12

12 12 12

()

;

()

()() ()

JR i R

dt RR RR RR

uqR

JR R i R R

di u i

dt L R R L R R L L R R

















 

(11.26)

Сравнивая систему (11.26) с уравнениями (11.24), найдем неиз-

вестные коэффициенты:

,0,

1111





 EB

RDCA

,0,

)(

2222

RRL

RDCA 





5. Решение уравнений состояния. Выполняется численным методом

(например, Рунге–Кутта [9]). Если характеристики рис. 11.54 линеаризо-

вать (подобно тому, как это было сделано в примере 11.13) и оценить

реальную длительность переходного процесса, то можно выбрать шаг

по времени

t. При наличии колебательного процесса в линеаризован-

ной цепи должно быть

св

10t





св

36tT





, где

св св

и T





по-

стоянная времени и период свободных колебаний. Если же в этой цепи

протекает апериодический процесс, то следует принять

min

10.t

При этом будет обеспечена приемлемая для учебных целей точность

расчета. Вычисления начинаются с найденных в п. 1 значений q(0),

(0)

и продолжаются до тех пор, пока не будут достигнуты (с заданной

точностью) значения q(

),

()



из п. 2.

112

12. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

12.1. Общие положения

12.1.1. Основные понятия и определения

Параметры реальной электрической цепи практически всегда рас-

пределены по длине ее участков. Но при решении большинства практи-

ческих задач это обстоятельство не оказывает существенного влияния

на результаты анализа. В этих случаях можно считать, что сопротивле-

ния, индуктивности, емкости сосредоточены на определенных участках

цепи и соответствующим образом отражаются в схеме замещения. Та

кое допущение с успехом использовалось во всех предыдущих разделах

курса, где рассматривались цепи с сосредоточенными параметрами.

Однако существуют и задачи, условия которых просто не позволяют

пренебречь распределением параметров. Устройство можно рассматри-

вать как электрическую цепь, если оно имеет достаточно большую протя-

женность только в определенном направлении. В этом случае можно

го-

ворить о распределении параметров именно в этом направлении. Необхо-

димость учета распределения параметров цепи вдоль некоторого направ-

ления возникает в тех случаях, когда промежуток времени, за который

электромагнитная волна распространяется вдоль цепи в этом направлении,

соизмерим с интервалом времени, за который токи и напряжения в цепи

могут измениться на

заметную величину. Разумеется, токи и напряжения

при этом оказываются функциями двух независимых переменных: време-

ни t и расстояния x. Поэтому уравнения, описывающие состояние цепи с

распределенными параметрами, – это уравнения в частных производных.

Примерами таких цепей служат, в первую очередь, протяженные ли-

нии электропередачи, линии связи, высокочастотные линии радиотехни-

ческих и телевизионных

устройств. Впрочем, и обмотки трансформаторов,

и обмотки электрических машин, работающих в импульсном режиме,

также должны рассматриваться как цепи с распределенными параметрами.

Выберем в качестве объекта исследования двухпроводную линию.

Нам придется считать, что каждый сколь угодно малый элемент длины

линии обладает параметрами, отражающими в схеме замещения извест-

ные явления. Как обычно, сопротивление

будет учитывать тепловые по-

тери в проводах, индуктивность – явление самоиндукции при измене-

нии магнитного потока, емкость – токи смещения между проводами, а

проводимость – токи утечки по изоляции. Если эти параметры равно-

мерно распределены по длине, то такую линию называют однородной.

Выведем уравнения, описывающие состояние однородной двухпровод-

113

ной линии, считая ее параметры на единицу длины

0000

,,,

CRG

известными и независящими от частоты. Эти параметры называют пер-

вичными. Заметим, что при необходимости подобные уравнения не-

трудно применить и к исследованию трехфазной линии, работающей в

симметричном режиме, используя ее схему замещения на одну фазу.

12.1.2. Уравнения однородной двухпроводной линии

в частных производных

Выделим на расстоянии х от начала линии элемент линии

длиной dx, на входе которого существуют напряжение u и ток i

(рис. 12.1, а). На выходе эти величины получают приращения



. Первое связано с падениями напряжения на сопротивлении

Rdx

и индуктивности

по которым в схеме замещения (рис. 12.1, б)

протекает ток i. Второе – с утечками по проводимости

Gdx

и током

смещения через емкость

,Cdx

которые находятся под напряжением

udx







По законам Кирхгофа имеем:

;

() () .

uiRdxLdx u dx

uui

i u dx G dx C dx u dx i dx

tx x



 





   



dx C

а б

Рис. 12.1









Приводя подобные, пренебрегая величинами второго порядка ма-

лости, после деления на

,dx

получим уравнения однородной двухпро-

водной линии в частных производных:

;

Ri L

Gu C





 











 







(12.1)

114

Решение этой системы уравнений при заданных начальных и гра-

ничных условиях позволяет определить искомые зависимости

(,)ixt

(,).uxt

Уравнения справедливы для описания как установившихся, так и

переходных режимов.

12.2. Установившийся синусоидальный режим

работы однородной двухпроводной линии

12.2.1. Уравнения линии в установившемся

синусоидальном режиме

Для решения уравнений линии в частных производных в устано-

вившемся синусоидальном режиме используем комплексный метод.

При переходе от синусоидальных функций времени к их комплексным

изображениям окажется, что

(,) (), , j ,

(,) (), , j .

udU u

uxt Ux U

xdx t

idI i

ixt Ix I

dx t





















Поэтому уравнения (12.1) в комплексной форме записи примут вид:



RLI

GCU













 







Обозначив здесь

00 0





– комплексное продольное сопро-

тивление, а

00 0

jYG C





– комплексную поперечную проводимость

единицы длины линии, получим

;



















(12.2)

Подстановка



из первого уравнения системы (12.2) во второе при-

водит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка

ZYU







с комплексно сопряженными корнями характеристического уравнения

. Решение такого уравнения можно записать в виде суммы экспонент:

115

() .

ПО

Ux Ae Ae U U









(12.3)

Здесь

0000

(j)(j) jZY R L G C





 

– (12.4)

коэффициент распространения линии,

UAe







UAe



– постоянные интегрирования.

Подстановка выражения (12.3) в первое уравнение системы (12.2)

позволяет найти комплекс тока

ПО ПО

120 B

() ( )/ ( )/ ,

xAe AeZUUZII

 

     



(12.5)

где величина

0000 О

00ПО

YGCII



   







(12.6)

имеет размерность сопротивления.

Для того, чтобы выяснить физический смысл слагаемых, входящих

в формулы (12.3), (12.5), и их отношения (12.6), перейдем от комплекс-

ных величин к функциям времени.

12.2.2. Бегущие волны

Запишем в показательной форме комплексы

11 2 2 BB

, и .

Ae A A e Z z e





 



Тогда мгновенные значения величин, соответствующих комплекс-

ным слагаемым в выражении (12.3), примут вид:

П 11

O2 2

(,) 2 sin( );

(,) 2 sin( ).

uxt Ae t x















При фиксированном значении координаты



каждая из этих ве-

личин изменяется во времени по синусоидальному закону с периодом

2.T







А в любой фиксированный момент времени

tt

распределе-

ние напряжения вдоль линии происходит по закону затухающей синусо-

иды с







(длина волны – расстояние между двумя ближайшими

точками линии, в которых фазы синусоид тока или напряжения волны

отличаются на

2).



При этом затухание

(,)uxt

происходит от начала

линии к концу, то есть в сторону увеличения координаты х, а

(,)uxt

за-

тухает от конца к началу (в сторону уменьшения х). На рис. 12.2 показано

распределение составляющей

(,)uxt

вдоль х в моменты времени

.tt

Подобным же образом ведет себя и зависимость

П 11B

(,) 2 sin( )/ .

ixt Ae t x z







116

Если же зафиксировать фазу синусоиды

consttx



  

и про-

дифференцировать это выражение по времени, то получится

0, отсюда





dt T









щл

dt T



(12.7)

Это означает, что мы имеем дело с электромагнитной волной, которая

движется в сторону увеличения х с фазовой скоростью

. По мере пе-

ремещения амплитуды напряжения и тока затухают. Назовем эту волну

прямой. На рис. 12.2 видно, что за время

tt t





нули на графике

функции

(,)uxt

перемещаются на расстояние





2

Очевидно, с помощью аналогичных рассуждений можно показать,

что вторая пара составляющих напряжения и тока

О 22

O2 2

(,) 2 sin( );

(,) 2 sin( )

uxt Ae t x

ixt Ae t x













характеризует обратную волну, которая движется в сторону уменьше-

ния х с той же самой скоростью. Причем амплитуды напряжения и тока

также затухают по мере продвижения волны.

Поэтому комплекс

можно назвать волновым сопротивлением

линии. Оно равно отношению комплексов напряжения и тока в любой

точке линии, когда в ней существует только одна волна – неважно ка-

кая, прямая или обратная.

В свою очередь коэффициент распространения характеризует из-

менение тока и напряжения волны по мере ее продвижения. Действи-

тельно, из формул (12.3)–(12.6) следует:

117

б jв

ПП

() ()

()()

Ux Ix

eee

Ux x Ix x











Выбор отрезка



равного единице длины, позволяет дать следу-

ющие определения.

Коэффициент затухания







показывает, насколько отлича-

ются логарифмы действующих значений напряжений или токов одной

волны в точках, отстоящих друг от друга на единицу длины. Единица

измерения – непер на метр [Нп/м] или на километр.

Коэффициент фазы







показывает, насколько отличаются

фазы напряжений или фазы токов одной волны в точках, отстоящих

друг от друга на единицу длины. Единица измерения – радиан на метр

[рад/м] или на километр.



называют вторичными параметрами линии, они, также как

и первичные, полностью характеризуют линию.

Таким образом, установившийся синусоидальный режим работы

линии можно рассматривать как результат наложения двух затухающих

бегущих в противоположных направлениях с одинаковой скоростью

волн. Если х отсчитывается от начала линии (рис. 12.1, а), то возникно-

вение обратной волны можно рассматривать как

результат отражения

прямой волны от нагрузки и называть волны падающей и отраженной.

Пометим индексом 2 значения величин в конце линии

(),

l

где

включена нагрузка с комплексным сопротивлением

Тогда

22П 2O 2

22П 2O 2П 2O

;

()/.

UU U IZ

II UUZ









 





  

   

Отсюда нетрудно найти коэффициент отражения:

2O 2O

2П 2П

UIZZ









(12.8)

В частности в режимах холостого хода

()Z 

и короткого за-

мыкания

(0)Z 

происходит полное отражение волны (

1N 

соот-

ветственно). При

Z

отражения не происходит (

0),N 

в линии

существует только одна волна и вся принесенная ею энергия поглоща-

ется нагрузкой. Такой режим называется режимом согласованной

нагрузки.

При согласованной нагрузке мощность в начале линии равна

111 BB

cos ( ),PUI Z ze





в конце линии

118

222 1 1 11

cos cos cos

ll l

PUI Ue Ie UIe













 

и коэффициент полезного действия









Пример 12.1

Известны волновое сопротивление и коэффициент распростране-

ния линии электропередачи, работающей на промышленной частоте

j6 3 j82

50 Гц : 400 Ом;1,0810 1км.fZe e





 



Определить первичные параметры линии:

00 0 0

,, ,.RLGC

Решение

Воспользовавшись формулами (12.4) и (12.6), найдем:

j6 3 j82 j76

3j82

6j88 6

400 1,08 10 0,432 (0,1042 j0,42) Ом км,

1,08 10

2,7 10 (0, 094 j2, 7) 10 См/км.

400

ZZ e e e











    



    





Отсюда

Re 0,1042 Ом/кмRZ



Re 0,094 10 См/км.GY





Затем вычисляем угловую частоту

2 314 рад сf







и, нако-

нец,

Im 0,42 314 1,39 10 Гн/км,LZ





 

Im 2,7 10 314 8,6 10 Ф/км.CY





 

12.2.3. Уравнения линии в гиперболических функциях

Определим постоянные интегрирования в уравнениях (12.3) и

(12.5) из граничных условий, считая, что в начале линии



на

рис. 12.3, а) и напряжение



и ток



известны. Тогда эти уравнения

переписываются в виде:

12 1

(0) ,UAAU 







12B1

(0) ,

AAZ I







откуда легко найти

111B 211B

()2,()2.AUIZ A UIZ 

 

После подстановки постоянных в уравнения (12.3), (12.5) и приве-

дения подобных заметим, что

( ) 2 ch( ), ( ) 2 sh( ).

xx xx

ee xee x









 

119

В результате получим уравнения линии в гиперболических функциях:

() ch() sh();

() sh() ch().

Ux U x IZ x

xxIx













 





 





(12.9)

Подстановка

l

дает:

11 2

() ch( ) sh( ) ;

() sh() ch() .

Ul U l IZ l U

llIlI





 





    





  





Если разрешить эти уравнения относительно

, то они примут вид:

12 2

ch() sh();

sh( ) ch( ).

UU lIZ l

IlIl





 











 





Последние две системы уравнений совпадают по форме с уравне-

ниями четырехполюсника в гиперболических функциях, характеристи-

ческое сопротивление и постоянная передачи которого очень просто

выражаются через вторичные параметры линии:

иГ .





Соответственно коэффициенты затухания и фазы такого эквива-

лентного линии четырехполюсника равны:

и .al bl







Все эти параметры определяются в режиме согласованной нагрузки

(см. раздел 9.7 [6]).

Очевидно, при отсчете расстояния y от конца линии (рис. 12.3, б)

уравнения линии в гиперболических функциях примут следующий вид:

() ch(г )sh(г );

() sh(г )ch(г ).

Uy U y IZ y

Iy y I y















 





(12.10)

x y

а б

Рис. 12.3

I(x)

U(x)

I(y)

U(y)

120

Для вывода этих формул достаточно в предыдущей системе уравнений

произвести обратную замену l на y. Эту запись удобно использовать для

исследования режимов работы линии при изменении сопротивления

нагрузки

UI



12.2.4. Линия без искажений

Если линия используется для передачи информации (линия связи,

радио и т. п.), то для достоверности передачи необходимо, чтобы коэф-

фициент затухания и волновое сопротивление линии не зависели от ча-

стоты. В этом случае, несмотря на затухание, форма передаваемого сиг-

нала не будет изменяться и при согласованной нагрузке не возникнут

отраженные волны

. Если к тому же коэффициент фазы будет пропорци-

онален частоте β = constω, то и фазовая скорость

const







не бу-

дет зависеть от частоты. Такая линия называется линией без искажений,

и для выполнения вышеперечисленных условий необходимо:



(12.11)

Действительно, из (12.4) и (12.6) легко получить

0000

00 00 00

(j)(j) j

jj j,

ZY R L G C

CRGLC



 

 









(12.12)

000

jj .

YGC







 











(12.13)

Так что ни в волновое сопротивление

, ни в коэффициент зату-

хания







частота не входит (это вещественные числа), а коэффи-

циент фазы







частоте пропорционален. Характерно, что оба ко-

эффициента принимают в этом случае минимальные значения:

min 0 0 min 0 0

,j.

GLC

  

 

(12.14)

Фазовая скорость волн в линии достигает в этом случае наиболь-

шего значения: